Praca magisterska. Równania całkowe i teoria Hilberta-Schmidta

Politechnika Łódzka wydział FTIMS Praca magisterska Równania całkowe i teoria Hilberta-Schmidta Piotr Kowalski Promotor Pracy : dr Jerzy Kalina Kierunek: Matematyka Stosowana Specjalność: Matematyka Finansowa i Ubezpieczeniowa Nr albumu: 33968 Wydział FTIMS Łódź 200

Streszczenie Praca gromadzi pojęcia i twierdzenia teorii operatorów, z wyszczególnieniem operatorów całkowych oraz omawia podstawy teorii Fredholma równań całkowych i teorię Hilbert a-schmidt a. Dedykacja Pracę dedykuje osobie, która najbardziej na świecie pragnęła ją zobaczyć. Mojemu dziadkowi Julianowi Lesiakowi, zmarłemu 25.06.200. Człowiekowi, któremu zawdzięczam motywację do studiów, czynnego rozwijania się i dążenia do wyższych celów, świadom tego że bez jego wpływu ta praca by nie powstała.

Spis treści Wstęp 2 2 Preliminaria 3 2. Przestrzenie liniowo-topologiczne.................. 3 2.2 Przestrzenie Banacha, przestrzenie Hilberta............ 3 2.3 Przestrzenie C() oraz L 2 ().................... 5 2.4 Kryterium Ascoliego......................... 6 2.5 Przestrzeń odwzorowań ograniczonych i przestrzeń do niej sprzężona.................................. 6 3 Operatory 8 3. Operatory liniowe ograniczone.................... 8 3.2 Operatory sprzężone......................... 9 3.3 Operatory zwarte - operatory pełnociągłe............. 2 3.4 Teoria spektralna, widmo operatora................ 4 3.5 Widmo operatora zwartego..................... 6 4 Operatory całkowe 2 4. Operatory całkowe.......................... 2 4.2 Rodzaje operatorów całkowych................... 2 4.3 Jądra słabo osobliwe......................... 23 4.4 Klasyfikacja równań całkowych................... 25 4.5 Zwartość operatorów całkowych................... 25 4.6 Operator sprzężony w przestrzeni Hilberta L 2 ()......... 28 5 Teoria Fredholma 3 5. Równania całkowe o jądrach ograniczonych............ 3 5.2 Alternatywa Fredholma....................... 33 5.3 Twierdzenie Fredholma....................... 35 5.4 Przykłady............................... 36 6 Teoria Hilberta-Schmidta 38 6. Równanie całkowe o jądrze symetrycznym............. 38 6.2 Pełny układ ortonormalny elementów własnych.......... 39 6.3 Twierdzenie Hilberta-Schmidta................... 39 6.4 Twierdzenie Mercer a........................ 42

Rozdział Wstęp W pracy w sposób spójny udało się zaprezentować wybrane aspekty analizy funkcjonalnej, teorii operatorów, topologii, równań różniczkowych i algebry. Zaprezentowany materiał pozwala omówić najważniejsze aspekty teorii Fredholma oraz teorii Hilberta-Schmidta. Przedstawiona teoria pozwala czytelnikowi w sposób pełniejszy niż w [2] czy [] zrozumieć przedstawione rozumowania. Podana została spójna teoria dotycząca operatorów sprzężonych definiowanych w różnych przestrzeniach. Wśród wielu dowodów z teorii operatorów m.in. uzupełniony został dowód twierdzenia 3.2.3, pozwalając czytelnikowi na zrozumienie w pełni jego treści. Została wprowadzona zmodyfikowana definicja operatora sprzężonego w przestrzeni Hilberta, pozwalająca na pełną zgodność dwóch różnych metod wprowadzania operatora sprzężonego odszukanych w literaturze fachowej [] [2], która wykazuje pełną zgodność obu podejść. Rozwinięty został dowód twierdzenia 3.5. o uzasadnienie rzeczy odebranych jako niejasności. Do dowiedzenia tego twierdzenia został wykorzystany autorski lemat 3.5.2, który stanowi rozszerzenie prostej obserwacji zaobserwowanej w czasie dowodzenia twierdzenia Riesza. W rozdziale 5 rozszerzone, względem twierdzenia podanego przez [3], i udowodnione zostało twierdzenia o rozwiązaniu w postaci szeregu von Neumanna. Praca została uzupełniona o przykłady dokumentujące, niektóre zastosowania teorii operatorów całkowych i teorii Fredholma. W przykładzie 2 zaprezentowany jest alternatywny sposób zapisu metody przedstawionej w [3], wykorzystujący proste fakty z algebry liniowej, który w sposób bardzo ciekawy, szybki i treściwy pozwala wyprowadzać macierz układu równań liniowych dla przekształceń Fredholma. Pokazuje on kolejną ciekawą analogię pomiędzy równaniami całkowymi a układami równań algebraicznych. 2

Rozdział 2 Preliminaria 2. Przestrzenie liniowo-topologiczne W niniejszej pracy zakładać będziemy że każda przestrzeń będzie przestrzenią liniowo-topologiczną. Pojęcie to wymaga wyjaśnienia tym bardziej iż stanowi ono podstawę współczesnej analizy funkcjonalnej. Przestrzeń ta stanowi najogólniejszą znaną obecnie strukturę łączącą cechy przestrzeni algebraicznych, takie jak możliwość dodawania elementów przestrzeni i mnożenia przez skalar, łącząc je z topologicznymi podstawami ciągłości funkcji określanych pomiędzy poszczególnymi przestrzeniami liniowo-topologicznymi, w sposób zachowujący ciągłość działań algebraicznych. Definicja 2... Przestrzeń liniowo-topologiczna[] Niech τ będzie topologią na przestrzeni liniowej X. Jeśli spełnione są następujące warunki:. Każdy punkt przestrzeni jest zbiorem domkniętym, 2. operacje przestrzeni liniowej są ciągłe względem topologii τ to τ nazywamy topologią liniową, natomiast parę (X, τ) nazywamy przestrzenią liniowo-topologiczną. Przestrzenie liniowo-topologiczne są tak istotne z punktu widzenia analizy funkcjonalnej gdyż niemal wszystkie rozważane przestrzenie funkcyjne posiadają jej strukturę. Posługiwanie się jednak samymi przestrzeniami liniowotopologicznymi jest wielce niewygodne, dlatego częściej sięga po bogatsze we właściwości jej podklasy. Głównym czynnikiem powodującym wspomniane niedogodności jest konieczność korzystania z obiektów topologii w jej najogólniejszym charakterze. Wiemy jednakże, że znaczna część rozważanych topologii należy do topologii metryzowalnych, i to ta cecha będzie stanowić o kierunku zawężania klasy rozważań w niniejszej pracy. 2.2 Przestrzenie Banacha, przestrzenie Hilberta Krokiem w kierunku metryzowalnych przestrzeni liniowo-topologicznych są przestrzenie unormowane. Główny pojęciem, którym będziemy się posługiwać jest funkcja normy, zwana też po prostu normą. 3

ROZDZIAŁ 2. PRELIMINARIA 4 Definicja 2.2.. Przestrzeń unormowana[] Przestrzeń liniową X nazywamy unormowaną jeśli istnieje funkcja., która każdemu x X przyporządkowuje liczbę rzeczywistą nieujemną, w taki sposób, że:. x + y x + y, x, y X 2. αx = α x, x X, α K, gdzie K jest ciałem skalarów 3. x = 0 x = 0 Wprowadzenie normy w danej przestrzeni pozwala w łatwy sposób porównywać obiekty danej przestrzeni względem pewnej cechy. Każda przestrzeń unormowana jest metryczna, gdyż wystarczy za metrykę wziąć normę różnicy argumentów. Podobnie znaczna część przestrzeni metrycznych staje się unormowana, gdy wybierając arbitralnie pewien element, w miejsce normy przypisujemy jego odległość od wskazanego elementu. Posiadanie pojęcia normy pozwala nam stosować wielce wygodne definicje ciągowe własności takich jak ciągłość czy zwartość. Definicja 2.2.2. Przestrzeń Banacha[] Przestrzeń unormowaną zupełną nazywamy przestrzenią Banacha. Przestrzenie Banacha stanowią istotną podklasę przestrzeni unormowanych. Przykładem przestrzeni Banacha jest każda przestrzeń euklidesowa n-wymiarowa n z normą x =. Istotnym dla nas będą również przenoszenia zupełności x 2 k k= na rozważane przez nas przestrzenie odwzorowań tj. przestrzenie operatorów. Definicja 2.2.3. Przestrzeń unitarna[] Zespoloną przestrzeń liniową H nazywamy przestrzenią unitarną, jeśli każdej parze wektorów z H możemy przyporządkować liczbę zespoloną oznaczaną (x, y), nazywaną iloczynem skalarnym wektorów x i y, tak, że spełnione są poniższe warunki. (y, x) = (x, y) - gdzie kreska górna odpowiada sprzężeniu liczby zespolonej 2. (x + y, z) = (x, z) + (y + z) 3. (αx, y) = α(x, y) 4. (x, x) 0 5. (x, x) = 0 x = θ Dla dowolnych x, y, z H, α C Przestrzenie unitarne są najważniejszą podklasą spośród przestrzeni unormowanych. Łatwo bowiem zauważyć, że każda przestrzeń unitarna jest unormowana i metryczna. Jest tak gdyż istnienie iloczynu skalarnego implikuje istnienie normy, oraz metryki. Normę definiuje się poprzez iloczyn skalarny w sposób x = (x, x) (2.) Przestrzenie unitarne mogą byc zupełne lub nie. Te zupełne, zgodnie z poniższą definicją, będziemy nazywać hilbertowskimi.

ROZDZIAŁ 2. PRELIMINARIA 5 Definicja 2.2.4. Przestrzeń Hilberta[] Niech H przestrzeń unitarna. Jeśli jest ona przestrzenią zupełną z normą zdefiniowaną to nazwiemy ją przestrzenią Hilberta. x = (x, x) (2.2) Przestrzenie Hilberta posiadają znaczną ilość własności dotyczących np. geometrii rozważanych w niej obiektów. Wiele fizycznych modeli okazuje się być przestrzeniami Hilberta. Łatwym do zaobserwowania faktem jest, że każda przestrzeń Hilberta jest przestrzenią Banacha. 2.3 Przestrzenie C() oraz L 2 () Spośród wielu przestrzeni funkcyjnych, najbardziej fundamentalnymi będą przestrzenie funkcji ciągłych na zbiorze zwartym oznaczane przez C() oraz przestrzeń funkcji całkowalnych z kwadratem L 2 (). Całkowanie w niniejszej pracy będziemy rozumieli zawsze jako całkowanie w sensie Lebesgue a, natomiast wszystkie funkcje będą funkcjami zespolonymi. O zbiorze, który stanowić będzie dziedzinę rozważanych funkcji, zakładamy że jest podzbiorem pewnej n- wymiarowej przestrzeni euklidesowej. W większości przypadków zakładamy, że jest on zwartym podzbiorem, chyba że odpowiednie założenia stanowią inaczej. Pierwszą z wspomnianych dwóch przestrzeni jest przestrzeń funkcji ciągłych określonych na zwartym podzbiorze pewnej przestrzeni euklidesowej. Definicja 2.3.. Przestrzeń C()[2] Niech będzie zwartym podzbiorem m-wymiarowej przestrzeni euklidesowej. Przestrzenią C() nazwiemy przestrzeń wszystkich funkcji ciągłych określonych na zbiorze z działaniami dodawania funkcji oraz mnożenia funkcji przez skalar. W przestrzeni tej wprowadza się następującą normę: u = sup u(x) (2.3) x Jest to zatem przestrzeń liniowa unormowana. Skończoność kresu wynika z kryterium Weierstrassa, zaś aksjomaty normy są trywialne w dowodzie, na mocy własności modułu. Ponadto przy tak zdefiniowanej normie, łatwo zauważyć, że zbieżność w przestrzeni C() odpowiada zbieżności jednostajnej. Przestrzeń ta okazuje się być również zupełną. Zatem jest to funkcyjna przestrzeń Banacha. Przestrzenią ogólniejszą od C() jest druga z przestrzeni, mianowicie przestrzeń funkcji o całkowalnym w sensie Lebesgue a kwadracie modułu. Oczywiście wszystkie funkcje ciągłe określone na podzbiorze zwartym są całkowalne w sensie Lebesgue a. Definicja 2.3.2. Przestrzeń L 2 ()[2] Niech dany będzie podzbiór mierzalny przestrzeni m-wymiarowej euklidesowej i niech będzie on miary dodatniej. Przestrzenią L 2 () nazwiemy przestrzeń wszystkich funkcji u mierzalnych w sensie Lebesgue a określonych na zbiorze takich, że: u(x) 2 dx < (2.4)

ROZDZIAŁ 2. PRELIMINARIA 6 Przyjmujemy umowę, że dwie funkcje uważamy za równe, gdy są równe prawie wszędzie. Wykazuje się, że przestrzeń L 2 () jest liniowa, gdy dołączymy działania dodawania i mnożenia funkcji przez skalar. Przestrzeń L 2 () jest przestrzenią unitarną z operacją iloczynu skalarnego zdefiniowanego w poniższy sposób: (u, v) = u(x)v(x)dx, u, v L 2 () (2.5) Dowodzi się, że przestrzeń L 2 () jest przestrzenią zupełna. Zatem jest to funkcyjna przestrzeń Hilberta. 2.4 Kryterium Ascoliego W niniejszej pracy bardzo często wykorzystywane będzie często pojęcie zwartości. Dowodzenie zwartości określonych zbiorów za pomocą definicji w przestrzeniach, czy to topologicznych, czy metrycznych, jest nie rzadko trudne i uciążliwe. W zależności od różnych przestrzeni w których prowadzone będą rozważania, zostały udowodnione różne kryteria. W przestrzeni C() takim kryterium jest np. kryterium Ascoliego, które podaje warunek konieczny i dostateczny zwartości domknięcia zbioru w przestrzeni C(). Rozważmy zbiór funkcji Z określonych na zwartym zbiorze. Do wprowadzenia kryterium potrzebne będą dwa pojęcia. Powiemy, że funkcje ze zbioru Z są wspólnie ograniczone, jeżeli istnieje taka liczba rzeczywista µ, że u(x) µ, x, u Z (2.6) Z kolei funkcje tego zbioru Z nazwiemy jednakowo ciągłymi jeśli ɛ > 0 δ > 0 x, x 2 u Z x x 2 δ u(x ) u(x 2 ) ɛ (2.7) Dysponując tymi dwoma pojęciami możemy podać twierdzenie Ascoliego. Dowód twierdzenia można znaleźć w [2] roz. 26.4. Twierdzenie 2.4.. Twierdzenie Ascoliego[2] Zbiór funkcji Z C() ma zwarte domknięcie wtedy i tylko wtedy, gdy funkcje zbioru Z są wspólnie ograniczone i jednakowo ciągłe. W literaturze spotyka się określenie zbiorów których domknięcie jest zwarte jako zbiory prezwarte. Będziemy używać zamiennie obu pojęć: zbioru prezwartego i zbioru o zwartym domknięciu. 2.5 Przestrzeń odwzorowań ograniczonych i przestrzeń do niej sprzężona Kluczowym pojęciem rozważanym w tej pracy będzie odwzorowanie ograniczone liniowe, lub jak będziemy równoważnie je określać, operator ograniczony liniowy. Definicja 2.5.. Odwzorowania ograniczone liniowe[] Niech X, Y przestrzenie liniowo-topologiczne, oraz niech będzie dane odwzorowanie liniowe A : X Y. Powiemy, że odwzorowanie A jest ograniczone jeśli obraz dowolnego zbioru ograniczonego jest ograniczony.

ROZDZIAŁ 2. PRELIMINARIA 7 Podstawową strukturą w analizie funkcjonalnej jest przestrzeń operatorów ograniczonych liniowych. Jej rozważanie jest tym bardziej kluczowe, gdyż okazuje się że znaczna część własności przestrzeni liniowo-topologicznych bywa przeniesiona do przestrzeni operatorów. Definicja 2.5.2. Przestrzeń B(X,Y)[] Dla przestrzeni liniowo topologicznych X, Y przez B(X,Y) będziemy rozumieli przestrzeń wszystkich ograniczonych odwzorowań liniowych z X do Y. Ponadto przez B(X) będziemy rozumieli przestrzeń B(X,X). Przestrzeń operatorów B(X, Y ) jest oczywiście przestrzenią liniowo-topologiczną, ze zdefiniowanym w sposób naturalny dodawaniem operatorów oraz mnożeniem przez skalary. Szczególnym przypadkiem przestrzeni operatorów ograniczonych okazuje się być przestrzeń liniowych ograniczonych funkcjonałów przestrzeni X. Funkcjonałem nazywamy operator o wartościach w ciele skalarów. Definicja 2.5.3. Przestrzeń sprzężona[] Niech X,Y będą unormowanymi przestrzeniami liniowo topologicznymi, oraz niech Y będzie ciałem skalarów. Wtedy przestrzeń B(X,Y) nazywać będziemyprzestrzenią sprzężoną do X i oznaczać przez X. Łatwo zauważyć, że wobec rozważania jedynie zupełnych ciał skalarów, przestrzeń sprzężona, o ile jest unormowana, okazuje się być zawsze przestrzenią Banacha. W kwestii notacji dodatkową umową będzie, że elementy przestrzeni sprzężonych będzie oznaczali symbolami zawierającymi analogiczny symbol gwiazdki. Element przestrzeni dualnej X do przestrzeni X będziemy zatem najczęściej oznaczać przez x. Do reprezentowania wartości elementu przestrzeni dualnej na danym elemencie x X używać będziemy zamiennie dwóch notacji: < x, x > (2.8) lub x (x) (2.9)

Rozdział 3 Operatory 3. Operatory liniowe ograniczone W niniejszym rozdziale omówione zostaną podstawowe własności odwzorowań ograniczonych liniowych, które będziemy już niemal zawsze nazywać operatorami liniowymi ograniczonymi. Definicja 3... Operator liniowy ograniczony[2] Niech będą dane przestrzenie unormowane X i Y oraz operator liniowy A określony na podprzestrzeni D(A) X o wartościach w przestrzeni Y. Mówimy, że operator A jest ograniczony, jeżeli istnieje taka liczba nieujemna µ, że x D(A) : Ax µ x (3.) Definicja ta oczywiście jest zgodna z przytoczoną w rozdziale poprzednim. Poniższe twierdzenie należy do najbardziej fundamentalnych w teorii analizy funkcjonalnej. Twierdzenie 3..2. Warunek konieczny i wystarczający ograniczoności operatora [2] Operator liniowy jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągły. Dowód tego faktu jest prosty i można go odszukać w pozycji [2] roz. 36.. Powyższy warunek konieczny i wystarczający ograniczoności operatora pozwala nam rozpoznawać operatory ciągłe. Aby wprowadzić w przestrzeni operatorów strukturę przestrzeni unormowanej musimy zdefiniować pewną ogólną normę dla jej elementów. Definicja 3..3. Norma operatora liniowego ograniczonego[2] Normą operatora liniowego ograniczonego A nazywamy liczbę: A = sup Ax (3.2) x D(A), x = Alternatywnym podejściem jest również definiowanie normy poprzez kres dolny wszystkich ograniczeń danego operatora. Obie uzyskane normy są jednak w pełni równoważne. Przestrzeń B(X, Y ) z tak zdefiniowaną normą jest przestrzenią Banacha, o ile przestrzeń Y jest zupełna. 8

ROZDZIAŁ 3. OPERATORY 9 3.2 Operatory sprzężone Z dowolnym operatorem można skojarzyć pewien inny operator, nazywany operatorem sprzężonym. By dowieść jego istnienia musimy jednak uważnie prześledzić zachowanie funkcjonału normy na przestrzeni sprzężonej. Bardzo ważnym faktem z którego będziemy chcieli skorzystać w dowodzeniu istotnych dla nas twierdzeń, jest informacja płynąca z poniższego lematu: Lemat. Niech X będzie przestrzenią unormowaną i niech x 0 X. Wówczas istnieje funkcjonał A X taki, że:. Ax 0 = x 0 2. Ax x, x X Dowód tego lematu można odszukać w [] roz. 3.3 Aby wprowadzić operator sprzężony musimy zaobserwować pewne związki dotyczące normy w przestrzeni X z normą jej przestrzeni sprzężonej. Okazuje się, że wprowadzając analogiczną normę w przestrzeni sprzężonej otrzymujemy ważny związek obu norm. Twierdzenie 3.2.. Norma w przestrzeni sprzężonej[] Niech X - przestrzeń unormowana, X przestrzeń sprzężona do niej. Wtedy przyporządkowanie: x = sup{ < x, x > : x }, x X (3.3) jest normą w przestrzeni Banacha X. Ponadto zachodzi: x = sup{ < x, x > : x }, x X (3.4) Dowód. Fakt iż jest to norma w przestrzeni Banacha wynika z definicji normy oraz uwagi o zupełności przestrzeni funkcjonałów liniowych ograniczonych. Niech x X. Wobec powyższego lematu istnieje funkcjonał dokładnie równy normie na elemencie x. Z drugiej strony z ograniczoności operatora x mamy: Co dowodzi drugiej części. < x, x > x x x (3.5) Ostatnie twierdzenie pozwoli nam podać alternatywny sposób obliczania normy na przestrzeni B(X, Y ). Twierdzenie 3.2.2. Alternatywna postać normy w przestrzeni B(X, Y )[] Niech X, Y przestrzenie unormowane. Wtedy norma operatora A B(X, Y ) wyraża się wzorem: A = sup{ < Ax, y > : x, x X, y, y Y } (3.6) Dowód. Wobec definicji normy dla przestrzeni B(X, Y ) wiemy, że A = sup{ Ax : x, x X} (3.7) Korzystając z drugiej części twierdzenia 3.2. dla przestrzeni Y, więc m.in. jej podprzestrzeni {Ax, x }, mamy Ax = sup{ < Ax, y > : y, y Y } (3.8) Połączenie (3.7) i (3.8) dowodzi tezę.

ROZDZIAŁ 3. OPERATORY 0 Dysponując powyższym twierdzeniem o normie jesteśmy w stanie udowodnić istnienie operatora sprzężonego. Twierdzenie 3.2.3. O konstrukcji operatora sprzężonego[] Niech X, Y będą przestrzeniami unormowanymi. Wtedy każdemu A B(X,Y) odpowiada dokładnie jeden operator A B(Y, X ) spełniający warunek < Ax, y >=< x, A y > (3.9) dla wszystkich x X i dla wszystkich y Y. Ponadto dowodzi się, że A spełnia równość A = A (3.0) Uzyskany w twierdzeniu operator nazywany jest sprzężonym do danego Dowód.. Rozważmy operatory y Y oraz operator A B(X, Y ). Wprowadźmy operator A y w sposób następujący: A y = y A, y Y (3.) Operator A y należy do X jako złożenie operatorów liniowych ciągłych. Stosując zapis dualny: < x, A y >= A y (x) = y (A(x)) =< Ax, y > (3.2) Zatem operator A, taki że A (y ) = A y, spełnia warunek twierdzenia. Operator ten jest jednoznacznie wyznaczony przez operatory A y oraz y, nie udowodniliśmy jednak na razie, że A, należy do przestrzeni B(Y, X ). Należy wykazać, że jest on liniowy oraz, że jest ograniczony. Zacznijmy od liniowości: Niech y, y2 Y, oraz α, α 2 K, gdzie K - ciało skalarów. Wtedy: < x, A (α y + α 2 y 2) > = < Ax, α y + α 2 y 2 > (3.3) co wobec dowolności x X dowodzi, że: = < Ax, α y > + < Ax, α 2 y 2 > (3.4) = < α Ax, y > + < α 2 Ax, y 2 > (3.5) = < Aα x, y > + < Aα 2 x, y 2 > (3.6) = < α x, A y > + < α 2 x, A y 2 > (3.7) = < x, α A y > + < x, α 2 A y 2 > (3.8) = < x, α A y + α 2 A y 2 > (3.9) A (α y + α 2 y 2) = α A y + α 2 A y 2 (3.20) Zatem wobec dowolności y, y 2 Y, oraz α, α 2 K, jest to operator liniowy. By wykazać ograniczoność posłużmy się normą z twierdzenia 3.2.2. A = sup{ A y : y } (3.2) = sup{ < x, A y > : y, x } (3.22) = sup{ < Ax, y > : y, x } (3.23) = A (3.24)

ROZDZIAŁ 3. OPERATORY Stąd operator ten ma skończoną normę zatem jest ograniczony. Przy okazji udowodniona została również druga część twierdzenia. W niektórych pozycjach książkowych operator sprzężony definiowany jest jedynie dla przestrzeni Hilberta. Definicja ta jest często podawana ze względu na swoistą prostotę zapisu i rozumienia tego pojęcia. Przytoczmy ją w tym miejscu i uzasadnijmy jej zgodność z powyższą definicją operatora sprzężonego dla przestrzeni B(X, Y ). Twierdzenie 3.2.4. Operator sprzężony z operatorem liniowym ograniczonym w przestrzeni Hilberta[2] Niech X będzie przestrzenia Hilberta, a A B(X). Dla każdego elementu y X istnieje funkcjonał liniowy i ciągły określony za pomocą wzoru: Istnieje wtedy operator A taki, że: f y (x) := (x, y) (3.25) f y (Ax) = (A f y )(x), x, y X (3.26) Oczywiście uzyskany operator nazywamy sprzężonym do A. Dla wygody przyjmowanie jest więc, że operator sprzężony w takim wypadku należy do przestrzeni B(X) zamiast B(X ). Jest to prawda na mocy twierdzenia Riesza ([2] roz. 43.). Twierdzenie bowiem zapewnia nas, że dowolny funkcjonał posiada postać zdefiniowaną jak wyżej. Oznacza to izomorficzność przestrzeni X i X. Rozpisanie powyższej definicji, przy wykorzystaniu tej izomorficzności pokazuje, że w terminach iloczynu skalarnego odpowiada to równości: (Ax, y) = (x, A y), x, y X (3.27) Tak zdefiniowany operator posiada wiele ciekawych własności. Np. operator jest równy operatorowi sprzężonemu jego sprzężenia, albo innymi słowy operator jest równy swojemu drugiemu sprzężeniu. W ogólności taka własność nie zachodzi dla dowolnych operatorów. Izomoficzność przestrzeni Hilberta X i X jest kluczowa przy definicji operatora samosprzężonego. Operatory samosprzężone istnieją jedynie dla odwzorowań typu B(X) tj. odwzorowania w siebie. Definicja 3.2.5. Operator normalny i samosprzężony Niech X - przestrzeń Hilberta. Operator A B(X) nazwiemy normalnym gdy: zaś samosprzężonym nazwiemy go gdy: AA = A A, (3.28) A = A (3.29) Przykładem operatora samosprzężonego w przestrzeni Hilberta jest identyczność. Oczywiście jeśli A = I to (Ax, y) = (x, Ay) dla dowolnych x, y X- przestrzeni Hilberta. Jest to więc najprostszy przykład operatora samosprzężonego.

ROZDZIAŁ 3. OPERATORY 2 3.3 Operatory zwarte - operatory pełnociągłe Spośród wielu klas operatów z punktu widzenia wprowadzanej teorii, niezwykle istotne są operatory zwarte, którym poświęcony jest niniejszy rozdział. W literaturze spotyka jest również starsza ich nazwa - operatory pełnociągłe. W tej pracy przyjmujemy umowę, że stosowane jest jedynie pojęcie operatora zwartego. Definicja 3.3.. Operator zwarty[2] Powiemy że operator A B(X, Y ) jest zwarty, jeśli obraz dowolnego zbioru ograniczonego w X, jest prezwarty w Y. Przyjrzyjmy się teraz dokładniej własnością operatorów zwartych. Własności operatorów zwartych Następujący fakt pozwala nam umieścić pojęcie operatora zwartego pośród operatorów ograniczonych. Twierdzenie 3.3.2. Ograniczoność operatora zwartego Każdy operator zwarty jest ograniczony. Dowód. Przypuśćmy, że jest przeciwnie, tj. że istnieje operator nieograniczony a zwarty. Z nieograniczoności wynika, że istnieje zbiór ograniczony, będący podzbiorem dziedziny operatora, o nieograniczonym obrazie. Wtedy można wybrać ciąg punktów z obrazu rozbieżny co do modułu do nieskończoności. Taki ciąg punktów nie posiada podciągu zbieżnego. Zatem wskazany obraz nie jest zbiorem prezwartym. Jednakże jest on obrazem zbioru ograniczonego przez operator zwarty. Zatem powinien być prezwarty. Uzyskaliśmy zatem sprzeczność, mylnie przypuszczając, że istnieje nieograniczony operator zwarty. Zatem każdy operator zwarty jest ograniczony. Odwrotna własność jednakże nie zachodzi. Przykładem jest operator identycznościowy, który co prawda przeprowadza zbiory ograniczone na ograniczone, jednakże obraz zbioru ograniczonego ale nie prezwartego, nie jest prezwarty. Zauważmy, że jeśli operator zwarty jest liniowy to zgodnie z twierdzeniem 3..2 jest on również ciągły. Operatory zwarte stanowią zatem właściwą podklasę operatorów ograniczonych. Pokażemy teraz najprostsze własności tej podklasy. Niech X,Y będą określonymi przestrzeniami liniowymi. Operator A B(X, Y ) nazwiemy skończenie wymiarowym jeśli zbiór jego wartości stanowi podprzestrzeń skończenie wymiarową przestrzeni Y. Twierdzenie 3.3.3. O zwartości operatora skończenie wymiarowego[2] Jeżeli X i Y są przestrzeniami unormowanymi, to każdy operator skończenie wymiarowy A B(X, Y ) jest zwarty. Dowód. Dowód opiera się o twierdzenie o warunków koniecznym i dostatecznym zwartości zbioru w przestrzeniach skończenie-wymiarowych ([2] roz.26.). Z ograniczoności operatora zwartego wynika, że przeprowadza on zbiory ograniczone w zbiory ograniczone. Twierdzenie zaś mówi, że dla skończenie wymiarowej przestrzeni unormowanej, zbiór jest prezwarty wtedy i tylko wtedy gdy jest ograniczony. Zatem wobec przytoczonego twierdzenia, operator ten przeprowadza zbiory ograniczone w zbiory prezwarte, co świadczy o zwartości operatora i dowodzi tezy.

ROZDZIAŁ 3. OPERATORY 3 Powyższe twierdzenie posiada bardzo istotne znaczenie praktyczne, gdyż w praktyce posługujemy się przestrzeniami skończenie wymiarowymi. Twierdzenie rozstrzyga zatem, że możemy swobodnie zakładać, że dowolny taki operator będzie posiadał cechy operatora zwartego. Kolejne twierdzenie pokaże, że działania algebraiczne wprowadzone w przestrzeni operatorów, nie wyprowadzają poza podzbiór operatorów zwartych. Będzie to zatem podprzestrzeń wektorowa przestrzeni operatorów ograniczonych. Twierdzenie 3.3.4. O liniowości przestrzeni operatorów zwartych[2] Niech X,Y będą przestrzeniami unormowanymi. Niech operatory A, A 2, A B(X, Y ) będą operatorami zwartymi oraz niech α będzie dowolnym skalarem z odpowiedniego ciała skalarów. Wtedy operatory także są zwarte. A + A 2, αa (3.30) Dowód. Szkic dowodu Rozpocznijmy szkicem dowodu dla sumy operatorów. Załóżmy, że mamy zbiór ograniczony, zatem jego obrazy przez oba operatory są prezwarte. Rozważmy pewien dowolny ciąg elementów dziedziny operatora. Ważnym dla nas jest aby istniał ciąg indeksów, dla których ciąg wartości operatorów na danych dwóch ciągach jest zbieżny w domknięciu obrazu. Taki ciąg indeksów oczywiście istnieje. By to uzasadnić zauważmy, że ciąg wartości pierwszego operatora na wybranym ciągu musi posiadać podciąg zbieżny. Zatem istnieje taki ciąg indeksów dla operatora pierwszego. Z kolei zauważmy, że ciąg wartości drugiego operatora oparty o podciąg złożony z tych właśnie indeksów również musi posiadać podciąg zbieżny. Wybierają spełniający to wymaganie ciąg indeksów otrzymujemy szukany ciąg indeksów, dla którego podciąg wartości operatora pierwszego jest zbieżny (jako podciąg ciągu zbieżnego), jak i dla drugiego operatora. Do prezwartości obrazu sumy operatorów wystarczy przypomnieć, że suma dwóch ciągów zbieżnych jest ciągiem zbieżnym, a element graniczny w sposób oczywisty należy do domknięcia. Dla mnożenia sposób dowodzenia jest oczywisty. Powyższe twierdzenie uzasadnia istnienie w przestrzeni operatorów zwartych struktury algebraicznej. Następnie zbadamy zachowanie ciągów zbieżnych operatorów zwartych. Twierdzenie 3.3.5. O granicy ciągów operatorów zwartych [2] Niech X- przestrzeń unormowana oraz Y- przestrzeń Banacha. Niech {A n } n N B(X, Y ) będzie ciągiem operatorów zwartych, takich że A n A, gdzie zbieżność rozumiemy jako zbieżność wg normy. Wtedy operator A też jest zwarty. Dowód tego twierdzenia można odszukać w [2] roz. 46.4 Ostatnim istotnym dla nas faktem jest przenoszenie własności zwartości operatora na operatory sprzężone. Twierdzenie 3.3.6. O zwartości operatora sprzężonego[] Niech X i Y będą przestrzeniami Banacha i niech operator A B(X, Y ) będzie zwarty. Wówczas operator A również jest zwarty.

ROZDZIAŁ 3. OPERATORY 4 Dowód. Załóżmy, że A jest operatorem zwartym. Udowodnimy, że jego operator sprzężony jest zwarty. By dowieść zwartości operatora A weźmy dowolny ciąg funkcjonałów przestrzeni Y z dowolnego zbioru ograniczonego i oznaczmy go jako {y n} n N. Wskażemy zbieżny podciąg ciągu {A y n} n N. Niech U X będzie kulą jednostkową. Wobec zwartości operatora A jej obraz A(U) jest zbiorem prezwartym. Rozważmy rodzinę funkcjonałów postaci: f n (y) =< y, y n >, y A(U) (3.3) Zauważmy, że jest to podrodzina funkcji ciągłych określonych na zwartym podzbiorze. Wykażemy, że jest ona prezwarta z pomocą kryterium Ascoliego. Funkcje te są wspólnie ograniczone gdyż: f n (y) yn y sup{ yn } A x A sup{ yn } n N, y A(U) n N n N (3.32) Są również jednakowo ciągłe gdyż: dla dowolnego ɛ > 0 biorąc y y 2 < δ < ɛ f n (y ) f n (y 2 ) y y 2 < ɛ n N (3.33) Zatem z twierdzenia Ascoliego, zbiór funkcji f n jest zwarty. Oznacza to, że w ciągu {f n } n N można wybrać podciąg {f kn } n N zbieżny. Zauważmy, że A y k i A y kj = sup{ < x, A y k i A y k j > : x } (3.34) = sup{ < Ax, y k i y k j > : x } (3.35) = sup{ f ki (Ax) f kj (Ax) : x } (3.36) dla i, j N. Wobec zbieżności jednostajnej na A(U) ciągu {f kn } n N, ciąg {A y k n } n N okazuje się być C-ciągiem. Zupełność przestrzeni X dowodzi iż operator A jest zwarty. Dowodzi się również implikację odwrotną mówiącą, że jeśli operator sprzężony jest zwarty to operator wyjściowy także musi być zwarty. 3.4 Teoria spektralna, widmo operatora Jedną z najważniejszych cech macierzy jest wartość własna. W niniejszej sekcji postaramy się pokazać jak wartości własne można przenieść do teorii operatorów i o jakich własnościach operatora będzie ona decydować. Definicja 3.4.. Wartość regularna[2] Niech A B(X) będzie operatorem liniowym ograniczonym w przestrzeni Banacha X. Liczbę λ nazwiemy wartością regularną jeśli równanie ma dla każdego g dokładnie jedno rozwiązanie. Af λf = g (3.37) Powyżej zdefiniowaną wartość regularną możemy rozumieć na dwa sposoby. Albo jako uparametrycznienie równania, z poszukiwaniem parametrów dla których pewien operator A λ := A λi odwzorowuje przestrzeń w siebie. Mało tego,

ROZDZIAŁ 3. OPERATORY 5 istnienie i jednoznaczność rozwiązania wystarcza nam do tego by powiedzieć iż istnieje operator odwrotny do operatora A λ. Drugie podejście nakazuje patrzeć na zbiór wartości własnych jak na pewną miarę odporności równania na utratę rozwiązania. Opuszczenie zbioru wartości regularnych może spowodować zanik rozwiązań równania lub ich niejednoznaczność. Badanie zachowania operatora w tym dopełnieniu jest dla nas również bardzo istotne. Definicja 3.4.2. Widmo operatora[2] Zbiór wartości λ K(R lub C) nie będących regularnymi dla operatora A nazwiemy widmem operatora A. Rozważając jednorodność w równaniu (3.37), możemy wprowadzić pojęcie wartości własnej. Definicja 3.4.3. Wartość własna[2] Powiemy że liczba λ jest wartością własną operatora A jeśli równanie posiada niezerowe rozwiązanie. Ax λx = 0 (3.38) Każde takie rozwiązanie nazywać będzie elementem własnym odpowiadającym wartości własnej. Zbiór wszystkich elementów własnych odpowiadających wartości własnej z dołączonym zerem nazwiemy podprzestrzenią własną wartości własnej. Jest to domknięta podprzestrzeń liniowa przestrzeni X. Łatwo zauważyć, że każda wartość własna danego operatora należy do jego widma. Zauważmy również, że jest to definicja zgodna z definicją wartości własnej dla macierzy. Jeżeli rozważamy operator dany przez macierz, to powyższa definicja stwierdza, że jeśli λ będzie wartością własną to równanie (A λi)x = 0 (3.39) posiada rozwiązania niezerowe. Układ ten jednakże na pewno ma rozwiązanie w postaci x = 0. W połączeniu z czym fakt, że posiada on inne rozwiązania rozstrzyga, że wyznacznik macierzy A λi musi być równy zero. Co oznacza, że λ jest wartością własną również według definicji znanej z algebry liniowej. Z perspektywy tej pracy najistotniejszym dla nas jest wykorzystanie twierdzeń spektralnych do dowodzenia faktów z zakresu teorii równań całkowych. Podajmy jeszcze bez dowodu lemat pokazujący wpływ zmian parametru λ w równaniu Af λf = g (3.40) na posiadanie jednoznacznego rozwiązania. Lemat 3.4.4. O rozwiązaniu w postaci szeregu von Neumanna[2] Niech X będzie przestrzenią Banacha i niech operator A B(X). Jeżeli A λ < to równanie A λ f f = g (3.4) ma dla każdego y X dokładnie jedno rozwiązanie w postaci sumy szeregu von Neumanna tj.: A n f = g + λ n g (3.42) n=

ROZDZIAŁ 3. OPERATORY 6 Obserwacja którą należy tutaj poczynić, jest fakt, że odpowiednio duże co do normy λ zawsze będą wartościami regularnymi. Oznacza to, że najbardziej badane przez nas będą λ bliskie zeru. 3.5 Widmo operatora zwartego W rozdziale 4.5 udowodnione zostanie, że rozważane przez nas operatory całkowe są zwarte. Skupimy się na zagadnieniu widma jedynie dla operatorów tej klasy. Zaprezentowana tu teoria Riesza, stanowi odpowiedź na pytanie o uzasadnienie szerokiej analogii operatorów całkowych i układów równań algebraicznych, które zaobserwował Fredholm. Na poniższe twierdzenie będziemy powoływać się w późniejszych etapach tej pracy. Twierdzenie 3.5.. Teoria Riesza[2] Niech X będzie przestrzenią Banacha i niech danych będzie operator zwarty A B(X). Wtedy. Każda liczba λ 0 należąca do widma operatora A jest wartością własną. 2. Dla każdej wartości własnej λ 0 odpowiednia podprzestrzeń własna jest skończenie wymiarowa 3. Zbiór wszystkich wartości własnych operatora jest co najwyżej przeliczalny. Jedynym punktem skupienia może być tylko λ = 0. W dowodzie tym skorzystamy z następującego lematu. Lemat 3.5.2. O ilości rozwiązań równania całkowego Niech dana będzie przestrzeń Banacha X oraz operator A B(X). Jeżeli λ w równaniu Ax λx = y (3.43) nie jest wartością własną, to równanie to posiada dla dowolnego y X najwyżej jedno rozwiązanie. Dowód. Możliwe są dwa przypadki. Załóżmy najpierw, że λ jest wartością regularną. Wtedy z definicji teza jest spełniona. Załóżmy zatem, że λ należy do widma operatora. Wtedy dla wybranego y X równanie może. nie mieć rozwiązania 2. mieć jednoznaczne rozwiązanie 3. mieć niejednoznaczne rozwiązanie Niech y X. Przypuśćmy, że równanie jest w przypadku 3. Zatem istnieją rozwiązania x x 2 i zachodzą następujące równości: Ax λx = y, Ax 2 λx 2 = y (3.44) Wykonując odejmowanie stronami otrzymujemy: A(x x 2 ) λ(x x 2 ) = y y = 0 (3.45) gdzie x x 2 0. Sprzeczność, gdyż oznaczałoby to, że λ jest wartością własną operatora. Zatem i w tym przypadku możliwe jest jedynie by wystąpił brak rozwiązania lub jego jednoznaczność rozwiązania. Wobec dowolności y X zachodzi teza lematu.

ROZDZIAŁ 3. OPERATORY 7 Lemat ten nie został zamieszczony w żadnej z pozycji bibliograficznych. Treść i dowód są autorskie. Udowodnijmy teraz kolejno wszystkie 3 punkty. Dowód. Ad Przypuśćmy, wbrew tezie, że istnieje pewien skalar λ nie będący wartością własną, ale należący do widma. Zatem istnieje pewien element y 0 X dla którego równanie, Ax λx = y 0 (3.46) nie posiada rozwiązań. Element taki istnieje gdyż, na mocy lematu dla równanie może mieć najwyżej jedno rozwiązanie dla y Y. Gdyby dla każdego y Y istniało jednoznaczne rozwiązanie, λ nie należałaby do widma. Zatem takie y 0 na pewno istnieje. Wprowadźmy oznaczenia:. A λ = A λi 2. X 0 := X 3. X n := (A λ ) n (X) Tak zdefiniowany ciąg zbiorów X n jest ciągiem zstępującym i tworzy podprzestrzeń liniową (wobec liniowości operatora A λ ). Ponadto zachodzi A n+ λ (X) (X), n N. Rozważmy ciąg elementów postaci A n λ y n = A n λy 0 (3.47) Oczywiście y n X n, n N. Wykażemy indukcyjnie, że y n X n \ X n+, n N. Oczywiście y 0 X 0 \ X, gdyż przypuszczając, że y 0 X otrzymujemy, że istnieje takie x 0 X, że y 0 = A λ(x 0 ) = A λ (x 0 ) = Ax 0 λx 0 (3.48) Co jest sprzecznością z warunkiem (3.46), mówiącym, że takiego rozwiązania nie ma. Niech n N. Załóżmy, że Twierdzimy, że: y n X n \ X n+ (3.49) y n+ X n+ \ X n+2. (3.50) Przypuśćmy nie wprost, że y n+ X n+2. Zatem istnieje wtedy pewien x 0 X taki, że: A n+2 λ (x 0 ) = y n+ = A λ (y n ) (3.5) Przekształcając powyższe otrzymujemy: A λ (y n A n+ (x 0 )) = 0 (3.52) Wobec tego, że λ nie jest wartością własną, równanie A λ z = 0, ma dokładnie jedno rozwiązanie z = 0. Zatem y n = A n+ λ (x 0 ) (3.53)

ROZDZIAŁ 3. OPERATORY 8 co świadczy o tym, że y n A n+ λ (X) i co jest sprzeczne z założeniem indukcyjnym. Wobec dowolności n N na mocy indukcji matematycznej, elementy ciągu y n spełniają warunek y n X n \ X n+, n N. Chcemy wykazać domkniętość. Wykażmy zatem, że istnieje liczba rzeczywista γ > 0 spełniająca warunek A λ x γ x, x X (3.54) By tego dowieść przypuśćmy, że taka stała nie istnieje. Rozważmy ciąg {z n } n N X dla którego: Az n λz n < n z n (3.55) Na podstawie naszego przypuszczenia stwierdzamy, że ciąg taki na pewno istnieje. Podstawiając z n := x n z n otrzymujemy: Ax n λx n < n (3.56) Ciąg Ax n należy do obrazu zbioru ograniczonego w X, zatem wobec zwartości operatora A zawiera się on w zbiorze prezwartym. Daje się więc wybrać ciąg indeksów k n taki, że Ax kn x 0 (3.57) Wobec (3.56), zachodzi zbieżność ciagu λx kn x 0. Wobec twierdzenia o ciągłości normy zauważamy, że x 0 = λ 0. Zauważmy, że ciągi λax kn = A(λx kn ) są sobie równe wobec liniowości operatora A. Zatem ich granice są sobie również równe. Korzystając z ciągłości operatora A otrzymujemy zatem: λx 0 = Ax 0. Wobec faktu, że x 0 0 oznaczało by to, że λ była by wartością własną. Sprzeczność. Stąd A λ x γ x, x X (3.58) Zauważmy, że A λ x X co oznacza, że: A λ (A λ x) γ (A λ x) γ 2 x (3.59) Korzystając z powyższego indukcyjnie łatwo dowieść, że A n λx γ n x (3.60) Udowodnimy teraz domkniętość zbiorów X n. Niech n N oraz niech z n k, k N będzie zbieżnym ciągiem w przestrzeni X elementów z X n. Wykażemy, że granica tego ciągu należy do X n. Istnieje taki ciąg x k taki, że A n λ (x k) = z n k. Wobec 3.60 zachodzi: z n k z n j = A n α(x k x j ) γ n x k x j, k, j N (3.6) Zbieżność ciągu z n k dowodzi, że x k jest C-ciągiem w przestrzeni Banacha X. Zatem istnieje element x 0 będący granicą ciągu x k. Wobec ciągłości operatora A: Ax 0 = y 0 (3.62) Skąd y 0 X n. Co wobec dowolności n N dowodzi domkniętości zbiorów X n. Zatem każdy ze zbiorów X n ma strukturę podprzestrzeni liniowej z działaniami z przestrzeni X, jest domknięty i zawiera X n+ w sposób właściwy. Na mocy lematu Riesza [2], będzie istniał ciąg v n elementów o następujących właściwościach:

ROZDZIAŁ 3. OPERATORY 9. v n =, n N, v n X n 2. v n x 2 dla x Xn+ Rozważmy x = v m λ (A λv n A λ v m ) gdy m > n. Zauważmy, że wtedy x X n+ jako kombinacja liniowa elementów z X n+. Stąd, wobec symetrii, moduł różnicy Av n Av m = λ v n x λ 2, n m (3.63) Ciąg o takiej własności nie może mieć oczywiście podciągu zbieżnego. Ciąg v n jest jednak oczywiście ograniczony skąd oczywiście wynika, że ciąg Av n należy do pewnego prezwartego zbioru. Zatem sprzeczność z przypuszczeniem, że jest niezerowy skalar w widmie nie będący wartością własną. Ad 2 Przypuścmy, że dla pewnego λ przestrzeń własna jest nieskończenie wymiarowa. Wiadomym jest, że każda przestrzeń nieskończenie wymiarowa unormowana posiada zbiory ograniczone ale nie prezwarte. Niech x n będzie ciągiem wybranym z takiego zbioru, niezawierającym podciągu zbieżnego. Zatem ciąg λx n również nie zawiera podciągu zbieżnego. Z drugiej jednak strony ciąg A(x n ) należy do prezwartego obrazu operatora A na zbiorze ograniczonym. Zatem ten ciąg posiada podciąg zbieżny. Jednakże w przestrzeni własnej zachodzi równość Ax = λx, x X λ (A) (3.64) Stąd otrzymaliśmy sprzeczność. Zatem każda przestrzeń własna musi być skończenie wymiarowa. Ad 3 Przypuśćmy, że zbiór wartości własnych operatora A posiada różny od zera punkt skupienia. Zatem istnieje ciąg λ n różnych wartości własnych o normie powyżej pewnej stałej dodatniej ɛ. Niech x n będzie niezerowym elementem własnym dla wartości własnej λ n. Zauważmy, że jeśli układ x,..., x n jest liniowo niezależny to również układ x,..., x n, x n+ jest liniowo niezależny. W przeciwnym wypadku x n+ ma postać: którą wstawiając do : 0 = Ax n+ λ n+ x n+ = x n+ = n a i x i (3.65) i= n a i (Ax i λ n+ x i ) = i= n a i (λ i λ n+ )x i (3.66) Co wobec liniowej niezależności x,..., x n pokazuje, że x n+ = 0 wbrew założeniu niezerowości. Zatem każdy układ x,..., x n jest liniowo niezależny dla dowolnego n N. Oznaczmy przestrzenie rozpięte na układach x,..., x n przez odpowiednio X n. Jako podprzestrzenie skończenie wymiarowe przestrzeni Banacha są one domknięte. Oczywiście dla dowolnego n, X n jest podprzestrzenią właściwą dla X n+, co pozwala nam zastosować ponownie lemat Riesza. Istnieje zatem ciąg v n o własnościach:. v n =, n N, v n X n i=

ROZDZIAŁ 3. OPERATORY 20 2. v n x 2 dla x X n dla n N \ {}. Niech n > m, dla x = λ n (λ n v n Av n ) + λ m Av m. Łatwo zauważyć, że λ n v n Av n należy do X n, jednakże rozpisując postać v n w bazie x,..., x n zauważamy, że element nie zależy od x n a zatem należy do X n. Podobnie Av m X m X n. Zatem x X n. Wobec rezultatu lematu Riesza: 2 v n x = A( v n λ n ) A( v m λ m ) (3.67) Z dowolności n,m i ich symetrii ciąg A( vn λ n ) nie posiada podciągów zbieżnych. Jednakże ciąg { vn λ n } n N jest ograniczony gdyż: v n λ n = λ n ɛ (3.68) Zatem sprzeczność z zwartością operatora A. Zatem zbiór wartości własnych ma co najwyżej jeden punkt skupienia będący zerem. Na mocy uwagi po lemacie 3.4.4, wiemy że zbiór widma jest ograniczony przez kulę K(0, A ). Zatem jeśli 0 nie jest punktem skupienia zbioru wartości własnych to zbiór ten musi być skończony. Jeśli zero jest punktem skupienia, zbiór ten może być co najwyżej przeliczalny. Skorzystamy również z twierdzenia, które zademonstruje nam związek pomiędzy przestrzeniami sprzężonymi a wartościami własnymi. Twierdzenie 3.5.3. O ortogonalności podprzestrzeni własnej i rozwiązania[2] Niech X będzie przestrzenią Hilberta X, a A B(X) operatorem zwartym i niech λ 0 będzie skalarem. Wtedy. λ jest wartością własną operatora A wtedy i tylko wtedy gdy λ jest wartością własną operatora A. Gdy λ jest wartością własną jej przestrzeń własna ma identyczny wymiar z przestrzenią własną λ operatora A. 2. Jeżeli λ jest wartością własną, to równanie Ax λx = y (3.69) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy y jest ortogonalny do podprzestrzeni własnej X λ (A ). Dowód opiera się o Teorię Riesza oraz konstrukcję operatora sprzężonego i przestrzeni własnej, i można go znaleźć w [2] roz. 52.4.

Rozdział 4 Operatory całkowe 4. Operatory całkowe W dalszej części pracy nasze rozważania ograniczą się do tzw. operatorów całkowych. Operatory te definiujemy następująco: Definicja 4... Operator całkowy[2] Niech dany będzie podzbiór przestrzeni euklidesowej m-wymiarowej. Niech X,Y przestrzeni unormowane funkcji określonych na oraz niech A będzie funkcją określoną na produkcie mającą tą własność, że dla każdej funkcji u X poniższa całka Lebesgue a jest dobrze określona funkcją z Y. v(x) = A(x, y)u(y)dy, x (4.) Przyporządkowanie X u v Y dla funkcji u,v z równania (4.), nazwiemy operatorem całkowym A i będziemy zapisywać równanie w postaci: Au = v (4.2) Funkcję A nazywać będziemy jądrem danego operatora całkowego. Stosowany szeroko podobny sposób zapisu dla operatora całkowego i jądra operatora całkowego wynika z silnej zależności pomiędzy operatorem, a jądrem. W większości przypadków nie prowadzi do nieporozumień nawet stosowanie tego samego oznaczenia dla jądra i operatora. Powyższa definicja jest w swej naturze bardzo ogólna, jednakże sformułowanie poniższa całka jest dobrze określoną funkcją pozostawia spory obszar poszukiwań. Dlatego najczęściej rozważa się jedynie przestrzenie gdzie, na mocy odpowiednich twierdzeń ta poprawność jest zapewniona. Bardzo ważną uwagą jest to, że operatory całkowe niezależnie od rozważanych przestrzeni są operatorami liniowymi. 4.2 Rodzaje operatorów całkowych Operatory całkowe i ich klasyfikacja są tak ściśle związane z przypisanymi im jądrami całkowymi, zatem klasyfikację operatorów całkowych należy rozpocząć od klasyfikowania jąder. 2

ROZDZIAŁ 4. OPERATORY CAŁKOWE 22 Definicja 4.2.. Operator całkowy o ciągłym jądrze w przestrzeni C()[2] Niech X = Y = C() oraz A C( ), przyjmując: (Au)(x) = A(x, y)u(y)dy u C() (4.3) określamy operator całkowy odwzorowujący przestrzeń C() w siebie. Tak zdefiniowany operator całkowy jest poprawnie określony. Całka z funkcji ciągłej na zwartym podzbiorze zawsze istnieje i będzie ciągłą funkcją pozostałych parametrów. Udowodnienie ograniczoności tego operatora jest trywialne. Powyższy operator da się uogólnić na szerszą klasę funkcji. Wiemy bowiem, że nie tylko funkcje ciągłe można całkować. Definicja 4.2.2. Operator całkowy o ciągłym jądrze w przestrzeni L 2 ()[2] Niech X = Y = L 2 (), dla E m - zwarty podzbiór m-wymiarowej przestrzeni euklidesowej, oraz A C( ), to kładąc: u L 2 () (Au)(x) = A(x, y)u(y)dy (4.4) określamy operator całkowy odwzorowujący przestrzeń L 2 () w siebie. Istnienie powyższej całki jest konsekwencją ograniczoności funkcji jądra. Jednostajna ciągłość jądra względem kompletu zmiennych (x,y) przenosi się na ciągłość względem wartości operatora. Zatem zauważamy, że operator ten przyporządkowuje funkcjom klasy L 2 () funkcje ciągłe. Niewątpliwie jest to zatem odwzorowanie w siebie przestrzeni L 2 (), której podprzestrzenią są przecież funkcje ciągłe. Jednakże zauważamy, że tak silne założenia o jądrze operatora powoduje zawężenie zbioru wartości operatora do węższej niż rozważana klasa. Stąd osłabiając warunki nałożone na jądro operatora otrzymujemy ogólniejszy operator. Definicja 4.2.3. Operator całkowy z jądrem kwadratowym w przestrzeni L 2 ()[2] Gdy X = Y = L 2 () oraz A - funkcją mierzalną określoną na produkcie ( ) taką że: A(x, y) 2 dxdy < (4.5) przyjmując: u L 2 () (Au)(x) = A(x, y)u(y)dy (4.6) określamy operator całkowy odwzorowujący przestrzeń L 2 () w siebie. Jądro spełniające warunek (4.5) nazywać będziemy kwadratowym. Uzasadnienie przekształcenia w siebie wymaga tym razem szerszego komentarza. Zgodnie z twierdzeniem Fubiniego: A(x, y) 2 dxdy = ( A(x, y) 2 dy)dx (4.7)

ROZDZIAŁ 4. OPERATORY CAŁKOWE 23 Wykorzystując powyższe oraz nierówność Buniakowskiego otrzymujemy: (Au)(x) 2 = A(x, y)u(y)dy 2 A(x, y) 2 dy u(y) 2 dy (4.8) Wobec tego również dla całek tych funkcji zachodzi: (Au)(x) 2 dx ( A(x, y) 2 dy)dx u(y) 2 dy < + (4.9) Zatem funkcja A(u) jest również klasy L 2 (). Ponadto przyglądając się (4.9) zauważmy, że warunek ten zapewnia również ograniczoność tego operatora. Zatem ten operator całkowy jest ograniczonym liniowym operatorem przekształcającym przestrzeń L 2 () w siebie. 4.3 Jądra słabo osobliwe Istnieje jeszcze inna klasa jąder, która również zapewnia przekształcenie przestrzeni L 2 () w siebie. Są to jądra słabo osobliwe. Definicja 4.3.. Jądro słabo osobliwe[2] Niech dany będzie zbiór mierzalny i ograniczony w przestrzeni euklidesowej m-wymiarowej E m. Powiemy, że jądro jest słabo osobliwe, jeśli daje się je przedstawić w postaci: H(x, y) A(x, y) = x y α (4.0) gdzie 0 < α < m natomiast x, y, x y, zaś funkcja H jest funkcją mierzalną i ograniczoną. Jądra słabo osobliwe są oczywiście całkowalne. Ponadto dowodzi się, że jeżeli α < 2m to jest ono jądrem kwadratowym. Jednakże nie wszystkie jądra kwadratowe są słabo osobliwe. Definicja 4.3.2. Operator całkowy z jądrem słabo osobliwym w przestrzeni L 2 ()[2] Gdy E m jest ograniczonym zbiorem mierzalnym, X = Y = L 2 () oraz A jest słabo osobliwym jądrem to przyjmując: u L 2 () (Au)(x) = A(x, y)u(y)dy (4.) określamy operator całkowy odwzorowujący przestrzeń L 2 () w siebie. W uzasadnieniu ograniczoności i działania operatora w przestrzeń L 2 () wykorzystamy następujący lemat, który łatwo można wykazać stosując zmienne biegunowe. Lemat 4.3.3. Jeżeli 0 < α < m to istnieje pewna stała γ > 0, że dla każdych dwóch punktów x, y R m i dowolnej liczby r > 0 zachodzi: y z α dz γrm α (4.2) jeśli y x < r. K(x,r)

ROZDZIAŁ 4. OPERATORY CAŁKOWE 24 Możemy zatem przejść do dowiedzenia odpowiedniego działania wskazanego operatora całkowego. Niech dana będzie funkcja u - całkowalna. Wobec lematu wiemy, że x y α dy γ 0 (4.3) Gdyż będąc ograniczonym na pewno zawiera się w kuli o środku w x i odpowiednio dużym promieniu. Stąd powyższa całka na pewno jest ograniczona. Korzystając z definicji jądra słabo osobliwego, twierdzenia Fubiniego oraz (4.3) otrzymujemy: H(x, y) u(y) x y α dxdy ( H(x, y) dx) u(y) dy (4.4) x y α sup { H(x, y) }γ 0 x,y u(y) dy < (4.5) Co dowodzi działania w siebie w przestrzeń funkcji całkowalnych. Niech tym razem dana będzie funkcja u całkowalna w kwadracie modułu. Na mocy nierówności Buniakowskiego: (Au)(x) 2 u(y) H(x, y) 2 (4.6) x y α 2 x y α 2 sup { H(x, y) 2 }γ 0 x,y Zatem całkując powyższe i zamieniając zmienne (Au)(x) 2 dx sup { H(x, y) 2 }γ 0 ( x,y sup { H(x, y) 2 }γ 0 ( x,y ( sup { H(x, y) }) 2 γ0 2 x,y Ostatnie oznacza ponadto, że operator jest ograniczony. u(y) 2 dy (4.7) x y α u(y) 2 dy)dx (4.8) x y α x y α dx) u(y) 2 dy(4.9) u(y) 2 dy < (4.20) Definicja 4.3.4. Operator całkowy z jądrem słabo osobliwym w przestrzeni C()[2] Gdy E m jest zbiorem zwartym, X = Y = C() oraz A jest słabo osobliwym jądrem takim, że funkcja H (z definicji 4.3.) jest ciągła, to przyjmując: u L 2 () (Au)(x) = A(x, y)u(y)dy (4.2) określamy operator całkowy odwzorowujący przestrzeń C() w siebie. Fakt iż jest to operator odwzorowujący w siebie jest widoczny wiec pozostawmy to bez dowodu.

ROZDZIAŁ 4. OPERATORY CAŁKOWE 25 4.4 Klasyfikacja równań całkowych Pierwotnie około roku 900 w pracach Volterry i Fredholma rozważane były jedynie całki funkcji określonych na podzbiorach osi rzeczywistej i jąder całkowych określonych na iloczynie kartezjańskim podzbiór osi rzeczywistej. Ze względu na występujące postacie liniowych równań całkowych ograniczono się do dwóch głównych typów tych równań:. Równań Volterry - które były rozważane jako pierwsze (a) pierwszego rodzaju (b) drugiego rodzaju 2. Równań Fredholma x a f(x) (a) pierwszego rodzaju (b) drugiego rodzaju b a A(x, y)f(y)dy = g(x) x (a, b) (4.22) x a b f(x) A(x, y)f(y)dy = g(x) x (a, b) (4.23) A(x, y)f(y)dy = g(x) x (a, b) (4.24) a A(x, y)f(y)dy = g(x) x (a, b) (4.25) Gdzie funkcje f i g należały do odpowiednich klas przestrzeni funkcyjnych, podobnie jak jądra przekształceń należały do odpowiednich dla nich klas przestrzeni funkcyjnych.[3] Dowodzi się, że każde z równań Volterry daje się sprowadzić do równań Fredholma [3]. Odkrycie tego spowodowało, że rozwój badań nad równaniami całkowymi ukierunkował się na równania Fredholma. Szerzej o własnościach tych równań będzie powiedziane więcej w rozdziale 5. 4.5 Zwartość operatorów całkowych Okazuje się że dla licznych klas jąder równań całkowych, operator całkowy okazuje się być zwartym. Twierdzenie 4.5.. Zwartość operatora całkowego dla przestrzeni C()[2] Operator całkowy A B(C()) z jądrem A ciągłym jest zwarty.