3.2. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI LINIOWE.

Transkrypt

1 .. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI LINIOWE. m równania (pierwiastkiem równania) z jedną niewiadomą nazywamy liczbę, która spełnia dane równanie, tzn. jeśli w miejsce niewiadomej podstawimy tę liczbę, to otrzymamy równość prawdziwą. Przykład..1. Sprawdź, która z liczb -1, 4 jest rozwiązaniem równania ( ) x x = x( x 1). ( ) x x = x( x 1) ( ) ( 1) 1 = 1( 11) + 1 ( 4) = 1 ( ) 1 1 = 1 1 = Odp. 1 nie jest rozwiązaniem równania. x x = x x 1 ( ) ( ) = = = = = = 1 = Odp. 4 jest rozwiązaniem równania. Sprawdzamy, czy 1 jest rozwiązaniem równania. Za x podstawiamy 1. Po uproszczeniu otrzymujemy równość fałszywą. Zatem 1 nie jest rozwiązaniem równania. Sprawdzamy, czy 4 jest rozwiązaniem równania. Za x podstawiamy 4. Po uproszczeniu otrzymujemy równość prawdziwą. Zatem 4 jest rozwiązaniem równania.

2 Równanie liniowe z jedną niewiadomą Równaniem liniowym z jedną niewiadomą x nazywamy równanie postaci ax + b = 0 Warunki Postać równania Rozwiązania równania Nazwa równania a 0 ax + b = 0 jedno rozwiązanie: równanie oznaczone a = 0 b 0 = 0 b a b nie ma rozwiązania równanie sprzeczne a = 0 b = 0 0 = 0 nieskończenie wiele rozwiązań : x R równanie toŝsamościowe Przykład... RozwiąŜ równanie: a) x = x + a) x = x + x x x = + ( ) = + / : ( ) + / ( + ) ( + )( + ) ( ( + ) ( ) Przenosimy wyraŝenia z niewiadomą na lewa stronę, a stałe na prawą stronę. Przy przenoszeniu wyraŝeń na drugą stronę równania pamiętamy o zmianie znaku. Wyznaczamy x dzieląc obie strony równania przez współczynnik stojący przy niewiadomej. Doprowadzamy wynik do najprostszej postaci. Usuwamy niewymierność z mianownika, rozszerzając ułamek przez mianownik ze zmienionym znakiem. W mianowniku stosujemy wzór skróconego a b a + b = a b mnoŝenia: ( )( ) Odp. Równanie ma jedno rozwiązanie : +

3 x + x x 1 b) + = x + x x 1 b) + = / x + x x 1 + = x + + x 1 ( ) ( ) x x = x 1 x x = 11 Odp. Równanie nie ma rozwiązania. Obie strony równania mnoŝymy przez wspólny mianownik. Porządkujemy równanie, wykonując mnoŝenie oraz przenosząc wyraŝenia z niewiadomą na lewa stronę, a stałe na prawą stronę. Po redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy sprzeczność. c) ( x ) ( x 1) = 4( x + 1) c) ( x ) ( x 1) = 4( x + 1) ( x ) x 5 ( x) ( x 1+ 1 ) = ( 4x 4x + 1) = x 4x + 0x x 4x + 0x 4x + 4x 1 = 4x + 4 4x 4x + 0x + 4x 4x = = 0 Odp. Równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań: x R Usuwamy nawiasy, stosując wzory skróconego mnoŝenia: a + b = a + ab + b ( ) ( a b) = a ab + b Porządkujemy równanie, przenosząc wyraŝenia z niewiadomą na lewa stronę, a stałe na prawą stronę. Po redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy równość prawdziwą.. JeŜeli nierówność mnoŝymy przez liczbę ujemną, to następuje zmiana znaku nierówności. JeŜeli nierówność mnoŝymy przez liczbę dodatnią, to znak nierówności pozostaje bez zmian. Przykład... RozwiąŜ nierówność: ( 4x + 1)( 4x 1) 4x( 4x ) ( x 1)( x + 1) x ( 4x + 1)( 4x 1) 4x( 4x ) ( x 1)( x + 1) x ( 4x) 1 1x + 1x x + 1x x 1 x 1x 1x 0 1 Odp. 11x 1x x R x + 1x x + x + 1x x 1 x + 1x 1x + x Usuwamy nawiasy, wykonując mnoŝenie oraz stosując wzór skróconego mnoŝenia: a b a + b = a b ( )( ) Porządkujemy nierówność, przenosząc wyraŝenia z niewiadomą na lewa stronę, a stałe na prawą stronę Po redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy nierówność prawdziwą..

4 Przykład..4. Wyznacz wszystkie liczby naturalne spełniające nierówność x + x + + > 1 4 x + + x + > 1 4 Obie strony nierówności mnoŝymy przez wspólny mianownik 4 i pozbywamy się ułamków. x + x + + > 1/ 4 4 x + x > 4 4 ( x + ) + x + > 4 4x + + x + > 4 4x + x > 4 x > 1 / : x < 4 ( ) Porządkujemy nierówność, wykonując mnoŝenie oraz przenosząc wyraŝenia z niewiadomą na lewa stronę, a stałe na prawą stronę. Wykonujemy redukcję wyrazów podobnych. Nierówność mnoŝymy przez liczbę ujemną, zatem zmieniamy znak nierówności. x (,4) Odp. Liczbami naturalnymi spełniającymi nierówność są 0,1,,. Otrzymane rozwiązanie przedstawiany na osi liczbowej i zapisujemy jako przedział. W wypisujemy liczby naturalne naleŝące do rozwiązanie nierówności. Przykład..5. RozwiąŜ nierówność podwójną: x + < x + 4 x x + < x + 4 x x + < x + 4 x + 4 x x + < x + 4 i x + 4 x x x < 4 x x 5 4 x < / : ( ) x 1 x > 1 x 1 Nierówność podwójną zapisujemy jako układ nierówności. Rozwiązujemy nierówności z układu. Otrzymane rozwiązania przedstawiany na osi liczbowej i

5 wyznaczamy ich część wspólną x ( 1, 1 Odp. m nierówności x + < x + 4 x jest x ( 1, 1 ĆWICZENIA Ćwiczenie..1. (pkt.)rozwiąŝ równanie: x x 1 x x = 4 1 Podanie równania bez kresek ułamkowych. 1 Podanie rozwiązania równania. 1 Ćwiczenie... (pkt.) RozwiąŜ nierówność: ( ) 5( ) ( ) x + 4 x x 1 Podanie nierówności bez nawiasów. 1 Podanie rozwiązanie nierówności, w postaci przedziału. 1 Ćwiczenie... (pkt.) RozwiąŜ układ nierówności ( x + 1) + 7 > ( x 4) ( 1+ x) + x ( x 1) Podanie rozwiązania pierwszej nierówności. 1 Podanie rozwiązania drugiej nierówności. 1 Podanie rozwiązanie układu nierówności w postaci przedziału. 1

6 Ćwiczenie..4. (5pkt.)Wyznacz zbiory A, B, A B, A B, A/ B, jeśli A = { x R : x ( x + ) } B x R : ( x 1) { + > 1} = x 1 Zapisanie zbioru A w postaci przedziału. 1 Zapisanie zbioru B w postaci przedziału. 1 Zapisanie zbioru A B w postaci przedziału. 1 4 Zapisanie zbioru A B w postaci przedziału. 1 5 Zapisanie zbioru A \ B w postaci przedziału. 1