2.3.1. Ilon sklrn Ilonem sklrnm (sklrowm) dwóh wektorów i nwm sklr równ ilonowi modułów ou wektorów pre kosinus kąt wrtego międ nimi. α O Rs. 2.8. Ilustrj do definiji ilonu sklrnego Jeżeli kąt międ wektormi onm pre α (rs. 2.8), operję mnożeni sklrnego pre, to otrmm: osα. (2.11) Po uwględnieniu we wore (2.11) leżnośi (2.2) ilon sklrn możem predstwić jko ilon rutu jednego wektor n kierunek drugiego i modułu drugiego. ( os ) ( os ) ( ) ( ) α α R R. (2.12) Ilon sklrn jest równ eru (po prpdkmi, gd 0 lu 0), gd os 0. Wnik stąd wrunek prostopdłośi (ortogonlnośi) dwóh wektorów: 0, gd. (2.13) Z fktu, że funkj kosinus jest funkją prstą [osα os( α)], wni że do ilonu sklrnego stosuje się prwo premiennośi:. Ilon sklrn podleg również prwu rodielnośi mnożeni sklrnego wględem dodwni: ( + ) +. Dowód tej włsnośi wnik epośrednio prtoonego w poprednim punkie twierdeni Chrles or leżnośi (2.2):
( + ) R( + ) [ R( ) + R( ) ] R ( ) + R ( ) +. Jeżeli pomnożm równnie (2.11) pre dowoln sklr to otrmm prwo łąnośi mnożeni ilonu sklrnego pre sklr: k ( ) ( k) osα ( k) osα ( k ) ( k ). Wektor pomnożon sklrnie pre sieie jest równ kwdrtowi modułu: 2 os0. (2.14) Z podnh wżej rowżń wni że ilon sklrn po worem (2.13) m tkie sme włsnośi jk ilon lgerin li. Gd mm dowoln wektor or oś l określoną pre wektor jednostkow e l (rs. 2.3), to n podstwie równni (2.12) rut tego wektor n oś l wrż wór: e l osα R ( ). (2.15) Z leżnośi tej ędiem ęsto korstć pr oliniu współrędnh wektor w dnm ukłdie współrędnh. Oenie podm leżnośi międ wersormi i, j, k prostokątnego ukłdu współrędnh. N podstwie worów (2.14) i (2.13) otrmujem: l i i j j k k 1, i j j k k i 0. (2.16) Gd wektor i pisem nlitnie pomoą ih współrędnh w prostokątnm ukłdie współrędnh,, : (2.17) to ih ilon sklrn n podstwie worów (2.16) możn wrić pre współrędne: + +. (2.18) Porównnie worów (2.11) i (2.18) powl olić kąt międ wektormi:
+ + osα. (2.19) Z tego woru wni że dw wektor ł ortogonlne, ih współrędne musą spełnić leżność: + + 0. (2.20)
2.3.2. Ilon wektorow Ilonem wektorowm dwóh wektorów i nwm wektor prostopdł do płsn utworonej pre te wektor, którego moduł jest równ ilonowi modułów th wektorów pomnożonemu pre sinus kąt wrtego międ nimi (rs. 2.9), sinα. (2.21) α O Rs. 2.9. Ilustrj ilonu wektorowego Zwrot wektor jest tk dorn, że wektor,, tworą ukłd prwoskrętn, li wrot wektor określ reguł śru prwoskrętnej. Z określeni modułu ilonu wektorowego or rs. 2.9 wni że jest on równ polu równoległooku udownego n wektorh i. Z definiji ilonu wektorowego wni że po prpdkmi, gd 0 lu 0, jest on równ eru, kied sinα 0, li dl α 0 lo α π, o on, iż wektor jest równoległ do wektor. Ztem wrunek równoległośi m postć: 0. (2.22) Jeżeli w ilonie wektorowm wektor i mienim miejsmi, to wektor,, ędą tworł ukłd lewoskrętn. A ponownie otrmć ukłd
prwoskrętn, nleż mienić wrot wektor n preiwn, jk n rs. 2.9, li gd, to. Widim tem, że do ilonu wektorowego nie stosuje się prwo premiennośi:. (2.23) Możn wkć [6, 9], że ilon wektorow podleg prwu rodielnośi mnożeni wektorowego wględem dodwni: ( + d) + d. (2.24) Do ilonu wektorowego stosuje się również prwo łąnośi mnożeni pre dowoln sklr k: ( k ) ( k) k( ). (2.25) Powżs równość wnik epośrednio porównni modułów powżsh ilonów wektorowh. Ilon wektorowe wersorów i, j, k prostokątnego prwoskrętnego ukłdu współrędnh,, wnikją epośrednio e woru (2.22) or definiji ilonu wektorowego i i j j k k 0, i j j k i, j i k j i, k i j, i k j. (2.26) Oenie wrim ilon wektorow dwóh dowolnh wektorów i pomoą ih współrędnh w prostokątnm ukłdie współrędnh,,. Po podstwieniu leżnośi (2.17) do woru n ilon wektorow mm: ( k) ( j k). + Po wkonniu diłń, wkorstniu leżnośi (2.26) or pogrupowniu wrów pr posególnh wersorh powżs wór prjmie postć: ( ) ( ) ( ) k. (2.27)
Wrżenie po prwej stronie tego równni jest rowinięiem wnnik. k j i (2.28) W elu olieni współrędnh ilonu wektorowego nleż wektor pisn nlitnie:,, k i j + + podstwić do równni (2.27). Z porównni wrów pr th smh wersorh otrmm: ( ) ( ( ).,, ) (2.29)
2.3.3. Ilon łożone treh wektorów W poprednih dwóh punkth omówiliśm ilon sklrn or ilon wektorow dwóh wektorów. Wektor te mogł ć w sególnośi sumą kilku wektorów. Oenie podm określeni ilonów podwójnh łożonh treh wektorów. Będie to ilon miesn treh wektorów or podwójn ilon wektorow treh wektorów. Ogrnim się pr tm tlko do określeni th ilonów or podni podstwowh leżnośi nieędnh do prekstłeń worów wektorowh w dlsh rodiłh. Dowod n podne niżej prekstłeni możn nleźć w literture [6, 9, 11]. Ilonem miesnm treh wektorów, i nwm ilon sklrn jednego th wektorów, np. wektor, pre wektor ędą ilonem wektorowm dwóh poostłh: ( ). (2.30) Z podnej definiji wni że ilon miesn jest sklrem. W interpretji geometrnej ilon miesn jest równ liowo ojętośi równoległośinu udownego n wektorh, i. Z podnej interpretji geometrnej wni że gd wektor te leżą w jednej płsźnie, to ilon miesn jest równ eru. Wrtość ilonu miesnego nie uleg minie, jeżeli w ilonie tm ędiem mienić klinie kolejność wrów: ( ) ( ) ( ). (2.31) Jeżeli wektor wstępująe w ilonie miesnm predstwim nlitnie: to ilon miesn możn pisć w posti wnnik utworonego e współrędnh wektorów: ( ). (2.32)
Podwójn ilon wektorow treh wektorów, i jest wektorem powstłm w wniku wektorowego pomnożeni wektor pre ilon wektorow wektor i : ( ). (2.33) Powżs wór możn rowinąć do posti rdiej prdtnej do prekstłeń worów wektorowh: ( ) ( ) ( ). (2.34)