Analiza matematyczna Lista zadań Opracowanie: dr Marian Gewert, doc Zbigniew Skoczylas Lista Korzystając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: + ; (b) + ; (c) sin; (d) arcctg; (e) 4+3 ; (f) π e Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: (d) 4 ( +) ; (b) ( +) 3 ; (e) + 9 π ; +3 (c) (+sin) 3 ; (f) (+) 4 ++ ; ( +cos ) 3 Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: ( +) ; (b) (+) 5 ) (e 5 3 ; (c) ; (d) sin ; (e) 3 sin 4Obliczyćpoleobszaruograniczonegokrzywąy= +4 orazosiąo (b)obliczyćobjętośćbryłypowstałejzobrotuwokółosioobszaru= { (,y) R :, y e } (c)zasadnić,żepolepowierzchnipowstałejzobrotuwykresufunkcjiy= ( )wokółosiomaskończoną wartość 5 Korzystając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju: (+) ; (b) e ln ; (c) (+) ; (d) π π sin ; (e) 5 3 8 6 Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju: 4 arctg e 4 ; (b) 3 ; (c) + ; (d*) 6 4 7 Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju: ( 3 + ) π ( +) ; (b) sin 3 (e ) π 4 ; (c) ; (d*) ; (e*) 3 sin 8 Wyznaczyć wartości główne całek niewłaściwych: 3 cos +4 ; (b) e e + ; (c) e +5 ; (d 9 4 π ; (e) sin
Lista 9 Znaleźć sumy częściowe podanych szeregów i następnie zbadać ich zbieżność: ( ) n 5 ; (b) 6 n +3n+ ; (c) n ; (d) n! n++ n n= n= Korzystając z kryterium całkowego zbadać zbieżność szeregów: n +4 ; (b) n= n+ n n ; (c) n= lnn n ; (d) n n+ ; (e) Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność szeregów: 3n+ n 3 + ; (b) n + n + ; (c) sin π n; (d) n= n= n +e n e n +4 n; (e) e n e n + 3 n +n n3 n + n Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność szeregów: n+ n6 ; (b) n + n 3 + ; (c) e n 3 n ; (d) 4 n sin5 n 3 Korzystając z kryterium d Alemberta zbadać zbieżność szeregów: 5 n ; (b) n! e n + n 5 + ; (c) n sin π n; (d) n= n! n n; (e) 4 Korzystając z kryterium Cauchy ego zbadać zbieżność szeregów: (n+) n n +3 n (n +) n ; (b) 3 n +4 n; (c) 3 n n n ; (d) (n+) n n n π n n! arccos n n 5 Wykazać zbieżność odpowiedniego szeregu i następnie na podstawie warunku koniecznego zbieżności szeregów uzasadnić podane równości: n 5 n n n n lim n 3 n =; (b) lim n (n!) =; (c) lim n n! (3n)!(4n)! =; (d*) lim n (5n)!(n)! = 6 Korzystając z twierdzenia Leibniza uzasadnić zbieżność szeregów: ( ) n( ) n + n ; (b) ( ) n n 3 n +4 n; (c) ( ) n tg π n ; (d) n= 7 Obliczyć sumy przybliżone szeregów ze wskazaną dokładnością: ( ) n+ n, ( ) n n 6 ; (b) (n+)!, 3 Lista 3 n= n= n= n=4 8 Zbadać zbieżność oraz zbieżność bezwzględną szeregów: ( ) n 3 n + ; (b) ( ) n n n+ ; (c) ( ) n n ; (d) 3n+5 n= 9 Wyznaczyć przedziały zbieżności szeregów potęgowych: n ne n; (b) (5 ) n (+3) n ; (c) ; (d) n! ( ) n( ne ) ; (e) n= (+6) n 3 n n ; (e) Znaleźć szeregi Maclaurina podanych funkcji i określić przedziały ich zbieżności: 5 + ; (b)sin ; (c) e 3 ; (d) 6 ; (e)sinh; (f)cos Korzystając z rozwinięć Maclaurina funkcji elementarnych obliczyć pochodne: f (5) (), f()= cos; (b)f (5) (), f()=e ; (c)f () (), f()= 3 + ; (d)f() (), f()=sin ( ) n+3n n= n! n(+) n n+ ( ) n 3 n +
Wyznaczyćszeregipotęgowef ()oraz f()= + 3; (b)f()=sin( ) ; (c*)f()=e n= f(t) dt, jeżeli funkcja f określona jest wzorem: 3 Stosując twierdzenia o różniczkowaniu i/lub całkowaniu szeregów potęgowych obliczyć sumy szeregów: (n+)3 n; (b) n n(n+) n ; (c) 5 n n= 4 Obliczyć całki oznaczone ze wskazaną dokładnością: Lista 4 e, ; sin, 5 Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne funkcji: f(,y)= y y ; (b)f(,y)= y + ; (c)f(,y)= y 4 y ; (d)f(,y)=ln +y 9 6 y ; (e)g(,y,z)= + z; (f)g(,y,z)=arccos ( +y +z ) 6 Naszkicować wykresy funkcji: f(,y)= +y ; (b)f(,y)= 3+ y ; (c)f(,y)= +y +y+3; (d)f(,y)=siny; (e)f(,y)= ; (f)f(,y)= * 7 Obliczyć granice: sin ( 4 y 4) cos ( +y ) y ( lim (,y) (,) +y ;(b) lim (,y) (,) ( +y ) ;(c) lim (,y) (,) +y;(d) lim +y ) cos (,y) (,) y 8Korzystajączdefinicjiobliczyćpochodnecząstkowepierwszegorzęduf,f y funkcjifipochodnecząstkowe g,g y,g z funkcjigwewskazanychpunktach: f(,y)= y,(,); (b)f(,y)= 6 +y 6,(,); (c)g(,y,z)= +z, (,,) y 9Obliczyćpochodnecząstkowef,f y funkcjifipochodnecząstkoweg,g y,g z funkcjig: f(,y)= +y ; (b)f(,y)=arctg y y +y ; (d)f(,y)=y +y ; (g)g(,y,z)= Lista 5 (e)f(,y)=ln (c)f(,y)=ecos y ; (+ +y ) ; (f)g(,y,z)= + z +y +z; (h)g(,y,z)=cos(sin(ycosz)); (i)g(,y,z)= * 3 Sprawdzić, że funkcja f spełnia wskazane równanie: f(,y)=ln ( +y+y ), f +yf y =; (b)f(,y)= sin y, f +yf y = f y +yz3 ; + y + z + 3Obliczyćpochodnecząstkowedrugiegorzęduf,f y,f y,f yy funkcjifipochodnecząstkoweg,g y,g z, g y,g yy,g yz,g z,g zy,g zz funkcjigisprawdzić,żepochodnecząstkowemieszanesąrówne: f(,y)=cos ( +y ) ; (b)f(,y)=ye y ; (d)f(,y)=yln y ; (c)f(,y)= + y3 ; (e)g(,y,z)= y + +z ; (f)g(,y,z)=ln( +y +z 3 + ) 3
3 Obliczyć pochodne cząstkowe: h yy, h(,y)=siny; (b)h yyy, h(,y)= +y y ; (c)h yz, h(,y,z)= y 3 z 33 Sprawdzić, że funkcje: z=arctg y ( ; (b)z=+ y ; (c)z=+ln + y ) ; (d)z=+ y spełniają równanie z +yz y +y z yy =, (,y>) 34 Napisać równania płaszczyzn stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach wykresu: z= y+, (,y,z )=(,3,z ); (b)z=e +y, (,y,z )=(,,z ); ( (c)z= arcsin arccosy, (,y,z )= ) 3,,z ; (d)z= y, (,y,z )=(,4,z ) 35 Nawykresiefunkcjiz =arctg y wskazaćpunkty,wktórychpłaszczyznastycznajestrównoległado płaszczyzny+y z=5 (b)wyznaczyćrównaniepłaszczyznystycznejdowykresufunkcjiz= +y,którajestprostopadładoprostej =t,y=t,z=t,t R Lista 6 36Wysokośćipromieńpodstawywalcazmierzonozdokładnością±mmOtrzymanoh=35mmoraz r=45mmzjakąwprzybliżeniudokładnościąmożnaobliczyćobjętośćvtegowalca? (b)krawędzieprostopadłościanumajądługościa=3m,b=4m,c=mobliczyćwprzybliżeniu,jakzmieni się długość przekątnej prostopadłościanu d, jeżeli długości wszystkich krawędzi zwiększymy o cm (c)oszacowaćbłądwzględnyδ V objętościprostopadłościamuv,jeżelipomiarujegoboków,y,zdokonanoz dokładnościąodpowiednio, y, z * 37 Sprawdzić, że podane funkcje spełniają wskazane równania: z=f ( +y ), yz z y =; (b)z=f(sin( y)), z +z y = z ; ( y (c)z= n f, z +yz y =nz(n N); (d*)z= ) ( y ) y g()+h, yz y +y z yy +z +yz y = 38 Korzystając z definicji obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i kierunkach: f(,y)= ( ) 3 +y, (,y )=(,), v=, ; ( ) (b)f(,y)= 3 y, (,y )=(,), v=, ; ( ) 3 (c)g(,y,z)= +yz, (,y,z )=(,,), v= 3,4 3, 3 39 Obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i kierunkach: ( ) f(,y)= +y, (,y )=( 3,4), v= 3,5 ; 3 (b)f(,y)= y ( ) 3 +y, (,y )=(,), v= 5, 4 ; 5 ( ) (c)g(,y,z)=e yz 3, (,y,z )=(,, ), v=, 3 4, 4 4 Obliczyćpochodnąkierunkowąfunkcjif(,y)=y +ln(y)wpunkcie ( ), wkierunku wersoravtworzącegokątαzdodatnimzwrotemosiolajakiegokątaαpochodnatamawartość,adla jakiego przyjmuje wartość największą? (b)wyznaczyćwersoryv,wkierunkuktórychfunkcjaf(,y)= e ( +y ) wpunkcie(,)mapochodną kierunkową równą 4
Lista 7 4 Znaleźć ekstrema lokalne funkcji: f(,y)= 3 +3y 5 4y; (b)f(,y)=e y + +ey ; (c)f(,y)=y ( y)(,y>); (d)f(,y)=y y +6y; (e)f(,y)= 3 +y 3 3y; (f)f(,y)= 8 + y +y(,y>); (g)f(,y)=y+lny+ ; (h)f(,y)=4y+ + y ; (i)f(,y)=( y ) + ( y ) 4 Wyznaczyć ekstrema podanych funkcji, których argumenty spełniają wskazane warunki: f(,y)= +y,3+y=6; (b)f(,y)= +y 8+, y +=; (c)f(,y)= y ln,8+3y=; (d)f(,y)=+3y, +y = 43 Znaleźć najmniejsze i największe wartości podanych funkcji na wskazanych zbiorach: f(,y)= 3 +4 +y y, = { (,y) R : y 4 } ; (b)f(,y)= +y 6+4y, = { (,y) R :+y 4,+y 6,,y } ; (c)f(,y)= +y, = { (,y R : + y } ; (d)f(,y)=y +4y 4, = { (,y) R : 3 3, 3 y } ; (e)f(,y)= 4 +y 4, = { (,y) R : +y 9 } 44WtrójkącieowierzchołkachA=(,5),B=(,4),C=(, 3)znaleźćpunktM=(,y ),dlaktórego suma kwadratów jego odległości od wierzchołków jest najmniejsza (b) Jakie powinny być długość a, szerokość b i wysokość h prostopadłościennej otwartej wanny o pojemności V, aby ilość blachy zużytej do jej zrobienia była najmniejsza? (c) Znaleźć odległość między prostymi skośnymi: k: { +y =, z+ =, l: { y+3 =, z = (d)prostopadłościennymagazynmamiećobjętośćv=6m 3 obudowyścianmagazynuużywanesąpłytyw cenie3zł/m,dobudowypodłogiwcenie4zł/m,asufituwceniezł/m Znaleźćdługośća,szerokośćbi wysokość c magazynu, którego koszt budowy będzie najmniejszy (f) Firma produkuje drzwi wewnętrzne i zewnętrzne w cenach zbytu odpowiednio 5 zł i zł za sztukę Koszt wyprodukowania sztuk drzwi wewnętrznych i y zewnetrznych wynosi K(,y)= y+y [zł] Ile sztuk drzwi każdego rodzaju powinna wyprodukować firma, aby osiągnąć największy zysk? Lista 8 45 Obliczyć całki podwójne po wskazanych prostokątach: ( +y y ) dy dy,r=[,] [,]; (b) (+y+) 3,R=[,] [,]; R R (c) (siny)dy,r=[,] [π,π]; (d) e y dy,r=[,] [,] R 46 Całkę podwójną f(, y) dy zamienić na całki iterowane, jeżeli obszar ograniczony jest krzywymi o równaniach: y=, y=+; R (b) +y =4, y=, =(,y ); (c) 4+y +6y 5=; (d) y =, +y =3(<) 47 Obliczyć całki iterowane: 5
y dy; (b) 4 Narysować obszary całkowania y dy; (c) 4 ( 3 +y 3) dy; (d) 48 Narysować obszar całkowania, a następnie zmienić kolejność całkowania w całkach: (d) f(,y)dy; dy y y (b) f(,y); (e) π π f(,y)dy; (c) sin cos f(,y)dy; (f) 4 e 4 ln 3 y dy f(,y)dy; f(,y)dy y +6 49 Obliczyć całki po obszarach normalnych ograniczonych wskazanymi krzywymi: y dy, :y=,y= ; (b) ydy, :y=,y=,y= ; ( (c) e y dy, :y=,=,y=; (d) y+4 ) dy, :y=+3,y= +3+3; (e) e y dy, :y=,y=,=; (f) (y+)dy, :=,y=,y=3 ( ); (g) e dy, :y=,y=,= ln3; (h) ( 3y+)dy, :y=,y=π,=,=siny * 5 Obliczyć całki podwójne po wskazanych obszarach: min(,y)dy,=[,] [,]; (b) +y dy,=[,] [,]; (c) y dy,= { (,y) R :, y 3 } ; (d) sgn ( y + ) dy,= { (,y) R : +y 4 } waga Symbol min(a, b) oznacza mniejszą spośród liczb a, b, z kolei u oznacza część całkowitą liczby u 5 Obliczyć wartości średnie podanych funkcji na wskazanych obszarach: [ f(,y)=sincosy,=[,π], π ] ; (b)f(,y)=+y,: y π, siny * 5 Stosując odpowiednią zamianę zmiennych obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach: (+y) ( y) 3dy,:+y=,+y=, y=, y=3; (b) dy y,:y=,y=,y= +,y= +4; (c) ydy,:y=,y=,y=,y=3 3 ; (d*) Lista 9 ( 4 y 4) dy,: +y =3, +y =5, y =, y = (,y ) 53 Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach: 6
ydy,: +y, 3 y 3; (b) y dy,:, +y ; (c) y e +y dy,:,y, +y ; (d) dy,: +y y; (e) ( +y ) dy,: y,y +y ; (f) yy,: +y (y ) Obszar naszkicować we współrzędnych kartezjańskich i biegunowych 54 Obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi: y =4, +y=3, y=(y ); (b) +y y=, +y 4y=; (c)+y=4, +y=8, 3y=, 3y=5; (d) +y =y, y= 3 55 Obliczyć objętości brył ograniczonych powierzchniami: y=z,y=,y=,z=,=y; (b) +y +z =4,z=(z ); (c) +y y=,z= +y,z=; (d)z=5 +y,=,y=,+y=,z=; (e*)( ) +(y ) =,z=y,z=; (f*)z= +y,y+z=4 56 Obliczyć pola płatów: z= +y, +y ;(b) +y +z =R, +y R,z ;(c)z= +y, z 57 Obliczyć masy podanych obszarów o wskazanych gęstościach powierzchniowych: = { (,y) R : π, y sin },σ(,y)=; (b)= { (,y) R : +y 4,y },σ(,y)= 58 Znaleźć położenia środków masy obszarów jednorodnych: = { (,y) R : y 4 } ; (b)= { (,y) R : π, y sin } ; (c)= { (,y) R :, y e } ; (d) trójkątrównoramiennyopodstawieaiwysokościh; (e) trójkątrównobocznyobokua,doktóregodołączonopółkoleopromieniua; (f) kwadratoboku,zktóregowyciętopółkoleośrednicya 59 Obliczyć momenty bezwładności podanych obszarów względem wskazanych osi: = { (,y) R : +y R,y },ośo,przyjąćσ(,y)= +y ; (b)= { (,y) R : y },ośsymetriiobszaru,przyjąćσ(,y)= ; (c)= { (,y) R : π, y sin },ośo,przyjąćσ(,y)=; (d) jednorodnykwadratomasiemibokua,przekątnakwadratu; (e) jednorodnytrójkątrównobocznyomasiemibokua,ośsymetrii Lista 6 Obliczyć podane całki potrójne po wskazanych prostopadłościanach: dydz,=[,] [,e] [,e]; yz (b) (+y+z)dydz,=[,] [,3] [3,4]; (c) sinsin(+y)sin(+y+z)dydz,=[,π] [,π] [,π]; (d) (+y)e +z dydz,=[,] [,] [,] 7
6Całkępotrójnązfunkcjig(,y,z)poobszarzezamienićnacałkiiterowane,jeżelijestograniczonypowierzchniami o podanych równaniach: z= +y, z=6; (b) +y +z =5,z=4,(z 4); (c)z= +y, z= y * 6 Narysować obszar całkowania i następnie zmienić kolejność całkowania: 3 3 3 y 4 y dy f(,y,z)dz; (b) dy f(,y,z)dz; 4 4 y (c) 3 dz z z z z f(,y,z)dy; (d) dy +y f(,y,z)dz 63 Obliczyć całki potrójne z podanych funkcji po wskazanych obszarach: g(,y,z)=e +y+z, :, y, z ; (b)g(,y,z)= (3+y+z+) 4, :,y, z y; (c)g(,y,z)= +y, : +y 4, z ; (d)g(,y,z)= y, : y z * 64 Stosując odpowiednią zamianę zmiennych obliczyć całki potrójne: (+y) (+y+z) 3 dydz,jestobszaremograniczonymprzezpłaszczyzny:=,=,+y=, +y=,+y+z=,+y+z=3; ( y ) dydz,jestobszaremograniczonymprzezpowierzchnie:y=,y=,y=,y=4,z=y+, (b) z=y+3,>; ( (c*) +y ) dydz,jesttorusem,tjbryłąpowstałązobrotuwokółosiozkoła( R) +z r, y=,<r R Lista 65 Wprowadzając współrzędne walcowe obliczyć całki po wskazanych obszarach: ( +y +z ) dydz, : +y 4, z ; (b) yzdydz, : +y z y ; ( (c) +y ) dydz, : +y +z R, +y +z Rz; (d) (+y+z)dydz, : +y, z y 66 Wprowadzając współrzędne sferyczne obliczyć całki po wskazanych obszarach: dydz +y +z, :4 +y +z 9; ( (b) +y ) dydz, : +y z y ; (c) z dydz, : +y +(z R) R (R>); 8
(d) dydz, : +y +z 4 67 Obliczyć objętości obszarów ograniczonych podanymi powierzchniami: +y =9, +y+z=, +y+z=5; (b)=, =, z=4 y, z=+y ; (c)z= + +y, z=, +y =; (d) +y +z =, y=(y ) 68 Obliczyć masy obszarów o zadanych gęstościach objętościowych: =[,a] [,b] [,c],γ(,y,z)=+y+zoraza,b,c>; (b): +y +z 9,γ(,y,z)= +y +z 69 Wyznaczyć położenia środków masy podanych obszarów jednorodnych: :, y, z ; (b)stożekopromieniupodstawyriwysokościh; (c): +y z y 7 Obliczyć momenty bezwładności względem wskazanych osi podanych obszarów jednorodnych o masie M: walec o promieniu podstawy R i wysokości H, względem osi walca; (b) stożek o promieniu podstawy R i wysokości H, względem osi stożka; (c) kula o promieniu R, względem osi symetrii Lista 7 Korzystając z definicji obliczyć transformaty Laplace a funkcji: t ; (b)sint; (c)t ; (d)te t ; (e)e t cost; (f)sinht; (g) y (h) y (i) y y=f(t) y=g(t) y=h(t) t t t 7 Wyznaczyć funkcje ciągłe, których transformaty Laplace a mają postać: s+ ; (b) s s +4s+5 ; (c) s 4s+3 ; s+ (d) (s+)(s )(s +4) ; (e) s + s (s ) ; (f) s+9 s +6s+3 ; (g) s+3 s 3 +4s +5s ; (h) 3s e s (s 3 ; (i) ) s+ 73 Metodą operatorową rozwiązać zagadnienia początkowe dla równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach: y y=, y()=; (c)y +y =, y()=,y ()=; (b)y y=sint, y()=; (d)y +3y =e 3t, y()=,y ()= ; (e)y y +y=sint, y()=,y ()=; (f)y y +y=+t, y()=,y ()=; (g)y +4y +4y=t, y()=,y ()=; (h)y +4y +3y=te t, y()=,y ()= * 74 Korzystając z własności przekształcenia Laplace a obliczyć transformaty funkcji: sin 4 t; (b)cos4tcost; (c)t cost; (d)tsinh3t; (e)te t cost; (f)e 3t sin t; (g)(t )sin(t ); (h)(t )e t 9
* 75 Obliczyć sploty par funkcji: f(t)=e t, g(t)=e t ; (c)f(t)=(t), g(t)=sint; (b)f(t)=cos3t, g(t)=cost; (d)f(t)=e t, g(t)=t * 76 Korzystając ze wzoru Borela wyznaczyć funkcje, których transformaty dane są wzorami: (s+)(s+) ; (b) (s ) (s+) ; (c) s (s +) ; (d) s (s +) Lista 3 77 Korzystając z definicji wyznaczyć transformaty Fouriera funkcji: { sint dla t π, cost dla t π, { t dla, f(t)= (b)f(t)= dla t >π; dla t > π (c)f(t)= ; dla >; { t dla t, (d)f(t)= (e)f(t)=e t ; (f*)f(t)=e at,a dla t >; π Wskazówka(f*) Wykorzystać równość e at dt= a 78Niechc,h Rorazδ>WyznaczyćtransformatęFourierafunkcji h y c c δ c+ δ t 79Pokazać,żejeżeliF{f(t)}=ˆf(ω),to: F{f(t)cosαt}= [ˆf(ω α)+ˆf(ω+α) ] ; (b)f{f(t)sinαt}= i [ˆf(ω α) ˆf(ω+α) ] 8 Korzystając z własnści transformaty Fouriera oraz z wyników poprzednich zadań obliczyć transformaty funkcji: f(t)=e 3 t ; (b)f(t)=te t ; (c)f(t)=e 4t 4t ; { cos t { dla t π, cost dla t π, (d)f(t)= (e)f(t)= (f)f(t)=[(t) (t 4)] t; dla t >π; dla t >π; (g)f(t)=(t) e t cost; (h)f(t)=e t cos t ; (i)f(t)=e t sint { dla t<, waga (t) = funkcja Heaviside a dla t * 8 Korzystając z zadania 8 oraz transformaty Fouriera pochodnej wyznaczyć transformaty funkcji: (b) y y t t * 8 W obwodzie RLC, napięcie (t) jest sygnałem wejściowym, a napięcie y(t) sygnałem wyjściowym(rys) + (t) Wyznaczyć trnsformatę Fouriera sygnału wyjściowego y(t) 83ObliczyćtransformatęFourierafunkcjit f (t)+f (t),jeżeliˆf(ω)= R L C y(t) +ω +
84 Wyznaczyć funkcje, których transformaty Fouriera mają postać: +iω ; (b) 4+ω ; (c) e iω +iω ; (e)sinωcosω ; (f) ω (+ω )(4+ω ) ; 85 Obliczyć sploty podanych par funkcji i ich transformaty Fouriera: f(t)=g(t)=(t) (t ), (b)f(t)=(t) (t ),g(t)=(t+) (t), (c)f(t)=(t) e t,g(t)=(t) e t, (d)f(t)=g(t)=e t Przykładowe zestawy zadań z kolokwiów i egzaminów W rozwiązaniach zadań należy opisać rozumowanie prowadzące do wyniku, uzasadnić wyciągnięte wnioski, sformułować wykorzystane definicje, zacytować potrzebne twierdzenia(podać założenia i tezę), napisać zastosowane wzory ogólne(z wyjaśnieniem oznaczeń) Ponadto, jeśli jest to konieczne, należy sporządzić czytelny rysunek z pełnym opisem Skreślone fragmenty pracy nie będą sprawdzane Ikolokwium Zestaw A Obliczyć całkę niewłaściwą pierwszego rodzaju Zbadać zbieżność szeregu n n + n3 n + 3 Znaleźć przedział zbieżności szeregu potęgowego 3 n= (+5) n n+ 4 Napisać równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcjif(, y) = arc sin Zestaw B przecięcia z osią Oz Zbadać zbieżność całki niewłaściwej + 3 + zasadnić zbieżność szeregu ( ) nln(n+) n n= ( ) + y w punkcie jego 3Funkcjęf()= +4 rozwinąćwszeregmaclaurinapodaćwrazzuzasadnieniemprzedziałzbieżności 4Narysowaćdziedzinęfunkcjif(,y)= y ln ( 9 y ) iobliczyćjejpochodnecząstkowepierwszego rzędu Zestaw C Zbadać zbieżność całki niewłaściwej drugiego rodzaju Korzystając z kryterium całkowego uzasadnić zbieżność szeregu (+) (+ ) arctgn 4n + 3Napisaćrozwinięciefunkcjif()= e + e 3 wszeregmaclaurina,anastępnieobliczyćf () () 4Napisaćrównaniepłaszczynystycznejdopowierzchni(+) +(y 3) +z =6wpunkcie(,, )
Zestaw Zbadać zbieżność i zbieżność bezwzględną szeregu n+ ( ) n n Funkcjęf()= 4 + orazjejpochodnąf ()rozwinąćwszeregimaclaurinaipodaćpromienieich zbieżności Następnie obliczyć sumę szeregu ( ) nn 4 n 3Napowierzchniz=yln ( ++y ) znaleźćtakipunkt,abypłaszczyznastycznadotejpowierzchniwtym punkciebyłarównoległadopłaszczyznyz yln= 4 Wyznaczyć wszystkie punkty, w których pochodna kierunkowa funkcji f() = w kierunku wersora ( ) y /, / przyjmujewartość II kolokwium Zestaw A Obliczyćpochodnąkierunkowąfunkcjif(,y)= ( y ) e y wpunkcie(,y )=(,)wkierunku wersoratworzącegokątα=π/3zdodatniączęściąosio Znaleźćwszystkieekstremafunkcjif(,y)= y +y+ 3JednorodnafiguraskładasięzkwadratuobokuidołączonegodoniegopółkolaopromieniuWyznaczyć położenie środka masy tej figury 4 Obliczyć objętośc bryły ograniczonej powierzchniami: Zestaw B +y =,z= +y 3,z=5 +y Znaleźćwartościnajmniejsząinajwiększąfunkcjif(,y)= y wtrójkącie T= { (,y) R :,y,+y 4 } Cienka jednorodna płytka o masie M ma kształt trójkąta równobocznego o boku a Obliczyć moment bezwładności płytki względem jej osi symetrii ydy 3 Obliczyć całkę ( +y ) 3,gdzie={ (,y) R : +y 9,y } 4ObliczyćtransformatęLaplace afunkcjif(t)=e t Zestaw C zasadnić, że wśród wszytkich prostopadłościanów o objętości V, sześcian ma najmniejsze pole powierzchni całkowitej Zmienić kolejność całkowania w całce dy + y y f(,y)naszkicowaćobszarcałkowania 3Obliczyćcałkęzfunkcjif(,y,z)=zpoobszarzeV ograniczonympłaszczyznami+y=,+y=, =,y=,z=,z=naszkicowaćobszarv 4Rozwiązaćrównanieróżniczkowey +y +5y= 5zzerowymiwarunkamipoczątkowymi
Zestaw Sprawdzić,żefunkcjaz=arctg y spełniawarunek z +yz y +y z yy =,gdzie,y> Całkępodwójnązfunkcjif(,y),poobszarzeograniczonymkrzywymiy=,= y,y= zamienić na całki iterowane na dwa sposoby Narysować obszar 3Obliczyćpoleczęścipowierzchnisfery +y +z =3leżącejwewnątrzparaboloidyz= +y Sporządzić rysunek 4Obliczyćcałkępotrójnązfunkcjif(,y,z)=poobszarzeV : +y +z 6,,y,z Sporządzić rysunek Zastosować współrzędne sferyczne Egzamin podstawowy Zestaw A Obliczyć całkę niewłaściwą e +e Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego n= 3Znaleźćekstremalokalnefunkcjif(,y)=y + y + 8 y 3 n ( ) n n+ 4Obliczyćobjętośćbryłyograniczonejpowierzchniami:z= 5 ( +y ),z=+ +y 5 Jednorodna figura składa się z trójkąta równobocznego o boku i dołączonego do niego półkola o promieniu Wyznaczyć położenie środka masy tej figury 6ZnaleźćprzekształcenieLaplace afunkcjif(t)=t Zestaw B Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami o równaniach z= +y,z= 9 + ( +y ) Sporządzić rysunek Znaleźćwszystkieekstremafunkcjif(,y)=+y ln(y) 3 Narysować obszar całkowania i następnie zmienić kolejność całkowania w całce 4 Zbadać zbieżność szeregu (n!) (n)! 6 log log 4 f(,y)dy 5 Jednorodna figura ma kształt kwadratu o polu 4, z którego boku wycięto półkole o promieniu Wyznaczyć położenie środka masy tej figury 6MetodątransformatyLaplace arozwiązaćzagadnieniepoczątkowey +y=e t,y()= Egzamin poprawkowy Zestaw A Obliczyć całkę niewłaściwą Zbadać zbieżność szeregu 4 + 5 n +3 n n! 3Znaleźćekstremalokalnefunkcjif(,y)=e 3 y +e +e y 3
4 Narysować obszar całkowania i następnie zmienić kolejność całkowania w całce iterowanej + f(,y)dy 5 Wyznaczyć położenie środka masy jednorodnego półpierścienia o promieniu wewnętrznym r i zewnętrznym R 6Obliczyćobjętośćbryłyograniczonejpowierzchniamiorównaniach: +y =,z=4 ( +y ),z= Zestaw B Obliczyć całkę niewłaściwą Zbadać zbieżność szeregu arcctgn 3Znaleźćwszystkieekstremafunkcjif(,y)=(y+) + 4 y 4 Narysować obszar całkowania i nastepnie zmienić kolejność całkowania w całce 5 Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami o równaniach z= +y,z=6 ( +y ) 4 Sporządzić rysunek 3 f(,y)dy 6Znaleźćrównaniepłaszczyznystycznejdowykresufunkcjif(,y)=y 3 + y wpunkciejegoprzecięcia zosiąoy Egzamin na ocenę celującą Zestawz3r Jednorodnabryłajestograniczonaparaboloidąz=a ( +y ) (a>)orazpłaszczyznąz=(rysunek) la jakich wartości parametru a bryła ta, dowolnie położona na boku, powróci do stanu z pionową osią symetrii, czyli będzie wańką-wstańką Przekątne czworokąta wypukłego mają długość p i q oraz są prostopadłe W jakim stosunku powinny się one przecinać, aby obwód czworokąta był najmniejszy? ( 3 Zbadać zbieżność szeregu nn ) n n= 4Niech[a,b],[c,d]będąprzedziałamiwRPokazać,żejeżelidladowolnegowielomianuWstopnia3zachodzi równość to[a,b]=[c,d] b d W()= W(), a c 4
ZestawAz4r Samochód firmy Google z kamerą do fotografowania otoczenia jedzie drogą(oś O) Równolegle do drogi, w odległości, stoi reklama o długości Reklama αn n Kamera Niechα n (n N)oznaczakątwidzeniareklamywchwili,gdykamerajestwpunkciendrogizasadnić,że szereg α n jestzbieżnyiwyznaczyćjegosumę Pokazać,żefunkcjaf(,y)=y + (+y) 3 matylkojedenpunktstacjonarny,awnim minimumlokalne właściwe,alewr nieprzyjmujewartościnajmniejszej 3 Obliczyć całkę π dϕ ( sinϕ+ cosϕ ) 4 4 Jednorodny czworościan foremny o masie M ma krawędź a Obliczyć moment bezwładności czworościanu względem prostej zawierającej jego wysokość ZestawBz4r Symbol{}oznaczaczęśćułamkowąliczby,tj{}= Zbadaćzbieżnośćszeregu: {log 5 (3 n +4 n +5 n )} Wjazd na parking położony na wysokości h ma kształt powierzchni śrubowej, która przebiega między walcami opromieniachrir(r<r)(rysunek)obliczyćpoletejdrogi z h r y R 3 Zbadać zbieżność całki 4Pokazać,żezewzorów 5 3 4 C = + ++ n, y C = y +y ++y n (n 3) n n można wyznaczyć współrzędne środka masy dowolnego jednorodnego n-kąta wypukłego z wierzchołkami (,y ),(,y ),( n,y n )tylkodlan=3 5