Temat: Liczby definicje, oznaczenia, własności. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1

Transkrypt

1 Temat: Liczby definicje, oznaczenia, własności A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e

2 Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 2

3 System liczbowy System liczbowy to sposób zapisywania i nazywania liczb. Symbole słuŝące do zapisywania liczb to cyfry. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 3

4 System liczbowy Współcześnie powszechnie uŝywany jest system dziesiątkowy. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 4

5 Dziesiątkowy system liczbowy W systemie dziesiątkowym dziesięć jednostek niŝszego rzędu tworzy jedną jednostkę następnego, wyŝszego rzędu (rzędy: jedności, dziesiątek, setek, tysięcy, dziesiątek tysięcy, itd.). A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 5

6 Dziesiątkowy system liczbowy Liczby zapisuje się przy uŝyciu dziesięciu cyfr: 0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 6

7 Dziesiątkowy system liczbowy Jest to system pozycyjny - wartość liczby zaleŝy od pozycji, na której zapisano cyfrę pozycja pozycja pozycja pozycja dziesiątek jedności dziesiątek jedności A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 7

8 Dziesiątkowy system liczbowy Wartości kolejnych pozycji moŝna wyrazić jako potęgi liczby A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 8

9 Inne systemy liczbowe Dwójkowy (pozycyjny, cyfry: 0, ) Szesnastkowy (pozycyjny, cyfry: 0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F) Rzymski (addytywny, cyfry: I, V, X, L, C, D, M) A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 9

10 Dygresja R o z r óŝnia się systemy liczbowe pozycyjne i addytywne. W p o z y c y j n y c h s y s t e m a c h l i c z b o w y c h l i c z b a j e s t p r z e d s t a w i a n a j a k o c iąg cyfr, a wartość poszczególnych znaków cyfrowych z a l eŝy od ich połoŝenia (pozycji) względem sąsiednich znaków c y f r o w y c h ; n a t o m i a s t w a d d y t y w n y c h s y s t e m a c h l i c z b o w y c h w a r t ość przedstawionej liczby jest sumą wartości jej znaków c y f r o w y c h. P o z y c y j n y m i s y s t e m a m i l i c z b o w y m i są m. in.: d z i e s iątkowy, dwójkowy, a addytywnymi: hieroglificzny, rzymski, a l f a b e t y c z n y. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 0

11 Liczby naturalne Liczby naturalne to liczby: 0,, 2,..., 2,..., 0,..., 345,... A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e

12 Oś liczbowa Oś liczbowa to prosta z zaznaczonym zwrotem, punktem początkowym i jednostką. 0 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 2

13 Oś liczbowa KaŜdemu punktowi na osi liczbowej odpowiada liczba. A 0 2 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 3

14 Przykład Jeśli punkt A leŝy w odległości 2 jednostek na prawo od zera, to odpowiada mu liczba 2; mówimy, Ŝe punkt A ma współrzędną równą 2, co zapisujemy A=(2). A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 4

15 Przykład cd. A 0 2 A=(2) A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 5

16 Uwaga Liczby nazywa się punktami na osi liczbowej, mówimy np. liczba 2 lub punkt 2. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 6

17 Interpretacja graficzna Liczby naturalne moŝna przedstawić na osi liczbowej: A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 7

18 Liczby całkowite Liczba przeciwna do a, to a. Na osi liczbowej liczby przeciwne a, a leŝą w tej samej odległości od zera, ale po jego przeciwnych stronach. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 8

19 Liczby całkowite Liczby całkowite to liczby naturalne, a takŝe liczby przeciwne do naturalnych:..., 3, 2,, 0,, 2, 3,... A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 9

20 Uwaga KaŜda liczba naturalna jest liczbą całkowitą. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 20

21 Interpretacja graficzna Liczby całkowite moŝna przedstawić na osi liczbowej: A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 2

22 Pojęcia a < 0 liczba ujemna a > 0 liczba dodatnia A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 22

23 Pojęcia cd a 0 liczba niedodatnia a 0 liczba nieujemna A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 23

24 Pojęcia cd. Liczba 0 nie jest dodatnia i nie jest ujemna (mówimy, Ŝe 0 nie ma znaku). A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 24

25 Liczby wymierne Liczby wymierne to liczby, które moŝna przedstawić w postaci ilorazu (ułamka) liczb całkowitych p, q, gdzie q 0: p : q = p q licznik kreska ułamkowa mianownik A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 25

26 Przykłady 3 3 = = = 0 3 = 3 3,52 = A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 26

27 Uwaga. Jeśli n jest dowolną liczbą naturalną, to n = n zatem kaŝda liczba naturalna jest liczbą wymierną. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 27

28 Uwaga 2. Jeśli c jest dowolną liczbą całkowitą, to c = c zatem kaŝda liczba całkowita jest liczbą wymierną. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 28

29 Rozwinięcie dziesiętne Aby otrzymać rozwinięcie dziesiętne (postać dziesiętną) liczby wymiernej p q naleŝy wykonać dzielenie p : q A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 29

30 Przykłady 3 = 0,5 = 0, = 0,33... = 0, (3) 0 = 7, (42857) Powtarzającą się cyfrę lub grupę cyfr w rozwinięciu dziesiętnym nazywamy okresem. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 30

31 Uwaga. Rozwinięcie dziesiętne kaŝdej liczby wymiernej jest skończone lub nieskończone okresowe. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 3

32 Uwaga 2. Liczba przedstawiona w postaci rozwinięcia dziesiętnego skończonego lub nieskończonego okresowego jest wymierna. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 32

33 Przykłady 0,(36) = ,0(8) = 4 45 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 33

34 Interpretacja geometryczna Liczby wymierne na osi liczbowej:... A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 34

35 Pytanie Czy po zaznaczeniu wszystkich liczb wymiernych na osi liczbowej zostaną jakieś niezaznaczone punkty? Tak! A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 35

36 Liczby niewymierne Liczba niewymierna to taka liczba, której nie moŝna przedstawić w postaci ilorazu liczb całkowitych p, q, gdzie q 0. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 36

37 Przykłady liczb niewymiernych 2 3 π e A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 37

38 Liczba niewymierna 2 Liczba niewymierna 2 przedstawia długość przekątnej d kwadratu o boku a =. d a a A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 38

39 Liczba niewymierna 2 d a = a = Z tw. Pitagorasa: d = = 2 2, A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 39

40 Uwaga Niech n oznacza liczbę naturalną. Liczba postaci jest niewymierna, jeśli liczba n nie jest kwadratem innej liczby naturalnej. n A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 40

41 Uwaga cd. Zatem liczby: 2, 3, 5, 6, 7, 8, itd. są niewymierne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 4

42 Uwaga cd. Natomiast liczby: 0 = 0, 2, 4 = 3, 9 = 4, 6 = itd. sa wymierne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 42

43 Liczba niewymierna π Liczba π przedstawia stosunek długości okręgu do jego średnicy. l s π = s l długość okręgu s długość średnicy π 3,4K A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 43

44 PrzybliŜenia liczby π π 3,4K π 3, K A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 44

45 Mnemotechnika liczby π Dawno, dawno temu, w czasach gdy nie znano jeszcze komputerów osobistych, zapamiętanie wielu cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby π ułatwiały wierszyki, w których liczby liter w kolejnych słowach odpowiadały cyfrom rozwinięcia dzięsiętnego. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 45

46 Mnemotechnika liczby π Wiersz Kazimierza Cwojdzińskiego: Kuć i orać w dzień zawzięcie, bo plonów nie-ma bez trudu, Złocisty szczęścia okręcie kołyszesz Kuć. My nie czekajmy cudu, robota to potęga ludu A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 46

47 PrzybliŜenia liczby π Kiedy Kto PrzybliŜenie π ok lat p.n.e. Babilończycy 3 ok lat p.n.e. III w. p.n.e. Egipcjanie Archimedes, Grecja , , A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 47

48 PrzybliŜenia liczby π cd. Kiedy Kto PrzybliŜenie π XII w. XVI w. V w. Bhaskara, Indie Metius, Holandia Cu-Czungczy, Chiny , dokładność do 6. 3 miejsca po przecinku A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 48

49 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 49 PrzybliŜenia liczby π cd. PrzybliŜenie liczby π moŝna obliczyć ze wzoru Leibniza: ( ) = = = 4 π n n n K

50 Liczba niewymierna e e 2, K A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 50

51 Liczba niewymierna e e def = lim + n n n A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 5

52 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 52 Liczba e w matematyce Suma szeregu: e n n = = = K ! 0

53 Liczba e w matematyce cd. Podstawa funkcji wykładniczej: f(x) = e x Obliczanie wartości e x : e x x n = n! n=0 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 53

54 Liczba e w matematyce cd. Podstawa logarytmu naturalnego: log = e x ozn ln x A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 54

55 Uwaga. JeŜeli a jest liczbą niewymierną, to liczby a+, a+2, a+3, itd. teŝ są liczbami niewymiernymi. Ogólniej: suma liczby wymiernej i niewymiernej jest niewymierna. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 55

56 Uwaga. cd. Zatem liczbami niewymiernymi są np.: + 2, 2 + e, 3 + π, itd. + 3, + e, + π, itd A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 56

57 Uwaga 2. JeŜeli a jest liczbą niewymierną, to liczby a, a, 2, 3 4 a itd. teŝ są liczbami niewymiernymi. Ogólniej: iloczyn liczby niewymiernej i wymiernej róŝnej od 0 jest niewymierny. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 57

58 Uwaga 2. cd. Zatem liczbami niewymiernymi są np.: , 2 e, π, itd. 2 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 58

59 Uwaga 3. Rozwinięcie dziesiętne kaŝdej liczby niewymiernej jest nieskończone i nieokresowe. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 59

60 Uwaga 4. Liczba przedstawiona w postaci rozwinięcia dziesiętnego nieskończonego i nieokresowego jest niewymierna. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 60

61 Przykłady a = 2, b = 4, Cyfry rozwinięć dziesiętnych występują według takiej reguły, Ŝe nie moŝna wskazać miejsca, od którego powtarza się ta sama grupa cyfr. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 6

62 Liczby rzeczywiste Liczby wymierne i niewymierne wypełniają całą oś liczbową. Wszystkie liczby reprezentowane przez punkty na osi liczbowej to liczby rzeczywiste. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 62

63 Podsumowanie LICZBY RZECZYWISTE LICZBY WYMIERNE l. w. ma postać q p, gdzie p, q liczby całkowite, q 0 LICZBY NIEWYMIERNE l. nw. nie ma postaci q p, gdzie p, q liczby całkowite, q 0 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 63

64 Porównywanie liczb Do porównywania liczb rzeczywistych przydatna jest postać rozwinięcia dziesiętnego (reprezentacji dziesiętnej). A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 64

65 Na zakończenie... Uwaga o liczbach zespolonych w odniesieniu do rozwiązań równania x 2 + = 0 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 65