Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka litera sigma, symbol k to tzw. wskaźik sumowaia, liczba to doly wskaźik sumowaia, a liczba to góry wskaźik sumowaia. Prawdziwe są p. rówości: a k 5 k 2 2 + 2 2 + 2 + 2 + 5 2 55, k + 2 + + 2 + 6 + + 25 2 2. Wskaźik sumowaia moża ozaczać dowolą literą. Mamy p. a k a i a j a r. r Poadto wskaźiki sumowaia doly m i góry mogą być dowolymi liczbami całkowitymi takimi, że m. Mamy p. oraz 8 (2k + ) 9 + + + 5 + 7 65 k k ( 2) + ( ) + 0 + + 2 + + 9. k 2 Przekształcając wyrażeia zawierające sumy o dowolej liczbie składików, korzysta się z ważych własości takich sum. Przedstawimy tu ajważiejsze z ich. Własość. Dla dowolych liczb a,..., a, c zachodzi rówość c a k ca k. Powyższa własość wyika z rozdzielości możeia względem dodawaia liczb. Własość 2. Dla dowolych liczb całkowitych r, s, t spełiających waruek r s < t zachodzi rówość t a k kr s a k + kr t a k. () ks+
Przy powyższych ozaczeiach zachodzą bowiem rówości: t a k (a r +... + a s ) + (a s+ +... + a t ) kr s t a k + a k. kr ks+ Własość. Dla dowolych liczb m,, r Z takich, że m zachodzi rówość a k km +r km+r a k r. (2) Przy powyższych ozaczeiach zachodzą bowiem rówości: +r km+r a k r a (m+r) r + a (m+r+) r +... + a (+r) r a m + a m+ +... + a a k. Rozpatrzmy astępującą prostokątą tablicę liczb czyli tzw. macierz a a 2... a a 2 a 22... a 2............ a m a m2... a m Liczby tworzące tę macierz azywamy jej elemetami. Rzędy poziome tej macierzy azywamy wierszami, a rzędy pioowe azywamy kolumami. Każdy elemet tej macierzy ma dwa ideksy. Pierwszy jest umerem wiersza, w którym zajduje się te elemet, a drugi jest umerem kolumy. Dla każdego i {,..., m} suma elemetów stojących w i-tym wierszu jest rówa a ij. Wobec tego suma wszystkich elemetów macierzy jest rówa m ( ) a ij. Podobie dla każdego j {,..., } suma elemetów stojących w j-tej kolumie jest rówa m a ij, a suma wszystkich elemetów aszej macierzy jest rówa ( m ) a ij. 2 km
Porówując otrzymae sumy i opuszczając awiasy, otrzymujemy poiższą Własość. Dla dowolych liczb aturalych m i oraz liczb a ij, gdzie i {,..., m}, j {,..., } zachodzi rówość m a ij m a ij. () Powyższy związek moża wyrazić astępująco: w sumach podwójych moża zmieiać kolejość sumowaia. Własość tę mają rówież sumy potróje i ogólie l-krote, gdzie l N \ {}. Iloczy a a 2... a zapisujemy w postaci (czytaj: iloczy od k do a k ). Zak Π to duża grecka litera pi, symbol k to tzw. wskaźik iloczyu, liczba to doly wskaźik iloczyu, a liczba to góry wskaźik iloczyu. Mamy p. 7 (k + ) 7 0 6 9 22. Prawdziwe są odpowiediki iloczyowe podaych wyżej własości, 2, i. Zadaie. Obliczyć: a) 5 2 k ; b) 6 j j. a k Zadaia a zajęcia Zadaie 2. Za pomocą zaku Σ zapisać astępującą sumę: a) 2 + + + 5 5 + 6 6 + 7 7 + 8 8; b) 5! + 6! + 7! + 8! + 9!. Zadaie. Daa jest macierz i Π: a) a ij ; b) a a 2 a a 2 a 22 a 2 a a 2 a a ij ; c). Zapisać dae wyrażeie bez użycia symboli Σ a ij. i j Zadaia domowe Zadaie. Obliczyć:
7 a) (2k ); b) 5 i 8 i + ; c) ( ) k k 2. i2 i2 Zadaie 5. Za pomocą zaku Σ zapisać astępującą sumę: a) si x + si 2x +... + si x; b) a + (a + ) 2 + (a + 2) +... + (a + 2) 2+. Zadaie 6. Za pomocą zaku Π zapisać astępujący iloczy... 00. Zadaie 7. Sformułować i uzasadić iloczyowe odpowiediki własości, 2, i. Zadaie 8. Daa jest macierz i Π: a) a ij ; b) a a 2 a a 2 a 22 a 2 a a 2 a a ij ; c). Zapisać dae wyrażeie bez użycia symboli Σ i a ij ; d) a ij ; ij e) a ij ; f) ji j a ij ; g) i a ij ; h) i a ij ; i) a ij ; j) j i i a ij ; k) a ij ; l) ij a ij ; j i ł) j a ij ; m) a ij ; ) ji j a ij ; o) i a ij. Zadaie 9. Daa jest macierz. Dae wyrażeie zapisać za pomocą sym- boli Σ i Π: a a 2 a a a 2 a 22 a 2 a 2 a a 2 a a a) (a + a 2 + a + a )(a 2 + a 22 + a 2 + a 2 )(a + a 2 + a + a ); b) (a + a 2 + a )(a 2 + a 22 + a 2 )(a + a 2 + a )(a + a 2 + a ); c) a a 2 a a + a 2 a 22 a 2 a 2 + a a 2 a a ; d) a a 2 a + a 2 a 22 a 2 + a a 2 a + a a 2 a. Zadaie 0. Daa jest astępująca trójkąta tablica liczb: a a 2 a 22 a a 2 a............ a a 2 a... a
Sumując dwoma sposobami elemety tej tablicy, wykazać rówość i a ij ij a ij Zadaie. Daa jest astępująca tablica liczb: a 2, a a 2 a, 2 a, a............ a... a, 2 a, a Sumując dwoma sposobami elemety tej tablicy, wykazać odpowiedią rówość. Idukcja matematycza Zasadę idukcji matematyczej (lub też idukcji zupełej) stosuje się w dowodach liczych twierdzeń. Twierdzeie (Zasada idukcji matematyczej). Niech każdej liczbie aturalej przyporządkowae będzie zdaie T() i iech spełioe będą waruki: o. zdaie T() jest prawdziwe, 2 o. dla każdej liczby aturalej ze zdaia T() wyika zdaie T( + ). Wówczas zdaie T() jest prawdziwe dla każdej liczby aturalej. Zasadę idukcji matematyczej moża sugestywie zilustrować za pomocą odpowiedio ustawioych tabliczek domia. Zadaia a zajęcia Zadaie 2. Stosując zasadę idukcji matematyczej, wykazać, że dla każdej liczby aturalej zachodzi rówość k ( + ). () 2 Zadaie. Za pomocą idukcji matematyczej wykazać, że dla każdego N zachodzi rówość 2 ( ) k+ (2k ) 2(6 2 ). (5) Zadaie. Wykazać, że dla dowolych N i x R \ {} zachodzi rówość + x + x 2 +... + x x+ x. (6) 5
Zadaie 5. Wykazać, że dla każdego zachodzi ierówość + + + 2 +... + 2 > 5. (7) Zadaie 6. Wykazać, że dla każdej liczby aturalej prawdziwy jest związek (5 7 2 +8 ). Zadaie 7. Wykazać, że dla każdego liczba P wszystkich przekątych -kąta wypukłego jest rówa ( )/2. Zadaie 8. Stosując zasadę idukcji matematyczej, udowodić, że dla każdej liczby aturalej zachodzi rówość k 2 ( + )(2 + ). (8) 6 Zadaie 9. Stosując zasadę idukcji matematyczej, udowodić, że dla każdej liczby aturalej zachodzi rówość (7k )(7k + ) (7 + ). (9) Zadaie 20. Metodą idukcji zupełej wykazać, że dla każdego N zachodzi rówość si kx si + 2 x si 2 x si x 2, (x 2kπ). (0) Uwaga. Tego typu zadaia moża przerabiać w ramach kursu trygoometrii. Zadaie 2. Wykazać, że jeśli x, to dla każdej liczby aturalej zachodzi poiższa ierówość, zwaa ierówością Beroulliego ( + x) + x. () Zadaie 22. Metodą idukcji zupełej wykazać, że dla każdego N {0} prawdziwy jest związek (X 2 + X + ) [(X + ) 2+ + X +2 ]. (2) 6
Zadaie 2. Poiższą rówość zapisać za pomocą zaków Σ i udowodić ją przez idukcję: 2 + +... + 2 2 + + + 2 +... + 2. Zadaia domowe Zadaie 2. Wykazać, że dla każdej liczby aturalej zachodzi rówość: a) (0k ) (5 + 2); b) c) d) e) f) g) k(k + ) ( + )( + 2); (k + 2)(k + ) ( + 2)( + ); [ ] 2 k 2 ( + ) ; 2 (5k )(5k + ) 5 + ; k 2 ( + ) (2k )(2k + ) 2(2 + ). ( ) k+ k 2 ( + ); Zadaie 25. Metodą idukcji matematyczej wykazać rówość: a) ( ) +, ( 2). k 2 2 k2 Zadaie 26. Wykazać rówość: ( a) x 2 ( + x x) 2 ) 2 +... + x 2 b) k0 cos kx si( + )x cos k x cos x si x, ( x x ) 2 (x 2 kπ). ( x 2+2 ) 2 ; x 2 x 2 Zadaie 27. Metodą idukcji matematyczej wykazać ierówość: + + + 2 +... + + >. Zadaie 28. Udowodić związek 25 (2 +2 + 5 ). 7
0.. Zasada miimum (adprogramowe!) Poiższe twierdzeie jest rówoważe z zasadą idukcji matematyczej. Twierdzeie 2 (Zasada miimum.). W każdym iepustym podzbiorze zbioru N liczb aturalych istieje liczba ajmiejsza. Zadaie 29. Stosując zasadę miimum, wykazać, że każda liczba aturala > jest iloczyem liczb pierwszych. (Pojedyczą liczbę pierwszą traktujemy tu jako jedoczyikowy iloczy liczb pierwszych.) Zadaie 0. Udowodić astępujące twierdzeie : każda liczba aturala jest ciekawa. Uwaga. Poiżej dla każdej spośród liczb aturalych od do 8 wskazujemy własość świadczącą o tym, że daa liczba aturala jest ciekawa: ajmiejsza liczba aturala, jedya liczba aturala, która ie jest ai liczbą pierwszą, ai liczbą złożoą, 2 ajmiejsza liczba pierwsza, ajmiejsza liczba pierwsza ieparzysta; ajmiejsza liczba aturala, która ie jest sumą dwóch kwadratów liczb całkowitych, ajmiejsza liczba złożoa, 5 ajmiejsza liczba aturala będąca sumą kwadratów dwóch różych liczb aturalych, 6 ajmiejsza liczba aturala będąca iloczyem dwóch różych liczb pierwszych, 7 ajmiejsza liczba aturala iebędąca sumą kwadratów trzech liczb całkowitych, 8 ajmiejsza liczba aturala będąca sześciaem liczby pierwszej. 0.2. Symbol Newtoa Dla każdej liczby aturalej liczbę! (czytaj: silia) określamy wzorem! 2.... Przyjmujemy poadto umowę, że 0!. W szczególości mamy!, 2! 2,! 6,! 2, 5! 20, 6! 720, 7! 500. Dla każdej liczby aturalej i dowolej liczby całkowitej k takiej, że 0 k wartość ( ) k (czytaj: po k) symbolu Newtoa określamy wzorem! k k! ( k)!. Przyjmujemy poadto umowę, że jeśli N i k jest liczbą całkowitą ujemą, to ( k) 0. Dla dowolych N i k {0,,..., } liczba ( k) jest rówa liczbie wszystkich k-elemetowych podzbiorów zbioru -elemetowego. Poieważ liczba wszystkich podzbiorów zbioru -elemetowego jest rówa 2, więc zachodzi rówość k0 k 2. () Zadaia a zajęcia 8
Zadaie. Sprawdzić, że jeśli 0 k, to zachodzi rówość k ( ) k (symetria). () Zadaie 2. Obliczyć: 6 a) ; b) ; c) 28 ; d) 5 57. 9 Zadaie. Wykazać, że jeśli k, N i k, to zachodzi rówość + k k +. (5) k 0.. Wzór dwumiaowy Newtoa Dobrze zamy poiższe wzory a kwadrat sumy i sześcia sumy: (a + b) 2 a 2 + 2ab + b 2, (a + b) a + a 2 b + ab 2 + b. Ich uogólieiem jest poiższy tzw. wzór dwumiaowy Newtoa zachodzący dla dowolych liczb a, b R i N : (a + b) Rówość (6) moża też zapisać astępująco (a + b) a + a b + k0 a k b k. (6) k ( a 2 b 2 +... + 2 ) ab + b. (7) Zadaia a zajęcia Zadaie. Metodą idukcji matematyczej udowodić wzór (6). Uwaga. Nie wyprowadza się oddzielego wzoru dla (a b), gdyż różica a b też jest sumą. Miaowicie a b a + ( b). Zadaie 5. Rozpatrując wyrażeie ( + ), wykazać w sposób algebraiczy rówość (). 9
0.. Trójkąt Pascala Współczyiki występujące w rozwiięciach kolejych potęg dwumiau moża ustawić w formie poiższej tablicy zwaej trójkątem Pascala 0 0 0 2 2 2 0 2 0 2 0 2 Trójkąt Pascala jest więc astępujący.......................................... 2 6.............................. Na początku i końcu każdego wiersza stoi liczba. Każdy iy współczyik jest a mocy rówości (5) rówy sumie dwóch współczyików stojących tuż ad im. Zadaia a zajęcia Zadaie 6. Korzystając z trójkąta Pascala, rozwiąć wyrażeie: a) (a + b) ; b) (a + b) 5. Zadaia domowe Zadaie 7. Korzystając z trójkąta Pascala, rozwiąć wyrażeie (a + b) 6. 0
0.5. Pewe wzory skrócoego możeia Kolejymi zaymi am tożsamościami algebraiczymi są rówości: a 2 b 2 (a b)(a + b), a b (a b)(a 2 + ab + b 2 ). Ich uogólieiem jest zachodząca dla każdego N \ {} rówość Mamy p. a b (a b)(a + a 2 b + a b 2 +... + ab 2 + b ). a 5 b 5 (a b)(a + a b + a 2 b 2 +... + ab + b ). Zauważmy, że jeśli liczba aturala > jest ieparzysta, to z powyższej tożsamości oraz ze związku a + b a ( b) otrzymujemy rówość Mamy p. a + b (a + b)(a a 2 b + a b 2... ab 2 + b ). a + b (a + b)(a 2 ab + b 2 ), a 5 + b 5 (a + b)(a a b + a 2 b 2 ab + b 2 ). Literatura Jeśmiaowicz L. i Łoś J. Zbiór zadań z algebry, Warszawa, PWN Musielak J. Wstęp do matematyki, Warszawa, PWN. a) 62; b) 7 60. 2. a) Na przykład 8 przykład si kx; b) p. 2 k0 k2 b) (a + a 2 + a )(a 2 + a 22 + a 2 )(a + a 2 + a ); c) a + a 2 a 22 + a a 2 a ; d) (a + a 2 + a )(a 22 + a 2 )a ; e) a a 2 a + a 22 a 2 + a ; f) a (a 2 + a 22 )(a + a 2 + a ); g) a a 2 a + a 2 a 22 + a ; h) (a + a 2 + a )(a 2 + a 22 )a ; i) a + a 22 a 2 + a a 2 a ; j) a (a 2 + a 22 )(a + a 2 + a ); k) a a 2 a + a 22 a 2 + a ; l) a (a 22 + a 2 )(a + a 2 + a ); ł) a + a 2 a 22 + a a 2 a ; m) (a + a 2 + a )(a 22 + a 2 )a ; ) a a 2 a + a 2 a 22 + a ; Odpowiedzi k k; b) p. 9 k5 00 k!.. a) 9; b) 6 20 c) 7. 5. a) Na (a + k) k+. 6. Na przyklad k. 8. a) a a 2 a + a 2 a 22 a 2 + a a 2 a ; k
o) (a + a 2 + a )(a 2 + a 22 )a. 9. a) a ij ; d) a ij ; b) a ij.. j i+ a ij a ij ; c) i j+ a ij. 2. a) 560; b) 0; c) 98 280; d) 652 75. 6. a) (a + b) a + a b + 6a 2 b 2 + ab + b ; b) (a+b) 5 a 5 +5a b+0a b 2 +0a 2 b +5ab +b 5. 7. (a+b) 6 a 6 +6a 5 b+5a b 2 +20a b +5a 2 b +6ab 5 +b 6. 2