EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0
Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 Odp. D D B C D D C B A C D C B A A B C C C A B A A B D Schemat oceniania zadań otwartych Zadanie 6. (0 ) Rozwiąż nierówność x 9x x. Rozwiązanie Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów. Pierwszy etap może być realizowany na sposoby. I sposób rozwiązania (realizacja pierwszego etapu) Zapisujemy trójmian w postaci x 0x i znajdujemy jego pierwiastki obliczamy wyróżnik tego trójmianu: 0 8 0 8 00 6 i stąd x oraz x 6 6 stosujemy wzory Viète a: 0 x x oraz xx, stąd x oraz x podajemy je bezpośrednio, np. zapisując pierwiastki trójmianu lub postać iloczynową trójmianu, lub zaznaczając je na wykresie x, x lub xx lub xx lub 6 y 0 x 6
Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła II sposób rozwiązania (realizacja pierwszego etapu) Wyznaczamy postać kanoniczną trójmianu kwadratowego x 0x i zapisujemy nierówność w postaci, np. 6 6 x 0, stąd x 0, 9 a następnie przekształcamy nierówność tak, aby jej lewa strona była zapisana w postaci iloczynu x x 0, 9 x x 0, przekształcamy nierówność do postaci równoważnej, korzystając z własności wartości bezwzględnej 6 x, 9 x. Drugi etap rozwiązania: Podajemy zbiór rozwiązań nierówności:, lub x,. Schemat oceniania Zdający otrzymuje... pkt gdy: zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności, np. o obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego x, x i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności, o zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji f ( x) x 0x i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności, o rozłoży trójmian kwadratowy x 0x na czynniki liniowe, np. xx i na tym poprzestanie lub błędnie rozwiąże nierówność, o zapisze nierówność x i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności, realizując pierwszy etap popełni błąd (ale otrzyma dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do tego rozwiąże nierówność, np. o popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność,
Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła 0 o błędnie zapisze równania wynikające ze wzorów Viète a, np.: x x i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność, o błędnie zapisze nierówność, np. x i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność. Zdający otrzymuje... pkt gdy: poda zbiór rozwiązań nierówności:, lub x, sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci: x poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów x Uwaga Jeżeli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu x, x i zapisze, np. x,, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego z pierwiastków, to za takie rozwiązanie otrzymuje punkty. Zadanie 7. (0 ) Rozwiąż równanie xx x Rozwiązanie 0. I sposób rozwiązania Z własności iloczynu otrzymujemy x 0 lub x x 0. Równanie kwadratowe nie ma rozwiązań, ponieważ wyróżnik trójmianu ujemny ( 8). Zatem jedynym rozwiązaniem równania jest x 0. x x jest
Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy poda rozwiązanie x 0 i na tym poprzestanie lub popełni błąd przy rozwiązywaniu równania x x 0. Zdający otrzymuje... pkt gdy wyznaczy bezbłędnie rozwiązanie równania: x 0 i poprawnie uzasadni, że równanie nie ma innych rozwiązań, np. przez wyznaczenie ujemnego wyróżnika trójmianu x x. Zadanie 8. (0 ) Czworokąt ABCD wpisano w okrąg tak, że bok AB jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek). Udowodnij, że AD BD BC AC. D C A O B Dowód Kąt ADB jest prosty, jako kąt wpisany w okrąg oparty na jego średnicy. Podobnie stwierdzamy, że kąt ACB jest prosty. Z twierdzenia Pitagorasa dla tych trójkątów prostokątnych otrzymujemy AB AD BD oraz AB AC BC. Porównując prawe strony tych równości otrzymujemy tezę. To kończy dowód. Schemat oceniania Zdający otrzymuje... pkt gdy zauważy, że kąty ADB i ACB są proste, wykorzysta twierdzenie Pitagorasa i zapisze równości: dalej popełnia błędy. AB AD BD, AB AC BC i na tym poprzestanie lub Zdający otrzymuje... pkt gdy uzasadni równość.
Zadanie 9. (0 ) Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność x y xy 0. I sposób rozwiązania Nierówność x y xy 0 przekształcamy w sposób równoważny x xy y x y 0, x y x y 0. Ta nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y, gdyż kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny i suma kwadratów liczb nieujemnych również jest nieujemna. Uwaga! Nierówność x y xy 0 możemy przekształcić w sposób równoważny w nieco inny sposób: x xy y x y 0, x xy y x y 0 x y x y 0. Ta nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y, gdyż kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny i suma kwadratów liczb nieujemnych również jest nieujemna. To kończy dowód. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy zapisze nierówność w postaci równoważnej x y x y 0 x y x y 0 i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. Zdający otrzymuje... pkt gdy zapisze nierówność w postaci równoważnej x y x y 0 i uzasadni jej prawdziwość. x y x y 0 lub II sposób rozwiązania Nierówność x xy y 0 możemy potraktować, jak nierówność kwadratową z niewiadomą x. Wyróżnik trójmianu po lewej stronie nierówności jest równy y y y. 0 Stąd i z faktu, że współczynnik przy x trójmianu f ( x) x xy y jest dodatni wynika, że trójmian ten przyjmuje tylko wartości nieujemne. To kończy dowód. 6
7 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Schemat oceniania II spsosobu Zdający otrzymuje... pkt gdy wyznaczy wyróżnik trójmianu f ( x) x xy y : y i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. Zdający otrzymuje... pkt gdy wyznaczy wyróżnik trójmianu f ( x) x xy y, zapisze, że jest on niedodatni i wyciągnie wniosek, że trójmian przyjmuje tylko wartości nieujemne. Zadanie 0. (0 ) Funkcja kwadratowa f dla x przyjmuje wartość największą równą. Do wykresu funkcji f należy punkt A,. Zapisz wzór funkcji kwadratowej f. I sposób rozwiązania Wykorzystując fakt, że dla x funkcja kwadratowa f przyjmuje wartość największą równą, możemy zapisać: f x a x. Punkt A, należy do wykresu funkcji, zatem możemy obliczyć wartość współczynnika a: a, stąd a. f x x. Zapisujemy wzór funkcji f w postaci Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... p. gdy Zapisze wzór funkcji, w którym nieznany jest tylko współczynnik stojący przy x, np. f x a x, popełni błąd rachunkowy przy obliczeniu współczynnika a i konsekwentnie do popełnionego błędu zapisze wzór funkcji kwadratowej f. Zdający otrzymuje... p. gdy zapisze wzór funkcji kwadratowej f : np. f x x.
Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła II sposób rozwiązania 8 Funkcja kwadratowa może być opisana wzorem f ( x) ax bx c. Wykorzystując fakt, że funkcja kwadratowa f przyjmuje wartość największą dla x, b możemy zapisać:. a Stąd b 6a, czyli f ( x) ax 6ax c. W należy do wykresu funkcji, zatem możemy zapisać: 9a 8a c Punkt, Stąd c9a, czyli f ( x) ax 6ax 9a. Punkt A, należy do wykresu funkcji, zatem możemy obliczyć wartość współczynnika a: a6a 9a, stąd Wyznaczamy wartości b i c: Zapisujemy wzór funkcji f : 6 b, a. 7 c 6 7 ( x x. f x) Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... p. gdy Zapisze wzór funkcji, w którym nieznany jest tylko jeden współczynnik trójmianu kwadratowego f ( x) ax bx c, np. f ( x) ax 6ax 9a, popełni błędy rachunkowe przy obliczeniu współczynników a, b, c i konsekwentnie do popełnionych błędów zapisze wzór funkcji kwadratowej f. Zdający otrzymuje... p. 6 7 gdy zapisze wzór funkcji kwadratowej f : np. f ( x) x x.
Zadanie. (0 ) Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych losowo wybieramy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że otrzymamy liczbę podzielną przez 8 lub liczbę podzielną przez. 9 Rozwiązanie Zbiór zdarzeń elementarnych zawiera 90 liczb naturalnych dwucyfrowych. Jest to model klasyczny. Wśród tych liczb jest jedenaście liczb podzielnych przez 8, osiem liczb podzielnych przez oraz cztery liczby podzielne zarówno przez 8, jak i przez. Zatem A 8. Stąd P A. 90 6 Schemat oceniania Zdający otrzymuje... p. gdy zapisze, że A zapisze, że 90 i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje... p. gdy obliczy i zapisze, że P A. 90 Uwaga Jeżeli otrzymany wynik końcowy jest liczbą większa od, to zdający otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Zadanie. (0 ) Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny a, dla n, taki, że a 8. Wyrazy a, a oraz a ciągu geometrycznego. Wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu n tego ciągu są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego n a. 0 Rozwiązanie Zapisujemy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego a n w zależności od a oraz r różnicy ciągu: a a r, a a r, a a 8r i po podstawieniu a 8 otrzymujemy: a 8 r, a 8 r, a 8 8r Wyrazy te są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Wykorzystując własności ciągu geometrycznego zapisujemy równanie: 8 r 8 r 8 8r, które następnie przekształcamy równoważnie 7r r 7r r r, 6r r 0. Rozwiązaniami tego równania są: r, r 0. Rozwiązanie 0 r odrzucamy (ciąg n a : Wyznaczamy n-ty wyraz ciągu n a jest rosnący) i obliczamy a : a 8. a n n. n Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania... pkt Zdający zapisze kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego a n w zależności od a oraz r różnicy ciągu, np.: a a r, a a r, a a 8r lub a 8 r, a 8 r, a 8 8r i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający zastosuje własności ciągu geometrycznego i zapisze równanie, wynikające z tych własności: np. 8 r 8 r 8 8r dalej popełni błędy. lub 6r r 0 b n i na tym poprzestanie lub
Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)... pkt Zdający - rozwiąże równanie kwadratowe: r lub r 0 i nie odrzuci rozwiązania r 0. - wyznaczy pierwszy wyraz ciągu a n : a i na tym poprzestanie - popełni błąd przy wyznaczaniu n-tego wyrazu ciągu a n. Rozwiązanie pełne... pkt Zdający wyznaczy wzór na n-ty wyraz ciągu a : a n. n n Zadanie. (0 ) Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym AC BC. Ponadto wiadomo, że A, i B 6,. Wierzchołek C należy do osi Oy. Oblicz współrzędne wierzchołka C. I sposób rozwiązania Wyznaczamy współrzędne wierzchołka C: C 0, y. Wierzchołek C należy do symetralnej odcinka AB (bo trójkąt ABC jest równoramienny, AC BC ). Stąd mamy równanie y 6 y. Przekształcamy równanie do postaci: y 8y 6 6 y y i obliczamy y:. Szukanym punktem C jest: C 0,. y Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt Zdający ustali, że pierwsza współrzędna punktu C jest równa 0, zapisze współrzędne C 0, y punktu C: i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający wyznaczy AC y oraz AB 6 y i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający zapisze równanie z niewiadomą y: y 6 y y 8y 6 6 y y lub i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.
Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Rozwiązanie pełne... pkt Zdający obliczy współrzędne punktu C: C 0,. II sposób rozwiązania Obliczamy współrzędne środka odcinka AB: S,. Zauważamy, że punkt C należy do symetralnej odcinka AB. Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej AB: a i znajdujemy jej równanie: xy 0. Ponieważ punkt C należy jednocześnie do osi Oy, zatem jego pierwsza współrzędna jest równa 0: x y 0. Stąd mamy y. x 0 Szukanym punktem C jest: C 0,. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt Zdający: wyznaczy współrzędne środka odcinka AB: S, wyznaczy współczynnik kierunkowy prostej AB: i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający: wyznaczy współrzędne środka odcinka AB: S, oraz wyznaczy współczynnik kierunkowy prostej AB: i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający wyznaczy równanie symetralnej odcinka AB: xy 0. Rozwiązanie pełne... pkt Zdający obliczy współrzędne punktu C: C 0,. a a
Zadanie. (0 ) Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest równa 7. Długość krawędzi AB podstawy ostrosłupa jest równa 6 (zobacz rysunek). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa. S C A O B Rozwiązanie S C A E O B 6 Obliczamy pole podstawy ostrosłupa: P 9. Oznaczmy wysokość ostrosłupa SO H, wówczas objętość ostrosłupa jest równa: V 9 H. Z treści zadania objętość ostrosłupa jest równa 7, stąd otrzymujemy równanie: 7 9 H. Zatem H 9. Wysokość ściany bocznej ostrosłupa SE obliczymy z trójkąta prostokątnego SOE, w którym OE CE, czyli 6 OE.
Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła 9 SE, stąd Z twierdzenia Pitagorasa dla tego trójkąta otrzymujemy równanie: SE 8. Obliczamy pole powierzchni całkowitej ostrosłupa: 6 Pc 6 9 8 9. Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania... pkt Zdający obliczy pole podstawy ostrosłupa: P 9 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający obliczy wysokość ostrosłupa i długość odcinka OE: H 9, OE i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający obliczy wysokość ściany bocznej SE ostrosłupa: SE 8. Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)... pkt Rozwiązanie pełne... pkt Zdający obliczy pole powierzchni całkowitej ostrosłupa: c 9 8 9 P.