Implikacje rozmyte. Zbigniew Suraj. Instytut Informatyki Uniwersytet Rzeszowski. Seminarium naukowe Grupy badawczej RSPN, 8 kwietnia 2013, Rzeszów

Transkrypt

1 mlikacje rozmyte Zbigniew uraj nstytut nformatyki Uniwersytet Rzeszowski eminarium naukowe Gruy badawczej RPN, 8 kwietnia 2013, Rzeszów

2 Logika klasyczna arystotelesowska) 1. twierdzenia są albo rawdziwe albo fałszywe. 2. Oarta jest na trzech rawach, zwanych zasadami logiki klasycznej: Prawo tożsamości: Prawo srzeczności: Prawo wyłączonego środka:

3 Logiki nieklasyczne 1. Nie obowiązuje zasada dwuwartościowości rawda, fałsz). 2. Nie obowiązuje co najmniej jedno z trzech raw logiki klasycznej.

4 Podział logik logika klasyczna nieklasyczne rachunek zdań rachunek redykatów rachunek rezolucyjny intuicjonistyczna modalne RZ Floyda-Hoare a rozmyta

5 Klasyfikacja rozumowania rozumowanie ewne nieewne dedukcyjne redukcyjne rzez analogię statystyczne rozmyte logiczne funkcyjne wnioskowanie dowodzenie srawdzanie wyjaśnienie estymacja weryfikacja

6 Podstawy teoretyczne

7 Normy trójkątne Funkcję t: [0,1] 2 [0,1] nazywamy t-normą wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych a, b, c ϵ [0,1]: 1) 1 jest elementem neutralnym, tzn. ta,1) = a 2) t jest monotoniczna, tzn. jeśli a b to ta, c) tb, c) 3) t jest rzemienna, tzn. ta, b) = tb, a) 4) t jest łączna, tzn. tta, b), c) = ta, tb, c)) Przykłady t-norm: M a, b) = mina, b) t-norma Gödla), P a, b) = a * b, L a, b) = max0, a + b - 1)

8 Normy trójkątne cd.) Funkcję s: [0,1] 2 [0,1] nazywamy s-normą lub t-conormą) wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych a, b, c ϵ [0,1]: 1) 0 jest elementem neutralnym, tzn. sa,0) = a 2) s jest monotoniczna, tzn. jeśli a b to sa, c) sb, c) 3) s jest rzemienna, tzn. sa, b) = sb, a) 4) s jest łączna, tzn. ssa, b), c) = sa, sb, c)) Przykłady s-norm: M a, b) = maxa, b), P a, b) = a + b - a * b, L a, b) = mina + b, 1)

9 Relacje między wybranymi t- i s- normami Własność. Niech D, M, L, P będą t-normami, a D, M, L, P - s-normami zdefiniowanymi jak wyżej. Wtedy: gdzie: D L P M M P L D D a,b) = 0, jeśli a,b) ϵ [0,1) 2 D a,b) = 1, jeśli a,b) ϵ 0,1] 2 D a,b) = mina,b) w.. D a,b) = maxa,b) w.. D L P M M P L D E.P. Klement, R. Mesiar, E. Pa: riangular norms, Kluwer, 2000,

10 Parametryczne rodziny t- i s-norm

11 ABLCA. Wykaz wybranych arametrycznych rodzin t- i s-norm i a,b,) i a,b,) i Zakres a b 2 ) ab 1 1 ) ab ab 1 ) a b ab) H 0, ) 1[max 0,1 a) 1 b) 1)] 1/ max 0, a b 1)] 1/, ) a b ab min a, b,1 ) max1 a,1 b, ) ab max a, b, ) DP 0,1) 1 log 1 1a 1) 1 1b 1) log 1 a 1) 1 b 1) F 0, ) min[1, a b ) 1/ ] 1 min[1, 1 a) 1 b) ) 1/ ] Y 0, ) a 1) 1 1 b 1) 1/ 1 1 a 1) 1 1 b 1) 1/ D 0, )

12 Własności: H a,b,1) = P a,b) a,b,1) = L a,b) DP a,b,?) =? a,b) F a,b,0) = M a,b) Y a,b,1) = L a,b) D a,b,1) = H a,b,0) H a,b,1) = P a,b) a,b,1) = L a,b) DP a,b,?) =? a,b) F a,b,0) = M a,b) Y a,b,1) = L a,b) D a,b,1) = H a,b,0) H - Hamacher, chweizer-klar, DP Dubois i Prade, F Frank, Y Yager, D Dombi

13 Własności: D L P M 1 0 D L P M 1 0 D M D D D 0 F L F M F 0 D M D D D 0 Y M Y L Y D Y 1 0 Y M Y L Y D Y 1 0 F L F M F 0 H D H P H 1 H D H P H E.P. Klement, R. Mesiar, E. Pa: riangular norms, Kluwer, 2000,

14 w H = 0 D = w = 0 Y D L = 1 = 1 Y = w F H D 1 H = 0 = P Y F M = w D = -w = w Y = 0 F w D = -w = w Y= 0 F = M 1 H = 0 = P Y F D H L 1 = 1 Y = w F w H = 0 D = w = 0 Y = D

15 Klasyczny rachunek zdań

16 ablica rawdy. Negacja, alternatywa, koniunkcja

17 Definicja imlikacji binarnej Funkcję B : {0,1} 2 {0,1} nazywamy imlikacją binarną wtedy i tylko wtedy, gdy: 1) B 0,0) = 1, 2) B 0,1) = 1. 3) B 1,0) = 0, 4) B 1,1) = 1. W logice klasycznej B może być definiowana na wiele różnych sosobów.

18 Różne sosoby definiowania B B,) ablica rawdy: Formuły: x x B B B B ) ), ) ), } {0,1}: max{ ), ), Uwaga: Można łatwo okazać, że imlikacje te są równoważne.

19 mlikacje rozmyte M. Baczyński, B. Jayaram: Fuzzy imlications, tudies in Fuzziness and oft Comuting, Vol. 231, ringer, Berlin 2008.

20 Definicja imlikacji rozmytej Funkcję : [0,1] 2 [0,1] nazywamy imlikacją rozmytą wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych x, x 1, x 2, y, y 1, y 2 sełnione są nastęujące warunki: 1) 2) Jeśli x 1 x 2, to x 1, x 2,, tzn., jest słabo malejąca, Jeśli y 1 y 2, to x, y 1 ) x, y 2 ), tzn. x, ) jest słabo rosnąca, 3) 0,0) = 1, 4) 1,1) = 1, 5) 1,0) = 0. Zbiór wszystkich imlikacji rozmytych będziemy oznaczać rzez F. Uwaga: Z definicji imlikacji rozmytej wynika, że: 0, = 1 dla y ϵ[0,1], x,1) = 1 dla x ϵ[0,1]. Ponadto x,1) 1,1) = 1, czyli 0,1) = 1.

21 Wzajemna niezależność aksjomatów Funkcja z [0,1] 2 w [0,1] x, max1 x,min x, ) 2 x, max y,min1 x,1 ) 0, gdy y 1 3 1, gdy y 1 1, gdy x 0 4 0, gdy x 0 5 x,

22 Przykłady imlikacji rozmytych Nazwisko Rok Wzór Łukasiewicz 1923 Gödel 1932 Reichenbach 1935 Kleene-Dienes 1938, 1949 Goguen 1969 LK min1,1 x 1, gdy x y GD y, gdy x y RC KD 1 x xy max1 x, 1, gdy x y GG y, gdy x y x

23 Przykłady imlikacji rozmytych Nazwisko Rok Wzór Rescher 1969 Yager 1980 Weber 1983 Fodor , gdy x y R 0, gdy x y YG WB 1, gdy x 0 i y 0 x y, gdy x 0 lub y 0 1, gdy x 1 y, gdy x 1 1, gdy x y FD max1 x, y ), gdy x y

24 zczególne imlikacje rozmyte Rodzina imlikacji rozmytych F ma najmniejszą imlikację rozmytą: 0 x, 1, gdy x 0 lub 0, gdy x 0 i y y 1 1 i największą imlikację rozmytą: 1 x, 1, gdy x 1lub 0, gdy x 1i y y 0 0

25 Częściowy orządek imlikacji rozmytych WB LK RC KD WB LK GG GD R WB LK RC YG WB LK FD KD WB LK FD GD R

26 wierdzenie Rodzina F, ) jest kratą zuełną i rozdzielną z oeracjami: J) x, max x,, J x, ), J) x, min x,, J x,, dla dowolnych x, y ϵ [0,1], gdzie, J ϵ F. Przykład: H1 x, 1, gdy x y y max,1 x x x, gdy x y H 2 GG RC 1 x xy, gdy x y H 2 y min,1 x x, gdy x x y

27 WB LK H 1 H 3 H 5 RC H 12 GG YG H 8 H 10 FD H 9 H 2 H 11 KD H 13 GD H 6 H 4 R H 7 H 14 H 15

28 Definicja negacji rozmytej Funkcję N: [0,1] [0,1] nazywamy negacją rozmytą wtedy i tylko wtedy, gdy sełnione są nastęujące warunki: 1) N0) = 1, 2) N1) = 0, 3) N jest funkcją malejącą. Przykłady negacji rozmytych: N x) 1 x N x) 1 x 2 N x) 1 x

29 nne negacje rozmyte Najmniejsza negacja rozmyta negacja Gödla) N GD 1 x) 1, gdy x 0 0, gdy x0,1] Największa negacja rozmyta dualna negacja Gödla) N GD 2 x) 0, gdy x 1 1, gdy x[0,1)

30 Rodziny imlikacji rozmytych Rozmyte odowiedniki imlikacji binarnych: mlikacje te nie są równoważne. W rzyadku ogólnym, rawo wyłączonego środka i rawo srzeczności nie są rawdziwe w logice rozmytej. ) )), ), ), )), ), ), } ), [0,1]: su{ ), ) ), ), N N N x x N

31 Rodziny imlikacji rozmytych e cztery ogólne imlikacje określają różne rodziny imlikacji rozmytych. Warianty dla każdej rodziny uzyskuje się rzez dobór różnych, i N oeratorów. Każda klasa imlikacji rozmytych ma różne własności. Pewne imlikacje rozmyte mogą należeć do więcej niż jednej rodziny.

32 -imlikacje Oarte na,) = N),) oraz standardowej negacji rozmytej, tzn. Nx) = 1-x. Różne ostacie imlikacji otrzymuje się orzez wybór różnych oeratorów. mlikacja Łukasiewicz Reichenbach LK P min1, x min1,1 x LK x y xy RC 1 x xy Kleene-Dienes M max max1 x, KD Największa - imlikacja L x, gdy y y, gdy x 1 w. 0 0 L 1 x, gdy y 0 y, gdy x 1 1 w. Uorządkowanie -imlikacji: L LK RC KD

33 R-imlikacje Oarte na standardowej negacji rozmytej, różnych -normach oraz, ) su{ x[0,1]:, x) } Różne ostacie imlikacji otrzymuje się orzez wybór różnych oeratorów. mlikacja Łukasiewicz Goguen LK max 0, x y 1) P xy LK su{ z : max 0, x z 1 min1,1 x y} Godel M min Największa R - imlikacja Nie można określić analitycznie. LR y, gdy x 1 1 w. Uorządkowanie -imlikacji: LR LK GG GD

34 QL-imlikacje Oarte na dualnych - oeratorach, standardowej negacji rozmytej oraz, ) N a), a, b)) Różne ostacie imlikacji otrzymuje się orzez wybór różnych - oeratorów. mlikacja Dualne Zadeh M min, max M ZD max1 x,min x, ) Klir i Yuan 1 P xy, P x y xy KY 1 1 x xxy Kleene-Dienes LK LK max 0, x y 1), min1, x KD max1 x,

35 nne imlikacje Porzednie imlikacje są najczęściej używane nne imlikacje są także możliwe stosując schemat Nx), N),