Matematyka II. De nicje, twierdzenia 21 czerwca 2011

Matematyka II De nicje, twierdzenia 2 czerwca 20 K. Dobrowolska, W. Dyczka, H. Jakuszenkow, Matematyka dla studentów studiów technicznych, cz. 2, HELPMATH, ódź 2007 M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna II, O cyna Wydawnicza GiS, Wroc aw 2000 M. Gewert. Z. Skoczylas, Równania ró zniczkowe zwyczajne, O cyna Wydawnicz GiS, Wroc aw 2005 Rachunek ró zniczkowy funkcji dwóch zmiennych. Podzbiory p aszczyzny De nicja. Je zeli p = (x ; y ) i p 2 = (x 2 ; y 2 ), to odleg o scia mi edzy p i p 2 nazywamy liczb e q d (p ; p 2 ) = (x x 2 ) 2 + (y y 2 ) 2 Twierdzenie.2 Mo zna wykazać, ze dla dowolnych punktów p ; p 2 ; p 3 2 R 2 zachodzi. d (p ; p 2 ) = 0, p = p 2 2. d(p ; p 2 ) = d (p 2 ; p ) 3. d (p ; p 3 ) d (p ; p 2 ) + d (p 2 ; p 3 ) De nicja.3 Kula o srodku w punkcie p i promieniu r > 0 nazywamy zbiór K (p; r) = fq 2 R 2 : d (p; q) < rg (jest to ko o otwarte o srodku w punkcie p i promieniu r). De nicja.4 Mówimy, ze zbiór A R 2 jest ograniczony, je zeli istnieje kula K (p; r) taka, ze A K (p; r). Mówimy, ze A jest nieograniczony, gdy A nie jest ograniczony (tzn. A nie zawiera si e w zadnej kuli). De nicja.5 Mówimy, ze zbiór U R 2 jest otwarty, gdy dla dowolnego p 2 U istnieje r > 0 takie, ze K (p; r) U: Mo zna wykazać, ze

. RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH zbiór pusty, zbiór R 2 i kule otwarte sa zbiorami otwartymi suma i iloczyn dwóch zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym De nicja.6 Otoczeniem punktu p nazywamy dowolny zbiór otwarty U taki, ze p 2 U. Sasiedztwem punktu p nazywamy ka zdy zbiór postaci U n fpg, gdzie U jest otoczeniem p. De nicja.7 Niech A R 2. Punkt p 2 R 2 nazywamy punktem wewn etrznym A, gdy istnieje r > 0 takie, ze K (p; r) A punktem zewn etrznym A, gdy istnieje r > 0 takie, ze K (p; r) R 2 n A punktem brzegowym A, gdy w dowolnej kuli K (p; r) istnieja punkty nale z ace do A i punkty nale z ace do R 2 n A punktem skupienia zbioru A, je zeli ka zde sasiedztwo punktu p zawiera jakís punkt zbioru A; punkty, które nie sa punktami skupienia zbioru A nazywamy punktami izolowanymi. De nicja.8 Mówimy, ze zbiór C R 2 jest domkni ety, gdy jego dope nienie R 2 n C jest zbiorem otwartym. Mo zna wykazać, ze zbiór pusty, zbiór R 2 oraz kule domkniete K (p; r) = fq 2 R 2 : d (p; q) rg sa zbiorami domkni etymi suma i iloczyn dwóch zbiorów domkni etych jest zbiorem domkni etym Twierdzenie.9 Zbiór jest domkni ety wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera wszystkie swoje punkty skupienia. De nicja.0 Wn etrzem zbioru A nazywamy zbiór wszystkich punktów wewn etrznych A. Wn etrze A oznaczamy przez Int A. Domkni eciem zbioru A nazywamy zbiór A w sumie ze wszystkimi punktami skupienia zbioru A. Domkni ecie A oznaczamy przez A. Brzegiem zbioru A nazywamy zbiór wszystkich punktów brzegowych zbioru A; oznaczamy go przez @A (bd A, Fr A). Zachodzi przy tym @A = A n Int A: De nicja. Zbiór A R 2 nazywamy zbiorem spójnym, je zeli przy dowolnym rozk adzie A na sum e dwóch roz acznych i niepustych zbiorów U i V, który s z nich zawiera punkty skupienia drugiego zbioru. Przyk ad.2 De nicja.3 Zbiór D nazywamy obszarem, je zeli D jest otwarty i spójny. Powiemy, ze D jest obszarem domkni etym, gdy jest domkni eciem obszaru. 2

. RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH.2 Granica i ci ag ość funkcji dwóch zmiennych De nicja.4 Mówimy, ze ciag punktów p n = (x n ; y n ) 2 R 2 jest zbie zny do punktu p = (x; y), je zeli lim d (p n; p) = 0: n! Twierdzenie.5 Ciag (p n ) jest zbie zny do punktu p wtedy i tylko wtedy, gdy lim x n = x ^ lim y n = y: n! n! De nicja.6 Niech f : D! R, D R 2 i niech p 0 = (x 0 ; y 0 ) b edzie punktem skupienia zbioru D. Mówimy, ze g jest granica funkcji f w punkcie p 0 je zeli lim f (p n) = g n! dla ka zdego ciagu (p n ) punktów zbioru D takiego, ze lim p n = p 0. Piszemy wtedy n! lub równowa znie lim f (p) = g p!p 0 lim f (x; y) = g: (x;y)!(x 0;y 0) g nazywamy te z granica podwójna funkcji f w punkcie (x 0 ; y 0 ). W przypadku, gdy g = ( ), to mówimy o granicy niew a sciwej. Uwaga.7 Granica w punkcie p 0 nie istnieje, gdy istnieja ró zne ciagi (p n ) i (q n ) o wyrazach w zbiorze D takie, ze lim p n = p 0 = lim q n, ale n! n! lim f (p n) 6= lim f (q n) : n! n! Niech f : D! R, D R 2 i niech p 0 = (x 0 ; y 0 ) b edzie punktem skupienia dziedziny D. Je zeli istnieje granica lim lim f (x; y) ; x!x 0 y!y 0 to nazywamy ja granica iterowana gdy najpierw y! y 0, a nastepnie x! x 0. Podobnie, gdy istnieje granica lim lim f (x; y) y!y 0 x!x 0 to nazywamy ja granica iterowana gdy x! x 0, a nastepnie y! y 0. Uwaga.8 Istnienie granicy podwójnej jest niezale zne od istnienia granic iterowanych. Co wi ecej, je zeli granice iterowane istnieja, to moga być ró zne. Przyk ad.9. f (x; y) = xy x 2 +y 2 lim lim f (x; y) x!0 y!0 = 0 = lim y!0 lim f (x; y) ; x!0 ale granica podwójna funkcji f w punkcie (0; 0) nie istnieje 3

. RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH 2. f (x; y) = x2 y 2 x 2 +y 2 lim lim x!0 y!0 i granica podwójna nie istnieje 3. f (x; y) = x sin x sin y x 2 y 2 x 2 + y 2 = ; lim lim y!0 x!0 x 2 y 2 x 2 + y 2 = Twierdzenie.20 Je zeli istnieje granica podwója w punkcie (x 0 ; y 0 ) funkcji f i istnieje jedna z granic iterowanych, to sa sobie równe. Wniosek.2 Je zeli istnieja ró zne granice iterowane w punkcie (x 0 ; y 0 ), to nie istnieje granica podwójna w tym punkcie. De nicja.22 Niech f : D! R, gdzie D R 2. Mówimy, ze funkcja f jest ciag a w punkcie (x 0 ; y 0 ) 2 D, je zeli lim f (x; y) = f (x 0; y 0 ) : (x;y)!(x 0;y 0) Je zeli f jest ciag a w ka zdym punkcie swojej dziedziny, to mówimy, ze jest ciag a Twierdzenie.23 Je zeli f; g : D! R sa ciag e, to. f g 2. f g 3. f g (o ile g 6= 0) sa funkcjami ciag ymi. Twierdzenie.24 (o lokalnym zachowaniu znaku) Je zeli f : D! R jest ciag a w punkcie p 0 i f (p 0 ) > 0 (f (p 0 ) < 0), to istnieje otoczenie U punktu p 0 takie, ze f (p) > 0 (f (p) < 0) dla ka zdego p 2 U \ D. Twierdzenie.25 (Weierstrassa) Za ó zmy, ze f : D! R jest funkcja ciag a okre slona na domkni etym i ograniczonym zbiorze D. Wówczas funkcja f jest ograniczona, co wi ecej istnieja takie punkty (x ; y ) i (x 2 ; y 2 ), ze f (x ; y ) = inf f (x; y) = infff (x; y; ) : (x; y) 2 Dg; (x;y)2d f (x 2 ; y 2 ) = sup f (x; y) = supff (x; y; ) : (x; y) 2 Dg: (x;y)2d Twierdzenie.26 (Darboux) Za ó zmy, ze f : D! R jest funkcja ciag a i D jest zbiorem spójnym. Je zeli f (x ; y ) < < f (x 2 ; y 2 ), gdzie (x ; y ) ; (x 2 ; y 2 ) 2 D, to istnieje taki punkt (x; y) 2 D, ze = f (x; y). 4

. RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH.3 Pochodne cz astkowe. Ró zniczkowalność De nicja.27 Niech f : D! R, D R 2 i niech p 0 = (x 0 ; y 0 ) b edzie punktem wewn etrznym zbioru D.Je zeli istnieje skończona granica lim t!0 t (f (x 0 + t; y 0 ) f (x 0 ; y 0 )) ; to nazywamy ja pochodna czastkow a funkcji f w punkcie p 0 wzgl edem zmiennej x. Oznaczamy ja symbolem @f @x (p 0) ( df dx (p 0), fx 0 (p 0 )) :Podobnie, je zeli istnieje skończona granica lim t!0 t (f (x 0; y 0 + t) f (x 0 ; y 0 )) ; to nazywamy ja pochodna czastkow a funkcji f w punkcie p 0 wzgl edem zmiennej y i oznaczamy przez @f @y (p 0) ( df dy, f y):a 0 zatem @f @x (p 0) = lim t!0 t (f (x 0 + t; y 0 ) f (x 0 ; y 0 )) ; @f @y (p 0) = lim t!0 t (f (x 0; y 0 + t) f (x 0 ; y 0 )) : Uwaga.28 Niech e = [; 0] i e 2 = [0; ], oraz ' (t) = f (p 0 + te ) ; ' 2 (t) = f (p 0 + te 2 ) : Wówczas ' 0 (0) = @f @x (p 0) oraz ' 0 2 (0) = @f @y (p 0). W praktyce pochodna czastkow a wzgledem x (y) obliczamy w ten sposób, ze obliczamy zwyk a pochodna wzgledem x (y), traktujac zmienna y (x) jako sta a. Miedzy innymi przy obliczaniu pochodnych czastkowych mo zna korzystać z zasad ró zniczkowania sumy, ró znicy, iloczynu i ilorazu funkcji. De nicja.29 Je zeli h = [h ; h 2 ] jest dowolnym wektorem, to pochodna kierunkowa funkcji f w punkcie p 0 = (x 0 ; y 0 ) w kierunku wektora h nazywamy liczb e lim t!0 t (f (x 0 + th ; y 0 + th 2 ) f (x 0 ; y 0 )) (o ile ta granica istnieje i jest skończona). Oznaczamy ja przez fh 0 (p 0). Pochodne czastkowe sa wi ec pochodnymi kierunkowymi w kierunku wektorów e i e 2. Interpretacja geometryczna pochodnych czastkowych Je zeli funkcja f ma pochodna czasktow a wzgl edem zmiennej x dla ka zdego punktu p 2 D, to funkcje @f @x : D! R p 7! @f @x (p) nazywamy pochodna czastkow a funkcji f wzgl edem zmiennej x. Analogicznie, je zeli f ma pochodna czastkow a wzgledem zmiennej y dla ka zdego p 2 D, to funkcje @f @y : D! R nazywamy pochodna czastkow a funkcji f wzgledem zmiennej y. Przyk ad.30 Obliczyć pochodne czastkowe w punkcie (0; 0) funkcji f (x; y) = xy x 2 +y 2 ; (x; y) 6= (0; 0) 0; (x; y) = (0; 0) : 5

. RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH Wprost z de nicji i podobnie fx 0 (0; 0) = lim (f (t; 0) t!0 t f (0; 0)) = lim (0 0) = 0 t!0 t f 0 y (0; 0) = 0: Funkcja f ma pochodne czastkowe w punkcie (0; 0), ale nie jest ciag a w tym punkcie. Uwaga.3 Istnienie pochodnych czastkowych w punkcie p nie gwarantuje ciag ości funkcji w tym punkcie. De nicja.32 Mówimy, ze funkcja f : D! R jest ró zniczkowalna w punkcie p 0 2 Int D, je zeli istnieje otoczenie U punktu p 0, na którym istnieja wszystkie pochodne czastkowe funkcji f i sa one ciag e w punkcie p 0. Mówimy, ze funkcja jest ró zniczkowalna (jest klasy C ) na zbiorze otwartym D, gdy ma ciag e pochodne czastkowe na D. Twierdzenie.33 Je zeli f : D! R jest ró zniczkowalna w punkcie p 0 2 Int D, to dla dowolnego wektora h = [h ; h 2 ] 2 R 2 istnieje pochodna kierunkowa f 0 h (p 0), przy czym f 0 h (p) = @f @x (p 0) h + @f @y (p 0) h 2 : Wniosek.34 Je zeli f : D! R jest ró zniczkowalna w punkcie p 0 2 Int D, to. f 0 h+k (p 0) = f 0 h (p 0) + f 0 k (p 0) 2. f 0 h (p 0) = f 0 h (p 0) dla dowolnych wektorów h; k 2 R 2 i 2 R. De nicja.35 Za ó zmy, ze f : D! R jest ró zniczkowalna w punkcie p 0. Ró zniczka (zupe n a) funkcji f w punkcie p 0 nazywamy odwzorowanie df (p 0 ) : R 2! R okre slone wzorem df (p 0 ) (h) = @f @x (p 0) h + @f @y (p 0) h 2 : Twierdzenie.36 Je zeli f : D! R jest ró zniczkowalna w punkcie p 2 Int D, to istnieje funkcja ' okre slona w otoczeniu 0 2 R 2, ciag a w 0, ' (0) = 0 oraz f (p + h) = f (p) + df (p) (h) + ' (h) jhj ( jhj = p h 2 + h2 2 d ugo sć wektora h:). Wniosek.37 Je zeli f : D! R jest ró zniczkowalna w punkcie p 2 Int D, to. f jest ciag a w p 2. dla ma ych jhj zachodzi przybli zony wzór f (p + h) f (p) + df (p) (h) : 6

. RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH Niech g : D! R, D R 2, f ; f 2 : I! R, I R, przy czym Wówczas jest sens mówić o z o zeniu f (t) = (f (t) ; f 2 (t)) 2 D; t 2 I: (g f) (t) = g (f (t) ; f 2 (t)) : Twierdzenie.38 Je zeli funkcje f i sa ró zniczkowalne w punkcie t 0 2 I (i = ; 2) oraz g jest ró zniczkowalna w punkcie p 0 = f (t 0 ), to z o zenie g f jest ró zniczkowalna w t 0 ; przy czym (g f) 0 (t 0 ) = @g @x (f (t 0)) f 0 (t 0 ) + @g @y (f (t 0)) f 0 2 (t 0 ) = dg (f (t 0 )) ([f 0 (t 0 ) ; f 0 2 (t 0 )]) : Przyk ad.39 Je zeli g : R 2 h (t) = g (cos t; sin t) mamy! R jest ró zniczkowalna oraz f (t) = (cos t; sin t), to dla h 0 (t) = g 0 x (cos t; sin t) sin t + g 0 y (cos t; sin t) cos t: De nicja.40 Niech f : D! R i p 0 2 D. Poziomica funkcji f przechodzac a przez punkt p 0 nazywamy zbiór S (p 0 ) = fp 2 D : f (p) = f (p 0 )g: De nicja.4 Za ó zmy, ze funkcja f : D! R jest ró zniczkowalna w punkcie p 0 2 Int D. Gradientem f w punkcie p 0 nazywamy wektor @f rf (p 0 ) = @x (p 0) ; @f @y (p 0) : Je zeli rf (p 0 ) = [0; 0], to mówimy, ze p 0 jest punktem stacjonarnym funkcji f. Uwaga.42. Mo zna wykazać, ze gradient funkcji f wskazuje kierunek najszybszego wzrostu wartości tej funkcji. Ponadto rf (p 0 ) jest wektorem prostopad ym do poziomicy funkcji f przechodzacej przez p 0. 2. df (p 0 ) (h) = rf (p 0 ) h ( oznacza iloczyn skalarny wektorów: [h ; h 2 ][k ; k 2 ] = h k +h 2 k 2 = jhj jkj cos \ (h; k))..4 Pochodne cz astkowe rz edu drugiego Niech f : D! R, D R 2 b edzie zbiorem otwartym i za ó zmy, ze istnieje pochodna czastkowa @f @x i (p) dla ka zdego p 2 D (przy oznaczeniu x = x i x 2 = y). Je zeli istnieje pochodna czastkowa @ @ (p 0 ) @x j @x i w punkcie p 0 2 D, to nazywamy ja druga pochodna czastkow a wzgledem i-tej i j-tej zmiennej. Oznaczamy ja przez @ 2 f (p 0 ) lub fx 00 @x j @x ix j (p 0 ) : i 7

. RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH Pochodna @ 2 f @x i@x i (p 0 ) oznaczamy przez @ 2 f @x 2 i (p 0 ) : De nicja.43 Mówimy, ze funkcja f : D! R jest dwukrotnie ró zniczkowalna w punkcie p 0, je zeli istnieja pochodne czastkowe rz edu drugiego na pewnym otoczeniu p 0 i sa ciag e w tym punkcie. Mówimy, ze funkcja f jest dwukrotnie ró zniczkowalna (jest klasy C 2 na zbiorze D; f 2 C 2 (D)), je zeli ma ciag e pochodne czastkowe drugiego rz edu na D. Twierdzenie.44 (Schwarza) Je zeli f : D! R jest dwukrotnie ró zniczkowalna w punkcie p 0 2 D, to @ 2 f @x@y (p 0) = @2 f @y@x (p 0) : De nicja.45 Za ó zmy, ze f jest dwrukrotnie ró zniczkowalna w punkcie p 0 2 D. Druga ró zniczka f w punkcie p nazywamy odwzorowanie okre slone wzorem d 2 f (p 0 ) : R 2 R 2! R d 2 f (p 0 ) (h; k) = @2 f @x 2 (p 0) h k + @2 f @x@y (p 0) (h k 2 + h 2 k ) + @2 f @y 2 (p 0) h 2 k 2 gdzie h = [h ; h 2 ], k = [k ; k 2 ]. W szczególnym przypdaku je sli h = k, to d 2 f (p 0 ) (h; h) = @2 f @x 2 (p 0) h 2 + 2 @2 f @x@y (p 0) h h 2 + @2 f @y 2 (p 0) h 2 2; w skrócie b edziemy pisać d 2 f (p 0 ) h 2 :.5 Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych De nicja.46 Mówimy, ze funkcja f : D! R, D R 2 ma maksimum [minimum] lokalne w punkcie p 0 2 D, je zeli istnieje otoczenie U punktu p 0 takie, ze 2 3 ^ f (p) f (p 0 ) 4 ^ f (p) f (p 0 ) 5 : p2u\d p2u\d Je zeli w powy zszym warunku spe niona jest nierówno sć ostra, to mówimy o maksimum [minimum] lokalnym w a sciwym. Je zeli 2 3 ^ f (p) f (p 0 ) 4 ^ f (p) f (p 0 ) 5 ; p2d to mówimy, ze funkcja f ma w punkcie p 0 maksimum [minimum] absolutne oznaczamy je przez max f (p) min f (p) : p2d p2d p2d 8

2. RÓWNANIA RÓ ZNICZKOWE ZWYCZAJNE Twierdzenie.47 (warunek konieczny na istnienie ekstremum lokalnego) Je zeli funkcja f ma pochodne czastkowe w punkcie p 0 2 Int D i ma w tym punkcie ekstremum lokalne, to @f @x (p 0) = 0 i @f @y (p 0) = 0: Uwaga.48. Funkcja mo ze mieć ekstremum lokalne w punkcie, w którym nie posiada pochodnych czastkowych, np. f (x; y) = p x 2 + y 2. 2. Je zeli f jest ró zniczkowalna w p 0 i ma w tym punkcie ekstremum lokalne, to rf (p 0 ) = 0 (tzn. p 0 jest punktem stacjonarnym). 3. Zerowanie sie pochodnych czastkowych nie wystarcza do tego, zeby istnia o ekstremum lokalne, np dla funkcji f (x; y) = x 2 y 2 mamy rf (0; 0) = [0; 0], ale funkcja f nie ma ekstremum lokalnego w punkcie (0; 0). Twierdzenie.49 (warunek wystraczajacy na istnienie ekstremum lokalnego ) Za ó zmy, ze f : D! R, D R 2 jest zbiorem otwarym i f jest dwukrotnie ró zniczkowalna w punkcie p 0 2 D. Je zeli. rf (p 0 ) = 0 2. W (p 0 ) = f xx 00 (p 0 ) fxy 00 (p 0 ) fxy 00 (p 0 ) fyy 00 (p 0 ) > 0 to funkcja f ma w punkcie p 0 ekstremum lokalne w a sciwe, przy czym jest to maksimum lokalne, gdy f 00 xx (p 0 ) < 0 minimum lokalne, gdy f 00 xx (p 0 ) > 0 Je zeli W (p 0 ) < 0, to f nie ma ekstremum w p 0. Je zeli W (p 0 ) = 0, to jest to przypadek watpliwy, tzn. w zale zno sci od funkcji f mo ze, ale nie musi być ekstremum w tym punkcie. 2 Równania ró zniczkowe zwyczajne 2. Równania ró zniczkowe zwyczajne rz edu pierwszego Niech RR R b edzie zbiorem otwartym i F :! R b edzie taka funkcja, ze pochodna F wzgl edem ostatniej zmiennej nie jest to zsamościowo równa zero. De nicja 2. Równanie F (x; y; y 0 ) = 0; (2.) w którym niewiadoma jest pewna funkcja y zmiennej x okre slona na pewnym przedziale otwartym I R, nazywamy równaniem ró zniczkowym zwyczajnym rz edu pierwszego. De nicja 2.2 Rozwiazaniem szczególnym (ca k a szczególna) równania (2.) nazywamy ka zda funkcj e ' : I! R okre slona na przedziale otwartym (ograniczonym lub nie) taka, ze 9

2. RÓWNANIA RÓ ZNICZKOWE ZWYCZAJNE. ' jest ró zniczkowalna na I; 2. f(x; ' (x) ; ' 0 (x)) : x 2 Ig ; ^ 3. F (x; ' (x) ; ' 0 (x)) = 0: x2i Wykres rozwiazania ' nazywamy krzywa ca kowa tego równania. Przyk ad 2.3 Dane jest równanie y 0 = e x. Wiadomo, ze y (x) = e x, x 2 R jest rozwiazaniem tego równania. Co wi ecej, ka zda funkcja ' (x) = e x + C; C 2 R jest te z jego rozwiazaniem i sa to jedyne rozwiazania. De nicja 2.4 Zbiór wszystkich rozwiazań szczególnym równania (2.) nazywamy rozwiazaniem ogólnym (ca k a ogólna) tego równania. De nicja 2.5 Niech ' : I! R oraz : J! R b ed a rozwiazaniami równania (2.) takimi, ze I J oraz ^ ' (x) = (x). Wówczas nazywamy przed u zeniem rozwiazania ' x2i (' nazywamy zaw e zeniem ). Je zeli I 6= J, to nazywamy przed u zeniem w a sciwym. Rozwiazanie nazywamy globalnym, je zeli nie istnieje jego w a sciwe przed u zenie. De nicja 2.6 Równanie ró zniczkowe zapisane w postaci y 0 = f (x; y) ; (2.2) gdzie f : D! R, D R 2 jest znana funkcja dwóch zmiennych, nazywamy normalnym. Postać (2.2) nazywamy postacia normalna równania ró zniczkowego zwyczajnego rz edu I. Funkcja ' : I! R jest wiec rozwiazaniem równania (2.2), gdy. ' jest ró zniczkowalna na I; 2. f(x; ' (x)) : x 2 Ig D; ^ 3. ' 0 (x) = f (x; ' (x)) : x2i De nicja 2.7 Niech (x 0 ; y 0 ) 2 D. Zadanie polegajace na znalezieniu rozwiazania szczególnego ' równania (2.2) spe niajacego warunek ' (x 0 ) = y 0 nazywamy zagadnieniem poczatkowym lub zagadnieniem Cauchy ego dla równania (2.2). Geometrycznie sprowadza si e do znalezienia krzywej ca kowej równania (2.2) przechodzacej przez z góry zadany punkt (x 0 ; y 0 ). De nicja 2.8 Rozwiazanie szczególne równia (2.) (lub (2.2)) nazywamy regularnym, je zeli przez zaden punkt krzywej ca kowej wyznaczonej przez to rozwiazanie nie przechodzi zadna inna krzywa ca kowa tego równania osobliwym, je zeli przez ka zdy punkt krzywej ca kowej wyznaczonej przez to rozwiazanie przechodzi co najmniej jedna inna krzywa ca kowa 0

2. RÓWNANIA RÓ ZNICZKOWE ZWYCZAJNE Twierdzenie 2.9 (Peano) Je zeli funkcja f jest ciag a na obszarze D R 2, to przez ka zdy punkt tego obszaru przechodzi co najmniej jedna krzywa ca kowa równania y 0 = f (x; y) : Twierdzenie 2.0 (Cauchy ego) Je zeli funkcja f jest ciag a i ma ciag a pochodna fy 0 na obszarze D R 2, to przez ka zdy punkt tego obszaru przechodzi dok adnie jedna krzywa ca kowa równania y 0 = f (x; y). 2.. Równanie o zmiennych rozdzielonych De nicja 2. Równaniem ró zniczkowym o zmiennych rozdzielonych nazywamy równanie postaci y 0 = f (x) g (y) ; (2.3) gdzie f : (a; b)! R i g : (c; d)! R sa funkcjami ciag ymi. Niech D = (a; b) (c; d) : ^ Przypadek (i) g (y) 6= 0: y2(c;d) Twierdzenie 2.2 Ka zde rozwiazanie ' równania (2.3) w prostokacie D jest okre slone wzorem ' (x) = ( (x) + C) ; x 2 (; ) (a; b) ; (2.4) gdzie odwrotna do jest funkcja pierwotna funkcji g, jest funkcj a pierwotna f. oraz C jest taka sta a, ze ^ x2(;) oznacza funkcj e (x) + C nale zy do dziedziny funkcji. W tym przypadku zagadnienie Cauchy ego y (x 0 ) = y 0 ma dok adnie jedno rozwiazanie: y 0 = ( (x 0 ) + C) i stad Przypadek (ii) ' (x) = ( (x) + (y 0 ) (x 0 )) : Funkcja g posiada miejsca zerowe w przedziale (c; d). Za ó zmy, ze y 2 (c; d) jest miejscem zerowym funkcji g : g (y ) = 0. Niech ' (x) = y (funkcja sta a). atwo widać, ze jest to rozwiazanie szczególne równania (2.3). Je zeli y ; :::; y k sa miejscami zerowymi funkcji g, y i 2 (c; d), i = ; :::; k, to dzielac zbiór D na zbiory (a; b) (c; y ) ; (a; b) (y ; y 2 ) ; :::; (a; b) (y k ; d) mo zemy na ka zdym z nich znaleźć rozwiazanie równania (2.3) wyra zone wzorem (2.4). Ponadto funkcje sta e ' k (x) = y i, i = ; :::; k sa rozwiazaniami szczególnymi równania (2.3). De nicja 2.3 Niech f : (a; b)! R b edzie funkcja ciag a. Równanie ró zniczkowe postaci y y 0 = f (2.5) x nazywamy równaniem jednorodnym wzgl edem x i y.

2. RÓWNANIA RÓ ZNICZKOWE ZWYCZAJNE Niech D = f(x; y) : a < y x < b ^ x > 0g; D 2 = f(x; y) : a < y x < b ^ x < 0g: Poszukujemy krzywych ca kowych równania (2.5) w zbiorze D = D [ D 2. Twierdzenie 2.4 Funkcja ' : (; )! R jest rozwiazaniem równania (2.5) wtedy i tylko wtedy, gdy u (x) = '(x) x jest rozwiazaniem równania o zmiennych rozdzielonych u 0 = f (u) x 2..2 Równanie liniowe pierwszego rz edu i równanie Bernoullego Niech p; q : (a; b)! R b ed a funkcjami ciag ymi. De nicja 2.5 Równaniem liniowym pierwszego rz edu nazywmy równanie postaci u : y 0 + p (x) y = q (x) : (2.6) Równaniem jednorodnym odpowieadajacym równaniu (2.6) nazywamy równanie Równanie (2.6) nazywamy niejednorodnym. y 0 + p (x) y = 0: (2.7) Twierdzenie 2.6 Ca k a ogólna równania liniowego (2.6) jest klasa funkcji postaci ' s + ' 0 ; gdzie jest dowolna ca k a szczególna równania niejednorodnego (2.6) i ' 0 jest ca k a ogólna równania jednorodnego (2.7), przy czym ' 0 (x) = Ce P (x) ; C 2 R i P jest funkcja pierwotna funkcji p. Metody poszukiwania ca ki szczególnej metoda Lagrange a (uzmienniania/wariacji sta ej) Ca k a ogólna równania (2.7) jest klasa funkcji ' 0 (x) = e P (x), gdzie P jest jakakolwiek funkcja pierwotna f-cji p. Poszukujemy ca ki szczególnej w postaci ' s (x) = C (x) e P (x) (2.8) (w miejscu sta ej C pojawi a sie nieznana funkcja zmiennej x). Skoro ' s ma być ca k a szczególna równania niejednorodnego (2.6), to C 0 (x) = q (x) e P (x) i stad Z C (x) = q (x) e P (x) dx: 2

2. RÓWNANIA RÓ ZNICZKOWE ZWYCZAJNE metoda przewidywań Je zeli fukcja p jest sta a, p (x) = p 2 R, x 2 (a; b), to rozwiazaniem ogólnym równania jednorodnego (2.7) sa funkcje postaci ' 0 (x) = Ce px ; C 2 R. Je zeli dodatkowo funkcja q jest postaci gdzie q (x) = e x (W n (x) cos x + V m (x) sin x) ; W n, V m sa wielomianami zmiennej x odpowiednio stopnia n i m ; pewne sta e, to istnieje rozwiazanie szczególne równania (2.6) postaci gdzie ' s (x) = x k e x (R l (x) cos x + S l (x) sin x) ; R l, S l sa wielomianami zmiennej x stopnia l = maxfm; ng 0; + i 6= p k = : ; + i = p Twierdzenie 2.7 Je zeli ' i : (a; b)! R jest rozwiazaniem równania y 0 + p (x) y = q i (x), P i = ; :::; n, to ' (x) = n ' i (x) jest rozwiazaniem równania i= y 0 + p (x) y = nx q i (x) : 2.2 Równania ró zniczkowe zwyczajne rz edu drugiego De nicja 2.8 Równaniem ró zniczkowym zwyczajnym rz edu drugiego nazywamy równanie postaci F (x; y; y 0 ; y 00 ) = 0; (2.9) gdzie F :! R, R jest zbiorem otwartym i pochodna F wzgl edem ostatniej zmiennej nie jest to zsamo sciowo równa zero oraz y jest niewiadoma funkcja zmiennej x okre slona na pewnym przedziale otwartym. De nicja 2.9 Odwzorowanie ' : I! R nazywamy rozwiazaniem równania (2.9), je zeli i=. ' jest funkcja dwukrotanie ró zniczkowalna na I; V 2. (x; ' (x) ; ' 0 (x) ; ' 00 (x)) 2 ; 3. x2i V F (x; ' (x) ; ' 0 (x) ; ' 00 (x)) = 0: x2i De nicja 2.20 Postać równania ró zniczkowego nazywamy postacia normalna. y 00 = f (x; y; y 0 ) (2.0) 3

2. RÓWNANIA RÓ ZNICZKOWE ZWYCZAJNE De nicja 2.2 Zagadnieniem Cauchy ego (zagadnieniem poczatkowym) nazwyamy zadanie polegajace na znalezieniu rozwiazania ' równania (2.9) lub (2.0) takiego, ze ' (x 0 ) = y 0 ^ ' 0 (x 0 ) = y0: 0 Równania sprowadzalne do równań pierwszego rz edu F (x; y 0 ; y 00 ) = 0 stosujemy podstawienie u (x) = y 0 (x) F (y; y 0 ; y 00 ) = 0 stosujemy podstawienie 2.2. Równanie ró zniczkowe liniowe rz edu II y 0 = u (y) Niech p; q; f : (a; b)! R b eda funkcjami ciag ymi. De nicja 2.22 Równaniem ró zniczkowym liniowym rz edu II nazywamy równanie postaci Równanie y 00 + p (x) y 0 + q (x) y = f (x) : (2.) y 00 + p (x) y 0 + q (x) = 0 (2.2) nazywamy równaniem jednorodnym odpowiadajacym równaniu (2.). De nicja 2.23 Mówimy, ze funkcje ' ; ' 2 : (a; b)! R sa liniowo zale zne, je zeli istnieja sta e C ; C 2 takie, ze C 2 + C2 2 6= 0 oraz C ' + C 2 ' 2 = 0, tzn. ^ C ' (x) + C 2 ' 2 (x) = 0: x2(a;b) Mówimy, ze ' i ' 2 sa liniowo niezale zne, gdy nie sa liniowo zale zne. Twierdzenie 2.24 Za ó zmy, ze ' i ' 2 sa dowolnymi liniowo niezale znymi ca kami szczególnymi równania jednorodnego (2.2). Wówczas funkcje C ' + C 2 ' 2 ; C ; C 2 2 R; sa te z ca kami równania (2.2). Ponadto, je sli ' 0 jest ca k a szczególna równania (2.2), to istnieja jednoznacznie wyznaczone sta e C i C 2, ze ' 0 = C ' + C 2 ' 2 : De nicja 2.25 Liniowo niezale zne rozwiazania ' i ' 2 równania jednorodnego (2.2) nazywamy uk adem podstawowym ca ek (fundamentalnym uk adem rozwiazań). Je zeli ' i ' 2 jest fundamentalnym uk adem rozwiazań, to ca k a ogólna równania jednorodnego jest rodzina funkcji postaci C ' + C 2 ' 2 ; C ; C 2 2 R: 4

2. RÓWNANIA RÓ ZNICZKOWE ZWYCZAJNE Twierdzenie 2.26 Ca ki ' i ' 2 równania (2.2) sa liniowo niezale zne wtedy i tylko wtedy, gdy ^ W (x) = ' (x) ' 2 (x) ' 0 (x) ' 0 2 (x) 6= 0: x2(a;b) Wyznacznik W (x) nazywamy wrońskianem (wyznacznikiem Wrońskiego). Twierdzenie 2.27 Ca k a ogólna równania (2.) jest zbiór funkcji postaci ' (x) = C ' (x) + C 2 ' 2 (x) + ' s (x) ; gdzie ' i ' 2 jest uk adem podstawowym ca ek równania (2.2), C ; C 2 sa dowolnymi sta ymi oraz ' s jest dowolna ca k a szczególna równania niejednorodnego (2.). Twierdzenie 2.28 Je zeli ' : (a; b)! R jest rozwiazaniem równania jednorodnego (2.2) i ' (x) 6= 0 dla x 2 (a; b), to Z ' 2 (x) = ' (x) ' 2 (x)e P (x) dx; gdzie P (x) jest dowolna funkcja pierwotna funkcji p na (a; b), jest rozwiazaniem równania jednorodnego (2.2), przy czym ' i ' 2 sa liniowo niezale zne. Przyk ad 2.29 Dane jest równanie y 00 + 2 x y0 = 0. Funkcja ' (x) =, x > 0 jest rozwiazaniem szczególnym. Z ' 2 (x) = e R Z Z 2 x dx dx = e ln x 2 dx = x 2 dx = x : Mamy przy tym ' (x) ' 0 (x) ' 2 (x) ' 0 2 (x) = x = 6= 0: x2 0 x 2 ' i ' 2 sa liniowo niezale zne, zatem ca k a ogólna tego równania jest Metody poszukiwania ca ki szczególnej ' 0 (x) = C + C 2 x : metoda Lagrange a (uzmienniania sta ych) Za ó zmy, ze ' i ' 2 sa liniowo niezale znymi rozwiazaniami równania jednorodnego (2.2). Poszukujemy rozwiazania szczególnego równania (2.) w postaci ' s (x) = C (x) ' (x) + C 2 (x) ' 2 (x) ; gdzie C i C 2 sa pewnymi funkcjami ró zniczkowalnymi na przedziale (a; b). niewiadome funkcje mo zna wyznaczyć przez rozwiazanie uk adu równań Tych C 0 (x) ' (x) + C 0 2 (x) ' 2 (x) = 0 C 0 (x) ' 0 (x) + C 0 2 (x) ' 0 2 (x) = f (x) : Zauwa zmy, ze wyznacznikiem tego liniowego uk adu równań jest W (x) = ' (x) ' 2 (x) ' 0 (x) ' 0 2 (x) : 5

2. RÓWNANIA RÓ ZNICZKOWE ZWYCZAJNE metoda przewidywań Za ó zmy, ze funkcje p i q w równaniu (2.) sa sta e; otrzymujemy wtedy y 00 + py 0 + qy = 0; p; q 2 R: (2.3) Równaniem charakterystycznym odpowiadajacym równaniu (2.3) nazywamy równanie r 2 + pr + q = 0: (2.4) Niech = p 2 4q. Mamy nastepujace przypadki: > 0 wtedy równanie charakterystyczne ma dwa ró zne pierwiastki r, r 2 ; niech ' (x) = e rx ; ' 2 (x) = e r2x ; = 0 wtedy równanie (2.4) ma jeden podwójny pierwiastek r 0 ; niech ' (x) = e r0x ; ' 2 (x) = xe r0x ; < 0 wtedy równanie (2.4) ma dwa pierwiastki zespolone sprze zone r = i, ; 2 R; niech ' (x) = e x cos x; ' 2 (x) = e x sin x: W ka zdym z tych trzech przypadków funkcje ' i ' 2 tworza fundamentalny uk ad rozwiazań równania (2.3). Je zeli w równaniu o sta ych wspó czynnikach funkcja f jest postaci y 00 + py 0 + qy = f (x) (2.5) f (x) = e x (W n (x) cos x + V n (x) sin x) ; gdzie ; 2 R i W n, V m sa wielomianami zmiennej x odpowiednio stopnia n i m, to istnieje rozwiazanie szczególne równania (2.5) postaci ' s (x) = x k e x (R l (x) cos x + S l (x) sin x) ; gdzie R l, S l sa wielomianami stopnia l = maxfm; ng oraz k 2 f0; ; 2g oznacza krotność pierwiastka + i równania charakterystycznego r 2 + pr + q = 0: 6