Przykładowe zadania z Analizy Matematycznej II

Przykładowe zadania z Analizy Matematycznej II 17 marca 2016 Prośba: Gdyby okazało się, że któreś z zadań się powtarza to proszę o info na maila. 1 Mini-zadania z teorii ( 1.1 Wyznacz prostopadłą w punkcie P 0 = y = e u sin v, z = v, (u, v) R 2. e e 2, 2, π 4 ) do powierzchni zadanej parametrycznie x = e u cos v, 1.2 Wiadomo, że funkcja y s = e x jest jednym z rozwiązań zagadnienia początkowego x (y e x )+(y e x ) = 0, y (1) = e. Wyznacz przedział na jakim jest ono jednoznaczne. 1.3 Niech H będzie powierzchnią zadaną układem równań parametrycznych x (u, v) = ue v, y (u, v) = u+v, z (u, v) = u. Wyznacz równanie prostopadłej do H w punkcie (0, 1, 0). v 1.4 Niech dane będzie pole wektorowe z x ln y P (x, y, z) := z x ln z ln y, Q(x, y, x) := zx, R (x, y, z) := y xz x+1 ln y. Zbadaj czy to pole jest potencjalne. 1.5 Oblicz a) sin 4 x; b). (4+x 2 ) 3 1.6 Oblicz potencjał pola wektorowego P (x, y, z) := e x sin yarctg (z + 1), Q (x, y, z) := e x cos yarctg (z + 1), R (x, y, z) := ex sin y 1+(z+1) 2. 1.7 Niech E R 3 będzie połową kuli o środku S = (0, 0, 1) i promieniu 1 wyznaczoną przez nierówność x 0. Całkę F (x, y, z) dydz zamień na chałkę iterowaną we współrzędnych walcowych. E 1.8 Niech E R 3 będzie połową kuli o środku S = (0, 0, 1) i promieniu 1 wyznaczoną przez nierówność x 0. Całkę F (x, y, z) dydz zamień na chałkę iterowaną we współrzędnych r, ϕ, ψ. E 1.9 Niech dane będzie pole wektorowe z x ln y P (x, y, z) := z x ln z ln y, Q(x, y, x) := zx, R (x, y, z) := y xz x+1 ln y. Zbadaj czy to pole jest potencjalne. 1.10 Wiadomo, że jednym z rozwiązań zagadnienia początkowego 2y = 3e x 3 y, y (0) = 1 jest funkcja y s = e 3 2 x. Zbadaj na jakim przedziale jest ono jednoznaczne. (tylko jednoznaczność! wymagane uzasadnienie) 1.11 Oblicz 1 0 x 2 3. 1.12 Oblicz e x sin (πx). 1.13 Oblicz sin 6 x + sin 4 x. 1.14 Oblicz współrzędną x 0 środka ciężkości półokręgu x 2 + y 2 = x, y 0 wiedząc, że gęstość zadana 1

jest wzorem ρ (x, y) = x. 1.15 Wyznacz równanie stycznej do powierzchni H: x = cos u cos v, y = ve u, z = u w punkcie (x 0, y 0, z 0 ) = (1, 0, 0). 1.16 Wiadomo, że y s = sin t cos t jest rozwiązaniem równania y sin tdy = cos t (dy cos 2 tdt), y ( π 4 ) = 1 2. Zbadaj na jakim przedziale jest ono jednoznaczne. 1.17 Oblicz K ye xy + xe xy dy, gdzie K jest obrysem trójkąta A = (0, 0), B = (1, 1), C = ( 1, 1) zorientowanego zgodnie z ruchem wskazówek zegara. 1.18 Wyznacz równanie stycznej w punkcie (1, 1, 1) do powierzchni zadanej parametrycznie x = u + 1, y = v 1, z = 1 u 2 v 2. 1.19 Wiadomo, że rozwiązaniem cos xdy = (1 y sin x), y (π) = 0 jest funkcja y 0 (x) = sin x. Na jakim przedziale jest ono jednoznaczne? 1.20 Oblicz masę krzywej K zadanej parametrycznie x = 2 sin t cos t, y = cos 2 t sin 2 t, t 0, π 4 wiedząc, że gęstość wyraża się funkcją F (x, y) = x. 1.21 Wypisz przewidywaną postać rozwiązania szczególnego równania y + 2y + y = x (e x + sin (2x)). 1.22 Znajdź równanie przestrzeni prostopadłej do L: x := arctgt, y := arccost, z := log (x + 1) w punkcie P 0 = (0, 0, 0). 1.23 Znajdź równanie stycznej do krzywej opisanej parametrycznie x (t) := ln t, y (t) := sin π 2 t, z := cos π 2 t w punkcie (x 0, y 0, z 0 ) = (0, 1, 0). ( ) 1.24 Sprawdź czy pole wektorowe P (x, y) := ycos y, Q (x, y) := y cos y cos y ln y sin y arctgx jest poten- 1+x 2 y cjalne. 2 Całki pojedyncze 2.1 Oblicz objętość bryły obrotowej powstałej przez obrót wykresu funkcji f : 2, 3 R określonej wzorem f (x) := x 4 +3x 2 2x+3 x 3 +x 2 +2x+2 2.2 Oblicz: π 4 sin 6 x, π 4 cos 2 x 2.3 Oblicz 8 4x 4x 2 wokół osi OX. 7 2x (2x 7)( 3 7 2x+ 4 7 2x). 2.4 Niech krzywa K określona będzie układem równań parametrycznych x (t) = 6t [ 1 + 9t + 2; y (t) = 2 2 1 + 9t 1; t 1 2 3, 1 ]. 3 Oblicz długość krzywej K oraz wyraź całką (bez obliczania otrzymanej całki) pole obszaru znajdującego się pomiędzy krzywą K oraz osią OX. 2.5 Oblicz: π 2 π 2 2.6 Oblicz cos 2 x, (x 2 + 3x) ln 3 x. 1+cos x x 4 +7x 2 2x+15 x 5 +x 4 +8x 3 +8x 2 +16x+16 2.7 Niech f : [0; 1], f (x) = 1 2 x 1 2 2 2 x2 + 1. Oblicz pole powierzchni bocznej oraz wyraź całką (bez

obliczania otrzymanej całki) objętość bryły powstałej przez obrót wykresu f wokół osi OX. 2.8 Oblicz 6x 4 +11x 2 +5x. x 5 2x 4 +2x 3 4x 2 +x 2 2.9 Oblicz długość łuku krzywej zadanej układem równań parametrycznych x = t 2, y = t4 ln t łączącego 4 punkty (x 0, y 0 ) = ( 1, 4) 1 oraz (x1, y 1 ) = (4, 8 ln 2). 2.10 Oblicz 2x 2 2. x 2 +6x+10 2.11 Oblicz pole powierzchni obszaru D ograniczonego krzywymi y 3 4y 2 3y + x = 0 oraz x = 18. 2.12 Oblicz dt. 2x 7 5 2x 7 2.13 Oblicz pole powierzchni bocznej bryły obrotowej powstałej przez obrót wykresu funkcji f (x) = cos (2x), x π 4, π 4 dookoła osi OX. 2.14 (6x 2 +x+1)(x 1) x x 2 2.15 x 4 +17x 2 +82 x 6 +17x 4 +63x 2 81 2.16 Oblicz objętość bryły otrzymanej poprzez obrót wokół osi OX wykresu funkcji f : 0, 1 3 R zadanej wzorem f (x) := x. x 2 +9 2.17 Oblicz pole i obwód pętli linii x = t ln 2t + 1, y = 2t + 1, t 0, 2. 2.18 Oblicz a) b) e 2x cos ( 2 x ). 1+sin x 2.19 a) sin ( 2x ) cos (ex) ; b) 7x 2 +3x+5. x 3 +x 3 Całki wielokrotne 3.1 Oblicz objętość bryły ograniczonej walcem x 2 +y 2 = x oraz powierzchniami z = 0 i z = 1 x 2 y 2. 3.2 Niech D R 2 będzie ograniczony krzywymi y = 4 2x x 2 oraz y = 3 2x x 2. Oblicz masę profilu D jeśli wiadomo, że wykonano go z materiału o gęstości ϱ (x, y) = 0, 5. 3.3 Oblicz pole płata F (x, y) := 1 2 (x2 y 2 ) wyciętego walcem y 0, x 2 + y 2 y 3.4 Niech E będzie wielościanem o wierzchołkach ( 1, 0, 0), (1, 0, 0), ( 1, 1, 0) oraz ( 1, 0, 1). Oblicz xy (z 1) dydz. E 3.5 Niech E będzie czworokątem o wierzchołkach (0, 1), (1, 3), (0, 4) oraz ( 1, 2). Oblicz E sin(2x+y) dy. x y 3.6 Oblicz pole płata F (x, y) := 1 2 (x2 y 2 ) wyciętego walcem y x, x 2 + y 2 y. 3.7 Oblicz objętość części walca y x, x 2 +y 2 2y zawartej pomiędzy płaszczyzną z = 0 a wykresem funkcji F (x, y) := 4 x 2 y 2. 3.8 Oblicz D dy (2x y) cos 2 (0,3y 0,1x) 3.9 Oblicz D zdydz gdzie D: z 0 x, z x2 + y 2 1. gdzie D to wielokąt o wierzchołkach (3, 1), (6, 2), (7, 4) oraz (4, 3). 3.10 Oblicz D ln (y + 4) dy gdzie D: x + 3 y2, x 1 2y y 2 oraz x + 3 y. 3.11 Oblicz D zdydz gdzie D: x2 + y 2 9, y x 0, z = 0, z = 3.

3.12 Oblicz D x2 + y 2 dy gdzie D: x 2 + y 2 y. 3.13 Oblicz D zdydz gdzie D jest czworościanem o wierzchołkach (0, 0, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 1) oraz (0, 1, 1). 3.14 Oblicz objętość bryły D: z 9 x 2 y 2, z 4 x 2 y 2, z x 2 + y 2. 3.15 Oblicz masę bryły ograniczonej płaszczyznami układu współrzędnych oraz płaszczyzną 6x+4y+3z = 12 wiedząc, że gęstość wyraża się wzorem ρ (x, y, z) := 1 x+y+z. 3.16 Oblicz pole części płata z = x 2 y 2 zawartej wewnątrz walca x 2 + y 2 4, y x. 3.17 Oblicz pole części płata F (x, y) := ln x y wyciętej walcem x2 + y 2 10x, y x. 3.18 Oblicz objętość słupa 2 x + y π 4 ściętego powierzchniami z = 1, z = sin4 (y+2x) cos 2 (y 2x). 3.19 Oblicz całkę D z 2 x 2 + y 2, x 2 + y 2 + z 2 1. x 2 +y 2 +z 2 (x 2 +y 2 ) 3/2 dydz, gdzie D jest obszarem wyznaczonym przez A 3.20 Oblicz całkę D ln (3x + y + 100) sin2 (3x y) dy gdzie D to czworokąt o wierzchołkach A = (0, 0), B = ( 1, 3), C = ( 2, 0) oraz D = ( 1, 3). 3.21 Oblicz objętość bryły otrzymanej przez obrót wykresu funkcji y := e x, x 0, 1 wokół osi OX. 3.22 Oblicz całkę D ln (3x + y + 100) sin2 (3x y) dy gdzie D to czworokąt o wierzchołkach A = (0, 0), B = ( 1, 3), C = ( 2, 0) oraz D = ( 1, 3). 3.23 Oblicz całkę D oraz z 0. e x2 +y 2 +z 2 +1 x 2 +y 2 +z 2 dydz gdzie D jest wyznaczony nierównościami: 1 x2 + y 2 + z 2 4 3.24 Oblicz całkę D x2 + y 2 dydz gdzie D jest ograniczony powierzchniami x 2 + y 2 = x, z = 0 oraz z = x 2 + y 2. 4 Równania różniczkowe 4.1 Rozwiąż równanie y = 6y 9y + 18 cos (3x) z warunkiem początkowym y (0) = 5, y (0) = 8. 4.2 y + 34y = 10y + e t 6 6t + 68t 2 4.3 Garnek z zupą o temperaturze 40 wystawiono na dwór gdzie było 0. Po 20 minutach zupa miała 5. Podać po jakim czasie temperatura wody osiągnęła 35. 4.4 y + 34y = 10y + e t 6 6t + 68t 2 4.5 Basen odkryty napełniono wodą o temperaturze 30, przy temperaturze 20 na dworze. Temperatura wody po 20 minutach wynosiła -10. Podać po jakim temperatura wody osiągnęła 25. 4.6 2yy + 3x 2 y 2 = 12x 2 4.7 Studenci chcieli zrobić sobie basen z wodą morską, ale przesolili i wyszło im stężenie 22%, przy którym unosili się na powierzchni wody. Zaczęli więc dolewać czystej wody z prędkością 20 l/min (nadmiar mieszaniny wylewał się z tą samą prędkością). Po jakim czasie stężenie osiągnie pożądany poziom 3%? 4.8 2 (y ) 2 y = 1 y + y.

4.9 W celu zbadania zachowania szczepu bakterii umieszczono próbkę zawierającą 10 6 osobników na pożywce i całość wstawiono do podgrzewacza. Po godzinie okazało się, że liczba bakterii podwoiła się. Po jakim czasie populacja osiągnie 90% stanu nasycenia, jeśli wiadomo, że dla zastosowanej pożywki wynosi on 10 7 osobników. (uwaga: nie używać wykładniczego prawa wzrostu a tego uwzględniającego stan nasycenia) 4.10 y 2 (xdy y) = x 2 (3x 2 + 1) 4.11 Pan Bogacz wybudował niewielki basen obok swojej willi. Szybko okazało się, że w dnie są nieszczelności, którymi ucieka woda. W związku z tym zamontowano system monitorujący, który automatycznie dolewał czystą wodę tak aby przez cały czas w basenie było jej dokładnie 10m 3. W konsekwencji, stopniowo malało stężenie środka bakteriobójczego. W momencie w którym osiągnęło ono poziom 0,9kg/m 3 system monitoringu informował obsługę, a ta wrzucała jego kolejną porcję do basenu. Wiedząc, że obsługa wrzucała co 3 dni (=72h) 1kg środka bakteriobójczego, oblicz z jaką prędkością uciekała woda. 4.12 y + 25y = 50x, y (0) = 1, y (0) = 0 = y (0). 4.13 Studentka obudziwszy się ok. 3 w nocy (z twarzą na zbiorze zadań z analizy matematycznej), postanowiła zrobić sobie kolejną kawę. W tym celu wstawiła wodę. Czajnik po zagotowaniu wody wyłączył się automatycznie. 30min. później okazało się, że temperatura wody to 50C. Po jakim czasie (od zagotowania) studentka powinna była zalać kawę jeśli wiadomo, że dla idealnego efektu należy użyć wody o temperaturze 70 o C? Temperatura otoczenia to 20 o C. 4.14 y x+y = 2 t, y (1) = 0, y (1) = 1 4.15 Studenci szykując się do imprezy zrobili w zamrażarce ( 20 o C) wielką bryłę lodu z zagłębieniem na butelki. Jak się okazało, już po 10min. od wyjęcia (zanim włożyli cokolwiek do środka) lód nagrzał się do temperatury 5 o C. Po jakim czasie bryła osiągnie 0 o C jeśli temperatura otoczenia to 30 o C? 4.16 2y sin x + y cos x = 8y 1 sin x cos 3 x 4.17 Obrotny student postanowił każdej ze swoich przyjaciółek podarować pod choinkę króliczka. W tym celu 24.06 zakupił 20 osobników i zaczął je rozmnażać. W czasie gdy króliki króliczyły się w najlepsze student przeliczył swoje przyjaciółki. Miał ich dokładnie 120. W dniu 24.09 z przerażeniem zauważył, że ma już dokładnie tyle króliczków ile przyjaciółek. Po namyśle, postanowił kontynuować doświadczenie i rozdzielić wszystkie otrzymane króliczki po równo. Ile króliczków dostała każda z przyjaciółek studenta? (przyjmujemy, że: - wszystkie miesiące są tej samej długości; - student jest na tyle bogaty, żeby utrzymać dowolną liczbę króliczków; - wypada obdarować kogoś ułamkową częścią króliczka) 4.18 (2x 3 + x 2 3x) y = ( 2x 2 6x + 3) y, y ( ) ( 1 2 = 1,y 1 2) = 0. 4.19 Student celem polepszenia nastrojów kolegów i koleżanek siedzących w sali wykładowej umieścił olejek pomarańczowy tak, że znajdujący się tam wentylator wdmuchuje w ciągu minuty 20m 3 powietrza zawierającego 0, 002% estrów zapachowych. Po jakim czasie studenci będą mogli czuć się odświeżeni, jeżeli odpowiednie ku temu natężenie zapachu to 0, 0004%? Po jakim czasie zaczną kichać, jeżeli dzieje się to dla stężenia 0, 001%? - Sala wykładowa ma 200m 3. 4.20 (2x 3 + x 2 3x) y = ( 2x 2 6x + 3) y.

4.21 y = x y + xy x 2 1 4.22 Studenci po zakończeniu sesji zorganizowali w jednym z pokoi akademikowych libację alkoholową. O godzinie 22:00 postanowili przenieść imprezę do jednego z klubów. Niestety, w czasie wychodzenia z pokoju przewrócili jedną z niedopitych butelek. Jakie będzie stężenie alkoholu w znajdującym w pokoju powietrzu o godzinie 8:00 jeśli wiadomo, że: - z powstałej plamy w ciągu kwadransa wyparowuje 1g alkoholu; - w momencie przewrócenia butelki w pokoju unosiły się 3g alkoholu pochodzącego z wydychanego przez biesiadników powietrza; - kubatura pokoju to 10m 3 ; - w ciągu godziny przez otwarte okno wpada 1m 3 czystego powietrza. 4.23 y = 25 sin x 4 (y + y x). 4.24 Na skutek awarii do 100l zbiornika z (czystą) benzyną ekstrakcyjną dostał się 1kg chlorku sodu. W celu oczyszczenia, do zbiornika podłączono filtr usuwający 10% zanieczyszczeń z przepływającej przezeń cieczy. Oblicz po jakim czasie stężenie chlorku sodu spadnie o połowę jeśli wiadomo, że w ciągu minuty przez filtr przepływa 2l mieszaniny. 5 Całki krzywoliniowe 5.1 Wyznacz potencjał pola wektorowego P, Q : R 2 R zadanego następująco: P (x, y) := 7 e sin(πy) sin(ey)+π sin(πy) cos(ey) (e 2 π 2 ) 12 7x+1( 4 7x+1 3, 7x+1) Q (x, y) := 12 ( 6 7x + 1 + 12 7x + 1 + ln 12 7x + 1 1 ) sin (πy) cos (ey). 5.2 Punkt materialny został przesunięty wzdłuż krzywej K x (t) = t 2, y (t) = 4 t 3, z (t) = 9t od A = (0, 0, 0) do B = (1, 4, 9). Oblicz pracę jaką wykonano jeśli opór towarzyszący przemieszczeniu wyraża się 2x+18 funkcją F (x, y, z) := (36+2z+9x) 3 1. 2 y2 +9 5.3 Niech K będzie krzywą o końcach (0, 0) oraz ( 1 π, 1) zawartą w wykresie funkcji y = sin x. 2 a) Oblicz masę K wiedząc, że gęstość opisana jest funkcją F (x, y) := y cos x. b) Wypisz odpowiednie całki na współrzędne środka ciężkości (bez liczenia). 5.4 Niech K będzie krzywą o końcach (0, 0) oraz ( 1 2 π, 1) zawartą w wykresie funkcji y = sin x. Oblicz masę K wiedząc, że gęstość opisana jest funkcją F (x, y) := y cos x. 5.5 Niech K będzie krzywą dodatnio zorientowaną, składającą się z części osi OX oraz wykresu funkcji y = cos x znajdujących się pomiędzy punktami ( 1 2 π, 0) i ( 1 2 π, 0). Oblicz K y + e x dy. 5.6 Oblicz K x4 dl, gdzie K jest krzywą zamkniętą zawartą w y = ln x od punktu A = (1, 0) do 5.7 Oblicz K x 3 +x+1 x+1 dy gdzie K jest krzywą zawartą w xy = 1 o początku A = ( 2, 1 2) i końcu B = ( 1 2, 2). 5.8 Oblicz K y 3, gdzie K jest ujemnie zorientowanym okręgiem x 2 + y 2 = 8x. Sprawdź, że pole P (x, y) := e y cos x cos 2 y, Q (x, y) := e y sin x (cos 2 y 2 sin y cos y) jest potencjalne i wyznacz potencjał. 5.9 Oblicz pracę wykonaną przez pole P (x, y, z) = 1, Q (x, y, z) = e x z, R (x, y, z) = 1 przy przesunięciu

wzdłuż jednego zwoju linii śrubowej x = t, y = cos t, z = sin t. 5.10 Oblicz całkę arctg x 2 + 10 + sin (2x) dy, gdzie K jest obwodem trójkąta o wierzchołkach K A = (0, 0), B = ( 1, 3) oraz C = ( 1, 3) zorientowanym odwrotnie do ruchu wskazówek zegara. 5.11 Oblicz pracę potrzebną do przemieszczenia punktu materialnego wzdłuż paraboli 2y = 4 x 2 od punktu A = (0, 2) do B = (2, 0) jeśli wiadomo, że siła oporu wyraża się wzorem F (x, y) = x. 5.12 Przy użyciu całki krzywoliniowej oblicz pole obszaru D: x 2 + y 2 4 0 & y x.