ZAJĘCIA 25. Wartość bezwzględna. Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej. 1. Wartość bezwzględną liczby jest określona wzorem: x, dla _ x 0 x =, x, dla _ x < 0 Wartość bezwzględna liczby nazywana jest takŝe czasami modułem lub wartością absolutną liczby. Zobaczmy kilka przykładów: 4 = 4 5 = 5 30 40 = 10 = 10 Własności 4 3 = 1 = 1 3 π = π 3 Dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y zachodzą poniŝsze własności: x 0 x = x x = 2 x x y = x y x y x y =, y 0 2. Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej. Wartość bezwzględną liczby moŝna interpretować jako odległość współrzędnej tego punktu od punktu zerowego: 3. Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną Przy rozwiązywaniu równania moŝna wykorzystać własność:
ZADANIE: RozwiąŜ: x + 4 = 2 I SPOSÓB: W przypadku równań z jedną wartością bezwzględną moŝna posłuŝyć się tylko definicją, np.: x + 4 = 2 lub x + 4 = - 2 x = - 2 x = - 6 II SPOSÓB: Korzystając z interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej, aby rozwiązać równanie zapytamy: jakie liczby są oddalone o 2 jednostki od ( - 4) na osi liczbowej? Odp. x = - 2 x = - 6 ZADANIE: JeŜeli wartości bezwzględnych jest więcej, równanie liczy się inną metodą. Oto przykładowe równanie: x + 4 + x 2 = 6 Tutaj równieŝ naleŝy posłuŝyć się definicją. Pierwsze wyraŝenie objęte wartościa bezwzględną jest ujemne w przedziale (- ; - 4) i dodatnie w przedziale (- 4;+ ). Natomiast drugie wyraŝenie jest ujemne w przedziale ( - ; 2) i dodatnie w przedziale (2;+ ). Dostajemy więc trzy przedziały, które naleŝy rozpatrzeć (jeśli tego nie widzimy od razu, warto rozrysować sobie cztery wcześniejsze zbiory na osi liczbowej i zobaczyć, jaką pozycję względem siebie zajmują): 1. (- ; - 4) gdzie oba wyraŝenia są ujemne 2. ( 4;2) gdzie pierwsze jest dodatnie a drugie ujemne 3. (2;+ ) gdzie oba wyraŝenia są dodatnie W przypadku pierwszej wartości bezwzględnej, jeŝeli x < ( 4) trzeba będzie zmienić w niej znaki występujące przy liczbach, gdyŝ musi ona być dodatnia. Tą metodą tworzy się przedziały. I teraz naleŝy obliczyć równanie do kaŝdego z przedziałów. x (- ; - 4) W tym przypadku zmienią się znaki dla kaŝdej wartości bezwzględnej: x 4 x + 2 = 6 x = 4 Liczba ta nie naleŝy do przedziału, więc w przedziale x (- ; - 4) równanie nie ma rozwiązań. x < - 4; 2)
x + 4 x + 2 = 6 6 = 6 ToŜsamość. Oznacza to, Ŝe w przedziale x < - 4; 2) kaŝda liczba spełnia równanie. x < 2 ; ) x + 4 + x 2 = 6 x = 2 Liczba naleŝy do przedziału, czyli x=2 jest rozwiązaniem równania. Podsumowując wcześniejsze obliczenia naleŝy podsumować, Ŝe: x < - 4; 2) 4. Rozwiązywanie nierówności z wartością bezwzględną Przy rozwiązywaniu nierówności moŝna wykorzystać poniŝsze własności: x < a -a < x < a ( x > - a i x < a ) x a -a x a ( x - a i x a ) x > a ( x < - a lub x > a ) x a ( x - a lub x a ) W przypadku niektórych nierówności moŝemy posłuŝyć się którąś z powyŝszych własności np.: ZADANIE RozwiąŜmy nierówność x + 5 10wykorzystując własność x a -a x a ( x - a i x a ), gdzie zamiast x postawiamy x+5, a zamiast a liczbę 10 otrzymujemy: x + 5 10-10 x + 5 10 ( x - 15 i x 5 ) Odp. x < - 15; 5>. 5. Wykresy funkcji z wartością bezwzględną. ZADANIE: Naszkicuj wykres funkcji a) y = x + 1 2 c) y = x + 3 1, e) y = x 2 + 4x 3 + 2 b) y = 2x + 2 + 1 d) y = x 2 + 2x Metoda pozwalająca poradzić sobie z takimi wykresami polega na wykonaniu poszczególnych kroków rysunkowych, aŝ do uzyskania końcowego wykresu. Kroki te są następujące (szczegółowo zobaczysz jak je stosować w omówionych przykładach) : 1. Rysujemy wykres tego co,,siedzi między kreskami. (przypomnij sobie jak rysować linie proste i parabole) 2. Rysujemy to co między kreskami razem z kreskami (przenosimy wszystko co było pod osią x nad oś x). 3. Jeśli przed wartością bezwzględną był minus to wszystko co mamy na rysunku przekładamy pod oś x (oczywiście gdy przed wart. bezwz. nic nie ma to nic nie robimy).
4. Jeśli za wartością bezwzględną jest jakaś liczba, to gdy ona jest dodatnia wszystko przesuwamy do góry (o tyle ile ona nam pokazuje), gdy jest ona ujemna przesuwamy wszystko w dół. Osobiście doradzam, aby poszczególne fazy rysowania robić róŝnymi kolorami (najlepiej na oddzielnych układach współrzędnych). Często oglądałam wykonane,,wykresy które z matemą nie miały nic wspólnego, na dodatek nikt nie wiedział gdzie jest końcowy wynik. Bierzemy się za przykłady Ad. a) y = x + 1 2 Krok 1. Rysujemy to co między kreskami, czyli y = x + 1 (to linia prosta) Krok 2. Rysujemy to co między kreskami razem z kreskami (przenosimy to co było pod osią x nad tę oś),narysowaliśmy wykres funkcji y = x + 1 Krok 3. PoniewaŜ przed wartością bezwzględną,,nic nie ma, to krok 3 nie wymaga pracy. Krok 4. Za wartością bezwzględną jest liczba 2; trzeba, więc wykres z kroku 2 przesunąć w dół o 2. Otrzymujemy końcowy wynik naszej pracy, czyli wykres funkcji y = x + 1 2
Ad. b) y = 2x + 2 + 1 Krok 1. Rysujemy to co miedzy kreskami, czyli y = 2x + 2 Krok 2. Rysujemy to co między kreskami, razem z kreskami, czyli y = 2x +2 (to spod osi x na górę) Krok 3. Pomijamy (,,nic nie ma przed wart. bezwz.) Krok 4. Za wart. bezwz. jest +1 (przesuwamy wszystko z kroku 2 o jeden do góry), mamy y = 2x + 2 +1.
Ad. c) y = x + 3 1... Krok 1. y = x +3 Krok 2. y = x + 3 Krok 3. PoniewaŜ przed wart. bezwz. jest minus to wykres z punktu 2 przenosimy pod oś x; mamy y = x + 3
Krok 4. y = x + 3 1..(o jeden w dół wykres z kroku 3) Ad. d) y = x 2 + 2x Krok 1. y = x 2 + 2x..(wykresem jest parabola) Krok 2. y = x 2 +2x..(wszystko co jest pod osią x przekładamy nad oś x). I mamy końcowy wynik.
Ad. e) y = x 2 + 4x 3 + 2 Krok 1. y = x 2 + 4x 3 Krok 2. y = x 2 + 4x 3 Krok 3. y = x 2 + 4x 3
Krok 4. y = x 2 + 4x 3 + 2 ZADANIE Narysuj wykres funkcji : a) y = x 4 3..b) y = 2x 1 + 2.. c) y = x + 4 1 d) y = x 2 + 4x 2.. e) y = x 2 + 2x + 3 + 3