FUNKCJA LINIOWA 8 Przkład lekcji 6 matematki z zastosowaniem komputera. - - -6 Autor prac: JOANNA NOWAK
Spis treści str. Wstęp... Informacje ogólne... Odniesienie do podstaw programowch... 5 Propozcje lekcji z matematki z zastosowaniem komputera : Rozdział Temat lekcji: Definicja funkcji liniowej i jej własności... 7 Rozdział Temat lekcji: Wkres funkcji liniowej.... Rozdział Temat lekcji: Badanie wzajemnego położenia dwóch prostch.... 6 Ogólne wskazówki dla nauczciela... Bibliografia... 5 Joanna Nowak
Wstęp Przgotowana praca ma na celu zachęcić młodzież do nauki matematki połączonej z lekcją informatki, tworzenia różnch materiałów pomocniczch, a także do zbierania i przetwarzania informacji. Funkcję liniową wbrałam, gdż jest to jeden z ciekawszch działów, gdzie korzstanie z komputera będzie zabawą. W mojej prac chcę pokazać, że prz pomoc Worda, a przede wszstkim Eela arkusza kalkulacjnego można opracować materiał, umożliwiając poznanie lub pogłębianie wiadomości dotczącch różnch zagadnień. Starałam się opracować wbrane zagadnienia w sposób przejrzst i czteln, ab osoba cztająca mogła poczuć się obecna na lekcji i samodzielnie wkonwać powierzone jej zadania. Joanna Nowak
Informacje ogólne Celem tej prac jest przgotowanie materiałów pomocniczch do nauki matematki : rsowanie wkresów funkcji liniowch, określanie własności funkcji z wkresu, badanie wzajemnego położenia dwóch prostch. Temat bloku lekcji : Funkcja liniowa. Założenia wstępne: ) III klasa gimnazjum lub I obecnego liceum ) Czas trwania: 5-6 godzin lekcjnch. ) Przgotowanie uczniów : uczniowie skończli ckl lekcji przeznaczonch na naukę obsługi Worda i Eela. ) Strona techniczna lekcji : w zależności od pracowni : - każd uczeń ma do dspozcji komputer - uczniowie są podzieleni na zespoł dwu-, trzosobowe. Cele bloku lekcji: ) Utrwalenie i przećwiczenie poznanch wcześniej wiadomości i umiejętności. ) Rozszerzenie posiadanch wiadomości. ) Kształcenie zdolności logicznego mślenia i rozwinięcie umiejętności ddaktcznch. Joanna Nowak
Odniesienie do podstaw programowch Podstawa programowa kształcenia ogólnego. INFORMATYKA Rozwiązwanie problemów za pomocą programów użtkowch. Tworzenie dokumentów zawierającch tekst, grafikę i tabele. Wkorzstanie arkusza kalkulacjnego do rozwiązwania zadań z programu nauczania gimnazjum i codziennego żcia. Smulowanie zjawisk o znanch prostch modelach. Pożtki wnikające z rozwoju informatki i powszechnego dostępu do informacji. MATEMATYKA Rozumienie i użwanie pojęć : argument, wartość, miejsce zerowe, wkres funkcji, funkcja liniowa, współcznnik kierunkow, funkcja rosnąca, funkcja malejąca, funkcja stała. Doskonalenie umiejętności posługiwania się układem współrzędnch. Wkorzstwanie wiadomości o funkcji na przkład prz rsowaniu wkresów funkcji, odcztwaniu własności funkcji z wkresu i wznaczaniu wzoru funkcji liniowej. Rozwiązwanie układów równań metodą graficzną. Joanna Nowak 5
Propozcje lekcji z matematki z zastosowaniem komputera. Joanna Nowak 6
Rozdział Temat lekcji: Definicja funkcji liniowej i jej własności. Cele lekcji: a) poznanie przez uczniów definicji funkcji liniowej b) ukazanie różnego sposobu zapiswania funkcji c) poznanie przez uczniów własności funkcji liniowej d) odcztwanie własności funkcji z wkresu e) doskonalenie umiejętności posługiwania się arkuszem kalkulacjnm jako narzędziem prac Uczniowie potrafią: swobodnie posługiwać się arkuszem kalkulacjnm. Na początku lekcji razem z uczniami przpominam definicję funkcji : Funkcja to przporządkowanie każdemu elementowi ze zbioru X dokładnie jednego elementu ze zbioru Y. Zbiór X nazwam zbiorem argumentów zaś Y zbiorem wartości funkcji. Po tm wstępie przechodzim do pojęcia funkcji liniowej i jej własności. Funkcją liniową nazwam funkcję postaci: a+b f: a+b nazwaliśm naszą funkcję f f() = a +b nazwaliśm naszą funkcję f = a +b zapis bardzo wgodn prz robieniu wkresów a, b oznaczają stałe. a nazwam współcznnikiem kierunkowm, b wrazem wolnm. Funkcją stałą nazwam funkcję liniową której współcznnik kierunkow równ jest zero (a=). Ma ona postać = b Dziedziną funkcji liniowej jest zbiór liczb rzeczwistch. Przkład... = =- = - (funkcja stała) f()= g()=- h()= - a=, b= a=, b= - a=, b= - Wkresem funkcji liniowej jest prosta. Miejscem zerowm funkcji nazwam argument, dla którego wartość funkcji równa się zero (tj. punkt przecięcia się wkresu z osią X). Joanna Nowak 7
Zanim omówię własności funkcji, chcę ab uczniowie sami zauważli pewne zależności rozwiązując ćwiczenie. Włączam więc komputer i po dodarciu do arkusza kalkulacjnego uczniowie rozpocznają pracę od ćwiczenia. Jego treść jest następująca : Ćwiczenie: Otwórz plik przkład, a następnie powiedz co zauważłeś. Po wspólnm wciągnięciu wniosków przechodzim do podania własności funkcji: Dla współcznnika kierunkowego dodatniego (a>) funkcja liniowa = a +b jest rosnąca. Przkład Funkcja liniowa rosnąca =a+b, a> - - - 5 - -6 = Dla współcznnika kierunkowego ujemnego (a<) funkcja liniowa = a +b jest malejąca. Przkład Funkcja liniowa malejąca =a+b, a< - - - - 5 6 - =-.5+ Wkresem funkcji stałej = b, (= +b) jest prosta równoległa do osi i przecinająca oś w punkcie b. Joanna Nowak 8
Przkład Funkcja stała =b (=a+b, a=) - - - - 5 - - = =- Jeżeli mam funkcje liniowe różniące się tlko wrazem wolnm (współcznniki kierunkowe są takie same) to ich wkres są równoległe. Przkład Wkres funkcji o równch współcznnikach kierunkowch 6 - - -- = -6 =+ -8 =-5 Jeżeli jednostki na obu osiach są takie same to dla funkcji liniowej = a +b współcznnik kierunkow a jest równ tangensowi kąta jaki wkres tej funkcji tworz z osią. a = tgα Przkład 8 = 6 a=tg& - - 6 8 Joanna Nowak 9
Dla współcznników kierunkowch dodatnich, im współcznnik jest większ tm wkres funkcji jest bardziej strom. Przkład tg α= tg α= tg α=,8 8 6 - - 6 8 = = =.8 Teraz uczniowie rozwiązują samodzielnie ćwiczenie: ćwiczenie: Napisz kilka przkładów funkcji liniowej oraz jej własności. Po wkonaniu ćwiczenia kilku uczniów podaje swoje przkład. To pozwala zwrócić uwagę uczniom na fakt, że z samego zapisu funkcji możem odcztać tlko jej monotoniczność. Więcej własności możem odkrć mając podan wkres. Ciekawm narzędziem do tego tpu zadań jest arkusz kalkulacjn oraz Word. Uczniowie rozpocznają pracę od rozwiązania ćwiczenia. Jego treść jest następująca : Ćwiczenie : Na podstawie podanch wkresów funkcji podaj następujące własności: a= b= monotoniczność miejsce zerowe punkt przecięcia z osią Y dla jakich argumentów funkcja przjmuje wartości dodatnie, a dla jakich ujemne Wniki przedstaw w tabelce. 8 7 6 5 =- - - - - 5 6 7 8 - - Joanna Nowak
7 6 5 = -+ - - - - 5 6 7 8 - - 5 =+ -5 - - - - 5 Uczniowie przpominają zasad tworzenia i formatowania tabel, a następnie przstępują do wkonania zadania. Praca zajmie im trochę czasu, możliwe, że niektórm osobom trzeba będzie trochę pomóc. Efektem ich prac powinna bć tabela podobna do poniższej. =- =-+ =+ a = - b = - monotoniczność f. rosnąca f. malejąca f. stała miejsce zerowe.5 brak pkt. przecięcia z OY - wartości dodatnie є (.5;+ ) є (- ;) є(- ;+ ) wartości ujemne є (- ;.5) є (;+ ) brak Po wkonaniu tego ćwiczenia wspólnie z uczniami podsumujem i utrwalim wiadomości poznane na lekcji. Joanna Nowak
Rozdział Temat lekcji: Wkres funkcji liniowej.(lekcja dwugodzinna) Cele lekcji: a) umiejętność rsowania wkresu funkcji liniowej b) doskonalenie umiejętności posługiwania się układem współrzędnch c) wkorzstwanie wiadomości o funkcjach prz rsowaniu wkresów funkcji d) doskonalenie umiejętności posługiwania się arkuszem kalkulacjnm jako narzędziem prac Uczniowie potrafią: znają definicję i własności funkcji liniowej, swobodnie posługiwać się układem współrzędnch swobodnie posługiwać się arkuszem kalkulacjnm. Przed rozpoczęciem realizacji nowego tematu uczniowie przpominają własności funkcji liniowej. Będzie to przdatne prz rsowaniu wkresów. Następnie przechodzę do części teoretcznej. Wkresem funkcji liniowej = a +b jest prosta. Ab jednoznacznie wznaczć prostą potrzebujem tlko dwóch punktów. Narsujm wkres funkcji = +. Za argument () możem przjąć dowolne wartości, np. i. Obliczm wartości funkcji w tch punktach, dla = mam = + =, dla = mam = + = 5. Argument i wartości funkcji umieszczam w tabelce. Wkres naszej funkcji przechodzi przez punkt(;) i (;5). Zaznaczam je w układzie współrzędnch i przeprowadzam przez nie prostą. Dla a i b punkt w tabelce możem tak dobrać, ab bł to punkt przecięcia wkresu z osiami układu współrzędnch. Bardzo polecam! Policzenie wartości funkcji dla = jest bardzo łatwe. Ab wznaczć pierwszą współrzędną drugiego punktu rozwiązujem proste równanie = +. Stąd = -. Joanna Nowak
Po tm wstępie uczniowie rozwiązują następujące ćwiczenie: Ćwiczenie : Narsuj wkres dowolnej funkcji rosnącej, malejącej i stałej a) w zeszcie b) w arkuszu kalkulacjnm. Jak wspomniałam, do narsowania jednej prostej w zeszcie wstarcz znać dwa punkt, przez które ona przechodzi. W arkuszu posłużm się jednak całą tabelą wartości. Samo rsowanie prostch w arkuszu jest łatwe, jednak wspólnie z uczniami powtarzam metodę wkonwania wkresów.:. Tworzm tabelkę argumentów i wartości funkcji. Zaznaczam tabelkę. W pasku narzędzi : wstaw wkres. Z ofert wbieram jako tp wkresu X-Y(punktow). Przpominam również zasad pisania i kopiowania formuł w arkuszu. Praca zajmie im trochę czasu, możliwe że niektórm osobom trzeba będzie trochę pomóc, ale warto to zrobić po to b zobaczć radość uczniów. Dzięki tak określonemu zadaniu otrzmam większ materiał do porównania i będzie to ciekawsze dla uczniów. Efektem prac powinn bć wkres podobne do tch: Funkcja rosnąca 8 7 6 5-6 -5 - - - - - 5 6 - -5-6 -7 =- -8 Joanna Nowak
Funkcja malejąca 6 5 = -+ - - - - 5 6 - - Funkcja stała 6 =+ - - Po wkonaniu tego ćwiczenia uczniowie stwierdzili, że tworzenie tabel i wkresów dla wielu współcznników a i b zajmuje wiele czasu. Stosując adres bezwzględn można uwzględnić wiele danch, a wkres będzie się zmieniał automatcznie po wprowadzeniu nowch danch. W ten sposób przechodzim do następnego ćwiczenia: Ćwiczenie : Zaplanuj tabelę służącą do obliczania współrzędnch punktów dowolnej funkcji liniowej : = a +b i utwórz wkres tej funkcji. Joanna Nowak
Uczniowie przpominają zasad adresowania w arkuszu kalkulacjnm, a następnie zabierają się do prac. Efekt ich prac powinien wglądać tak : a = b = = a+b -5 - - - -7 - - - 5 8 5 7 8 6-5 - - -- 5-6 -8 - Jeśli ćwiczenie zostało wkonane poprawnie, to możem zmieniać wartości współcznników a i b, wówczas wartości funkcji zostaną przeliczone i wkres zmieni się automatcznie. Sprawdzenie poprawności ostatniej prac uczniów będzie pośrednim celem następnego zadania. Ćwiczenie : Korzstając z ćwiczenia zmień kilkakrotnie wartości współcznników a i b, tak ab otrzmać wkres różnch funkcji. Odpowiedz na ptania: Cz jest to wkres funkcji rosnącej, malejącej cz stałej? Dla jakich wartości funkcja przjmuje wartości dodatnie, a dla jakich ujemne? Jakie jest miejsce zerowe tej funkcji? Wniki przedstaw w tabeli. Zadanie to jest dla uczniów zabawą. To pozwala mi zwrócić uwagę uczniów na fakt, że arkusz kalkulacjn jest przdatn prz rozwiązwaniu zadań z matematki a szczególnie ich prezentowania w postaci graficznej. Efektem ich prac powinna bć tabela podobna do poniższej. funkcja =+ =-+ = =,5- =- =+ monotoniczność f. rosnąca f. malejąca f. stała f. rosnąca f. malejąca f. stała wartości dodatnie (-/;+ ) (- ;/) brak (6;+ ) (- ;) (- ;+ ) wartości ujemne (- ;-/) (/;+ ) (- ;+ ) (- ;6) (; + ) brak miejsce zerowe -/ / brak 6 brak Dla uczniów zdolniejszch (pracującch szbciej) mam jeszcze jedno ćwiczenie będące przgotowaniem do następnej lekcji. Ćwiczenie: W jednm układzie współrzędnch przedstaw dwie funkcje liniowe, którch wkres są prostmi równoległmi. Joanna Nowak 5
Rozdział Temat lekcji: Badanie wzajemnego położenie dwóch prostch. (lekcja dwugodzinna) Cele lekcji: a) doskonalenie umiejętności graficznej interpretacji układu równań b) doskonalenie umiejętności rozwiązwania układów równań metodą graficzną c) doskonalenie umiejętności posługiwania się arkuszem kalkulacjnm d) badanie wzajemnego położenia dwóch prostch Uczniowie potrafią: rozwiązwać układ równań metodą algebraiczną i graficzną, rozpoznawać układ niezależne, sprzeczne i zależne, obsługiwać arkusz kalkulacjn, Zadania wkonane na lekcjach poprzednich przekonał uczniów, że arkusz kalkulacjn jest bardzo użtecznm programem do rsowania wkresu funkcji, której wartości dane są w postaci tabeli. Na dzisiejszej lekcji przekonają się, że w jednm układzie współrzędnch w arkuszu można umieścić wkres dwóch lub więcej funkcji liniowch. Zanim przejdziem do rozwiązwania ćwiczeń przpomnim trochę teorii : Metoda graficzna. Omówim ją dla układu dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadommi. Ab rozwiązać graficznie układ równań wznaczam z obu równań zmienną. = 6 += = + = - Rsujem teraz wkres obu prostch. Punkt przecięcia prostch jest rozwiązaniem układu. Zatem para liczb (; ) - punkt przecięcia wkresów, jest rozwiązaniem naszego układu. Innm zapisem rozwiązania jest = = - to pierwsza współrzędna punktu, - to druga współrzędna punktu. Joanna Nowak 6
Jeżeli proste przecinają się, wówczas układ ma dokładnie jedno rozwiązanie. Jest to tzw. układ równań niezależnch (oznaczon). (przkład j / w) Jeżeli nie istnieje punkt w którm przecinają się wszstkie wkres to układ nie ma rozwiązań. Jest to tzw. układ równań sprzecznch. - - - - - - Jeżeli wszstkie wkres się pokrwają to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Taki układ nazwa się układem równań zależnch (nieoznaczon). - - - - - - z Teraz przejdziem do części praktcznej. Zacznijm od następującego ćwiczenia: Ćwiczenie : Wkonaj wkres układu równań : a) niezależnch b) sprzecznch c) zależnch Na co należ zwrócić uwagę? Przed rozpoczęciem zadania uczniowie ustalają na co należ zwrócić uwagę prz rsowaniu powższch układów równań. Prz mojej pomoc dochodzą do następującch wniosków: Joanna Nowak 7
Dan jest układ równań = a +b = c +d Jeżeli a c to układ równań jest niezależn Jeżeli a = c oraz b d to układ równań jest sprzeczn Jeżeli a = c oraz b = d to układ równań jest zależn. Następnie powtarzam metodę wkonwania wkresów kilku funkcji w jednm układzie współrzędnch. Dzięki tak określonemu poleceniu otrzmam więcej wkresów do porównań a dla uczniów będzie to ciekawsze. Efektem prac powinn bć wkres podobne do następującch: układ równań niezależnch =- = -+ - - - - - - układ równań niezależnch - - - - - =+ = -- - Joanna Nowak 8
układ równań sprzecznch - - - - - - =+ =- układ równiań sprzecznch = -+ = -- - - - - - - układ równań zależnch - - - - - - = + =+ Joanna Nowak 9
układ równań zależnch = -+ = -+ - - - - - - Po wkonaniu tego ćwiczenia uczniowie stwierdzili, że tworzenie tabel i wkresów dla wielu układów równań zajmuje dużo czasu. Podobnie, jak z funkcją liniową, stosując adres bezwzględn można uwzględnić wiele danch, a wkres będzie się zmieniał automatcznie po wprowadzeniu nowch danch. W ten sposób przechodzim do następnego ćwiczenia: Ćwiczenie : Zaplanuj tabelę służącą do obliczania współrzędnch punktów dowolnego układu współrzędnch i utwórz jego wkres. Uczniowie przpominają zasad adresowania w arkuszu kalkulacjnm, a następnie przstępują do prac. Efekt ich prac powinien wglądać tak : prosta a+b pierwsza druga a = - b = - z 7 - - 5-8 - -5 - - - - -5 7-7 -9 wkres dwóch prostch 5-5 - - - - 5 - - -5 z Korzstając z ćwiczenia możem zmieniać wartości współcznników a i b, wówczas wartości funkcji zostaną przeliczone, wkres zmienią się automatcznie i otrzmam różne położenia prostch. Następne zadanie będzie kontnuacją ćwiczenia : Joanna Nowak
Ćwiczenie : Posługując się ćwiczeniem, tak dobierz wartości współcznników obu prostch, ab: proste bł równoległe względem siebie jedna prosta bła równoległa do osi OX obie proste bł równoległe do osi OX obie proste pokrwał się. Po burzliwej dskusji dotczącej doboru współcznników uczniowie dochodzą do następującch wniosków: ab proste bł równoległe względem siebie, to współcznniki a obu funkcji muszą bć takie same ab prosta bła równoległa do osi OX, to współcznnik a= ab proste pokrwał się, to współcznniki a i b obu funkcji muszą bć takie same tj.a =a i b =b. Oto przkładowe wniki prac uczniów:. proste równoległe względem siebie: wkres dwóch prostch 5-5 - - - - 5 - - z -5. jedna z prostch równoległa do osi OX : wkres dwóch prostch 5-5 - - - - 5 - - z -5 Joanna Nowak
. obie proste równoległe do osi OX : wkres dwóch prostch 5-5 - - - - 5 - - -5 z.obie proste pokrwają się: wkres dwóch prostch 5-5 - - - - 5 - - z -5 Przechodzim do dalszej części lekcji. Zajmiem się teraz graficzną metodą rozwiązwania równań. Ćwiczenie : Korzstając z arkusza kalkulacjnego rozwiąż graficznie układ równań: + = = Uczniowie przpominają graficzną metodę rozwiązwania układu równań i zabierają się do rozwiązwania zadania. Joanna Nowak
= -+ = = - + = 7-6 - - 5 - - - - 5-5 - - - - 5 - - = - + = -5 Rozwiązaniem jest para liczb: =,5 =,5 Po wkonaniu zadania będę chciała uzskać od uczniów odpowiedź na ptanie: Co należ zrobić gd mam kłopot z odcztaniem współrzędnch punktu przecięcia? Proszę ich o sformułowanie zasad postępowania. Oto one: Należ narsować dane proste (wkres) z większą dokładnością w mniejszm przedziale zawierającm punkt przecięcia. Kolejne powiększenia obszaru wokół punktu przecięcia się prostch polega na zmianie skali i jednostki osi X i Y na coraz to mniejsze przedział. Joanna Nowak
Ogólne wskazówki dla nauczciela Arkusz kalkulacjn jest jednm z najpopularniejszch programów komputerowch, służącm do tworzenia najróżniejszch zestawień liczb, wkonwania na nich obliczeń oraz ich prezentowania w postaci graficznej. Zadania przedstawione w tej prac pokazują jak wkorzstać poznane własności i możliwości arkusza. Tak więc arkusz jest bardzo użtecznm programem do rsowania wkresu funkcji, której wartości są dane w postaci tabeli. Ponadto, w jednm układzie współrzędnch można umieścić wkres dwóch lub więcej funkcji. Arkusz kalkulacjn, pomimo wielu swoich znakomitch cech, ma również pewne wad wkres niektórch prostch. Ponieważ serie mogą bć utworzone z liczb z różnego zakresu, długości fragmentów osi OX i OY na wkresie mogą bć różne. I to jest podstawową przczną, że proste z założenia prostopadłe nie są prostopadłe na wkresie otrzmanm w arkuszu. I nie zawsze można temu zaradzić. Jeśli się uda, to zmieniając wielkość okna z wkresem można to łatwo zepsuć, np.: wkres dwóch prostch prostopadłch =-,5+ z=- wkres dwóch prostch prostopadłch = -,5+ z=- 5-5 - - - - 5 - - -5 z 5-5 - - - - 5 - - -5 z Ab dokładnie badać wzajemne położenie prostch warto skorzstać ze specjalnego programu Funkcja liniowa. Program ten zawiera jeszcze wiele innch możliwości badania funkcji liniowej, równości i nierówności liniowch. Innm ciekawm programem jest program. Z jego pomocą można rozwiązać równania, nierówności i układ równań, rsować wkres wbranch funkcji. W obu programach można również sprawdzić wiadomości w tm zakresie. W zależności od wposażenia szkoł, ciekawm tematem lekcji może bć Funkcja liniowa na stronach WWW. Jak wiadomo, dzięki stronom WWW można pogłębiać i rozszerzać wiadomości. Joanna Nowak
Bibliografia. Matematka w szkole podstawowej N. Dróbka i K. Szmański. Algebra kl. - A. Ehrenfeucht i O. Stande. Matematka - M. Brński i N. Dróbka. Informatka podręcznik do gimnazjum - E. Gurbiel, G. Hardt-Olejniczak, E.Kołczk, H. Krupocka, M. Ssło 5. Informatka - podstawowe temat nie tlko dla gimnazjum - G. Koba 6. Multimedialne program : Funkcja liniowa,. Joanna Nowak 5