Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt) y Potęga (gdzie i y są róże od zera) jest rówa A.. y Zadaie. ( pkt) Liczba log jest rówa 7 y C. y D. y A.. C. D. Zadaie 4. ( pkt) Wyrażeie dla < 0 jest rówe A.. C. D. Zadaie. ( pkt) W pewym sklepie cey wszystkich płyt CD obiżoo o 0%. Zatem za dwie płyty kupioe w tym sklepie ależy zapłacić miej o A. 0%. 0% C. 0% D. 40% Zadaie 6. ( pkt) Wielomia 4 00 jest rówy A. 0. 0 0 C. 4 0 D. 40 0 Zadaie 7. ( pkt) 6 Rówaie 0 6 A. ie ma rozwiązań.. ma dokładie jedo rozwiązaie. C. ma dokładie dwa rozwiązaia. D. ma dokładie trzy rozwiązaia.
4 Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy Zadaie 8. ( pkt) Największą liczbą całkowitą spełiającą ierówość 4 4 4 jest A.. 4 C. D. Zadaie 9. ( pkt) Fukcja liiowa f 6 A. jest malejąca i jej wykres przechodzi przez pukt. jest rosąca i jej wykres przechodzi przez pukt 0,6. 0,6. C. jest malejąca i jej wykres przechodzi przez pukt 0, 6. D. jest rosąca i jej wykres przechodzi przez pukt 0, 6. Zadaie 0. ( pkt) Liczby, są rozwiązaiami rówaia 4 6 0. Suma jest rówa A. 6. C. 40 D. 48 Zadaie. ( pkt) Na rysuku jest przedstawioy wykres fukcji y f. Zbiorem wartości tej fukcji jest y A. 4,. 4,, C. 4,, D., 6 Zadaie. ( pkt) W trójkącie prostokątym dae są kąty ostre: 7 i 6. Wtedy A. si6. si 6 C. D. cos si rówa się cos
6 Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy Zadaie. ( pkt) Ciąg arytmetyczy a jest określoy wzorem a dla. Różica tego ciągu jest rówa A.. C. D. Zadaie 4. ( pkt) W ciągu geometryczym a dae są a i a. Wtedy wyraz a jest rówy A.. C. D. Zadaie. ( pkt) Dae są pukty A 6, i,. Współczyik kierukowy prostej A jest rówy A.. C. D. Zadaie 6. ( pkt) Pole prostokąta jest rówe 40. Stosuek długości jego boków jest rówy :. Dłuższy bok tego prostokąta jest rówy A. 0. 8 C. 7 D. 6 Zadaie 7. ( pkt) Day jest trójkąt prostokąty o przyprostokątych i. Promień okręgu opisaego a tym trójkącie jest rówy A.. 8, C. 6, D. Zadaie 8. ( pkt) Dae są dwa okręgi o promieiach i 7. Miejszy okrąg przechodzi przez środek większego okręgu. Odległość między środkami tych okręgów jest rówa A.. C. 7 D. 9 Zadaie 9. ( pkt) Stożek powstał w wyiku obrotu trójkąta prostokątego o przyprostokątych i wokół dłuższej przyprostokątej. Promień podstawy tego stożka jest rówy A.. C. 7, D. 6,
8 Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy Zadaie 0. ( pkt) Day jest sześcia ACDEFGH. Siatką ostrosłupa czworokątego ACDE jest E H F G D C A A.. C. D. Zadaie. ( pkt) Jeżeli A jest zdarzeiem losowym oraz A jest zdarzeiem przeciwym do zdarzeia A i PA PA, to prawdopodobieństwo zdarzeia A jest rówe A. 4. C. 6 D. 6
Zadaie. ( pkt) Rozwiąż ierówość: + + 6 0. ZADANIA OTWARTE Zadaie. ( pkt) Fukcja f jest określoa wzorem f() = Oblicz współczyik b. dla 0. Poadto wiemy, że f (4) = -. Zadaie 4. ( pkt) Podstawy trapezu prostokątego mają długości 6 i 0 oraz tages kąta ostrego jest rówy. Oblicz pole tego trapezu. Zadaie. ( pkt) Trójkąt AC przedstawioy a poiższym rysuku jest rówoboczy, a pukty, C, N są współliiowe. Na boku AC wybrao pukt M tak, że AM = CN. Wykaż, że M = MN. Zadaie 6. ( pkt) Liczby 64,,4 są odpowiedio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem malejącego ciągu geometryczego. Oblicz piąty wyraz tego ciągu. Zadaie 7. ( pkt) Uzasadij, że dla każdej dodatiej liczby całkowitej liczba + + + jest wielokrotością liczby 0. Zadaie 8. ( pkt) Tabela przedstawia wyiki uzyskae a sprawdziaie przez ucziów klasy III. Ocey 6 4 Liczba ucziów 6 9 Oblicz średią arytmetyczą i kwadrat odchyleia stadardowego uzyskaych oce. Zadaie 9. ( pkt) Rzucamy dwa razy symetryczą sześcieą kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeia A polegającego a tym, że liczba oczek w drugim rzucie jest o większa od liczby oczek w pierwszym rzucie. Zadaie 0. (4 pkt) Podstawą ostrosłupa ACDS jest romb ACD o boku długości 4. Kąt AC rombu ma miarę 0 o oraz AS = CS = 0 i S = DS. Oblicz sius kąta achyleia krawędzi S do płaszczyzy podstawy ostrosłupa. Zadaie. (4 pkt) Wyzacz rówaie okręgu przechodzącego przez pukt A(;) i styczego do obu osi układu współrzędych. Rozważ wszystkie przypadki. Zadaie. ( pkt) Z dwóch miast A i, odległych od siebie o 8 kilometrów, wyruszyli aprzeciw siebie dwaj turyści. Pierwszy turysta wyszedł z miasta A o jedą godzię wcześiej iż drugi z miasta. Oblicz prędkość, z jaką szedł każdy turysta, jeżeli wiadomo, że po spotkaiu pierwszy turysta szedł do miasta jeszcze, godziy, drugi zaś szedł jeszcze 4 godziy do miasta A.
Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 4 6 7 8 9 0 4 6 7 8 9 0 Odp. D A C A A D C C D C A A A C D Zadaie. ( pkt) Rozwiąż ierówość Schemat oceiaia do zadań otwartych 6 0. Rozwiązaie Rozwiązaie ierówości kwadratowej składa się z dwóch etapów. Pierwszy etap może być realizoway a sposoby: I sposób rozwiązaia (realizacja pierwszego etapu) Zajdujemy pierwiastki trójmiau kwadratowego 6 obliczamy wyróżik tego trójmiau: 9 4 44 i stąd 4, 6 6 albo stosujemy wzory Viète a: oraz i stąd 4 oraz albo podajemy je bezpośredio (eplicite lub zapisując postać iloczyową trójmiau lub zazaczając a wykresie) 4, lub 4 0 lub y 4
Marzec 0 II sposób rozwiązaia (realizacja pierwszego etapu) Wyzaczamy postać kaoiczą trójmiau kwadratowego 47 0 4 a astępie przekształcamy ierówość, tak by jej lewa stroa była zapisaa w postaci iloczyowej 49 0 4 7 7 0 4 0 Drugi etap rozwiązaia: Podajemy zbiór rozwiązań ierówości, 4. Schemat oceiaia Zdający otrzymuje... pkt gdy: zrealizuje pierwszy etap rozwiązaia i a tym poprzestaie lub błędie zapisze zbiór rozwiązań ierówości, p. o obliczy lub poda pierwiastki trójmiau kwadratowego 4, i a tym poprzestaie lub błędie zapisze zbiór rozwiązań ierówości o zazaczy a wykresie miejsca zerowe fukcji f 6 i a tym poprzestaie lub błędie zapisze zbiór rozwiązań ierówości o rozłoży trójmia kwadratowy a czyiki liiowe, p. 4 i a tym poprzestaie lub błędie rozwiąże ierówość realizując pierwszy etap, popełi błąd (ale otrzyma dwa róże pierwiastki) i kosekwetie do tego rozwiąże ierówość, p. o popełi błąd rachukowy przy obliczaiu wyróżika lub pierwiastków trójmiau kwadratowego i kosekwetie do popełioego błędu rozwiąże ierówość o błędie zapisze rówaia wyikające ze wzorów Viète a: i i kosekwetie do tego rozwiąże ierówość Zdający otrzymuje... pkt gdy: poda zbiór rozwiązań ierówości :, 4 lub, 4 lub 4 albo sporządzi ilustrację geometryczą (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań ierówości w postaci, 4
Marzec 0 albo poda zbiór rozwiązań ierówości w postaci graficzej z poprawie zazaczoymi końcami przedziałów 4 Uwagi. Jeżeli zdający poprawie obliczy pierwiastki trójmiau i 4 i zapisze, 4, popełiając tym samym błąd przy przepisywaiu jedego z pierwiastków, to za takie rozwiązaie otrzymuje pukty.. Jeżeli błąd zdającego w obliczeiu pierwiastków trójmiau ie wyika z wykoywaych przez iego czyości (zdający rozwiązuje swoje zadaie ), to otrzymuje 0 puktów za całe zadaie. Zadaie. ( pkt) Fukcja f jest określoa wzorem Oblicz współczyik b. f b 9 dla 9. Poadto wiemy, że f 4. Rozwiązaie Waruek f 4 zapisujemy w postaci rówaia z iewiadomą b: Rozwiązujemy to rówaie i obliczamy współczyik b: b. Schemat oceiaia 4 b. 4 9 Zdający otrzymuje... pkt 4 b gdy poprawie zapisze rówaie z iewiadomą b, p.. 4 9 Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy współczyik b. 4
Marzec 0 Zadaie 4. ( pkt) Podstawy trapezu prostokątego mają długości 6 i 0 oraz tages kąta ostrego jest rówy. Oblicz pole tego trapezu. Rozwiązaie 6 h 6 4 Obliczamy wysokość trapezu h, korzystając z faktu, że tages kąta ostrego jest rówy : h, stąd h. 4 Zatem pole trapezu jest rówe 60 96. Schemat oceiaia Zdający otrzymuje... pkt gdy: obliczy wysokość trapezu h i a tym poprzestaie lub błędie obliczy pole albo obliczy wysokość trapezu z błędem rachukowym i kosekwetie do popełioego błędu obliczy pole trapezu. Zdający otrzymuje... pkt gdy poprawie obliczy pole trapezu P 96. Zadaie. ( pkt) Trójkąt AC przedstawioy a poiższym rysuku jest rówoboczy, a pukty, C, N są współliiowe. Na boku AC wybrao pukt M tak, że AM CN. Wykaż, że M MN. N C M A
Marzec 0 I sposób rozwiązaia N C M D A Rysujemy odciek MD rówoległy do odcika A. Uzasadiamy, że trójkąty DM i MCN są przystające a podstawie cechy bkb: D CN, bo D AM MD CM, bo trójkąt MDC jest rówoboczy DM 0 NCM Zatem M MN. Schemat oceiaia I sposobu rozwiązaia Zdający otrzymuje... pkt gdy apisze, że trójkąty DM i MCN są przystające i wyprowadzi stąd wiosek, że M MN. Zdający otrzymuje... pkt gdy poprawie uzasadi, że trójkąty DM i MCN są przystające i wyprowadzi stąd wiosek, że M MN. Uwaga Zdający może też dorysować odciek MD C i aalogiczie pokazać, że trójkąty MD i MNC są przystające. II sposób rozwiązaia Z twierdzeia cosiusów dla trójkąta AM obliczamy M AM A AM A cos 60 AM A AM A AM A AM A. M : 6
Marzec 0 Z twierdzeia cosiusów dla trójkąta MCN obliczamy MN MC CN MC CN cos0 MC CN MC CN MC CN MC CN Poieważ AM CN i MC A AM, więc MN A AM AM A AM AM MN : A AM A AM AM A AM AM Zatem M MN, czyli M MN. Schemat oceiaia II sposobu rozwiązaia A AM A AM. Zdający otrzymuje... pkt gdy korzystając z twierdzeia cosiusów, obliczy kwadraty długości odcików M i MN. Zdający otrzymuje... pkt gdy poprawie uzasadi, że M MN. Zadaie 6. ( pkt) Liczby 64,,4 są odpowiedio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem malejącego ciągu geometryczego. Oblicz piąty wyraz tego ciągu. I sposób rozwiązaia Korzystając ze wzoru a trzeci wyraz ciągu geometryczego obliczamy q iloraz ciągu: 464 q q 6 q lub q. 4 4 Poieważ ciąg jest malejący, to Obliczamy koleje wyrazy ciągu: q. 4 64,6,4,, 4, zatem piąty wyraz ciągu jest rówy 4. II sposób rozwiązaia Z własości ciągu geometryczego wyika, że 64 4. Stąd 6, czyli 6 lub 6. Poieważ ciąg geometryczy jest malejący, to 6, a iloraz tego ciągu q jest rówy 4. Obliczamy koleje wyrazy ciągu: 64,6,4,,, zatem piąty wyraz ciągu jest 4 rówy 4. Uwaga Zdający może obliczyć piąty wyraz ciągu korzystając ze wzoru: 4 4 64. 4 4 4 4 7
Marzec 0 Schemat oceiaia Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy iloraz ciągu: q. 4 Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy piąty wyraz ciągu: 4 Zadaie 7. ( pkt) Uzasadij, że dla każdej dodatiej liczby całkowitej liczba wielokrotością liczby 0. jest Rozwiązaie Liczbę przedstawiamy w postaci 9 4 9 40 0 0, gdzie k k jest liczbą całkowitą. Zatem liczba jest wielokrotością liczby 0. Schemat oceiaia Zdający otrzymuje... pkt gdy zapisze liczbę w postaci 0 i ie uzasadi, że liczba jest podziela przez 0. Zdający otrzymuje... pkt gdy przeprowadzi pełe rozumowaie, p.: przekształci liczbę 0 0 0k, gdzie k jest liczbą całkowitą albo przekształci liczbę 0 do postaci do postaci 0 i zapisze, że liczbą całkowitą albo zapisze liczbę w postaci 0 i uzasadi, że jest podziela przez 0. Uwaga Jeśli zdający zapisuje kolejo: 0 0 0 0 0 i uzasadia, że jest liczbą podzielą przez, to otrzymuje pukty. jest 8
Marzec 0 Zadaie 8. ( pkt) Tabela przedstawia wyiki uzyskae a sprawdziaie przez ucziów klasy III. Ocey 6 4 Liczba ucziów 6 9 Oblicz średią arytmetyczą i kwadrat odchyleia stadardowego uzyskaych oce. Rozwiązaie Obliczamy średią arytmetyczą oce uzyskaych przez ucziów klasy III: 6 46 9 7. Obliczamy kwadrat odchyleia stadardowego uzyskaych oce: 6 64 9 9 4 6 0 9 4 986098 40, 6 Schemat oceiaia Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy średią arytmetyczą oce uzyskaych przez ucziów klasy III i a tym poprzestaie lub dalej popełia błędy lub obliczy średią arytmetyczą oce uzyskaych przez ucziów klasy III z błędem rachukowym i kosekwetie do tego obliczy kwadrat odchyleia stadardowego. Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy średią arytmetyczą i kwadrat odchyleia stadardowego uzyskaych oce: odpowiedio i,6. Zadaie 9. ( pkt) Rzucamy dwa razy symetryczą sześcieą kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeia A polegającego a tym, że liczba oczek w drugim rzucie jest o większa od liczby oczek w pierwszym rzucie. I sposób rozwiązaia jest zbiorem wszystkich par w którym 6. ab, takich, że ab,,,,4,,6 Zdarzeiu A sprzyjają astępujące zdarzeia elemetare:,,,,,4, 4,,,6 Zatem P A A i stąd A. 6. Mamy model klasyczy, 9
Marzec 0 Schemat oceiaia I sposobu rozwiązaia Zdający otrzymuje... pkt gdy zapisze, że 6 A,,,,,4, 4,,,6. i Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy prawdopodobieństwa zdarzeia A: PA. 6 II sposób rozwiązaia: metoda drzewa Rysujemy drzewo i pogrubiamy istote dla rozwiązaia zadaia gałęzie tego drzewa. Zapisujemy prawdopodobieństwa tylko a tych gałęziach. 6 6 6 6 6 4 6 6 6 6 6 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzeia A: P A. 6 6 6 Schemat oceiaia II sposobu rozwiązaia Zdający otrzymuje... pkt gdy albo arysuje drzewo, zapisze prawdopodobieństwa a jego gałęziach i wskaże a drzewie właściwe gałęzie (p. pogrubieie gałęzi lub zapisaie prawdopodobieństw tylko a istotych gałęziach) arysuje drzewo, zapisze prawdopodobieństwa a jego gałęziach i ie wskazuje a drzewie odpowiedich gałęzi, ale z dalszych obliczeń moża wywioskować, że wybiera właściwe gałęzie. Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy prawdopodobieństwa zdarzeia A: PA. 6 0
Marzec 0 III sposób rozwiązaia: metoda tabeli Rysujemy tabelę i wybieramy zdarzeia elemetare sprzyjające zdarzeiu A. II kostka 4 6 X X I kostka X 4 X X 6 6 i A, zatem P A. 6 Schemat oceiaia III sposobu rozwiązaia Zdający otrzymuje... pkt gdy arysuje tabelę i wypisze wszystkie zdarzeia sprzyjające lub zazaczy je w tabeli. Zdający otrzymuje... pkt gdy poda poprawą odpowiedź: PA. 6
Marzec 0 Zadaie 0. (4 pkt) Podstawą ostrosłupa ACDS jest romb ACD o boku długości 4. Kąt AC rombu ma miarę 0 oraz AS CS 0 i S DS. Oblicz sius kąta achyleia krawędzi S do płaszczyzy podstawy ostrosłupa. I sposób rozwiązaia S b D h c C D O a A f e O C A a a a Wprowadźmy ozaczeia: a długość boku rombu e, f długości przekątych rombu h wysokość ostrosłupa b AS CS c S DS. Obliczamy długości przekątych podstawy. Poieważ AC 0, to trójkąt AD jest rówoboczy. Zatem mamy: f a e D a i OC, f stąd e 4,. Korzystając z twierdzeia Pitagorasa w trójkącie AOS, obliczamy wysokość ostrosłupa: f h b 0 88 h 88 Obliczamy długość krawędzi boczej S: e c h 88 4 c 9
Marzec 0 Obliczamy sius kąta achyleia krawędzi boczej S ostrosłupa do płaszczyzy podstawy: h 06 si c si 0,9780. Schemat oceiaia Rozwiązaie, w którym postęp jest iewielki, ale koieczy a drodze do pełego rozwiązaia zadaia... pkt e Obliczeie długości przekątych podstawy ostrosłupa: e 4 i f 4 (lub f i ). Rozwiązaie, w którym jest istoty postęp... pkt Obliczeie wysokości ostrosłupa h. Pokoaie zasadiczych trudości zadaia... pkt Obliczeie długości krótszej krawędzi boczej ostrosłupa: c. Rozwiązaie pełe... 4 pkt Obliczeie si. II sposób rozwiązaia S b D h c C D O a A f e O C A a a a Wprowadźmy ozaczeia: a długość boku rombu e, f długości przekątych rombu h wysokość ostrosłupa b AS CS c S DS.
Marzec 0 Obliczamy długości przekątych podstawy. Poieważ AC 0, to trójkąt AD jest rówoboczy. Zatem mamy: a e D a i f OC, stąd e 4, f 4. Korzystając z twierdzeia Pitagorasa w trójkącie AOS, obliczamy wysokość ostrosłupa: f h b h. Obliczamy tages kąta achyleia krótszej krawędzi boczej ostrosłupa do płaszczyzy podstawy: h tg e Obliczamy si korzystając z tożsamości trygoometryczych: si si tg cos si h 0 88, stąd 88 si si si si si, zatemsi. Uwaga Jeżeli zdający, korzystając z przybliżoej wartości tagesa kąta (tg 4,6904 ), odczyta miarę kąta 78 i astępie zapisze si si 78 0,978, to za takie rozwiązaie otrzymuje 4 pukty. Schemat oceiaia Rozwiązaie, w którym postęp jest iewielki, ale koieczy a drodze do pełego rozwiązaia zadaia... pkt Obliczeie długości przekątych podstawy ostrosłupa: e 4 i f 4 e f (lub i ). Rozwiązaie, w którym jest istoty postęp... pkt Obliczeie wysokości ostrosłupa: h. Pokoaie zasadiczych trudości zadaia... pkt Obliczeie tagesa kąta achyleia krótszej krawędzi boczej ostrosłupa do płaszczyzy podstawy tg. Rozwiązaie pełe...4 pkt Obliczeie si albo si si 78 0,978. 4
Zadaie. (4 pkt) Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych Marzec 0 Wyzacz rówaie okręgu przechodzącego przez pukt, układu współrzędych. Rozważ wszystkie przypadki. Rozwiązaie y A i styczego do obu osi S, R R S r, r A, Poieważ okrąg jest styczy do obu osi układu współrzędych i przechodzi przez pukt A, leżący w I ćwiartce układu współrzędych, to jego środek rówież leży w I ćwiartce układu współrzędych. Stąd środek S tego okręgu ma współrzęde S r, r gdzie r jest promieiem tego okręgu. Rówaie okręgu ma zatem postać r yr r. Pukt A, leży a tym okręgu, więc r r r r,. Stąd otrzymujemy 6r 0. Rozwiązaiami tego rówaia są liczby: r, r. To ozacza, że są dwa okręgi spełiające waruki zadaia o rówaiach y i y. Schemat oceiaia Rozwiązaie, w którym jest istoty postęp... pkt Zapisaie współrzędych środka S szukaego okręgu w zależości od promieia r tego S r, r lub zapisaie, że środek okręgu leży a prostej o rówaiu y. okręgu: Pokoaie zasadiczych trudości zadaia... pkt Zapisaie rówaia kwadratowego z jedą iewiadomą: r r r czyli r 6r 0. Rozwiązaie zadaia do końca lecz z usterkami, które jedak ie przekreślają poprawości rozwiązaia (p. błędy rachukowe)... pkt Zadaie rozwiązae do końca, ale w trakcie rozwiązaia popełiao błędy rachukowe.
Marzec 0 Rozwiązaie pełe...4 pkt Zapisaie rówań obu okręgów: w postaci kaoiczej: y i y lub w postaci ogólej: y y 0 i y 00y 0. Uwagi. Jeżeli zdający zapisze rówaie jedego okręgu (ie wyprowadzając go), to otrzymuje pukt.. Jeżeli zdający zapisze rówaia obu okręgów (ie wyprowadzając ich), to otrzymuje pukty. Zadaie. ( pkt) Z dwóch miast A i, odległych od siebie o 8 kilometrów, wyruszyli aprzeciw siebie dwaj turyści. Pierwszy turysta wyszedł z miasta A o jedą godzię wcześiej iż drugi z miasta. Oblicz prędkość, z jaką szedł każdy turysta, jeżeli wiadomo, że po spotkaiu pierwszy turysta szedł do miasta jeszcze, godziy, drugi zaś szedł jeszcze 4 godziy do miasta A. Uwaga W poiżej zamieszczoym schemacie używamy iewiadomych v A, v,, t ozaczających odpowiedio: prędkość turysty z miasta A, prędkość turysty z miasta oraz drogę i czas do mometu spotkaia. Oczywiście iewiadome mogą być ozaczae w iy sposób. Nie wymagamy, by iewiadome były wyraźie opisae a początku rozwiązaia, o ile z postaci rówań jaso wyika ich zaczeie. Rozwiązaie Przyjmujemy ozaczeia, p.: v A, v,, t prędkość turysty z miasta A, prędkość turysty z miasta oraz droga i czas do mometu spotkaia. Zapisujemy zależość między drogą, prędkością v A i czasem t dla jedego z turystów, p.: 8 va (prędkość do chwili spotkaia) i va (prędkość od chwili spotkaia). t, Zapisujemy zależość między drogą, prędkością v i czasem t dla drugiego z turysty (wychodzącego z miasta ), p.: (prędkość od chwili spotkaia). v 8 (prędkość do chwili spotkaia), t v 4 Zapisujemy zależość między drogą a czasem w sytuacji opisaej w zadaiu za pomocą 8 układu rówań t, 8 t 4 6
Marzec 0 Rozwiązując układ rówań, doprowadzamy do rówaia z jedą iewiadomą, p.: Rozwiązujemy rówaia otrzymując kolejo: Z drugiego rówaia wyzaczamy 7 t 4 i wstawiamy do pierwszego rówaia 7 7, 8 t t4 t4 08 7 7 8t 8 t t4 t4 t4 możymy obustroie przez t 4 08 8t t4 8 t4 7t 7 8t 8t08 0 dzielimy obustroie przez 8 t t6 0 4 t t t jest sprzecze z warukami zadaia 7 7 obliczamy, t 4 6 a astępie prędkość z jaką szedł każdy z turystów, p: va 4km/h t 8 6 v km/h t Z pierwszego rówaia wyzaczamy 8t 8 t, i wstawiamy do drugiego rówaia 8t8 8t8 t 4 8 t, t, 8 t 8 t 7 7 7 t t, t, możymy obustroie przez t, t t t t 8 8 7, 7 7 8t 8t08 0 dzielimy obustroie przez 8 Z drugiego rówaia wyzaczamy t 7 4 t i wstawiamy do pierwszego rówaia 7 4, 8 87 4, 8 7 4 87 4, 4 możymy obustroie przez, 96 74, 696 0 dzielimy obustroie przez, 84864 0 706 46 60 84 60 84 60 7 jest sprzecze z warukami zadaia 7 4 4 obliczamy t, a astępie prędkość z jaką szedł każdy z turystów, p.: 8 6 va 4km/h,, v km/h 4 4 Z pierwszego rówaia wyzaczamy t, 8 t 8 i wstawiamy do drugiego rówaia, 8 8 4 8 możymy obustroie przez 8 4 6 4, 8 4 44 96, 8, 696 0 dzielimy obustroie przez, 84864 0 7
Marzec 0 t t6 0 706 46 60 4 84 60 t 84 60 7 t jest sprzecze z warukami zadaia t jest sprzecze z warukami zadaia 7 4 4 obliczamy t, 7 7 obliczamy, t 4 6 a astępie prędkość z jaką szedł każdy a astępie prędkość z jaką szedł każdy z turystów, p.: z turystów, p: 8 6 va 4km/h,, va 4km/h t v 8 6 km/h v km/h 4 4 t Zapisujemy odpowiedź: Turyści szli z prędkościami: v 4 km/h, v km/h. A Schemat oceiaia Rozwiązaie, w którym postęp jest wprawdzie iewielki, ale koieczy a drodze do pełego rozwiązaia zadaia... pkt Zapisaie zależości między prędkością v A, prędkością v, drogą i czasem t dla jedego 8 z turystów, p.: lub 8 lub 8 va t, lub 8 v t 4. t, t 4 Rozwiązaie, w którym jest istoty postęp... pkt Zapisaie układu rówań z dwiema iewiadomymi, p.: 8 t, 8 t 4 Pokoaie zasadiczych trudości zadaia... pkt Zapisaie rówaia z jedą iewiadomą, p.: 7 7 7 4, 8 t lub, 8 t4 t4 Zdający ie musi zapisywać układu rówań, może bezpośredio zapisać rówaie z jedą iewiadomą. Uwaga: Jeżeli zdający przy pokoywaiu zasadiczych trudości zadaia popełi błędy rachukowe, usterki i a tym zakończy to otrzymuje pukty. Rozwiązaie zadaia do końca lecz z usterkami, które jedak ie przekreślają poprawości rozwiązaia (p. błędy rachukowe)...4 pkt rozwiązaie rówaia z iewiadomą t bezbłędie: t h i ie obliczeie prędkości turystów 8
Marzec 0 albo rozwiązaie rówaia z iewiadomą bezbłędie: i ie obliczeie prędkości turystów albo obliczeie t lub z błędem rachukowym i kosekwete obliczeie prędkości. Rozwiązaie pełe... pkt va 4km/h Obliczeie szukaych prędkości: v km/h 9