Doroa Pekasiewicz Krsna Pruska Kaedra Meod Sascznch Wdział Ekonomiczno-Socjologiczn Uniwerse Łódzki 90-4 Łódź ul. Rewolucji 905 r. nr 4/43 RECENZENT Grażna Trzio SKŁD I ŁMNIE Barbara Lebioda PROJEKT OKŁDKI Barbara Grzejszczak Corigh b Uniwerse Łódzki Łódź 03 Wdane rzez Wdawnicwo Uniwerseu Łódzkiego Wdanie II. W.060.3..S ISBN (wersja drukowana) 978-83-755-968- ISBN (ebook) 978-83-7969-36-9 Wdawnicwo Uniwerseu Łódzkiego 90-3 Łódź ul. Lindlea 8 www.wdawnicwo.uni.lodz.l e-mail: ksiegarnia@uni.lodz.l el. (4) 665 58 63 faks (4) 665 58 6
Sis reści Przedmowa...5. Zagadnienia wsęne (Doroa Pekasiewicz Krsna Pruska)...7.. Elemen logiki...7.. Elemen eorii mnogości....3. Relacje...6.4. Liczb rzeczwise...8.5. Liczb zesolone....6. Przesrzenie merczne...3.7. Własności zbiorów w euklidesowch rzesrzeniach mercznch...35.8. Zadania...43.9. Odowiedzi do zadań...47. Ciągi unków w rzesrzeniach euklidesowch (Doroa Pekasiewicz)...57.. Ciąg liczbow i jego własności...57.. Liczba e...65.3. Podciągi ciągów liczbowch...68.4. Ciągi unków w wielowmiarowch rzesrzeniach euklidesowch...70.5. Zadania...74.6. Odowiedzi do zadań...76 3. Funkcja jednej zmiennej i jej własności (Krsna Pruska)...77 3.. Pojęcie i odsawowe własności funkcji jednej zmiennej...77 3.. Funkcje elemenarne...8 3.3. Granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej...89 3.4. smo funkcji...0 3.5. Ciągi funkcjne i rodzaje ich zbieżności...03 3.6. Zadania...08 3.7. Odowiedzi do zadań... 4. Rachunek różniczkow funkcji jednej zmiennej (Doroa Pekasiewicz)...4 4.. Pochodna funkcji i jej własności...4 4.. Smbole nieoznaczone i reguła de L Hosiala...7 4.3. Eksrema lokalne warość najmniejsza i największa funkcji...30 4.4. Wklęsłość i wukłość funkcji oraz jej unk rzegięcia...37 4.5. Badanie rzebiegu zmienności funkcji...43 4.6. Zasosowanie ekonomiczne rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej...47 4.7. Zadania...5 4.8. Odowiedzi do zadań...55 5. Szeregi liczbowe i funkcjne (Doroa Pekasiewicz)...69 5.. Ogólna charakerska szeregów liczbowch...69 5.. Kreria zbieżności szeregów liczbowch...75 5.3. Szeregi funkcjne i ogólna charakerska ich zbieżności...80 3
Sis reści 5.4. Szeregi oęgowe...83 5.5. Rozwijanie funkcji w szereg Maclaurina i Talora...85 5.6. Zadania...87 5.7. Odowiedzi do zadań...90 6. Rachunek całkow funkcji jednej zmiennej (Krsna Pruska)...9 6.. Całka nieoznaczona i jej własności...9 6.. Podsawowe meod całkowania...94 6.3. Całka oznaczona Riemanna i jej własności...06 6.4. Całki niewłaściwe...8 6.5. Funkcja bea i funkcja gamma... 6.6. Zasosowania rachunku całkowego w ekonomii...4 6.7. Zadania...6 6.8. Odowiedzi do zadań...9 7. Funkcje wielu zmiennch (Doroa Pekasiewicz)...3 7.. Pojęcie funkcji wielu zmiennch...3 7.. Granica i ciągłość funkcji wielu zmiennch...37 7.3. Pochodne cząskowe i różniczkowalność funkcji wielu zmiennch...4 7.4. Eksrema lokalne funkcji wielu zmiennch...54 7.5. Wklęsłość i wukłość funkcji wielu zmiennch...57 7.6. Funkcja uwikłana...59 7.7. Eksrema warunkowe funkcji wielu zmiennch...63 7.8. Najmniejsza i największa warość funkcji...67 7.9. Zasosowanie ekonomiczne funkcji wielu zmiennch...70 7.0. Zadania...73 7.. Odowiedzi do zadań...77 8. Całki funkcji wielu zmiennch (Krsna Pruska)...84 8.. Pojęcie całki odwójnej i jej własności...84 8.. Zamiana całki odwójnej na ierowaną...90 8.3. Zamiana zmiennch w całce odwójnej...94 8.4. Niewłaściwe całki odwójne...98 8.5. Całki wielokrone...308 8.6. Zadania...33 8.7. Odowiedzi do zadań...35 9. Równania różniczkowe i różnicowe (Krsna Pruska)...37 9.. Pojęcie równania różniczkowego...37 9.. Równania różniczkowe ierwszego rzędu...39 9.3. Równania różniczkowe drugiego rzędu...33 9.4. Zasosowanie równań różniczkowch w zagadnieniach ekonomicznch...340 9.4. Równania różnicowe...34 9.5. Zadania...347 9.6. Odowiedzi do zadań...348 Lieraura...350 Wkaz oznaczeń...35 Skorowidz nazw...355 4
Przedmowa Niniejsz odręcznik owsał na odsawie wkładów i ćwiczeń z analiz maemacznej i maemaki rowadzonch rzez auorki na Wdziale Ekonomiczno-Socjologicznm Uniwerseu Łódzkiego. Elemen analiz maemacznej wsęują w rogramach sudiów wszskich kierunków ekonomicznch ale w różnm zakresie i na ogół w ramach rzedmiou maemaka. Na niekórch kierunkach rowadzon jes rzedmio o nazwie analiza maemaczna. W odręczniku m odjęo róbę oracowania akiego zakresu analiz maemacznej ab mogli z niego korzsać sudenci z różnch kierunków ekonomicznch i o różnm soniu zaawansowania wmagań maemacznch. Czelnik sam owinien dokonać wboru odowiednich fragmenów eksu zgodnie ze swoimi oczekiwaniami. Zagadnienia wsęne zawierają elemen logiki eorii mnogości i oologii. Przedsawione są u akże zbior liczb rzeczwisch i zesolonch oraz relacje. W kolejnch rozdziałach zarezenowane są ciągi liczb rzeczwisch i unków z wielowmiarowch rzesrzeni rzeczwisch rzeczwise funkcje jednej i wielu zmiennch oraz rachunek różniczkow w m zakresie ciągi funkcji rzeczwisch szeregi liczb rzeczwisch i funkcji rzeczwisch oraz rachunek całkow rzeczwisch funkcji jednej i wielu zmiennch. W odręczniku zarezenowane są również równania różniczkowe zwczajne i meod ich rozwiązwania oraz elemen równań różnicowch. Książka zawiera rozważania eoreczne rzkład o charakerze maemacznm i ekonomicznm oraz zadania do samodzielnego rozwiązania rzez Czelnika do kórch odane są odowiedzi. Mam nadzieję że odręcznik en soka się z zaineresowaniem środowisk akademickich. uorki 5
6
. Zagadnienia wsęne. Zagadnienia wsęne.. Elemen logiki Logika maemaczna jes działem maemaki kórego rzedmioem jes analiza zasad rozumowania oraz ojęć z nim związanch z wkorzsaniem meod i narzędzi maemacznch. Podsawowmi ojęciami są: zdanie forma zdaniowa funkcja zdaniowa i kwanfikaor. Definicja... Zdaniem nazwam każde wrażenie kóremu można rzisać jedną z ocen: rawdę lub fałsz. Prawda i fałsz o warości logiczne zdania. Zdania oznaczam zwkle małmi lierami n. q zaś warość logiczną zdania smbolem gd jes ono rawdziwe oraz smbolem 0 gd jes fałszwe. Wśród zdań wróżniam zdania rose i złożone. Zdania złożone składają się ze zdań rosch ołączonch funkorami zdaniowórczmi (sójnikami zdaniowmi). Do najczęściej sosowanch funkorów zdaniowórczch należą: negacja () alernawa () koniunkcja () imlikacja ( ) i równoważność (). Przkład... Przkładami zdań są nasęujące wrażenia: Liczba 3 jes niewmierna. Romb jes kwadraem. Liczba 6 jes odzielna rzez sześć i liczba 360 jes odzielna rzez sześć. Pierwsze i drugie wrażenie o zdania rose rz czm ierwsze jes rawdziwe a drugie fałszwe. Trzecie wrażenie jes rzkładem zdania złożonego rawdziwego. Definicja... Zdanie zawsze rawdziwe nazwam auologią. 7
Doroa Pekasiewicz Krsna Pruska Przkładami auologii są zdania: ) ( ) (rawo odwójnego rzeczenia) ) ( q ) ( q) (rawo de Morgana) 3) ( q ) ( q) (rawo de Morgana) 4) ( q) (q ) (rawo ransozcji) 5) ( q) ( q) (rawo imlikacji) 6) [ ( q)] [ ( q)] 7) ( q) [( q ) (q )]. Isonm zagadnieniem rachunku zdań jes srawdzanie cz dane zdanie jes auologią. W m celu rozważa się różne układ warości logicznch zdań rosch wchodzącch w skład rozarwanego zdania i wznacza się warość logiczną ego zdania. Podsawowe zasad określania warości logicznej zdań złożonch są rzedsawione w abl.... Tablica... Warości logiczne negacji alernaw koniunkcji imlikacji i równoważności zdań i q q q q q q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Źródło: oracowanie własne. Przkład... Zdanie ~ jes auologią. Srawdzenie warości logicznej ego zdania związane jes z rozważeniem możliwch warianów warości logicznej zdania co rzedsawione jes w abl.... Tablica... Warości logiczne zdania ~ ~ ~ 0 0 Źródło: oracowanie własne. 8
. Zagadnienia wsęne Zdanie ~ jes rawdziwe bez względu na warość logiczną zdania czli jes auologią. Prawdziwość zdania [ ( q)] [ ( q)] srawdzam analogicznie. Wniki zarezenowane są w abl...3. Tablica..3. Warości logiczne zdania [ ( q )] [ q)] q q ( q ) ~q q [( q )] [ (q)] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Źródło: oracowanie własne. Osania kolumna abl...3. świadcz o rawdziwości rozważanego zdania bez względu na warości logiczne zdań i q zaem jes ono auologią. Definicja..3. Wrażenie kóremu nie można rzisać warości logicznej nazwam formą zdaniową. Definicja..4. Funkcją zdaniową określoną na zbiorze nazwam wrażenie zawierające zmienne kóre saje się zdaniem jeśli za zmienne odsawim konkrene wielkości. Zbiór nazwam dziedziną funkcji zdaniowej. Funkcja zdaniowa jes formą zdaniową. Przkład..3. Wrażenie 3 gdzie R jes funkcją zdaniową kórej dziedziną jes zbiór liczb rzeczwisch R. Dla ma ono warość logiczną a dla warość logiczną 0. Wrażenie 3 gdzie N jes funkcją zdaniową kórej dziedziną jes zbiór liczb nauralnch N. Dla ma ono warość logiczną a dla N \ warość logiczną 0. 9
Doroa Pekasiewicz Krsna Pruska 0 Wrażenie 0 gdzie R o funkcja zdaniowa określona na zbiorze R. Dla 0 0 ma ono warość logiczną naomias dla 0 0 warość logiczną 0. W zaisie funkcji zdaniowch wkorzsuje się smbole zwane kwanfikaorami. Wróżniam: kwanfikaor ogóln (duż): dla każdego kwanfikaor szczegółow (mał): isnieje. Kwanfikaor umożliwiają skrócenie zaisu funkcji zdaniowch. Przkład..4. Funkcję zdaniową liczba nauralna jes liczbą arzsą można zaisać w osaci: ). ( N Funkcję zdaniową liczba rzeczwisa jes liczbą ierwszą można zaisać w osaci: ). ( z z R z Rachunek kwanfikaorów charakerzuje się nasęującmi własnościami: ) ~ ~ (rawo de Morgana) ) ~ ~ (rawo de Morgana) 3) q q 4) q q 5) q q 6) q q 7) q q 8) u u Y Y 9) u u Y Y
0) u u Y. Zagadnienia wsęne Y gdzie i q są funkcjami zdaniowmi zmiennej o zakresie zmienności oraz u jes funkcją zdaniową zmiennch i o warościach ze zbioru odowiednio i Y. Kwanfikaor znajdują zasosowanie w wielu zaisach maemacznch. Korzsa się z nich rz formułowaniu definicji i wierdzeń... Elemen eorii mnogości Teoria mnogości jes działem maemaki zajmującm się badaniem ogólnch własności zbiorów niezależnie od elemenów z kórch zbior e są uworzone. Zbiór jes ojęciem ierwonm niedefiniowanm. Zbior oznaczam dużmi lierami (n. B C ) lub rzedsawiam wisując ich elemen n. 4 6 8 albo odając funkcję zdaniową kórą muszą sełniać ich elemen n. R : 0. Elemen należące do zbiorów zwkle ozna- czam małmi lierami: a b Na zbiorach można wkonwać różne oeracje maemaczne. Poniżej rzedsawione są odsawowe definicje z nimi związane rz czm zakładam że wszskie rozarwane zbior są odzbiorami ewnego usalonego zbioru zwanego rzesrzenią i oznaczonego smbolem. Definicja... Mówim że zbiór zawiera się w zbiorze B co zaisujem B jeśli dla każdego elemenu zachodzi warunek: B. Znak nazwam znakiem inkluzji (zawierania). Definicja... Doełnieniem zbioru w rzesrzeni nazwam zbiór ' :. Definicja..3. Sumą zbiorów i B nazwam zbiór osaci B : B zn. zbiór elemenów należącch rznajmniej do jednego ze zbiorów i B.
Doroa Pekasiewicz Krsna Pruska Definicja..4. Ilocznem (mnogościowm) zbiorów i B nazwam zbiór osaci B : B zn. zbiór elemenów kóre należą zarówno do zbioru jak i do zbioru B. Definicja..5. Różnicą zbiorów i B nazwam zbiór osaci \ B : B zn. zbiór elemenów należącch do zbioru i nienależącch do zbioru B. Różnicę zbiorów i B możem zaiswać również jako B. Definicja..6. Różnicą smerczną zbiorów osaci B ( \ B) ( B \ ). i B nazwam zbiór Przkład... Niech dane będą zbior 3 4 5 6 7 8 i B 4 60. Wówczas B 4 6 B 3 4 5 6 7 80 \ B 3 5 7 8 B \ 0 B 3 5 7 80. Niech będą dane zbior R : 3 i B R : 9 0 czli R : B R : 3 3. Wówczas mam ' R : B ' R : 3 3 B R \{ R : 3} B R : 3 B { R : 3 3} (onieważ \ B R : 3 B \ R : 3 ). oraz Niech B C D będą zbiorami zawarmi w ej samej rzesrzeni. Działania na zbiorach charakerzują się nasęującmi własnościami: ) B B B ) B B 3) ( B) C ( B C) 4) B B B 5) B B 6) ( B) C ( B C) 7) ( B C) ( B) ( C) 8) ( B C) ( B) ( C) 9) \ B
. Zagadnienia wsęne 3 0) ) \ ( ) \ ( ) ( ) ( C B D D C B rawa de Morgana. ' ' )' ( ) ' ' )' ( ) B B B B Definicja..7. Sumą uogólnioną zbiorów T gdzie T jes ewną rodziną (zbiorem) indeksów nazwam zbiór osaci. : T T Definicja..8. Ilocznem uogólnionm zbiorów T gdzie T jes ewną rodziną (zbiorem) indeksów nazwam zbiór osaci. : T T Smbolem R będziem oznaczać zbiór liczb rzeczwisch a smbolem N zbiór liczb nauralnch. Przkład... Niech n n R n : dla N n czli : R 3 : R 3 4 : 3 R.. Sumą uogólnioną zbiorów n gdzie N n jes zbiór 0 : R N zaś ilocznem uogólnionm jes zbiór N Ø. Niech : R dla R zn. 0 : R
Doroa Pekasiewicz Krsna Pruska R : 5 5. Sumą uogólnioną zbiorów gdzie zaś ilocznem uogólnionm jes zbiór R jes zbiór R : 0. R R Poza ilocznem mnogościowm zbiorów określon jes iloczn (roduk) karezjański zbiorów. Definicja..9. Ilocznem karezjańskim nieusch zbiorów i B nazwam zbiór osaci B {( ) : B}. Iloczn karezjański nie jes działaniem rzemiennm zn. B B gd B. Przkład..3. Niech 3 i B. Iloczn karezjańskie B i B są osaci: B 3 3 B 3 3. Inerreacja geomerczna ch zbiorów rzedsawiona jes na rs.... i... Rsunek... Inerreacja geomerczna zbioru 3 4 Źródło: oracowanie własne.
. Zagadnienia wsęne Rsunek... Inerreacja geomerczna zbioru 3 Źródło: oracowanie własne. Niech { R : 4} i B { R : 3 5}. Iloczn karezjańskie B i B mają osaci: B {( ) R R : 4 3 5} B {( ) R R : 3 5 4}. Inerreacje geomerczne zbiorów B i B rzedsawione są odowiednio na rs...3 oraz..4. Rsunek..3. Inerreacja geomerczna zbioru { R : 4} { R : 3 5} Źródło: oracowanie własne. 5
Doroa Pekasiewicz Krsna Pruska Rsunek..4. Inerreacja geomerczna zbioru { R : 3 5} { R : 4} Źródło: oracowanie własne..3. Relacje Podzbiór usalonej rzesrzeni można uożsamiać z własnością kórą osiada każd elemen ego odzbioru i kórej nie osiada żaden elemen rzesrzeni nienależąc do zbioru. Wówczas zamias isać gdzie iszem () i mówim że ma własność. Na rzkład jeśli jes zbiorem liczb całkowich a smbol oznacza zbiór liczb odzielnch rzez ięć o zamias możem owiedzieć jes liczbą odzielną rzez ięć. Własność jaką osiada każd elemen wróżnionego zbioru idenfikujem z m zbiorem. Definicja.3.. Relacjami jednoczłonowmi (jednoargumenowmi) w rzesrzeni nazwam odzbior ej rzesrzeni. 6
. Zagadnienia wsęne Definicja.3.. Relacjami dwuczłonowmi (dwuargumenowmi) w ilocznie karezjańskim Y gdzie i Y są ewnmi rzesrzeniami nazwam odzbior ego ilocznu karezjańskiego. Niech będzie relacją dwuczłonową w ilocznie karezjańskim Y. Jeżeli ( ) o zaisujem o w osaci i odczujem jako jes w relacji z. Definicja.3.3. Parę gdzie B nazwam arą uorządkowaną jeśli isona jes kolejność jej elemenów. Pierwsz elemen () nazwam orzednikiem a drugi elemen () nazwam nasęnikiem. Definicja.3.4. Zbiór orzedników ar uorządkowanch należącch do relacji nazwam dziedziną ej relacji. Definicja a oznacza że dziedziną relacji jes zbiór akich elemenów zbioru dla kórch isnieje Y aki że. Definicja.3.5. Przeciwdziedziną relacji Y nazwam zbiór nasęników ar uorządkowanch należącch do. Oznacza o że elemen Y należ do rzeciwdziedzin relacji Y wed i lko wed gd isnieje akie że. Przkład.3.. Relacją dwuczłonową w ilocznie karezjańskim N N jes zbiór 3 3 =( ) N N : zn. unk N jes w relacji z unkem. Relacją dwuczłonową w ilocznie karezjańskim R R 0 gdzie R o zbiór liczb rzeczwisch dodanich jes zbiór ( ) R R 0 : 4. Uogólnienie ojęcia relacji dwuczłonowej rowadzi do definicji relacji wieloczłonowej (wieloargumenowej). 7