Rozwłóknienie Milnora i twierdzenie Picarda-Lefschetza

Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Aleksander Doan Nr albumu: 290720 Rozwłóknienie Milnora i twierdzenie Picarda-Lefschetza Praca licencjacka na kierunku MATEMATYKA Praca wykonana pod kierunkiem dra hab. Marcina Bobieńskiego Instytut Matematyki UW Wrzesień 2012

Oświadczenie kierującego pracą Potwierdzam, że niniejsza praca została przygotowana pod moim kierunkiem i kwalifikuje się do przedstawienia jej w postępowaniu o nadanie tytułu zawodowego. Data Podpis kierującego pracą Oświadczenie autora (autorów) pracy Świadom odpowiedzialności prawnej oświadczam, że niniejsza praca dyplomowa została napisana przeze mnie samodzielnie i nie zawiera treści uzyskanych w sposób niezgodny z obowiązującymi przepisami. Oświadczam również, że przedstawiona praca nie była wcześniej przedmiotem procedur związanych z uzyskaniem tytułu zawodowego w wyższej uczelni. Oświadczam ponadto, że niniejsza wersja pracy jest identyczna z załączoną wersją elektroniczną. Data Podpis autora (autorów) pracy

Streszczenie Praca zawiera systematyczne omówienie dwóch fundamentalnych konceptów teorii osobliwości odwzorowań holomorficznych: rozwłóknienia Milnora oraz zjawiska monodromii. Pierwsza część poświęcona jest równoważnym definicjom rozwłóknienia Milnora oraz topologii włókna, wraz z podstawowymi własnościami liczby Milnora, opisem zaburzenia morse owskiego, twierdzeniem Milnora-Brieskorna o cyklach znikających i jego demonstracją na przykładzie hipereliptycznym. Następnie przedstawiony zostaje pełny dowód twierdzenia Picarda-Lefschetza oraz jego konsekwencje. Słowa kluczowe cykle znikające, monodromia, rozwłóknienie Milnora, twierdzenie Picarda-Lefschetza 11.1 Matematyka Dziedzina pracy (kody wg programu Socrates-Erasmus) Klasyfikacja tematyczna 2010 Mathematics Subject Classification 14D05 Structure of families (Picard-Lefschetz, monodromy, etc.) 32S30 Deformations of singularities; vanishing cycles 58K05 Critical points of functions and mappings 58K10 Monodromy Tytuł pracy w języku angielskim The Milnor fibration and the Picard-Lefschetz theorem

Spis treści Wprowadzenie....................................... 5 1. Rozwłóknienie Milnora................................ 7 1.1. Konstrukcje rozwłóknienia Milnora........................ 7 1.2. Liczba Milnora................................... 9 1.3. Zaburzenie morse owskie.............................. 12 1.4. Cykle znikające................................... 15 2. Twierdzenie Picarda-Lefschetza.......................... 21 2.1. Operator monodromii............................... 21 2.2. Dowód twierdzenia................................. 25 2.3. Komentarze..................................... 27 3. Uzupełnienia...................................... 29 3.1. Zbiory algebraiczne................................. 29 3.2. Rozwłóknienia................................... 32 3

Wprowadzenie Niniejsza praca poświęcona jest systematycznemu omówieniu podstawowych pojęć i rezultatów teorii osobliwości odwzorowań holomorficznych. Centralnym przedmiotem badań tej teorii są punkty krytyczne funkcji analitycznych wielu zmiennych zespolonych f : C n C, a dokładniej opis funkcji oraz jej poziomic f 1 (c) w otoczeniu takich punktów. Zagadnienia tego typu okazują się niezwykle ciekawe i powiązane z wieloma innymi problemami matematyki, pochodzącymi z geometrii algebraicznej, topologii czy teorii równań różniczkowych. W pracy omówimy wprowadzone przez J. Milnora w klasycznej pracy [M] niezmienniki stowarzyszone z osobliwością, w tym nazwane później jego imieniem rozwłóknienie. Następnie opiszemy zjawisko monodromii oraz ważne twierdzenie Picarda-Lefschetza, które pozwala powiązać je z innym istotnym niezmiennikiem topologicznym formą przecięcia. Zaznaczmy, że będziemy zajmować się wyłącznie izolowanymi punktami osobliwymi. Ponadto, ponieważ interesuje nas zachowanie się funkcji jedynie w pewnym otoczeniu punktu krytycznego, problem można zlokalizować i obiektem naszych badań będą w gruncie rzeczy kiełki funkcji holomorficznych f : (C n, 0) C. Wreszcie, wśród wszystkich funkcji analitycznych ograniczymy się do funkcji wielomianowych. Twierdzenie Tougerona (patrz [Ż]) gwarantuje, że w istocie ograniczenie to jest pozorne i w żaden sposób nie zmniejsza ogólności otrzymanych rezultatów. Należy podkreślić, że wszystkie omówione w niniejszej pracy rezultaty należą obecnie do klasyki dziedziny. Praca Milnora została opublikowana w 1968 r., natomiast wzory Picarda- Lefschetza zostały w dzisiejszej ogólności podane przez Lefschetza już w 1924 r. Tym bardziej interesującym jest fakt, że idee te wciąż są żywe i znajdują zastosowanie w problemach współczesnej matematyki. W 1973 r. P. Deligne i N. Katz zaadaptowali je na potrzeby geometrii nad ciałami charakterystyki dodatniej, a następnie wykorzystali w dowodzie hipotez Weila. Z drugiej strony, pod koniec XX wieku S. K. Donaldson wykorzystał teorię Picarda-Lefschetza oraz tzw. pęki Lefschetza w geometrii symplektycznej. Badania w tej dziedzinie są wciąż prowadzone, lecz omówienie tych rezultatów przekraczałoby zarówno ramy niniejszej pracy, jak i kompetencje autora. Układ pracy jest następujący: w rozdziale pierwszym przedstawiamy różne definicje rozwłóknienia Milnora i omawiamy związki między nimi. Następnie wprowadzamy pojęcie liczby Milnora punktu krytycznego i dowodzimy najważniejszych jej własności. Dalsza część rozdziału poświęcona jest opisowi grup homologii włókna rozwłóknienia Milnora w terminach cykli znikających. W rozdziale drugim przedstawiony został wraz ze wszystkimi szczegółami dowód twierdzenia Picarda-Lefschetza, poprzedzony niezbędnymi definicjami operatora monodromii oraz innych odwzorowań określonych na grupach homologii włókna Milnora. Rozdział trzeci zawiera podstawowe definicje i twierdzenia z zakresu geometrii algebraicznej i topologii, które zostały istotnie wykorzystane w poprzednich częściach pracy. Autor pragnie serdecznie podziękować dr. hab. Marcinowi Bobieńskiemu za zainteresowanie, cenne uwagi oraz wszelką okazaną pomoc. 5

Rozdział 1 Rozwłóknienie Milnora 1.1. Konstrukcje rozwłóknienia Milnora Niech f : C n C będzie wielomianem n zmiennych zespolonych. Przedmiotem naszych rozważań będzie hiperpowierzchnia V = f 1 (0). Podstawowe fakty dotyczące zbiorów algebraicznych, z których będziemy korzystać, można znaleźć w uzupełnieniu 3.1. Przypomnijmy tylko, że przez df oznaczamy zespoloną 1-formę df = f z 1 dz 1 +... + f z n dz n, a z V nazywamy punktem osobliwym hiperpowierzchni V, gdy df(z) = 0, czyli, innymi słowy, f/ z 1 (z) =... f/ z n (z) = 0. Zbiór punktów osobliwych V oznaczamy przez Σ(V ). Wówczas V \Σ(V ) jest rozmaitością zespoloną wymiaru n 1 (patrz uzupełnienie 3.1). Interesuje nas topologia V w otoczeniu izolowanego punktu osobliwego x 0 V. Bez straty ogólności będziemy dalej zakładać, że x 0 = 0. Zgodnie z ideą przedstawioną we wprowadzeniu będziemy rozważać zbiór K = S ɛ V, gdzie S ɛ = {x C n x = ɛ} jest (2n 1)-wymiarową sferą w C n = R 2n o dostatecznie małym promieniu ɛ. Poniższy lemat precyzyjnie określa, co przez to rozumiemy. Lemat 1.1. Istnieje stała ρ > 0 o tej własności, że dla każdego 0 < ɛ ρ sfera S ɛ przecina V transwersalnie wzdłuż gładkiej (2n 3)-wymiarowej rozmaitości K. Dowód. Niech f = f 1 +if 2. Wówczas V jest rzeczywistym zbiorem algebraicznym w C n = R 2n zadanym równaniami f 1 = f 2 = 0. Rozważmy funkcję r(x) = x 2. Obcięcie funkcji wielomianowej r do gładkiej rozmaitości V \Σ(V ) ma skończenie wiele wartości krytycznych (patrz wniosek 3.2, uzupełnienie 3.1), więc każda liczba ɛ 2 > 0 mniejsza od najmniejszej dodatniej wartości krytycznych r V \Σ(V ) będzie wartością regularną, a jej przeciwobraz r 1 (ɛ 2 ) (V \Σ(V )) = S ɛ (V \Σ(V )) będzie gładką rozmaitością. Ponieważ x V \Σ(V ) jest punktem regularnym r V \Σ(V ) dokładnie wtedy, gdy różniczki dr(x), df 1 (x), df 2 (x) są liniowo niezależne (patrz stwierdzenie 3.1, uzupełnienie 3.1), przecięcie to będzie transwersalne. Co więcej, dla dostatecznie małych ɛ zachodzi S ɛ (V \Σ(V )) = S ɛ V = K, bo 0 jest izolowanym punktem osobliwym V. 7

Wniosek 1.1. Istnieje δ > 0 taka, że dla każdego z C, z < δ oraz ɛ ρ przecięcie f 1 (z) S ɛ jest transwersalne. Dowód. Z dowodu lematu 1.1 wiemy, że dla każdego x V S ɛ formy dr(x), df 1 (x), df 2 (x) są liniowo niezależne. Liniowa niezależność oznacza niezerowanie się pewnych minorów, jest więc warunkiem otwartym i dla każdego x V S ɛ istnieje otoczenie U x w S ɛ, na którym formy dr, df 1, df 2 są liniowo niezależne. Zbiór V S ɛ jest zwarty, możemy więc dobrać jego pokrycie składające się ze skończenie wielu takich otoczeń. Oznaczmy przez U ich przecięcie. U jest otwartym otoczeniem V S ɛ = f 1 (0) S ɛ w S ɛ. Pokażemy, że dla dostatecznie małych z zachodzi f 1 (z) S ɛ U. Istotnie, gdyby istniał ciąg x 1, x 2, x 3,... w S ɛ \U taki, że f(x m ) 0, to przechodząc do podciągu zbieżnego do x 0 S ɛ \U otrzymalibyśmy sprzeczność, bo f(x 0 ) = 0, x 0 / f 1 (0). Istnieje wobec tego δ > 0 taka, że dla z < δ zachodzi f 1 (z) S ɛ U, co oznacza, że dla każdego x f 1 (z) S ɛ formy dr(x), df 1 (x), df 2 (x) są liniowo niezależne, a więc przecięcie jest transwersalne. Niech K = S ɛ V. Rozwazmy odwzorowanie φ : S ɛ \K S 1 określone następująco: φ(x) = f(x) f(x). (1.1) Twierdzenie Milnora o rozwłóknieniu. Dla każdego dostatecznie małego ɛ odwzorowanie φ : S ɛ \K S 1 jest lokalnie trywialnym, gładkim rozwłóknieniem. Domknięcie F θ każdego z włókien F θ = φ 1 (e iθ ) jest gładką (2n 2)-wymiarową rozmaitością z brzegiem, której wnętrzem jest F θ, a brzegiem K. Rozwłóknienie φ było rozważane przez Milnora w pracy [M], w której można znaleźć szczegółowy dowód powyższego twierdzenia. Dla naszych celów ważniejsza będzie jednak inna, podobna konstrukcja, w której sfera zostaje zastąpiona kulą, a okrąg dyskiem. Niech ρ > 0 i δ > 0 będą liczbami dobranymi zgodnie z lematem 1.1 i wnioskiem 1.1. Wprowadźmy oznaczenia D δ = {z C z < δ}, B ρ = {x C n x ρ}, Rozważmy przekształcenie f obcięte do E U = D δ \{0}, E = f 1 (U) B ρ. f : E U. (1.2) Twierdzenie 1.1. Odwzorowanie f : (E, E) U jest lokalnie trywialnym, gładkim rozwłóknieniem pary. Definicje lokalnie trywialnego rozwłóknienia i lokalnie trywialnego rozwłóknienia pary są przypomniane w uzupełnieniu 3.2. Definicja. Zarówno φ : S ɛ \K S 1, jak i f : (E, E) U określa się mianem rozwłóknienia Milnora. Będziemy używali przede wszystkim drugiego z nich. Dowód twierdzenia 1.1. Wykorzystamy twierdzenie Ehresmanna (patrz uzupełnienie 3.2). Dla dowolnego zbioru zwartego K U przeciwobraz f 1 E (K) = f 1 (K) B ρ jest zwarty jako domknięty podzbiór kuli B ρ, co oznacza, że f E jest odwzorowaniem właściwym. Pozostaje sprawdzić, że f E oraz f E są submersjami. Wnętrze Int E jest otwartym podzbiorem C n. Jeśli x Int E, to x jest punktem regularnym f, tzn. df(x) 0, a więc f jest submersją w punkcie x (por. lemat 3.1 w uzupełnieniu 3.1). 8

Zauważmy, że brzeg E = f 1 (U) S ρ jest otwartym podzbiorem sfery S ρ i wobec doboru ρ dla każdego x E sfera S ρ przecina się z rozmaitością f 1 (f(x)) transwersalnie, co oznacza, że x jest punktem regularnym f Sρ, a f E jest submersją w x. Na koniec paragrafu porównajmy oba rozwłóknienia Milnora. Okazuje się, że są one w pewnym sensie izomorficzne. Zauważmy jednak, że włóknem klasycznego rozwłóknienia Milnora φ : S ɛ \K S 1 jest rozmaitość otwarta F θ, podczas gdy włóknem rozwłóknienia f : E U jest zwarta rozmaitość z brzegiem. By porównać oba rozwłóknienia, musimy przeprowadzić następującą konstrukcję. Niech T = { f < α} S ɛ będzie małym otoczeniem tubularnym K w S ɛ. Rozważmy obcięcie φ : S ɛ \T S 1. (1.3) Twierdzenie 1.2. Odwzorowanie φ : S ɛ \T S 1 oraz obcięcie f : E C do małego okręgu C U o środku w zerze zadają izomorficzne wiązki nad S 1. Dowód można znaleźć w [M]. Skoncentrujmy się tymczasem na badaniu wiązki f : E U. 1.2. Liczba Milnora Milnor opisał topologię włókna wiązki f : E U, dowodząc, że z dokładnością do homotopijnej równoważności wyznacza ją jedna liczba określająca stopień zdegenerowania punktu krytycznego. W niniejszym paragrafie przedstawimy definicję oraz omówimy podstawowe własności tego niezmiennika osobliwości. Rozważmy dla przykladu przypadek jednowymiarowy. Przykład. Niech P C[z] będzie wielomianem, a a C jego punktem krytycznym. Możemy wówczas określić krotność punktu krytycznego a jako liczbę k taką, że P (a) = P (a) =... = P (k) (a) = 0 oraz P (k+1) (a) 0. Wówczas istnieje wielomian Q C[z] taki, że P (z) = (z a) k Q(z) oraz Q(a) 0. Zauważmy, że krotność ma następującą interpretację topologiczną. Niech C będzie małym okręgiem wokół a. Wówczas stopień przekształcenia C z P (z) P (z) S1 jest równy dokładnie k. Nietrudno to zauważyć, ponieważ Q nie zeruje się w otoczeniu a, więc P / P na C jest homotopijne z (z/ z ) k. Powyższy przykład pozwala w naturalny sposób uogólnić pojęcie krotności punktu krytycznego na przypadek wyżej wymiarowy. Definicja. Niech g : C n C n będzie odwzorowaniem holomorficznym. Załóżmy, że punkt a C n będzie izolowanym zerem g. Krotnością zera a nazywamy indeks g traktowanego jako pole wektorowe g : R 2n R 2n w punkcie a. Innymi słowy, jest to stopień odwzorowania z g(z)/ g(z) z dostatecznie małej sfery S 2n 1 (a, ɛ) = {z C n z a = ɛ} w sferę jednostkową S 2n 1. Dla nas interesujący będzie następujący przypadek. Niech f : C n C będzie wielomianem, a a C n jego izolowanym punktem krytycznym. Krotnością lub liczbą Milnora punktu krytycznego a nazywamy krotność a jako zera odwzorowania holomorficznego Df : C n C n określonego wzorem [ f Df =,..., f ]. z 1 z n 9

Zauważmy, że a priori indeks pola wektorowego w punkcie może być dowolną liczbą całkowitą, na przykład zerem lub liczbą ujemną. Okazuje się jednak, że tak określona krotność zera zachowuje własności dobrze znane z teorii funkcji analitycznych jednej zmiennej, w szczególności jest zawsze liczbą dodatnią. Dalszą część paragrafu poświęcimy dowodowi tego oraz innych twierdzeń dotyczących krotności, z których będziemy dalej korzystać. Zasada argumentu. Niech D C n będzie zwartym obszarem z gładkim brzegiem D. Załóżmy, że przekształcenie holomorficzne g : C n C n nie zeruje się na D i ma skończenie wiele zer we wnętrzu D. Wówczas liczba zer g w D, liczonych z krotnościami, jest równa stopniowi odwzorowania z g(z)/ g(z) z brzegu D w sferę jednostkową. Dowód. Otoczmy zera g wewnątrz D małymi, rozłącznymi kulami D 1, D 2,..., D m. Niech F oznacza D z wyciętymi wnętrzami kul D i. F jest zwartą rozmaitością z brzegiem F = D ( D 1 )... ( D m ), gdzie znak minusa oznacza przeciwną orientację (na wnętrzach F, D oraz D i rozpatrujemy orientację odziedziczoną z C n, która wyznacza również jednoznacznie orientację brzegów). Na F mamy dobrze określone odwzorowanie ψ = g/ g : F S 2n 1. Oznaczmy przez ω formę objętości na S 2n 1.Wobec dω = 0 i twierdzenia Stokesa 0 = F ψ (dω) = F d (ψ ω) = F ψ ω = D ψ ω m i=1 D i ψ ω. Wykorzystując charakteryzację stopnia odwzorowania jako całkę z cofnięcia formy objętości (patrz np. [Mo]), otrzymujemy ) deg (ψ D = m i=1 ) deg (ψ Di. (Przedstawiliśmy w gruncie rzeczy dowód faktu, że przekształcenie obcięte do dwóch homologicznych cykli ma ten sam stopień). Stopień przekształcenia ψ Di jest z definicji równy krotności zera g zawartego wewnątrz D i. Twierdzenie Rouchégo. Niech g, r : C n C n będą odwzorowaniami holomorficznymi, a M C n zamkniętą, (2n 1)-wymiarową podrozmaitością gładką. Jeśli g nie zeruje się na M oraz r < g na M, to odwzorowania (g + r)/ g + r oraz g/ g z M w sferę jednostkową mają ten sam stopień. W szczególności, jeśli M = D ogranicza zwarty obszar D i oba odwzorowania mają skończenie wiele zer wewnątrz D, to liczby ich zer w D liczonych z krotnościami są równe. Uwaga. Założenia w drugiej części twierdzenia można osłabić. W istocie z twierdzenia 1.3, które udowodnimy dalej, wynika, że odwzorowanie holomorficzne nie zerujące się na D ma w D najwyżej skończenie wiele zer. Dowód. Rozważmy odwzorowanie H : M [0, 1] S 2n 1 określone wzorem H(x, u) = g(x) + ur(x) g(x) + ur(x). 10

Ponieważ r < g na S ɛ, mianownik nie zeruje się w żadnym punkcie S ɛ i H określa homotopię między odwzorowaniami (g + r)/ g + r a g/ g z M w S 2n 1. Teza wynika więc z homotopijnej niezmienniczości stopnia. W szczególności gdy M = D i zarówno g, jak i g + r mają skończenie wiele zer wewnątrz D, zasada argumentu dowodzi drugiej części twierdzenia. Stwierdzenie 1.1. Jeśli a jest zerem przekształcenia g i macierz pochodnych ( g j / z k ) (a) jest nieosobliwa, to a jest zerem krotności 1. W szczególności, gdy g = f i a jest punktem krytycznym odwzorowania f : C n C, otrzymujemy, że liczba Milnora niezdegenerowanego punktu krytycznego jest równa 1. Przypomnijmy, że punkt krytyczny a nazywamy niezdegenerowanym, gdy macierz drugich pochodnych w a jest niezdegenerowana. Dowód. Ponownie wykorzystamy homotopijną niezmienniczość stopnia. Niech L oznacza pochodną odwzorowania g w punkcie a. L jest nieosobliwym przekształceniem liniowym, które przybliża g w otoczeniu a. Dokładniej, rozważmy rozwinięcie Taylora funkcji g w punkcie a: g(z) = L(z a) + r(z), gdzie r jest resztą taką, że lim z a r(z) z a = 0. Dobierzmy ɛ > 0 tak małe, by na sferze S ɛ = { z a = ɛ} zachodziło r(z) < z a L 1, gdzie L 1 oznacza normę operatora odwrotnego L 1. Wtedy dla z S ɛ mamy r(z) < z a L 1 = L 1 L(z a) L 1 L(z a), zatem z twierdzenia Rouchégo wynika, że odwzorowania g(z)/ g(z) oraz L(z a)/ L(z a) mają ten sam stopień. Z łukowej spójności grupy macierzy odwracalnych GL(n, C) wynika istnienie drogi między L a przekształceniem identycznościowym. Droga ta zadaje w oczywisty sposób homotopię między L(z a)/ L(z a) a odwzorowaniem (z a)/ z a, które ma stopień 1. Twierdzenie 1.3 (Lefschetz). Krotność izolowanego zera przekształcenia holomorficznego g : C n C n jest zawsze liczbą dodatnią. Dowód. Niech µ oznacza krotność izolowanego zera a odwzorowania g, a D będzie małą kulą domkniętą wokół a, nie zawierającą innych zer. Skonstruujemy zaburzenie g przekształcenia g o tej własności, że wszystkie jego zera są niezdegenerowane, przy czym co najmniej jedno z nich leży wewnątrz D. Jeśli zaburzenie dobierzemy dostatecznie małe, to z twierdzenia Rouchégo i stwierdzenia 1.1 wyniknie, że g ma w D dokładnie µ zer, zatem µ 1. Przejdźmy do konstrukcji g. Rozważmy najpierw zaburzenie postaci h(z) = g(z) δ(z a), gdzie δ jest małą liczbą zespoloną różną od wszystkich wartości własnych macierzy pochodnych ( g i / z j ) w punkcie a. Wówczas h(a) = 0 oraz macierz ( h i / z j ) jest nieosobliwa w a, 11

zatem z twierdzenia o funkcji odwrotnej h przekształca dyfeomorficznie pewne otoczenie a na otoczenie zera B ɛ. Określmy dla w C n odwzorowanie g w (z) = h(z) w. Jeśli w jest wartością regularną h, to wszystkie zera g w są niezdegenerowane. Zauważmy, że w takim przypadku zera g w są izolowane (bo Jakobian nie zeruje się w nich i lokalnie g w jest dyfeomorfizmem), więc g w ma ich w D co najwyżej skończenie wiele. Co więcej, jeśli dobierzemy, wykorzystując twierdzenie Sarda, wartość regularną w B ɛ, to g w będzie posiadało w D co najmniej jedno zero, ponieważ h przyjmuje w D każdą wartość z B ɛ. Wobec tego g = g w spełnia wymagane warunki. Wystarczy dodać, że δ i ɛ można dobrać na tyle małe, by tak skonstruowane g spełniało założenia twierdzenia Rouchégo. Uwaga. Liczbę Milnora można zdefiniować również w inny, algebraiczny sposób. Oznaczmy przez O pierścień lokalny kiełków funkcji holomorficznych (C n, 0) C. Dla kiełka f O ideałem gradientowym I f nazywamy ideał w O generowany przez pochodne cząstkowe ( f/ z 1,..., f/ z n ), natomiast algebrą lokalną określamy C-algebrę ilorazową A f = O\I f. Dowodzi się (patrz [Ż]), że jeśli f ma izolowany punkt krytyczny w zerze, to A f jest skończenie wymiarowa, a jej wymiar nad C jest równy liczbie Milnora odwzorowania f w zerze. 1.3. Zaburzenie morse owskie Powróćmy do badania punktów krytycznych wielomianu f : C n C. Jak widzieliśmy w dowodzie twierdzenia 1.3, zero odwzorowania holomorficznego g : C n C n krotności µ po małym zaburzeniu rozpada się na µ pojedynczych zer. Analogicznie przy małym zaburzeniu funkcji f izolowany punkt krytyczny rozpada się na niezdegenerowane punkty krytyczne. Okazuje się, że badanie funkcji zaburzonej pozwala zrozumieć osobliwość pierwotnej funkcji f. Przypadek niezdegenerowanych punktów krytycznych posiada bowiem wyjątkowo prosty opis, a rozwłóknienia Milnora funkcji zaburzonej i funkcji pierwotnej są izomorficzne. Dla wektorów x = [x 1,..., x n ], y = [y 1,..., y n ] w C n określamy x y = x 1 y 1 +... + x n y n. Ustalmy ponadto, że funkcję zespoloną nazywamy funkcją Morse a, gdy wszystkie jej punkty krytyczne są niezdegenerowane oraz w różnych punktach krytycznych przyjmuje ona różne wartości (przeważnie zakłada się tylko pierwszy warunek, dla nas jednak oba będą istotne). Stwierdzenie 1.2. Dla w C n określmy funkcję f w : C n C wzorem f w (z) = f(z) + w z. Wówczas dla prawie wszystkich w C n odwzorowanie f w jest funkcją Morse a. Dowód. Dla prawie wszystkich w C n odwzorowanie f w ma niezdegenerowane punkty krytyczne. Dowód przy użyciu twierdzenia Sarda jest identyczny jak w przypadku twierdzenie 1.3. Wystarczy tylko zauważyć, że Df w = Df + w. Udowodnimy więc, że dla prawie wszystkich w C n odwzorowanie f w rozdziela punkty krytyczne. Zakończy to dowód stwierdzenia, gdyż suma zbiorów zerowej miary również ma miarę zero. Rozważmy rodzinę odwzorowań F w zależną gładko od parametru w C n : F w : C n C n C C C n C n, 12

F w (x, y) = (f w (x), f w (y), Df w (x), Df w (y)). Niech Z C 2n+2 będzie podrozmaitością kowymiaru zespolonego 2n + 1 zadaną równaniami (z 1, z 2, w 1, w 2 ) C C C n C n, { z1 = z 2, w 1 = w 2 = 0. Funkcja f w rozdziela punkty krytyczne wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz Fw 1 (Z) jest zbiorem pustym. Z twierdzenia Thoma o transwersalności (patrz np. [B]) wynika, że dla prawie wszystkich w C n odwzorowanie F w jest transwersalne do podrozmaitości Z. Ponieważ 2n + 1 = codim Z > dim C 2n = 2n, w tym przypadku transwersalność oznacza, że Fw 1 (Z) =, co kończy dowód twierdzenia. Funkcję f w nazywamy zaburzeniem morse owskim funkcji f. Interesują nas zaburzenia zmieniające f w niewielkim stopniu, co można wyrazić warunkiem w < ɛ dla pewnej niedużej liczby ɛ. Stwierdzenie 1.2 gwarantuje, że dla każdego ɛ > 0 takie zaburzenie istnieje. Poniższe stwierdzenie wynika wprost z twierdzenia Rouchégo. Stwierdzenie 1.3. Niech a będzie izolowanym punktem krytycznym krotności µ, a D dyskiem o środku w a nie zawierającym innych punktów krytycznych f. Wówczas każde dostatecznie małe zaburzenie morse owskie posiada w D dokładnie µ punktów krytycznych krotności 1. Uwaga. Oczywiścię funkcję można zaburzać również za pomocą członów wyższego rzędu. Zaburzenie liniowe jest jednak wystarczające dla naszych celów. Pokażemy teraz, że rozwłóknienia Milnora zaburzenia f w i funkcji f są izomorficzne. Załóżmy dalej, bez straty ogólności, że zero jest izolowanym punktem krytycznym wielomianu f : C n C o liczbie Milnora µ, z wartością krytyczną f(0) = 0. Przypomnijmy, że S ɛ C n oznacza 2n 1-wymiarową sferę o promieniu ɛ i środku w zerze. Lemat 1.2. Istnieją liczby dodatnie δ, ρ oraz η takie, że jeśli tylko ɛ ρ, w < η, a z C, z < δ jest wartością regularną f w, to przecięcie fw 1 (z) S ɛ jest transwersalne. Dowód. Niech f w = u w + iv w będzie rozkładem na część rzeczywistą i urojoną funkcji f w. Przypomnijmy (lemat 1.1), że transwersalność przecięcia jest równoważna liniowej niezależności form dr(x), du w (x), dv w (x) w każdym punkcie części wspólnej. Jest to warunek otwarty i zachodzący dla w = 0, a formy zależą w sposób ciągły zarówno od x, jak i od parametru w. Dalej dowód przebiega identycznie jak dowód lematu 1.1. Z powyższego lematu wynika więc, że możemy przeprowadzić konstrukcję rozwłóknienia Milnora opisaną wzorem 1.2 wspólną dla wszystkich dostatecznie małych zaburzeń f w. Mówiąc precyzyjniej, dobierzmy dostatecznie małe ρ, δ > 0 i oznaczmy, jak poprzednio, D δ = {z C z < δ}, B ρ = {x C n x ρ}. Niech Crit f w D δ oznacza zbiór punktów krytycznych f w w D δ. Określmy nadto U w = D δ \Crit f w, E w = f 1 w (U w ) B ρ. Z powyższego lematu wynika następujące 13

Twierdzenie 1.4. Dla dostatecznie małych w C n odwzorowanie f w : (E w, E w ) U w jest lokalnie trywialnym, gładkim rozwłóknieniem pary. Dowód jest identyczny jak w przypadku twierdzenia 1.1. Zauważmy, że dobraliśmy wspólne ρ i δ dla wszystkich małych zaburzeń f w, lecz dla każdego w musimy wyjąć z dysku D δ inne wartości krytyczne. O ile zaburzenie jest dostatecznie małe, to z gładkiej zależności od parametru w wynika, że wartości krytyczne każdej z funkcji f w będą znajdować się w pewnym mniejszym dysku, dajmy na to D δ/2. Pozwala to porównać rozwłóknienia f i jej zaburzeń obciętych do pierścienia P = {z C δ/2 < z < δ} D δ. Twierdzenie 1.5. Dla dostatecznie małych w C n rozwłóknienia Milnora odwzorowań f oraz f w obcięte do pierścienia P są równoważne, tzn. istnieje diagram przemienny f 1 (P ) B ρ P f Ψ id fw 1 (P ) B ρ P f w gdzie Ψ jest dyfeomorfizmem. Dowód. Dowód oparty jest o idee z pracy [J]. Z poczynionej przed chwilą uwagi wynika, że istnieje liczba η > 0 taka, że dla wszystkich w η w pierścieniu P nie będzie żadnej wartości krytycznej f w i będzie on zawarty w przestrzeni bazowej U w rozwłóknienia Milnora f w : E w U w. Rozważmy odwzorowanie F : C n C n C C n zadane wzorem F (x, w) = (f w (x), w). Wykorzystując twierdzenie Ehresmanna, wykażemy, że F obcięte do pewnego podzbioru jest lokalnie trywialnym rozwłóknieniem. Macierz różniczki odwzorowania F ma postać [ ] dfw (x), f df (x, w) = w (x)/ w. 0 I Jeśli więc w η oraz x B ρ jest punktem regularnym odwzorowania f w, to wobec twierdzenia 1.5 różniczka df w (x) jest epimorfizmem, skąd wynika, że również df (x, w) jest epimorfizmem. Dobierzmy zatem zbiór Q = fw 1 (P ) B ρ C n i rozważmy obcięcie w η F : Q K η P K η, gdzie K η = {w C n w < η}. Z twierdzenia Ehresmanna wynika więc, że jest ono lokalnie trywialnym rozwłóknieniem (warunek na brzegu sprawdza się tak samo, wykorzystując fakt, że f w obcięte do brzegu E w jest submersją). 14

Ustalmy w K η i niech θ : K η K η będzie dowolnym dyfeomorfizmem izotopijnym z identycznością i przekształcającym zero na w. Izotopia między odwzorowaniem id θ : P K η P K η a identycznością indukuje poprzez własność podnoszenia homotopii (patrz uzupełnienie 3.2) automorfizm Ψ : Q K η Q K η czyniący diagram Q K η Ψ Q K η F F P K η id θ P K η przemiennym. Wobec tego Ψ przeprowadza dyfeomorficznie zbiór na zbiór F 1 (P {0}) = {(x, 0) x B ρ, f(x) P } f 1 (P ) B ρ F 1 (P {w}) fw 1 (P ) B ρ w taki sposób, że diagram z tezy twierdzenia jest przemienny. 1.4. Cykle znikające W poprzednim paragrafie wykazaliśmy, że badanie rozwłóknienia Milnora można sprowadzić do przypadku funkcji morse owskich. Jest to o tyle wygodne, że w otoczeniu niezdegenerowanego punktu krytycznego funkcja posiada następujący łatwy opis lokalny. Lemat Morse a. Niech a C n będzie niezdegenerowanym punktem krytycznym funkcji holomorficznej f : C n C. Na otoczeniu z 0 istnieje wówczas holomorficzny układ współrzędnych (z 1,..., z n ) o początku w a, w którym f ma postać f(z) = f(0) + z 2 1 +... + z 2 n. Zbadajmy więc topologię włókna rozwłóknienia Milnora funkcji f(z) = z 2 1 +... + z 2 n. Wprowadźmy współrzędne rzeczywiste x k, y k takie, że z k = x k + iy k. Załóżmy, że r jest dodatnią liczbą rzeczywistą. Włókno f 1 (r) nad r opisane jest równaniami co można równoważnie zapisać w postaci { x 2 1 +... + x 2 n = r + y 2 1 +... + y2 n, x 1 y 1 +... + x n y n = 0, f 1 (r) = {(x, y) R n R n x 2 = r + y 2, x y = 0}. Zbiór ten jest gładką podrozmaitością R 2n, a przekształcenie (x, y) (x/ x, y) zadaje jej dyfeomorfizm z wiązką styczną do sfery (n 1)-wymiarowej T S n 1 = {(x, y) R n R n x = 1, x y = 0} Jeśli, jak w konstrukcji rozwłóknienia Milnora, rozważymy przecięcie włókna z kulą B r+2 o promieniu r + 2, zawartej w dziedzinie C n, otrzymamy warunek x 2 + y 2 r + 2, skąd 15

po podstawieniu x 2 = r+ y 2 dostaniemy y 1. Wobec tego włókno V r = f 1 (r) B r+2 nad r rozwłóknienia Milnora jest dyfeomorficzne z wiązką kul jednostkowych nad sferą S n 1 : V r BS n 1 = {(x, y) R n R n x = 1, x y = 0, y 1}, której brzegiem jest wiązka wektorów jednostkowych V r T US n 1 = {(x, y) R n R n x = 1, x y = 0, y = 1}. Rozważaliśmy włókno nad dodatnią liczbą rzeczywistą, lecz dowolne włókno V λ nad liczbą zespoloną λ = λ e iφ jest dyfeomorficzne z V λ poprzez przekształcenie z e iφ/2 z. Zbadajmy teraz grupy homologii włókna V λ. Załózmy dla uproszczenia, że λ jest dodatnią liczbą rzeczywistą. Ponieważ włóknem wiązki BS n 1 jest ściągalny dysk, przekrój zerowy S n 1 BS n 1 zadany wzorem x (x, 0) jest homotopijną równoważnością, a klasa podstawowa [S n 1 ] jest generatorem homologii H n 1 (BS n 1 ). W V λ jest to klasa homologii cyklu = { x 2 = λ, y = 0} V λ, który nazywamy cyklem znikającym, ponieważ wraz z λ dążącym do zera degeneruje się on do punktu osobliwego we włóknie nad wartością krytyczną. Innymi słowy, włókno osobliwe V 0 można uzyskać z włókna regularnego V λ poprzez zaklejenie dyskiem D n { x λ}. Z dualności Poincarégo wynika, że również homologie relatywne H n 1 (V λ, V λ ) są izomorficzne z Z. Możemy z łatwością wskazać ich generator w postaci klasy cyklu relatywnego { } = x 2 =... = x n = 0, y 1 = 0, x 1 = λ + y2 2 +... + y2 n V λ. Podsumujmy uzyskany topologiczny opis włókna Milnora w przypadku morse owskim. Stwierdzenie 1.4. 1. Włókno regularne V λ rozwłóknienia Milnora funkcji f(z) = z 2 1 +... + z 2 n jest dyfeomorficzne z wiązką kul BS n 1 nad sferą S n 1. 2. Homologie włókna H n 1 (V λ ) = Z są generowane przez cykl, a homologie relatywne H n 1 (V λ, V λ ) = Z przez cykl relatywny. Pozostałe grupy homologii są trywialne. 3. Jeśli γ jest odcinkiem między wartością krytyczną 0 a wartością regularną λ, to włókno nad γ można zdeformować relatywnie V λ do D n V λ, gdzie dysk D n jest wklejony brzegiem w V λ. Załóżmy teraz, że g : (C n, 0) (C, 0) jest wielomianem posiadającym w zerze izolowany punkt krytyczny o liczbie Milnora µ. Niech f = g w będzie małym zaburzeniem morse owskim g, a f : E U opisanym w poprzednim paragrafie rozwłóknieniem Milnora zaburzenia. Przypomnijmy, że U = D δ \{z 1,..., z µ }, E = f 1 (U) B ρ, przy czym z k = f(x k ), gdzie x 1,..., x µ są jednokrotnymi punktami krytycznymi f w kuli B ρ. Ustalmy λ U. Naszym celem jest opisanie topologii włókna V λ rozwłóknienia f : E U nad punktem λ. Z lematu Morse a wynika, że na pewnym otoczeniu każdego z punktów krytycznych x k istnieją współrzędne, w których f ma postać n f(y) = z k + yj 2. j=1 16

Dobierzmy punkt regularny q k U bliski z k. Ze stwierdzenia 1.4 wiemy, że dla małej liczby ɛ > 0 grupa homologii H n 1 (f 1 (q i ) B ɛ ) jest generowane przez pewien cykl znikający Λ k. Oznaczmy tym samym symbolem element homologii H n 1 (V qk ) powstający z Λ k przy włożeniu f 1 (q i ) B ɛ f 1 (q i ) B ρ = V qk (zauważmy, że ɛ < ρ, ponieważ kula B ɛ nie może zawierać innych punktów krytycznych f niż x k, podczas gdy B ρ zawiera wszystkie). Dobierzmy µ nieprzecinających się dróg α 1,..., α µ w U, które łączą punkty q 1,..., q µ z λ. Poprzez własność podnoszenia homotopii, droga α k indukuje rodzinę dyfeomorfizmów φ k : V qk [0, 1] E, φ k (, t) : V qk V α(t). W szczególności dyfeomorfizm φ k (, 1) : V qk V λ indukuje izomorfizm na grupach homologii. Oznaczmy przez k H n 1 (V λ ) obraz cyklu Λ k przy tym przekształceniu. Tak powstały ciąg ( 1,..., µ ) nazywamy wyróżnionym układem cykli znikających. Twierdzenie 1.6 (Brieskorn Milnor). Włókno V λ ma następujące grupy homologii: Z gdy i = 0 H i (V λ ) = Z µ gdy i = n 1 0 w pozostałych przypadkach Wyróżniony układ cykli znikających stanowi bazę H n 1 (V λ ). Uwaga. Przypomnijmy, że rozważamy przypadek wielowymiarowy n 2. Nietrudno zauważyć, że w przypadku n = 1 twierdzenie również jest prawdziwe, o ile zastąpimy homologie absolutne homologiami zredukowanymi H. Uwaga. O topologii włókna można powiedzieć więcej. Wykorzystując teorię Morse a oraz twierdzenie Whiteheada, Milnor [M] wykazał, że V λ jest homotopijne równoważne z bukietem µ sfer S n 1... S n 1. Przedstawimy dowód twierdzenia 1.6 w oparciu o [Ż]. Potrzebne nam będą jednak dwa lematy opisującę topologię f 1 (D δ ) B ρ, a więc E z doklejonymi włóknami osobliwymi V zk. Przypomnijmy, że g było pierwotną funkcję z izolowanym punktem osobliwym w zerze, a f = g w jej morse owskim zaburzeniem. Lemat 1.3. Przestrzenie X = f 1 (D δ ) B ρ i Y = g 1 (D δ ) B ρ są dyfeomorficznymi rozmaitościami z brzegiem. Dowód. Jak w dowodzie twierdzenia 1.5 rozpatrzmy odwzorowanie G : C n C n C C n : G(x, w) = (g w (x), w) oraz podrozmaitość z brzegiem W C n C n : W = (B ρ C n ) G 1 (D δ C n ) Niech p : W C n będzie obcięciem do W rzutowania na drugi czynnik B ρ C n C n. Rzutowanie to jest oczywiście lokalnie trywialnym rozwłóknieniem. W jest otwartym podzbiorem B ρ C n, więć także p : W C n jest lokalnie trywialnym rozwłóknieniem, co oznacza, że jego włókna p 1 (w) = X oraz p 1 (0) = Y są dyfeomorficznymi podrozmaitościami W. 17

Lemat 1.4. Przestrzeń Y = g 1 (D δ ) B ρ jest ściągalna. Dowód. Rozpocznijmy od spostrzeżenia, że włókno osobliwe Y 0 = g 1 (0) B ρ jest ściągalne. Można wykazać nawet więcej: para (B ρ, Y 0 ) jest homeomorficzna parze (C(S ρ ), C( Y 0 )), gdzie C(X) oznacza stożek nad przestrzenią X oraz S ρ = B ρ jest sferą. W szczególności wynika stąd, że Y 0 jest ściągalne jako stożek nad pewną przestrzenią. Dowód tego faktu, zwanego niekiedy twierdzeniem o strukturze stożkowej, opiera się na następującym pomyśle: transwersalność przecięcia sfer S ɛ z hiperpowierzchnią Y 0 (patrz lemat 1.1) pozwala łatwo skonstruować na B ρ \{0} pole wektorowe, wskazujące w każdym punkcie w kierunku początku układu współrzędnych i styczne do rozmaitości Y 0 \{0} w jej punktach. Potok tego pola zadaje poszukiwany homeomorfizm. Szczegóły nietrudnego dowodu można znaleźć w [M]. Oczywiście dysk D δ C można zdeformować do punktu 0. Gdyby udało się podnieść tę deformację do deformacji Y Y 0, dowód wobec powyżsej uwagi byłby zakończony. Odwzorowanie g : Y D δ nie jest jednak lokalnie trywialnym rozwłóknieniem (ze względu na wartość krytyczną w zerze). Wystarczy jednak wykazać, że jest rozwłóknieniem w sensie teorii homotopii (rozwłóknieniem Hurewicza), a własność podnoszenia homotopii zagwarantuje istnienie szukanego podniesienia. Przypomnijmy, że warunkiem równoważnym, by p : E X było rozwłóknieniem Hurewicza jest istnienie funkcji podnoszącej drogi s : P (p) P (E), gdzie P (p), P (E) oznaczają kocylindry odwzorowania p i przestrzeni E (patrz uzupełnienie 3.2). Odwzorowanie g : Y \Y 0 D δ \{0} jest rozwłóknieniem Hurewicza (jako lokalnie trywialne rozwłóknienie), zatem istnieje funkcja podnosząca drogi w D δ \{0}. Rozważmy punkt z Y oraz drogę ω : I D δ zaczynającą się w x = g(z) D δ. Jeśli ω omija punkt 0, to możemy ją podnieść. Załóżmy więc, bez straty ogólności, że ω(1) = 0 i ω([0, 1)) Y \Y 0. Podnosząc kolejno drogi ω n będące obcięciem ω do odcinka [0, 1 1 n ], otrzymamy jednostajnie zbieżną rodzinę odwzorowań w Y \Y 0. Jej granica będzie otrzymanym podniesieniem drogi ω. Nietrudno sprawdzić, że tak skonstruowana funkcja podnosząca drogi jest ciągła, a więc istotnie odwzorowanie p : E X jest rozwłóknieniem Hurewicza. Dowód twierdzenia 1.6. Niech z 1,..., z µ będą wartościami krytycznymi, a α 1,..., α µ ścieżkami łączącymi je z wartością regularną λ. Oznaczmy przez A = i α i teoriomnogościową sumę wszystkich ścieżek, a przez Z = g 1 (A) B ρ włókno nad A. Ponieważ A jest retraktem deformacyjnym D δ, a g : Y D δ jest, jak wykazaliśmy w poprzednim lemacie, rozwłóknieniem Hurewicza, przestrzeń Z jest retraktem deformacyjnym Y, a więc jest ściągalna. Oznaczmy A = A\{z 1,..., z µ } oraz Z = Z\ i V z i. Ponieważ Z A jest lokalnie trywialnym rozwłóknieniem nad ściągalną przestrzenią, jest rozwłóknieniem trywialnym. W szczególności Z V λ A i Z jest homotopijnie równoważne włóknu V λ. Niech q k będzie wartością regularną na ścieżce α k bliską wartości krytycznej z k = g(x k ). Zgodnie ze stwierdzeniem 1.4 część Z w otoczeniu otoczeniu punktu krytycznego x k można zdeformować do V qk D n, jednocześnie nie ruszając pozostałej części Z. Innymi słowy, przestrzeń Z jest homotopijnie równoważna przestrzeni Z z dyskami K 1,..., K µ doklejonymi w miejsce cykli znikających we włóknach V q1,..., V qµ. Przy homotopijnej równoważności Z V λ odpowiada to zaklejeniu dyskami cykli 1,..., µ w V λ. Rozważmy długi ciąg dokładny grup homologii dla pary (Z, Z ):... H k+1 (Z) H k+1 (Z, Z ) H k (Z ) H K (Z)... Ponieważ Z jest ściągalne, mamy H k (V λ ) = H k (Z ) = H k+1 (Z, Z ). Jednak wobec homotopijnej równoważności Z Z i K i para (Z, Z ) jest homotopijnie równoważna rozłącznej sumie par (K i, K i ) (D n, D n ), której grupy homologii rzecz jasna znamy składają się 18

one z jednej grupy Z dokładnie w wymiarze i = n 1. Ponadto ich generatorem jest cykl relatywny (K i, K i ), któremu w (Z, Z ) odpowiada (K i, i ), natomiast we włóknie V λ cykl znikający i. Przykład. W najprostszym przypadku funkcji morse owskiej f(z) = z 2 1 +... + z 2 n włókno regularne jest dyfeomorficzne z wiązką kul BS n 1 (patrz stwierdzenie 1.4), a wobec tego homotopijnie równoważne sferze S n 1. Przykład. Rozważmy przypadek hipereliptyczny f(x, y) = y 2 + P (x), gdzie P (x) jest wielomianem o współczynnikach zespolonych stopnia n > 2. Załóżmy, że P jest generyczny w tym sensie, że pochodna P (x) nie ma pierwiastków wielokrotnych. Ponieważ gradient f ma postać f(x, y) = [P (x), 2y], odwzorowanie f posiada dokładnie n 1 punktów krytycznych (x 1, 0),... (x n 1, 0), gdzie x 1,... x n 1 są różnymi pierwiastkami P (x). Zastępując ewentualnie P małym zaburzeniem, możemy założyć, że wartości krytyczne P (x 1 ),..., P (x n 1 ) są parami różne. Niech λ C będzie wartością regularną f. Oznacza to, że wielomian λ P (x) = (x a 1 ) (x a n ) nie ma pierwiastków wielokrotnych, a włókno f 1 (λ) jest powierzchnią Riemanna funkcji λ P (x). Jeśli n = 2g + 1 lub 2g + 2, jej genus jest równy g (patrz [F]). W przypadku parzystym punkt w nieskończoności jest regularny i posiada dwa punkty w przeciwobrazie, podczas gdy w przypadku nieparzystym jest on punktem rozgałęzienia z jednopunktowym przeciwobrazem. Wobec tego włókno regularne jest powierzchnią genusu g bez punktu w przypadku n = 2g + 1 oraz bez dwóch punktów w przypadku n = 2g + 2. Wobec tego w obu przypadkach włókno jest homotopijnie równoważne bukietowi 2g = n 1 okręgów. Z drugiej strony możemy łatwo znaleźć liczbę Milnora, wykorzystując algebraiczną definicję. Istotnie, ideał gradientowy generowany jest przez wielomiany y oraz P (x), wobec tego algebra lokalna w dowolnym z punktów osobliwych (0, x 0 ) posiada bazę postaci 1, (x x 0 ),..., (x x 0 ) n 2, a w związku z tym jej wymiar jest równy µ = n 1 i zgodnie z twierdzeniem Milnora krotność osobliwości zgadza się z liczbą okręgów w bukiecie. W tym przypadku możemy łatwo opisać cykle znikające. Niech z 1,..., z n 1 będą wartościami krytycznymi f. Włókno regularne f 1 (λ) jest podwójnym nakryciem płaszczyzny zespolonej C z wyjętymi n różnymi pierwiastkami wielomianu λ P (x), które są punktami rozgałęzienia. Oznaczmy je a 1,..., a n. Gdy zmieniamy λ, zbliżając się do jednej z wartości krytycznych z i, dwa z pierwiastków, dajmy na to a 1 i a 2 schodzą się w jeden pierwiastek podwójny wielomianu z i P (x). Rozważmy pętlę okrążającą jednokrotnie a 1 i a 2, lecz nie zawierającą pozostałych pierwiastków λ P (x). Ponieważ obiega ona dwa punkty rozgałęzienia, podnosi się do zamkniętej, nieściągalnej pętli w powierzchni Riemanna f 1 (λ), która wraz ze zbliżaniem się λ do z i degeneruje się do punktu we włóknie osobliwym f 1 (z i ). W ten sposób, numerując odpowiednio pierwiastki a i, otrzymamy n 1 par (a 1, a 2 ), (a 2, a 3 ),..., (a n 1, a n ), każdą odpowiadająca pewnej wartości krytycznej f oraz zamkniętej nieściągalnej pętli we włóknie regularnym. Pętle te są cyklami znikającymi. 19

Rozdział 2 Twierdzenie Picarda-Lefschetza 2.1. Operator monodromii Rozważamy sytuację z poprzedniego paragrafu. Niech więc g : (C n, 0) (C, 0) będzie wielomianem z izolowanym punktem osobliwym w zerze, a f jego małym zaburzeniem morse owskim. Niech U = D δ \{z 1,..., z µ }, E = f 1 (U) B ρ, przy czym z k = f(x k ), gdzie x 1,..., x µ są jednokrotnymi punktami krytycznymi f w kuli B ρ. Rozważamy rozwłóknienie Milnora f : E U. Ustalmy punkt regularny λ U wraz z układem nieprzecinających się ścieżek α 1,..., α µ w D δ łączących λ z wartościami krytycznymi z 1,..., z µ. Zgodnie z twierdzeniem 1.6 indukuje on bazę cyklów znikających ( 1,..., µ ) generujących (n 1). grupę homologii włókna regularnego V λ = f 1 (λ) B ρ. Rozważmy odwzorowanie f : E U obcięte do brzegu E = E S ρ, gdzie S ρ = B ρ jest małą sferą w C n. Przedłuża się ono do lokalnie trywialnego rozwłóknienia nad całym dyskiem D δ, ponieważ S ρ nie zawiera punktów krytycznych f. Włóknem tego rozwłóknienia nad λ jest V λ, a bazą ściągalny dysk, zatem jest ono równoważne rozwłóknieniu trywialnemu V λ D δ D δ. Definicja. Niech γ będzie pętlą w U o początku w punkcie λ. Zgodnie z zasadą podnoszenia homotopii istnieje 1-parametrowa rodzina dyfeomorfizmów Γ : V λ [0, 1] E oznaczaną Γ t = Γ(, t), spełniająca następujące warunki: 1. Γ 0 = id, 2. Γ t (V λ ) = V γ(t), 3. Γ t obcięte do brzegu V λ jest zgodne ze strukturą kartezjańską E V λ D δ, to znaczy Γ t (λ, x) = (γ(t), x). Dyfeomorfizm Γ 1 włókna regularnego V λ w siebie nazywamy przekształceniem monodromii. Jest on wyznaczony z dokładnością do izotopii przez klasę homotopii pętli γ i na ogół nietrywialny, o ile γ jest nietrywialnym elementem π 1 (U, λ). 21

Definicja. Operatorem monodromii stowarzyszonym z pętlą γ nazywamy automorfizm h γ : H n 1 (V λ ) H n 1 (V λ ), indukowany przez przekształcenie monodromii Γ 1. Grupą monodromii nazywamy obraz grupy podstawowej π 1 (U, λ) w Aut (H n 1 (V λ )) przy homomorfizmie [γ] h γ. Przypomnijmy, że rozważana funkcja f była zaburzeniem morse owskim funkcji g z izolowaną osobliwością w zerze. Niech W λ = g 1 (λ) B ρ będzie włóknem regularnym rozwłóknienia Milnora dla g. Wówczas, sprzęgając operatory monodromii przez naturalny dyfeomorfizm między V λ a W λ, możemy traktować grupę monodromii jako podgrupę Aut (H n 1 (W λ )). W szczególności, jeśli γ jest pętlą w U obiegającą jednokrotnie wszystkie wartości krytyczne z 1,..., z µ, to operator monodromii h γ odpowiada w Aut (H n 1 (W λ )) operatorowi monodromii związanemu z pętlą obiegającą jednokrotnie izolowaną wartość krytyczną g (porównaj twierdzenie 1.5). Wprowadza się również dwa inne, użyteczne operatory liniowe działające na homologiach. Definicja. Operator relatywnej monodromii zdefiniowany jest jako automorfizm homologii relatywnych indukowany przez Γ 1 (zauważmy, że zgodnie z warunkiem (3) odwzorowanie Γ 1 działa identycznościowo na brzegu V λ ) h r γ : H n 1 (V λ, V λ ) H n 1 (V λ, V λ ). Operator wariacji var γ : H n 1 (V λ, V λ ) H n 1 (V λ ) określony jest wzorem var γ = h r γ id. Możemy wreszcie przejść do sformułowania głównego wyniku tego rozdziału, który wiąże określone powyższej operatory z ważnym niezmiennikiem topologicznym włókna V λ formą przecięcia. Niech τ 1,..., τ µ będzie ustalonym układem nieprzecinających się pętli o początku w λ takich, że τ k okrąża raz z k, nie okrążając pozostałych wartości krytycznych. Przypomnijmy, że 1,..., µ są cyklami znikającymi stanowiącymi bazę homologii. Przez (a, b) oznaczamy indeks przecięcia cykli a, b w (n 1) homologiach relatywnych rozmaitości V λ (która, przypomnijmy, ma wymiar 2n 2). Definicję oraz podstawowe własności indeksu przecięcia można znaleźć w [B]. Niech ponadto i : H n 1 (V λ ) H n 1 (V λ, V λ ) oznacza naturalne włożenie. Twierdzenie Picarda-Lefschetza. Dla każdego cyklu relatywnego a H n 1 (V λ, V λ ) var τi a = ( 1) n(n+1)/2 (a, i ) i, h r τ i a = a + ( 1) n(n+1)/2 (a, i )i i, natomiast dla każdego cyklu b H n 1 (V λ ) zachodzi h τi b = b + ( 1) n(n+1)/2 (b, i ) i. Przedstawimy dalej dowód twierdzenia Picarda-Lefschetza w oparciu o [Ż]. Zauważmy najpierw, że dla najprostszego przypadku µ = 1 funkcja g posiada tylko jeden punkt krytyczny, a jednowymiarowe homologie oraz homologie zredukowane włókna generowane są przez cykle i, odpowiednio (patrz stwierdzenie 1.4). Wówczas treść twierdzenia sprowadza się do następującego prostego wzoru, zwanego formułą Picarda-Lefschetza var τ = ( 1) n(n+1)/2), gdzie τ jest pętlą okrążającą jednokrotnie jedyną wartość krytyczną g. 22

Lemat 2.1. Z formuły Picarda-Lefschetza wynika ogólne twierdzenie Picarda-Lefschetza. Dowód. Niech W i BS n 1 oznacza włókno morse owskie nad punktem regularnym q i w pobliżu wartości krytycznej z i. Na mocy stwierdzenia 1.4, jego homologie oraz homologie relatywne w wymiarze n 1 generowane są odpowiednio przez cykl znikający i oraz dualny cykl relatywny i. Ponadto twierdzenie 1.6 daje izomorfizm H n 1 (V λ ) = i H n 1 (W i ), a po wzięciu grup dualnych oraz skorzystaniu z dualności Poincarégo H n 1 (V λ, V λ ) = i H n 1 (W i, W i ). Oznaczmy przez Θ 1,..., Θ µ cykle relatywne w V λ odpowiadające przy tym izomorfizmie cyklom 1,..., µ. Na mocy powyższej równości, stanowią one bazę homologii relatywnych. Ponieważ Θ i jest cyklem dualnym do i, to (Θ i, j ) = δ ij. Jednocześnie przy monodromii wokół pętli τ j dla j i cykle i oraz Θ i pozostają nienaruszone, natomiast przy monodromii wokół τ i cykl Θ i pełni rolę i we włóknie morse owskim. Jeśli więc spełniona jest formuła Picarda-Lefschetza w przypadku morse owskim, to tożsamości z tezy twierdzenia Picarda- Lefschetza zachodzą dla Θ 1,..., Θ µ, a więc i dla dowolnego cyklu relatywnego. W dowodzie twierdzenia Picarda-Lefschetza posłużymy się inną formą rozwłóknienia Milnora, zadaną wzorem 1.3. Niech f : (C n, 0) (C, 0) oznacza pierwotną (niezaburzoną) funkcję z izolowanym punktem krytycznym w zerze. Rozważmy małą sferę S ɛ i K = S ɛ f 1 (0). Niech ponadto T = S ɛ { f < α} będzie małym otoczeniem K w S ɛ. Rozważamy lokalnie trywialne rozwłóknienie φ : S ɛ \T S 1 zadane wzorem φ(x) = f(x) f(x). Przypomnijmy, że na mocy twierdzenia 1.5 wiązka φ : S ɛ \T S 1 jest równoważna wiązce f : E U obciętej do małego okręgu C U o środku w zerze. Oznacza to w szczególności, że włókna φ 1 (1) oraz V λ są dyfeomorficzne, a grupa monodromii działa na homologiach włókna φ 1 (1). Twierdzenie Picarda-Lefschetza wiąże operator monodromii z formą przecięcia. W jego dowodzie wykorzystamy również inną formę dwuliniową określoną na grupach homologii. Definicja. Formą Seiferta nazywamy formę dwuliniową L na H n 1 (φ 1 (1)) zadaną wzorem L(a, b) = l(a, (Γ 1/2 ) b), gdzie l(x, y) oznacza współczynnik zaczepienia cykli x i y w sferze S ɛ (definicję współczynnika zaczepienia można znaleźć w [B]), a dyfeomorfizm Γ t dla t [0, 1] określony został wcześniej. Na mocy dualności Alexandera (patrz np. [B]) forma L jest niezdegenerowana. 23

Lemat 2.2. Pomiędzy operatorem monodromii, formą Seiferta i formą przecięcia zachodzą następujące związki: 1. L(var τ a, b) = (a, b), 2. (a, b) = L(a, b) + ( 1) n L(b, a), 3. h τ = ( 1) n ( ) var τ var 1 t, τ 4. h r τ = ( 1) n ( var 1 ) t τ varτ, przy czym utożsamiamy odpowiednie operatory z macierzami w pewnej ustalonej bazie homologii H n 1 (φ 1 (1)), natomiast ( ) t oznacza operację transpozycji. Dowód. Niech a będzie (n 1)-wymiarowym cyklem relatywnym w φ 1 (1), tzn. brzeg a jest cyklem absolutnym w φ 1 (1). Rozważmy n-wymiarowy cykl w sferze S ɛ zadany przez odwzorowanie A : [0, 1] a S ɛ : A(t, x) = Γ t (x). Brzeg cyklu A A = Γ 1 (a) a + A([0, 1] a) składa się z Γ 1 (a) a = var τ a oraz części zawartej w brzegu otoczenia tubularnego T (zgodnie z warunkiem (3) z definicji dyfeomorfizmu Γ t ). Zatem w homologiach relatywnych H n 1 (S ɛ \T, T ) zachodzi równość A = var τ a. Przypomnijmy, że na mocy definicji współczynnika zaczepienia l( A, x) = (A, x) dla każdego (n 1)-cyklu x w S ɛ. Jeśli więc b jest cyklem absolutnym w φ 1 (1), to przecięcie A z Γ 1/2 (b) jest tym samym, co przecięcie Γ 1/2 (a) Γ 1/2 (b) i leży we włóknie φ 1 ( 1). Mamy więc L(var τ a, b) = l(var τ a, (Γ 1/2 ) b) = (A, (Γ 1/2 ) b) = ((Γ 1/2 ) a, (Γ 1/2 ) b), gdzie ostatni indeks przecięcia liczony jest nie w sferze S ɛ, lecz we włóknie φ 1 ( 1). Oczywiście ponieważ Γ 1/2 jest dyfeomorfizmem zachowującym orientację, co kończy dowód punktu (1). ( ) (Γ 1/2 ) a, (Γ 1/2 ) b = (a, b), Ponieważ zarówno indeks przecięcia, jak i współczynnik zaczepienia wyznaczają niezdegenerowane formy dwuliniowe, z punktu (1) wynika, że operator wariacji jest odwracalny. Niech a oraz b będą cyklami absolutnymi w H n 1 (φ 1 (1)). Istnieją cykle relatywne a i b takie, że a = var τ a oraz b = var τ b. Za pomocą łatwego rachunku sprawdzamy, że dla cykli relatywnych x i y zachodzi następująca relacja: (var τ x, var τ y) + (x, var τ y) + (var τ x, y) = 0. Wstawiając x = a, y = b i wykorzystując punkt (1), otrzymujemy co kończy dowód punktu (2). (a, b) + L(a, b) + ( 1) n 1 L(b, a) = 0, 24

skąd Wobec (x, y) = (i x, y) oraz punktów (1) i (2) mamy Punkt (4) dowodzi się tak samo. 2.2. Dowód twierdzenia i = var 1 τ + ( 1) n (var 1 τ ) t, h τ = id + var τ i = id id + ( 1) n var τ (var 1 τ ) t. Rozważamy następującą sytuację: funkcja f : C n C wyraża się wzorem f(z) = z 2 1 +... + z 2 n, a φ : S ɛ \T S 1 oznacza rozwłóknienie Milnora. Homologie włókna φ 1 (1) są generowane przez cykl absolutny oraz cykl relatywny (patrz stwierdzenie 1.4). Orientujemy je w ten sposób, by (, ) = 1. Oznaczmy przez τ(t) = e 2πit pętlę okrążąjącą jednokrotnie wartość krytyczną 0. Naszym celem jest udowodnienie formuły Picarda-Lefschetza: Lemat 2.3. var τ = ( 1) n(n+1)/2). (, ) = ( 1) (n 1)(n 2)/2 χ(s n 1 ), gdzie χ(s n 1 ) oznacza charakterystykę Eulera sfery S n 1. Dowód. Przypomnijmy, że włókno Milnora (bez brzegu) w przypadku morse owskim jest dyfeomorficzne z wiązką styczną T S n 1 do sfery S n 1. Jeśli przedstawimy T S n 1 w postaci {(x, y) R n R n x = 1, x y = 0}, to naturalna orientacja włókna, wyznaczona przez orientację C n = R 2n, zadana jest przez porządek (x 1, y 1,..., x n, y n ) i różni się od naturalnej orientacji T S n 1, zadanej przez porządek (x 1,..., x n, y 1,..., y n ), o czynnik ( 1) (n 1)(n 2)/2 (ponieważ potrzebujemy dokładnie 1+2+... + (n 1) transpozycji). Cykl znikający jest określony jako przekrój zerowy S n 1. Wobec tego indeks samoprzecięcia (, ) we włóknie jest równy z dokładnością do czynnika ( 1) (n 1)(n 2)/2 indeksowi samoprzecięcia S n 1 w wiązce stycznej T S n 1, ten zaś, na mocy twierdzenia Poincarégo- Hopfa (patrz [M]), równy jest charakterystyce Eulera sfery χ(s n 1 ) = 2. Dowód w przypadku n nieparzystego. Rozważmy rodzinę dyfeomorfizmów Ω t : φ 1 (1) φ 1 (e 2πit ), Ω t (z) = e πit z. Rodzina Ω t nie spełnia warunku (3) z definicji 2.1, jednak odwzorowanie indukowane na homologiach (Ω t ) działa na cyklach absolutnych tak samo jak (Γ t ), ponieważ oba odwzorowania Ω t i Γ t są homotopijne jako podniesienia pętli τ(t) = e 2πit (jednocześnie odwzorowania indukowane na homologiach relatywnych będą różne, ponieważ Ω t i Γ t nie są homotopijne relatywnie φ 1 (1)). 25