Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. podstawowym dla uczniów technikum. część II

Transkrypt

1 Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena w nauczaniu matematyki w zakresie podstawowym dla uczniów technikum część II

2 Figury na płaszczyźnie kartezjańskiej L.p. Temat lekcji Uczeń demonstruje opanowanie umiejętności rozwiązując zadania, w których potrafi: 1 Współczynnik kierunkowy prostej obliczać współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa dowolne punkty oraz pisać równanie tej prostej w postaci kierunkowej i ogólnej, pisać równanie prostej przechodzącej przez dany punkt, gdy znany jest jej współczynnik kierunkowy (w postaci ogólnej i kierunkowej), oraz sprawdzać, czy punkty są współliniowe.. Wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie badać równoległość i prostopadłość prostych, których równania podane są w postaci kierunkowej, napisać równanie prostej równoległej lub prostopadłej do prostej, której równanie podane jest w postaci kierunkowej, 3 Środek odcinka i symetralna odcinka obliczać długość odcinka, wyznaczać współrzędne środka odcinka, pisać równanie symetralnej odcinka, gdy dane są współrzędne punktów, które są jego końcami.

3 4 Trójkąt na płaszczyźnie kartezjańskiej obliczać obwody trójkątów, sprawdzać, czy trójkąt jest prostokątny, gdy znane są jego wierzchołki lub proste, w których zawierają się boki, obliczać współrzędne wierzchołków trójkąta, wyznaczać równania symetralnych boków trójkąta, wyznaczać równania prostych zawierających środkowe trójkąta (środek ciężkości trójkąta), wyznaczać równania prostych zawierających wysokości trójkąta, obliczać pole i obwód trójkąta, gdy dane są współrzędne jego wierzchołków.

4 5 Czworokąty na płaszczyźnie kartezjańskiej badać równoległość i prostopadłość prostych (sprawdzać, czy czworokąt jest trapezem, równoległobokiem, prostokątem), obliczać współrzędne wierzchołków czworokątów i punkt przecięcia przekątnych, wyznaczać równania prostych zawierających boki czworokąta, jego przekątne oraz równania symetralnych jego boków,mając jego wierzchołki wyznaczać równania prostych zawierających wysokości czworokąta, obliczać pole i obwód czworokąta, gdy znane są jego wierzchołki. 6 Symetria osiowa względem osi układu współrzędnych znajdować obrazy niektórych figur geometrycznych (punktu, prostej, odcinka, okręgu, trójkąta itp.) w symetrii osiowej względem osi układu współrzędnych, wyznaczać współrzędne punktów symetrycznych względem osi odciętych lub osi rzędnych.. 7 Symetria środkowa względem początku układu współrzędnych znajdować obrazy niektórych figur geometrycznych (punktu, prostej, odcinka, okręgu, trójkąta itp.) w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych. Przekształcanie wykresów funkcji

5 L.p. Temat lekcji Uczeń demonstruje opanowanie umiejętności rozwiązując zadania, w których potrafi: 8 Obraz wykresów funkcji w symetrii względem osi układu współrzędnych mając dany wykres y f szkicuje obrazy tych wykresów przekształcając je przez symetrię względem: a) osi i pisze wzór y f b) osi y i pisze wzór y f,, oraz na podstawie wykresów opisać przekształcenie 9 Przesunięcie wykresu funkcji wzdłuż osi układu współrzędnych obliczyć współrzędne punktu przesuniętego równolegle do: a) osi o p jednostek w prawo (lewo), b) osi y o q jednostek w dół (górę), gdy ma wzór funkcji y f napisać wzory funkcji y f p oraz y f q i odwrotnie opisać przesunięcia. Funkcja kwadratowa L.p. Temat lekcji Uczeń demonstruje opanowanie umiejętności rozwiązując zadania, w których potrafi: 17 Wykres i własności funkcji wśród wzorów funkcji rozpoznać wzory funkcji kwadratowych oraz sprawdzić, czy punkt leży na wykresie paraboli,

6 kwadratowej y a rysować wykresy funkcji y a, gdzie \Ra 0, określić dziedzinę, zbiór wartości, podać równanie osi symetrii wykresu, nazwać krzywą oraz przyporządkować wzór postaci y a do wykresu funkcji, interpretować współczynniki liczbowe funkcji kwadratowej zapisanej w postaci ogólnej i odczytywać z wykresu oś symetrii oraz współrzędne wierzchołka 18 Postać kanoniczna funkcji kwadratowej funkcję kwadratową zapisaną w postaci kanonicznej zapisać w postaci ogólnej i odwrotnie, podać wierzchołek paraboli i zwrot jej ramion, gdy wzór funkcji kwadratowej ma postać kanoniczną y a p q a, p i q są liczbami rzeczywistymi,, gdzie określić przedziały monotoniczności oraz zapisać wzór funkcji znając jej pewne własności interpretować współczynniki a, p i q we wzorze funkcji kwadratowej zapisanej w postaci kanonicznej. 19 Postać kanoniczna a postać ogólna funkcji kwadratowej wyrazić współrzędne wierzchołka W paraboli, gdzie W p, q kwadratowej zapisanej w postaci ogólnej, w zależności od współczynników liczbowych funkcji szkicować wykresy funkcji podanej w postaci ogólnej zapisując jej wzór w postaci kanonicznej, interpretować współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej: a) obliczać współrzędne wierzchołka wykresu funkcji, b) podać współrzędne punktu przecięcia się wykresu funkcji z osią y ( f c 0 ).

7 0 Miejsca zerowe funkcji kwadratowej i jej postać iloczynowa obliczyć miejsce zerowe funkcji kwadratowej w postaci ogólnej lub kanonicznej, odczytać z wykresu funkcji kwadratowej jej miejsca zerowe i zbiór wartości, odróżniać miejsca zerowe funkcji kwadratowej od punktów przecięcia się jej wykresu z osią, obliczyć współrzędne wierzchołka wykresu (paraboli) funkcji kwadratowej, gdy znane są jej miejsca zerowe i współczynnik a, szkicować wykres funkcji kwadratowej korzystając z wzoru zapisanego w postaci iloczynowej. 1 Najmniejsza i największa wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym obliczać wartość funkcji kwadratowej na końcach przedziału ( yw ymin lub yw ymax ), f a, b porównywać liczby i f b, gdy W a ; b ). a ; b, czyli a f i b f oraz badać czy a; b f, która z wartości jest najmniejsza, a która największa ( f porównywać z f a W W Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie informacji o niej odczytać z wykresu funkcji kwadratowej miejsca zerowe (o ile istnieją), odczytać współrzędne wierzchołka wykresu funkcji kwadratowej, napisać wzór funkcji kwadratowej, gdy znane są jej miejsca zerowe i współrzędne wierzchołka W p, q, napisać wzór funkcji kwadratowej, gdy znane są współrzędne wierzchołka wykresu funkcji i jeden punkt różny od wierzchołka, napisać wzór funkcji kwadratowej, gdy dane są trzy punkty leżące na jej wykresie, w tym jeden na osi,.

8 3 Przekształcanie wykresów funkcji kwadratowej mając wykres funkcji kwadratowej a) g f p b) g f q c) g f y f naszkicować wykres funkcji g, gdzie:, który powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji f o p jednostek wzdłuż osi,,, który powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji f wzdłuż osi y (w górę lub w dół),, który powstaje z przekształcenia wykresu funkcji f przez symetrię względem osi, d) g f, który powstaje z przekształcenia wykresu funkcji f względem osi y, opisać przekształcenie, gdy na rysunku dane są wykresy funkcji f i g, z których jeden jest obrazem drugiego. 4 Nierówności kwadratowe sprawdzać, czy dana liczba spełnia nierówność kwadratową, odczytać zbiory rozwiązań nierówności kwadratowych z wykresu funkcji kwadratowej, rozwiązać zadania prowadzące do nierówności kwadratowych. 5 Funkcja kwadratowa w zastosowaniach opisywać związek pomiędzy wielkościami liczbowymi za pomocą nierówności, wykorzystywać własności funkcji kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp. (także osadzonych w kontekście praktycznym), posługiwać się poznanymi metodami rozwiązywania równań kwadratowych do obliczania, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje określone wartości, rozwiązywać zadania prowadzące do rozwiązywania nierówności lub równań kwadratowych.

9 6 Rozwiązywanie równań poprzez rozkład na czynniki potrafi określić czy dane równanie jest równaniem jednej zmiennej sprawdzić czy dana liczba jest rozwiązaniem równania stopnia wyższego niż, korzystać z własności iloczynu a b c 0 a 0 lub b 0 lub c 0 przy rozwiązywaniu równania typu , rozwiązywać równania typu rozkładając lewą jego stronę na czynniki 3 0 lub typu 7 Rozwiązywanie równań wymiernych wskazać wśród podanych równań te, które są równaniami wymiernymi, korzystając z własności proporcji: a c b d a d c b, sprawdzić, czy dana liczba jest pierwiastkiem równania wymiernego, wskazać liczby, które nie mogą być pierwiastkiem równania, rozwiązywać proste równania wymierne, których rozwiązanie prowadzi do rozwiązania równań liniowych lub kwadratowych, np.:, gdzie 1, 3, gdzie 0. 1

10 Funkcja wykładnicza L.p. Temat lekcji Uczeń demonstruje opanowanie umiejętności rozwiązując zadania, w których potrafi: Potęga o wykładniku rzeczywistym zna prawa działań na potęgach i rozwiązuje proste działania. 4 Wzór i wykres funkcji wykładniczej wśród wzorów np. y, 3 y, 1 y 3, y 3 itp. wskazać te, które są funkcjami wykładniczymi, szkicować wykresy funkcji wykładniczych o różnych podstawach, odczytać z wykresu y a, gdzie a R i a 1 własności funkcji wykładniczej, obliczać, dla jakiego argumentu funkcja wykładnicza przyjmuje daną wartość, sprawdzać, czy punkt o danych współrzędnych leży na wykresie funkcji wykładniczej, obliczać ze wzoru wartość funkcji dla danego argumentu oraz posługując się poznanymi metodami obliczać dla jakiego argumentu funkcja wykładnicza przyjmuje daną wartość.

11 3 Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej mając wykres funkcji wykładniczej a a) g a b) g a p c) g a d) g a q w symetrii względem osi, w symetrii względem osi y, f, gdzie w przesunięciu wzdłuż osi, w przesunięciu wzdłuż osi y, R i 1 rysuje wykresy funkcji g takich, że: mając wykres funkcji przystającej do wykresu funkcji a y - otrzymano przesuwając wykres funkcji wykładniczej odczytuje własności funkcji wykładniczej z jej wykresu. Np. a) oblicza współrzędne punktów przecięcia niektórych funkcji wykładniczych, b) określa zbiór liczb, dla których 3 itp. f opisuje jakie przekształcenie wykonano. Np. wykres funkcji y o dwie jednostki w prawo wzdłuż osi itp. Przykłady zastosowania potęg i logarytmów L.p. Temat lekcji Uczeń demonstruje opanowanie umiejętności rozwiązując zadania, w których potrafi: 47 Rozwiązywanie równań typu n a korzystać z definicji pierwiastka do rozwiązywania równań typu a) gdy a 0 i n jest liczbą naturalną dodatnią, n a, gdzie n N oraz:

12 b) gdy a 0 i n jest liczbą naturalną nieparzystą, n szkicuje wykres funkcji f dla liczb naturalnych: a) n parzystych, b) n nieparzystych, określa liczbę rozwiązań równania n a, a) n jest liczbą naturalną parzystą i a 0, b) n jest liczbą naturalną nieparzystą, rozwiązuje równania n a, n a, n a korzystając z definicji pierwiastka n-tego stopnia. 48 Wzrost, zanik wykładniczy i skala logarytmiczna zrozumieć omówienie własności funkcji wykładniczej przy jednakowych przyrostach argumentu wartość funkcji wykładniczej rośnie (maleje) tyle samo razy, sporządzać wykresy np.: t 0 3 a) f t f t zanik wykładniczy, b) f t f t 0 1,06 t wzrost wykładniczy, gdzie 0 t chwila, w której rozpoczęto obserwację, f t 0 wartość początkowa obserwacji, funkcje y f t opisują zjawiska fizyczne, chemiczne oraz zagadnienia osadzone w kontekście praktycznym (spłacanie kredytu lub odsetki przy lokacie),

13 Ciągi liczbowe L.p. Temat lekcji Uczeń demonstruje opanowanie umiejętności rozwiązując zadania, w których potrafi: 49 Pojęcie ciągu liczbowego, jego rodzaje i sposoby określania wyznaczać wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym, rozróżniać ciągi skończone i nieskończone, wyznaczać wyrazy ciągu, które ilustruje graf, czyli odkrywa reguły tworzenia kolejnych wyrazów ciągu, rozróżniać ciągi stałe, rosnące, malejące i naprzemienne, przedstawić ciąg określony wzorem w postaci grafu, tabelki i wykresu. 50 Ciąg arytmetyczny i jego własności zbadać, czy ciąg określony wzorem ogólnym jest arytmetyczny, a) napisać wzór na n-ty wyraz ciągu, gdy znane są a 1 i r ciągu arytmetycznego, b) obliczyć w ciągu arytmetycznym jedną wielkość, gdy dane są trzy spośród: a n, n, a 1 i r, określić związek między oszczędzaniem bez kapitalizacji odsetek a ciągiem arytmetycznym, gdy stopa oprocentowania jest stała. 51 Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego stosować wzory na a n i S n ciągu arytmetycznego, gdy: a) oblicza się sumę wyrazów ciągu arytmetycznego równooddalonych od wyrazu początkowego i ostatniego, b) oblicza się sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, gdy: 1 ) znana jest wartość a 1, a n i n, ) znana jest wartość a 1, n i r,

14 c) wyznaczać wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego, gdy suma S n określona jest wzorem, d) rozwiązywać proste równania, gdy lewa jego strona jest sumą wyrazów ciągu arytmetycznego. 5 Ciąg geometryczny i jego własności badać czy ciąg jest geometryczny: a) podać warunki, które powinny być spełnione, by trzy liczby w podanej kolejności tworzyły ciąg geometryczny oraz: b) odróżniać ciąg arytmetyczny od geometrycznego, c) odróżniać różnicę ciągu arytmetycznego od ilorazu ciągu geometrycznego, obliczyć dowolny wyraz ciągu geometrycznego określonego wzorem ogólnym, podać związek ciągu geometrycznego z wartością kapitału K 1, K,..., K n kapitalizacją odsetek (w jednakowych okresach czasowych),, gdy dochód z kapitału K jest rozliczany łącznie z rozwiązywać proste zadania umieszczone w kontekście praktycznym, wymagające znajomości wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego, wyznaczać wzór ogólny ciągu geometrycznego a n, gdy znane są jego dwa wyrazy, które są podane lub zaznaczone na wykresie. 53 Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego stosować wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, obliczać sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, gdy znane są: a) a 1 i q, b) wzór na wyraz ogólny ciągu geometrycznego,

15 c) gdy znane są trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego, obliczać jedną spośród czterech wielkości a 1, q, n, S n, gdy znane są wartości trzech, rozwiązuje zadania umieszczone w kontekście praktycznym z wykorzystaniem wzoru na sumę S n.