5.2. OBNIŻENIE AMPLITUDY DRGAŃ ELEMENTÓW Z kursu drgań mechanicznych wiadomo, że każdy element mechaniczny, podzespół, a nawet całą maszynę można w przybliżeniu zmodelować układem mechanicznym o jednym stopniu swobody, tak jak na rys. 5.1. Rys. 5.1. Układ o jednym stopniu swobody jako model drgających elementów maszynowych i maszyn jako całości Parametry modelu: masa - m, sztywność - k, tłumienie - c zredukowane są do środka masy lub innego punktu reprezentatywnego elementu (na korpusie, na łapach, wirniku itp.). Oznaczona na rysunku wielkość F(t) to siła wzbudzająca drgania, zaś u(t) to przemieszczenia masy zredukowanej m. Charakter sił wzbudzających i ich możliwe reprezentacje czasowe i widmowe omówiliśmy już uprzednio w rozdziale drugim, tutaj jedynie założymy dodatkowo liniowość sił sprężystych (ku) i wiskotyczny charakter sił tłumiących (cu) w rozpatrywanym obiekcie. Załóżmy dalej, że siła wymuszająca ma charakter zdeterminowany i może być z dostateczną dokładnością przedstawiona w postaci szeregu Fouriera, czyli S F(t)= Σ F n cos(n ω o t + φ n ) n=1 z częstością podstawową ω o =2πfo i przesunięciami faz kolejnych harmonicznych φ n. Częstość podstawowa ω o wynika na ogół z cyklu pracy (obrotów) rozpatrywanego urządzenia. Z dynamiki wiadomo, że charakter ruchu układu modelowego można zbadać rozwiązując jego równanie różniczkowe ruchu... S mu + cu + ku = F(t)= F n cos(n ω o t + φ n ) (5.1) n=1 Łatwo sprawdzić, te rozwiązanie to można przedstawić w postaci szeregu
S F n cos ω o n t u(t) = (k-n² ω o ² m)² + h² n² ω o ² n=1 S u(t) = α F (n ω o )F n cos n ω o t (5.2) n=1 gdzie h=c/2m.
5.2.1. ZMIANA PARAMETRÓW UKŁADU W celu zbadania wpływu parametrów układu m, c, k na jego amplitudę drgań załóżmy, że wszystkie harmoniki siły wymuszającej są zerowe z wyjątkiem n = 1, czyli F 1 0, F n = 0, n 1. Wtedy odpowiedź na wymuszenie harmoniczne zgodnie ze wzorem (5.2) będzie u(t) = F 1 cos ω o t (k- ω o 2 m)² (5.3) u(t) = α F (ω o )F 1 cos ω o t Niech podstawowa częstość wymuszenia ω o zmienia się w szerokich granicach 0 < ω o < i przedstawmy podatność układu α F (ω o ) na wykresie w skali logarytmicznej, tak jak na rys5.2..dla ułatwienia zrozumienia tego rysunku zwróćmy uwagę na fakt, że dla częstotliwości niskich ω o 0 mamy α F (ω o ) 1/k, gdy ω o 0 (5.4) Rys. 5.2. Bezwymiarowa podatność układu o jednym stopniu swobody ze strefami wpływu parametrów
Jak widać podatność układu, a więc i amplituda drgań dla niskich częstotliwości zależy jedynie od jego sztywności. Znaczy to,że w obszarze niskich częstotliwości(rys.5.2)zmiana amplitudy drgań może być uzyskana jedynie przez zmianę sztywności układu(strefa wpływu k na rys.5.2). Dla wzrastających wartości częstości zdążających do rezonansu w układzie ω o (k/m) podatność rezonansowa zależy jedynie od tłumienia α F (ω o ) 1/hω o, gdy ω o k/m (5.5) znaczy to, że w strefie rezonansowej amplituda drgań zależy przede wszystkim od wartości tłumienia w układzie i tu leży główna możliwość minimalizacji rezonansowych drgań elementów maszyn. Po minięciu strefy rezonansowej na rys.5.2,tzn. dla ω o >> k/m lub bezwymiarowo ω o / k/m >>1 podatność układu przyjmie wartość α F (ω o ) 1/m ω o gdy ω o >> k/m (5.6) Znaczy to, że amplituda drgań w tym zakresie jest kontrolowana przez inercje (masę) układu drgającego (strefa wpływu m). Zauważmy przy tym jeszcze, że wartość podatności (5.6) jest identyczna z podatnością masy swobodnej, na która działa siła harmoniczna. Znaczy to, że dla częstotliwości wyższych w obszarze pozarezonansowym wpływ więzów sprężystych i dyssypatywnych jest do pominięcia, zaś układ zachowuje się jak swobodny w rozpatrywanym kierunku. Dodajmy tu jeszcze, że określenie częstość niska lub wysoka jest zawsze rozumiane w odniesieniu do częstotliwości rezonansowej układu ω r = k/m. Dlatego też na rysunku 5.2 poszczególne strefy wpływu łatwiej było oznaczyć w skali bezwymiarowej częstotliwości δ = ω r / k/m. Sumując przedstawione rozważania można stwierdzić, że amplituda drgań analizowanego układu, jako modelu elementu maszynowego, zachowuje się następująco: w zakresie częstotliwości niskich determinowana jest sztywnością układu, w zakresie rezonansowym wartością tłumienia, zaś w pozarezonansowym - masą. W terminologii angielskiej strefy te noszą odpowiednie nazwy: "stiffness controled", "damping controled" oraz "mass controled".
5.2.2. ZMIANA PARAMETRÓW WYMUSZENIA Analizując ponownie amplitudę drgań wymuszonych naszego wkładu (5.2), można dojść do wniosku, że będzie ona tym większa, im więcej składowych Fn będzie mieć siła wymuszająca F(t) oraz im większe będą te składowe. Ilość składowych to szerokość widmowa wymuszenia, ta zaś z kolei dla wymuszeń krótkotrwałych związana jest z czasem trwania poszczególnych zdarzeń wymuszenia. Najłatwiej to zilustrować przytaczając twierdzenie o podobieństwie obrazów i przekształceń fourierowskich [24,8]. F[u(at)]=(1/ a )U(f/a) (5.7) oraz zasadę nieoznaczoności w dziedzinie widma i czasu t f ~ 1 (5.8) Z obu relacji wynika, ze im krótszy czas trwania zjawiska (małe t lub a), tym szerszy jego zakres widmowy. Dlatego chcąc zmniejszyć amplitudę drgań układu należy eliminować siły wzbudzające o dużej zawartości harmonicznych 1ub mówiąc ogólnie o szerokim widmie. Takim widmem cechują się przede wszystkim siły występujące przy wzajemnych zderzeniach. Wiadomo przy tym, że wartość siły zderzenia zależy od prędkości względnej ciał pary zderzeniowej, ich masy oraz stanu powierzchni (twardość). Stąd też zmniejszenie mas, prędkości oraz wprowadzenie elastycznej warstwy pośredniej (tam gdzie to jest możliwe), w znacznym stopniu redukuje efekty drganiowe takich sił wymuszających. Z drugiej strony jak już pokazaliśmy widmo sił zderzeniowych (w ogólności impulsowych) jest tym szersze w skali częstotliwości, im krócej trwa efekt zderzenia. Tak więc, jeśli wyeliminowanie zderzeń nie jest możliwe (prasy, młoty), to należy wydłużyć czas trwania zderzenia, np. przez ukosowanie wykrojników, stosowanie przekładek elastycznych itd. Tym samym zmniejszy się wartość szczytową siły F(t) oraz wyeliminuje się wysokoczęstościowe drgania układu (konstrukcji). Jak dalece jest to istotne można pokazać obliczając średni kwadrat odpowiedzi układu (5.2), otrzymując (5.9) Przy wymuszeniu szerokopasmowym, np. ciągiem uderzeń, zawsze znajdzie się składowa wymuszenia bliska częstości rezonansowej r ω o ω r = k/m wtedy zamiast(5.9) możemy napisać wzór na odpowiedź rezonansową (5.10)
która jak wiemy jest kontrolowana przez wartość tłumienia h. Znacznie gorszą sytuację mamy, gdy element jest układem wielorezonansowym, możliwym jedynie do zamodelowania przez układ o wielu stopniach swobody. Wtedy, jak można pokazać, przy wymuszeniu szerokopasmowym (bądź cięgiem uderzeń) wszystkie rezonanse będą wzbudzone i zamiast jednego składnika (5.10) będziemy mieć sumę odpowiedzi rezonansowych jako odpowiedź układu (np. (5.9)). Omówione poczynania minimalizacyjne odnoszą się przede wszystkim do urządzeń o uderzeniowym sposobie pracy. W wielu jednak przypadkach zachodzące uderzenia, a zwłaszcza mikrouderzenia, nie wynikają ze sposobu pracy, lecz z wadliwego stanu eksploatacyjnego maszyny bądź źle zaprojektowanego dynamicznie sposobu pracy mechanizmu. W takich przypadkach jedynym środkiem zaradczym jest likwidacja zbędnych luzów w pierwszym przypadku oraz zmiana charakteru pracy mechanizmu w drugim. Chodzi tu na przykład o taki zarys krzywek, by konieczna zmiana przyspieszenia na profilu krzywki była minimalna, nie powodująca odrywania popychacza. Jeśli siła F(t) jest wynikiem ruchu obrotowego lub posuwisto-zwrotnego elementów, to zawiera ona cały szereg harmonicznych związanych z ruchem podstawowym. Zmniejszenie amplitud tych harmonicznych uzyskuje się przez wyrównoważenie sił i momentów bezwładności. Zabieg ten jest szczególnie istotny dla maszyn szybkoobrotowych, gdyż siły bezwładności rosną z kwadratem prędkości kątowej.
5.2.3. DOŁĄCZENIE UKŁADU DODATKOWEGO W praktyce przemysłowej zdarzają się sytuacje rezonansowych drgań podzespołów lub elementów, gdzie nie istnieje możliwość odstrojenia układu przez zmianę masy lub sztywności, zwiększenia tłumienia, oraz nie można zmienić charakteru sił wymuszających. Jako przykład może tu posłużyć korpus maszynki elektrycznej do włosów z napędem elektromagnetycznym możliwy do zamodelowania jako swobodna bryła. Żadne zmiany parametrów tu więc nic nie zmienią. Drugi przykład to wał wykorbiony silnika spalinowego, który z natury pracuje niestacjonarnie przechodząc wielokrotnie z obrotami, tzn. z wymuszeniem, wszystkie swe strefy rezonansowe. Podobnie ma się rzecz z suwnicą, dźwigiem, a nawet łukiem sportowym. Nie sposób więc mówić tu o odstrojeniu bądź zmianie parametrów układu jako sposobie minimalizacji drgań. W takich przypadkach jedyną możliwością zmniejszenia amplitud drgań, a także naprężeń i hałasu, jest dołączenie w miejscu przekroczenia amplitud drgań dodatkowego układu mechanicznego, zwanego eliminatorem drgań. W ogólności eliminatory drgań, zwane często nieprecyzyjnie tłumikami (bo tłumik to również element tłumiący - dyssypatywny), dzielimy na dwie klasy. Pierwsza z nich to eliminatory dynamiczne, działające na zasadzie kompensacji sił, oraz druga klasa eliminatory rezonansowe, działające na zasadzie wnoszenia dodatkowego tłumienia (dyssypacji), które w rezonansie układu głównego staje się istotne i obniża amplitudę drgań rezonansowych. Tak więc mamy układ główny o niedopuszczalnie wysokich drganiach, do którego dołączamy układ dodatkowy eliminator drgań. Jest zaś oczywiste, że natura ruchu obu układów może być obrotowa jak przy drganiach skrętnych wałów lub też prostoliniowa jak w pozostałych przypadkach. Zmienia się jedynie wtedy wymiar fizyczny i postać konstrukcyjna. elementów układu, np. masa przechodzi na biegunowy moment bezwładności układu,względem osi obrotu itd. Nie rozróżniając zatem rodzaju ruchu eliminatorów i ich postaci konstrukcyjnych omówimy jedynie ideę ich działania i stosowania, odsyłając zainteresowanych do literatury szczegółowej [9, 10]. Rys.5.3. Modele typowych eliminatorów drgań: a) dynamiczny, b) z tłumikiem wiskotycznym, c) z tłumikiem ciernym, d) uderzeniowy, e) charakterystyka częstotliwościowa układu głównego z eliminatorem dynamicznym i bez eliminatora, f) to samo dla eliminatora rezonansowego
Eliminator dynamiczny (rys. 5.3a) złożony jest z elementów inercyjnego i sprężystego, a czasami nawet dodatkowego elementu dyssypatywnego, zapewniającego optymalne tłumienie. W rzeczywistości, mimo niejednokrotnego braku dodatkowego elementu tłumiącego, zawsze mamy do czynienia z dyssypacją energii, choćby w materiale sprężyny. Stad też tłumik h o w modelu zawsze powinien być wzięty pod uwagę. Kompensacja sił, będąca istotą działania eliminatora dynamicznego, zachodzi jedynie dla przypadku, kiedy częstość wymuszenia ω o siły F(t)= F o cos ω o t jest równa częstości własnej rezonansowej układu dodatkowego ω r. Tak więc warunkiem dostrojenia i poprawnej pracy eliminatora dynamicznego jest ω o = k e / m e (5.11) Optymalna wartość tłumienia wyraża się bardziej skomplikowanym wzorem, a proste oszacowania stopnia tłumienia może być zapisana wzorem [9, r.3], (5.12) a więc zależy od stosunku masy eliminatora do masy układu głównego m, µ = m e /m. Maksymalna amplituda drgań układu głównego przy takim nastrojeniu w odniesieniu do jego ugięcia statycznego (linia przerywana na rys. 5.3e) (5.13) Tak więc, jeśli bezwymiarowa masa eliminatora będzie µ= m o /m =0,1, to maksymalna amplituda drgań w całej skali częstotliwości układu głównego U max = 4,6 U st. Dokładną teorię takich eliminatorów i obszary ich zastosowań można znaleźć w [9] oraz [81], tutaj jedynie wymienimy jeszcze raz maszynkę do włosów, wały napędowe silników spalinowych, elementy korpusowe, korpusy i linie napędu obrabiarek, wysokie budynki itp., zaś generalnie można powiedzieć, że stosuje się je w dziedzinie niskich częstotliwości rzędu do 100 Hz. Eliminator rezonansowy Lanchestera składa się z eliminatora i elementu tłumiącego - z tłumikiem wiskotycznym (rys. 5.3b) lub tłumikiem ciernym (rys.5.3c). Ponieważ nie ma tu sprężystego elementu sprzęgającego, nie ma więc przekazywania przeciwfazowych sił kompensujących, a jedynie odbiór energii i jej dyssypacja w elemencie tłumiącym, co może ujawnić się dopiero w rezonansie układu głównego. Optymalna wartość tłumienia eliminatora Lanchestera wg den Hartoga [9, r.3] wynosi ξ opt = h e opt / h e cr = 1/(2(1+µ)(2+µ)) (5.14) Maksymalna amplituda drgań układu głównego (rys. 5.3f), [82, r. 24] (U max / U st ) wisk = 1+2/µ (5.15) (U max / U st ) cierny = π²/4µ
co dla µ=0,1 da U max = 21 U st oraz 24,6 U st. Widać więc, że w przypadku eliminatora rezonansowego, wiskotycznego czy ciernego wymagana jest znacznie większa masa eliminatora. Obszary zastosowania eliminatorów rezonansowych są ograniczone istotą ich działania (tłumienie rezonansów), a poza tym nie ma istotnych innych ograniczeń czy to dla drgań postępowych, czy skrętnych. Eliminator rezonansowy uderzeniowy (rys. 5.3d) nie ma stałego połączenia z układem głównym, zaś oddziaływanie obu układów jest impulsowe zderzeniowe ze ścianami pojemnika przy nawrotach ruchu mas eliminatora. Zwykle masa eliminatora jest rozdzielona na n małych mas - m o (m e = nm o ), wykonujących niezależne ruchy w pojemniku. Efektywność ich działania zależy od luzu, czyli drogi swobodnej, jaką masy te mogą przebyć. Zgodnie z teorią takich eliminatorów [83] ich luz bezwymiarowy D oraz efektywność dogodnie jest wyrażać w odniesieniu do amplitudy rezonansowej w układzie głównym bez eliminatora U rez. Definiując więc efektywność jako E = (amplituda rezonansowa bez eliminatora)/(amplituda rezonansowa z eliminatorem) (5.16) i luz bezwymiarowy D = (rzeczywisty luz)/(amplituda rezonansowa bez eliminatora) możemy dla eliminatora wielomasowego n >>1 napisać relację przybliżoną D (1+µ/η ) -1, E 1+ µ/η, czyli DE 1 (5.17) Jeśli więc stratność w układzie głównym η = 2 ξ wyniesie η = 0,01, zaś bezwymiarowa masa eliminatora η = m e /m = n m o /m = 0,1, to ponad czterokrotne zmniejszenie drgań rezonansowych otrzymamy, gdy luz będzie rzędu połowy amplitudy drgań rezonansowych. Porównawczo można powiedzieć, że eliminator uderzeniowy jest najbardziej efektywny wśród eliminatorów rezonansowych, jednak jego względna nowość nie zaowocowała jeszcze pełnym rozpowszechnieniem. A że idea ta jest słuszna i sięgająca nie tylko częstości niskich, warto przytoczyć sposób podwyższania izolacyjności ścian betonowych przez wypełnianie piaskiem specjalnych otworów. Daje to podwyższenie izolacyjności ściany (zmniejszenie amplitudy drgań przy pobudzeniu dźwiękiem) rzędu 20 db [29, r. III.7]. Na pograniczu eliminatorów drgań leży czynne wykorzystanie tarcia konstrukcyjnego w połączeniach elementów maszyn [81,84]. Przy konstrukcyjnym zapewnieniu względnych mikroruchów cała moc ruchu drganiowego dyssypowana jest przez tarcie na ciepło. Tego typu dyssypacja energii ma szczególne znaczenie przy redukcji drgań rezonansowych elementów maszynowych, a nawet została wykorzystana do redukcji promieniowania hałasu misy alejowej silnika diselowskiego [85]