MODELOWANIE WŁASNOŚCI SZEREGÓW STÓP ZWROTU SKOŚNOŚĆ ROZKŁADÓW

Krzyszof Pionek Kaedra Inwesycji Finansowych i Ubezpieczeń Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu MODELOWANIE WŁASNOŚCI SZEREGÓW STÓP ZWROTU SKOŚNOŚĆ ROZKŁADÓW Wprowadzenie Współczesne zarządzanie ryzykiem rynkowym opiera się przede wszyskim na rozwiązaniach z obszaru eorii procesów sochasycznych (por. np. Jajuga (1999), Pionek (00), Tsay (00)). Modelowaniu podlegają bądź o szeregi cen, bądź sóp zwrou z insrumenów finansowych. Uzyskane wyniki wykorzysuje się nasępnie w analizie porfelowej, wycenie opcji czy pomiarze ryzyka. W zależności od jakości modelu zmian cen (sóp zwrou) możliwe jes uzyskiwanie wyższych dochodów, lub skueczniejsze zarządzanie ryzykiem. Nic dziwnego, iż zagadnienie, jak najlepszego modelowania zmian cen zaprząa zarówno eoreyków, jak i prakyków rynków finansowych. W szeregach sóp zwrou z insrumenów finansowych obserwuje się szereg ypowych własności (por. np. Jajuga (000), Lamber i Lauren (001), Pionek (00), Tsay (00), Pionek (003) ). Do najczęściej analizowanych należą: efek lepokurozy i grubych ogonów rozkładów sóp zwrou, efek auokorelacji sóp zwrou, efek skupiania (gromadzenia) zmienności, efek dźwigni, efek długiej pamięci w szeregach zmienności (wariancji). Wyniki badań doyczących możliwości opisu wyżej wymienionych własności odnośnie rynku polskiego dla szeregu sóp zwrou z indeksu WIG - zaprezenowano w pracy Pionka (por. Pionek (003)). W niekórych szeregach sóp zwrou obserwuje się jednak dodakowo efek skośności rozkładu sóp zwrou (por. np. Jajuga (000), Jondeau i Rockinger (000), Premarane i Bera (001)). Własność a jes chyba najrzadziej (obok długiej pamięci zmienności) uwzględnianą w modelu własnością szeregów sóp zwrou. Obserwowana poencjalnie w rozkładach sóp zwrou skośność ma jednak znaczne konsekwencje w wycenie opcji (por. Harvey i Siddique 1

(000)), konsrukcji porfela (por. Kraus i Lizenberger (1976), Markowiz (1991)) oraz pomiarze ryzyka, np. meodą VaR (por. np. Jorion (001)). Niniejsza praca skupia się więc na przedsawieniu jednego z możliwych podejść w zakresie opisu skośności rozkładu bezwarunkowego oraz jednoczesnego ujęcia przynajmniej niekórych z wymienionych wcześniej własności szeregów. Przedsawione zosaną dwa rozwiązania w zakresie wprowadzenia efeku skośności do (najczęściej osanio wykorzysywanego w analizach prakycznych) rozkładu -Sudena (por. Pionek (00), Pionek (003)). W części empirycznej przedsawione zosaną wyniki badań dla wybranych szeregów sóp zwrou z rynku polskiego. Pokazane zosanie, iż dla niekórych szeregów wprowadzenie do modelu efeku skośności w sposób jednoznaczny poprawia jakość dopasowania i może poencjalnie przynieść wymierne korzyści w procesie np. zarządzania ryzykiem inwesycji. Niniejszy arykuł jes konynuacją wcześniejszej pracy auora (por. Pionek (003)), w kórej zakładano symerię rozkładu resz modelu. Nie wszyskie aspeky modelowania prezenowane we wcześniejszej pracy będą ponownie analizowane. Niekóre zagadnienia porakowane zosaną skróowo. 1. Analizowany model szeregu sóp zwrou Zgodnie z zapowiedzią, w niniejszej pracy rozszerzone zosanie podejście wykorzysywane sandardowo (w ym również we wcześniejszych pracach auora (por. Pionek (00), Pionek(004))) do opisu szeregów sóp zwrou o możliwość opisu skośności rozkładów. Najprosszym sposobem uwzględnienia ewenualnej skośności rozkładu sóp zwrou jes wprowadzenie w rozważanym modelu prosych sóp zwrou: S S r = = µ + ε = µ + h z, (1) 1 S 1 akiego składnika losowego z, kóry ma rozkład skośny 1. Poszczególne oznaczenia o oczywiście (por. Pionek (00)): S - cena w chwili, µ - warunkowa warość oczekiwana sopy zwrou w chwili ( E [ r I ] µ 1 = ),

h - warunkowa wariancja sopy zwrou w chwili ( var [ ] h = r I 1 ), z - niezależne (sandaryzowane) reszy modelu o zerowej średniej i jednoskowej 1 wariancji, z = iid D(0,1), I - informacja dosępna w chwili -1. Zagadnienia związane z modelowaniem szeregów sóp zwrou ( r ), dzieli się w sposób nauralny na 3 obszary (por. Pionek (00), Tsay (00)): modelowanie warunkowej warości oczekiwanej procesu ( µ ), modelowanie warunkowej wariancji procesu ( h ), wybór posaci funkcji gęsości sandaryzowanych resz modelu ( z ). Wszyskie 3 zagadnienia należy rozparywać łącznie, gdyż wzajemnie wpływają na siebie i wspólnie deerminują własności i jakość osaecznego modelu. Waro zaznaczyć, iż osaeczny model można budować,,jak z klocków'' łącząc poszczególne możliwe rozwiązania. Podsawowe modele w zakresie powyższych obszarów z zasosowaniem do opisu własności szeregu sóp zwrou z indeksu WIG zaprezenowane zosały w pracy Pionka (por. Pionek (003)). W niniejszej pracy zrezygnowano z opisu długiej pamięci szeregu zmienności i do dalszych analiz wykorzysano najpopularniejsze ypowe rozwiązania w zakresie opisu warunkowej warości oczekiwanej oraz warunkowej wariancji. Umożliwia o porównanie w dalszej części pracy ypowych, sosowanych w prakyce rozwiązań z modelem rozszerzonym. Do opisu warunkowej warości oczekiwanej przyjęo model auoregresyjny rzędu pierwszego: [ ] µ = E r I = µ + ϕr, () 1 1 naomias w opisie warunkowej wariancji oparo się na modelu GJR-GARCH(1,1), kóry umożliwia, oprócz efeku gromadzenia zmienności i grubych ogonów rozkładu bezwarunkowego, opis efeku dźwigni (por. Pionek (00), Tsay (00), Pionek (003)): gdzie: ( ( ε ) ) 1 < 0 h = ω + α + α I ε + β h, (3) I 1 1 ( p) 1; gdy p = prawda =. (4) 0; gdy p = falsz 1 Innym, nierozparywanym w ej pracy podejściem jes wprowadzenie do modelu danego wzorem (1) części związanej ze skokami, o odpowiednio zadanym rozkładzie, co prowadzi do dyskrenej wersji zw. modelu skoku i dyfuzji (jump-diffusion model) (por. Pionek (00)). 3

W zakresie możliwych, sandaryzowanych resz modelu wykorzysuje się w prakyce przede wszyskim rozkład normalny oraz rozkłady o możliwych do uzyskania grubych ogonach rozkład -Sudena oraz uogólniony rozkład błędu (General Error Disribuion, GED). Te dwa osanie rozkłady zyskały popularność, gdyż przy prosej posaci umożliwiają opis grubych ogonów oraz akie przeskalowanie, by miały zerową warość oczekiwaną oraz jednoskową wariancję, co powoduje, że µ oraz h pozosają nadal warunkową warością oczekiwaną i warunkową wariancją. Badania empiryczne wykazały, że modele z rozkładami o poencjalnie grubych ogonach przewyższają modele z rozkładem normalnym (por. np. Jondenau i Rockinger (000), Lamber i Lauren (001), Pionek (00), Tsay (00)). Rozkład GED opisuje zazwyczaj lepiej własności rozkładów sandaryzowanych resz modelu wokół modalnej, naomias rozkład -Sudena opisuje lepiej ogony rozkładów resz. Ponieważ pojęcie ryzyka związane jes z ogonami rozkładów, większą uwagę zwrócono w zagadnieniach finansowych na rozkład -Sudena. Aby poprawić jakość dopasowania modeli, poszukiwano więc akiej modyfikacji rozkładu -Sudena, by uzyskać rozkład o zerowej średniej, jednoskowej wariancji oraz ewenualnej asymerii.. Wprowadzenie skośności do rozkładów symerycznych Efek skośności można wprowadzić do dowolnego rozkładu symerycznego o gęsości g( ) odpowiednio przekszałcając posać rozkładu na lewo i prawo od dominany. Każda z połówek orzymanego rozkładu jes fragmenem bazowego rozkładu symerycznego o innych paramerach. W ogólności, aby orzymać skośny rozkład f ( x ) na bazie rozkładu g( x ), wykorzysuje się nasępujące przekszałcenie (por. Arellano-Valle i Gomez (003)): gdzie: x x f ( x ψ ) = g I( x 0) + g I ( x< 0) a ( ψ ) + b( ψ ) a ( ψ ) b( ψ ) a ( ψ ), b( ψ ) - odpowiednio dobrane funkcje normujące, ψ - paramer wprowadzający skośność,, (5) Sosunek odpowiednich prawdopodobieńsw, mogący być miarą asymerii, dla ak wprowadzonego rozkładu skośnego wynosi: Możliwe jes oczywiście również zasosowanie rozkładów, kórych posać gęsości zawiera od razu paramer skośności, np. rozkładów hiperbolicznych, czy rozkładu Pearsona ypy IV-ego. Rozkłady e cieszą się jednak do ej pory mniejszą popularnością w prakyce, niż podejście prezenowane w dalszej części pracy. 4

( 0 ψ ) ( < 0 ψ ) P X P X a = b ( ψ ) ( ψ ). (6) Najpopularniejsze dwa przekszałcenia opierają się na nasępujących posaciach funkcji normujących: i. ( ) a ξ 1 = ξ oraz b( ξ ) = ξ, (7) ii. a ( λ) = 1 λ oraz b( λ) 1 = + λ. (8) Pozosawiono zwyczajowe oznaczenia paramerów wprowadzających skośność sosowane w obu ych podejściach. Rozwiązania e prowadzą do nasępujących posaci rozkładów skośnych: ad i. (por. Fernandez i Sell (1998), Pipień i Osiewalski (1999), Lamber i Lauren (001)): x f x g x I g I ξ + ξ ξ ( ξ ) = ( ξ ) ( 0) + < ( 0) 1 x x Uzyskany w en sposób rozkład f ( ), (9) x ξ jes rozkładem jednomodalnym, o modalnej akiej samej jak rozkład g( x ) oraz paramerze skośności ξ > 0. Dla ξ (0,1) orzymujemy rozkład lewosronnie skośny, a dla ξ (1, + ) rozkład prawosronnie skośny. Alernaywnie paramer skośności można zdefiniować jako ξ ' = ln( ξ ), co pozwala powiązać znak parameru z kierunkiem skośności. ad ii. (por. Hansen (1994), Jondeau i Rockinger (000)): x x f x g I g I 1+ λ 1 λ ( λ ) = ( x 0) + < ( x 0) Uzyskany rozkład f ( ). (10) x λ jes również rozkładem jednomodalnym, o modalnej akiej samej jak rozkład g( x ) oraz paramerze skośności λ < 1. Dla λ ( 1,0) orzymujemy rozkład lewosronnie skośny, a dla λ (0,1) rozkład prawosronnie skośny. Waro zaznaczyć, że zesawiając wzory (6), (7), (8) możnaby sądzić, że dla parameryzacji 1 λ ξ = 1 + λ uzyskuje się en sam rozkład, co nie jes prawdą (por. Arellano-Valle i Gomez (003)). Na podsawie powyższej procedury można nadać skośność dowolnym rozkładom symerycznym, np. rozkładowi normalnemu, -Sudena, GED. Największą popularność, ze względu na możliwość modelowania jednocześnie grubych ogonów i skośności oraz ze (11) 5

względu na sosunkowo prosą posać maemayczną rozkładu bazowego i skośnego, zyskał skośny rozkład -Sudena. 3. Skośne rozkłady -Sudena Po zasosowaniu powyższych procedur (wzorów (9) i (10)) do sandaryzowanego rozkładu -Sudena danego wzorem: gdzie Γ + 1 Γ x g ( x) = 1+ ( ) ( ν Γ ν π ) z 1 x ( z) = x e dx 0 ν + 1, (1), uzyskuje się skośne rozkłady -Sudena. Rozkłady e posiadają jednak jedną podsawową wadę. Nie mają zerowej średniej oraz jednoskowej wariancji, a co za ym idzie paramery µ oraz h (por. wzór (1)) nie są warunkową warością oczekiwaną oraz warunkową wariancją, a jedynie modalną oraz pewną miarą dyspersji. Niedogodność ę można wyeliminować przez zasosowanie jeszcze procedury sandaryzującej. Niezbędne jes więc dokonanie nasępujących przekszałceń: ad i. (por. np. Lamber i Lauren (001)): s s z + m f ( z ξ, ν ) = g ( ξ ( s z + m) ν ) I + g ν I z ξ + ξ s ξ gdzie odpowiednio: 1 Γ ν 1 m = ξ, ξ π Γ m m 1 < z s ad ii. (por. Hansen (1994), Jondeau E., Rockinger M. (000)) b z + a b z + a f ( z λ, ν ) = b g I + b g I a 1+ λ z 1 λ gdzie odpowiednio: a < z b b s, (13) 1 = ξ + 1 m. (14) ξ, (15) 6

a 4 c ν λ ν 1, b 1+ 3λ a, c + 1 Γ. (16) π ( ν ) Γ Więcej szczegółów, a w ym odpowiednie wzory na momeny rozkładów skośnych -Sudena danych wzorami (13) i (15) oraz na zależności pomiędzy skośnością i kurozą, a paramerami ν oraz ξ lub λ znaleźć można np. w pracach Lambera i Laurena (001) oraz Jondeau a i Rockingera (000). Waro zaznaczyć, iż w obu przypadkach skośność i kuroza rozkładu zależą od obu paramerów. W obu przypadkach zaproponowane modyfikacje rozkładów mogą zosać w prosy sposób uwzględnione w modelach sóp zwrou z warunkową warością oczekiwaną i z warunkową wariancją. Waro zaznaczyć, iż wprowadzenie do modelu klasy GARCH rozkładu warunkowego o pewnej skośności skukuje rozkładem bezwarunkowym o większej asymerii. Zmienna z we wzorach (13) i (15) o sandaryzowana resza modelu (1) zadana wzorem: z ε =. (17) h W prakyce wzór (1) ma więc posać: + 1 Γ 1/ ν + 1 h ε g( ε, h ; θ ) = 1+ ( ) ( ν ) h Γ ν π, (18) gdzie θ o wekor paramerów modelu związanych z warunkową warością oczekiwaną oraz z warunkową wariancją ; θ = µ, ϕ, ω, α, α, β. Z obu rozwiązań wprowadzających skośność do rozkładu -Sudena większą popularnością w zagadnieniach finansowych wydaje się cieszyć rozwiązanie zadane wzorami (13) i (14). Ze względu na ograniczone rozmiary pracy, dalsza część rozważań doyczyć będzie jedynie ej modyfikacji. Na rysunku 1. przedsawiono skośny rozkład -Sudena uzyskany według procedury zaproponowanej przez Fernandeza i Seela dla paramerów ξ = 0, 75 oraz ν = 4. Jes o rozkład sandaryzowany o średniej równej zero, wariancji równej jeden oraz lewosronnej asymerii. Obok przedsawiono sandaryzowany symeryczny rozkład -Sudena również o 4 sopniach swobody. Efek asymerii jes ławo dosrzegalny. 7

Rys. 1. Przykładowy, sandaryzowany, skośny rozkład -Sudena Źródło: obliczenia własne. Pomimo dość skomplikowanej posaci wzoru funkcji gęsości sandaryzowanego skośnego rozkładu -Sudena, jego aplikacja nie nasręcza większych rudności. Paramery modelu wyznacza się meodą największej wiarygodności. Poniżej zaprezenowany zosał empiryczny dla danych z rynku polskiego. 4. Przekład empiryczny Celem przykładu empirycznego jes zobrazowanie możliwości wykorzysania modeli z warunkową warością oczekiwaną oraz warunkową wariancją do opisu własności szeregu sóp zwrou, gdy sandaryzowane reszy modelu mają rozkład -Sudena, kóry może być skośny. Próbę do badań sanowił szereg prosych, dziennych sóp zwrou liczonych według cen zamknięcia rynku w kolejnych dniach sesyjnych z indeksu WIG oraz z pewnej grupy akcji 3. Łączna długość analizowanych szeregów o 1556 obserwacji (od 06.01.1998 r. do 3.03.004 r.). Esymacji paramerów analizowanych procesów dokonano za pomocą pakieu Laurena i Peersa G@RCH 3.0. napisanego w języku Ox sworzonego przez Doornika i Oomsa (por. www.egss.ulg.ac.be/garch). Do wyboru opymalnej posaci modelu wykorzysano (ze względu na fak, że rozparywane modele zawierają się w sobie) es opary na warościach funkcji wiarygodności (Likelihood Raio Tes) dany nasępującą saysyką: LRT = ( LLF 1 LLF ), (19) 0 3 Do analiz wybrano spółki, kóre były noowane od sycznia 1998, oraz w szeregach noowań kórych było niewiele brakujących obserwacji wynikających np. z zawieszenia noowań. 8

gdzie: LLF 1 - warość logarymu funkcji największej wiarygodności dla modelu z mniejszą liczbą resrykcji, LLF 0 - warość logarymu funkcji największej wiarygodności dla modelu z większą liczbą resrykcji. Saysyka LRT ma rozkład χ z ilością sopni swobody równą różnicy w liczbie resrykcji modeli. Dla różnicy resrykcji równej 1 (model z rozkładem -Sudena a model z rozkładem normalnym oraz model ze skośnym rozkładem -Sudena a model z symerycznym rozkładem -Sudena) warość kryyczna esu wynosi 3,841. Rozparywano model AR(1)-GJR-GARCH(1,1) z warunkowym skośnym rozkładem -Sudena. W modelu akim zawierają się oczywiście ypowe modele z reszami zadanymi rozkładem normalnym (ν, ξ = 1) oraz symerycznym rozkładem -Sudena ( ξ = 1). W szeregach sóp zwrou pojawiają się obserwacje nieypowe (eksremalne) o szczególnie dużych warościach bezwzględnych, znacznie wykraczających czasami poza obszar 4 lub 5 odchyleń sandardowych od średniej. Pojedyncze akie obserwacje mogą znacznie zaburzyć warości parameru skośności oraz kurozy. Tesy asymerii rozkładu opierają się na założeniu o normalności rozkładu. W przypadku danych finansowych ypu szeregi sóp zwrou esy e są mało przydane ze względu na znaczną lepokurozę rozkładów. Pojawiły się propozycje esów skośności możliwych do zasosowania w przypadku danych lepokuroycznych, kóre opierają się na eście isoności parameru skośności dla rozkładu Pearsona ypu IV (por. Premarane, Bera (001)). W niniejszej pracy zasosowano jednak podejście odmienne. Wszyskie obserwacje wykraczające poza obszar 4 odchyleń sandardowych 4 zmodyfikowano, nadając im warości z krańców przedziału 4 sigm, co powinno zmniejszyć wpływ pojedynczych obserwacji nieypowych na paramer skośności. Te pojedyncze zdarzania eksremalne powinno się modelować za pomocą rozkładów o jeszcze grubszych ogonach niż rozkład -Sudena (np. rozkład Pearsona ypu IV), lub co częściej spoykane za pomocą odpowiednio wprowadzanych do modelu skoków warości procesu (modele wywodzące się z modeli jump-diffusion dla czasu ciągłego). Tabela 1. prezenuje wyniki wybranych saysyk opisowych dla szeregów sóp zwrou z indeksu WIG oraz z akcji Compuerlandu, Jupiera, Jurzenki, Kghmu, Okocimia, Rolimpexu, Sokołowa, Swarzędza Świecia i Wólczanki dla szeregów pierwonych oraz dla szeregów zmodyfikowanych w zakresie obserwacji nieypowych (eksremalnych). Liczba zmodyfikowanych zdarzeń w ych szeregach waha się od 4 do 10, co w przypadku analizowanych szeregów o długościach 1556 obserwacji sanowi nieznaczną ilość. 4 Przedział 4 sigm zosał wybrany przez auora subiekywnie. 9

Rysunek. prezenuje hisogram sóp zwrou dla spółki OPTIMUS wraz z zaznaczonymi obserwacjami uznanymi za nieypowe. Tab. 1. Charakerysyki rozkładów wybranych insrumenów ze zdarz. eksrem. bez zdarz. eksrem. Spółka Skośność Kuroza Skośność Kuroza lzzn * WIG -0,064 5,536 0,016 4,6 5 COMPLAND 0,557 6,61 0,357 5,35 9 JUPITER 0,6 8,717 0,314 6,7061 10 JUTRZENKA 0,76 8,438 0,454 6,089 10 KGHM 0,590 6,41 0,358 4,814 6 OKOCIM 0,873 6,804 0,638 5,76 7 ROLIMPEX 1,383 13,7 0,55 6,547 13 SOKOLOW 0,7 8,48 0,505 6,096 9 SWARZEDZ 0,713 8,447 0,315 5,16 4 SWIECIE -0,969 1,381 0,149 6,49 9 WOLCZANKA 0,873 11,150 0,519 6,569 9 * lzzn liczba zmodyfikowanych zdarzeń nieypowych Źródło: obliczenia własne. Rys.. Hisogram sóp zwrou z akcji spółki OPTIMUS wraz dopasowanym rozkładem normalnym Źródło: obliczenia własne. usunięe obserwacje Prezenowane wyniki obrazują wysępowanie efeku ypowej, prawosronnej asymerii rozkładów oraz podwyższonej kurozy. Do dalszej analizy wybrano indeks WIG, by w pewnym sopniu uzupełnić badania z wcześniejszej pracy auora (por. Pionek (003)) oraz spółkę OKOCIM, gdyż w rozkładzie bezwarunkowym jej (zmodyfikowanych) sóp zwrou obserwowana była największa skośność skośność. Tabela prezenuje wyniki esymacji warości paramerów modeli dla sandaryzowanych resz o rozkładzie normalnym, symerycznym -Sudena oraz skośnym -Sudena. Podane zosały również warości saysyk dla poszczególnych paramerów oraz warości funkcji największej wiarygodności. Dla obu szeregów paramery odpowiedzialne za opis auokorelacji, gromadzenia zmienności, dźwigni oraz grubych ogonów rozkładów warunkowych są isonie różne od zera (przy poziomie isoności 0,05). W modelu szeregu sóp zwrou dla spółki OKOCIM warunkowy rozkład resz posiada grubsze ogony. Dodakowo paramer wprowadzający skośność do rozkładu warunkowych resz jes nieisonie różny od zera dla szeregu sóp zwrou z indeksu WIG oraz jes isonie różny od zera dla szeregu sóp zwrou z akcji spółki OKOCIM. Także esy LRT dla obu szeregów preferują modele z rozkładami o grubych ogonach (rozkład normalny konra rozkład - 10

Sudena), lecz jedynie dla OKOCIMia uzyskuje się przewagę modelu z asymerią w rozkładzie resz modelu. Wynik en powierdza badania dla innych rynków, iż w szeregach sóp zwrou z indeksów obserwuje się znacznie mniejszą asymerie rozkładów niż dla pojedynczych akcji (por. również Tab. 1.). Osaecznie dla indeksu WIG najlepszym okazał się model z symerycznym rozkładem -Sudena, naomias dla akcji OKOCIM model z rozkładem asymerycznym. Tabela. Paramery modeli dla szeregów sóp zwrou z WIGu i spółki OKOCIM wyniki dla szeregu sóp zwrou z indeksu WIG rozkład normalny rozkład -Sudena skośny rozkł. -Sud. warość -sa. warość -sa. warość -sa. µ 0,000311 0,7668 0,000168 0,4361 0,0003 0,7641 ϕ 0,093511 3,56 0,085358 3,7 0,0879 3,343 ω 3,769E-6 3,36 3,5846E-6,419 3,6371E-6,43 α 0,04055 4,15 0,046168 3,30 0,045371 3,1 β 0,95533 8,09 0,91876 58,96 0,9189 58,69 α 0,037347,697 0,045159,318 0,046753,394 ν - - 10,560 3,436 10,75945 3,416 ξ - - - - 1,05346 1,39 LLF 4346,6 4356,97 4357,358 wyniki dla szeregu sóp zwrou ze spółki OKOCIM rozkład normalny rozkład -Sudena skośny rozkł. -Sud. µ -,6E-05-0,04471-0,000969 -,397-0,00011-0,419 ϕ -0,085-1,07-0,08180-3,31-0,087-3,604 ω,768e-5 6,618,0980E-5 3,15 1,7457E-5 3,054 α 0,081813 6,869 0,139795 4,168 0,167 4,084 β 0,835356 51,48 0,779555 6,43 0,7991 9,87 α 0,101677 4,65 0,837 3,464 0,36884 3,594 ν - - 3,611013 9,453 3,804834 8,855 ξ - - - - 1,1876 3,444 LLF 3641,71 3747,783 3753,704 Powyżej zaprezenowano przydaność modelu ze skośnym rozkładem resz do opisu szeregu sóp zwrou ze spółki OKOCIM. Uzyskane wyniki mogą zosać nasępnie wykorzysane w procesie np. zarządzania ryzykiem inwesycji (wybór spółek do porfela i usalanie opymalnego składu porfela, wycena opcji, pomiar ryzyka). W pracy zaprezenowane zosało najprossze, ypowe rozwiązanie w zakresie opisu skośności, w kórym paramer skośności pozosaje sały w czasie. Akualne badania w zakresie opisu skośności skupiają się wokół dwóch obszarów: 11

1) zasosowania odmiennych skośnych rozkładów resz (popularność zyskuje rozkład Pearsona IV ypu, kóry umożliwia opis skośności oraz jeszcze grubszych ogonów niż dla rozkładu -Sudena 5 ), ) wprowadzenia zmiennego w czasie parameru skośności, kóry zależy również od napływających informacji (por. np. Hansen (1994)). Zasygnalizowane rozwiązania saną się obiekami dalszych badań auora. Lieraura Arellano-Valle R., Gomez H., Quinana F. (003) Saisical Inerference for a General Class of Asymmeric Disribuions, hp://www.ma.puc.cl/~quinana/skew.pdf Fernandez C., Seel M., 1998, On Beyesian Modeling of Fa Tails and Skewness, Journal of he American Saisical Associaion, 93, sr. 359-371 Hansen B., (1994), Auoregressive condiional densiy Esimaion, Inernaional Economic Review, vol. 35, no. 3, sr. 705-730 Harvey C., Siddique A., 000, Condiional Skewness in Asse Pricing Tess, Journal of Finance, 55, sr. 163-195, faculy.fuqua.duke.edu/~charvey Jajuga K. (1999). Nowe endencje w zarządzaniu ryzykiem finansowym, Rynek Terminowy, 3, Peneraor, Kraków Jajuga K. (000). Meody ekonomeryczne i saysyczne a analizie rynku kapiałowego. Wydawnicwo Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu, Wrocław (pod red.) Jondeau E., Rockinger M. (000). Condiional Volailiy, Skewness and Kurosis: Exisence and Persisence, Banque de France, www.banque-france.fr/gb/publi/elechar/1-77.hm Jorion P., Value a Risk: he new benchmark for conrolling marke risk, nd ediion, McGraw- Hill, 001 Kraus A., Lizenberg R., 1976, Skewness Preference and he Valuaion of Risk Asses, Journal of Finance, 31, sr. 1085-1100 Lamber P., Lauren S. (001) Modelling financial ime series using GARCH-ype models wih a skewed Suden disribuion for he innovaions, www.sa.ucl.ac.be/pub/papers/ Markowiz H., 1991, Porfolio selecion: Efficien Diversificaion of Invesmens, Basil Blackwell, Oxford 5 Rozkład Pearsona ypu IV zawiera w sobie rozkład -Sudena (por. Premarane, Bera (001)). 1

Pionek K., 00, Modelowanie i prognozowanie zmienności insrumenów finansowych, (praca dokorska), Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu, Wrocław Pionek K., 003, Zasosowanie modeli klasy ARCH do opisu własności szeregu sóp zwrou indeksu WIG, Ekonomeria, Zeszyy Naukowe Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu, (w druku) Premarane G., Bera A. (001) A Tes for Asymmery wih Lepokuric Financial Daa, Universiy of Illinois, www.business.uiuc.edu/working_papers/papers/01-0117.pdf Singleon J., Wingender J., 1986, Skewness Persisence in Common Sock Reurns, Journal of Financial and Quaniaive Analysis, 1, sr. 335-341, Tsay R. (00). Analysis of Financial Time Series. Wiley and Sons. Chicago 13