KOMISJA BUDOWY MASZYN PAN ODDZIAŁ W POZNANIU Vol. 6 nr Archiwum Technologii Masn i Automatacji 6 ROMAN STANIEK * ZŁOŻONE RUCHY OSI OBROTOWYCH STEROWANYCH NUMERYCZNIE W artkule predstawiono ależności matematcne powalające jednonacnie określić położenie w prestreni obróbcej osi narędia głowic wrecionowej i osi predmiotu obrabianego amocowanego na stole obrotowm. Analia dotc centrum obróbkowego charakterującego się pełnmi możliwościami kinematcnmi wkorstania cech osi obrotowch. Słowa klucowe: obrabiarki sterowane numercnie, osie obrotowe, kinematka, geometria 1. WPROWADZENIE Osie obrotowe sterowane numercnie mogą bć wiąane materiałem obrabianm lub narędiem. We frearkach i frearskich centrach obróbkowch w pierwsm prpadku mówi się o stołach obrotowch, w drugim o skrętnch głowicach wrecionowch lub orientowanch wrecionach. W tokarkach i tokarskich centrach obróbkowch oś obrotowa wiąana jest tlko materiałem obrabianm i łąc casami funkcję napędu głównego posuwowm [, 3, 5]. W prpadku obróbki predmiotów o dużch gabartach na frearkach NC i centrach obróbkowch powsechne astosowanie najdują osie obrotowe wiąane narędiem, a mianowicie skrętne głowice wrecionowe i/lub sterowane obrot wreciona. W prpadku obróbki predmiotów o niewielkich gabartach najdują astosowanie osie obrotowe wiąane predmiotem, cli głównie stoł obrotowe. Najbardiej uniwersalną i najlicniejsą grupę obrabiarek stanowią układ miesane, stosowane w obróbce predmiotów głównie średniej wielkości. Wjątkiem od tej reguł są sterowane obrot wreciona predmiotowego w tokarkach sterowanch numercnie i centrach tokarskich, gdie oś C wiąana jest predmiotem obrabianm [, 3, 5]. Na rsunku 1 predstawiono podiał pocjonującch osi obrotowch wiąanch ruchem narędia, a na rs. podiał osi obrotowch wiąanch ruchem predmiotu. * Dr hab. inż. Insttut Technologii Mechanicnej Politechniki Ponańskiej.
R. Staniek OSIE OBROTOWE POZYCJONUJĄCE "wiąane narędiem" WRZECIONO (napęd główn) SKRĘTNE GŁOWICE WRZECIONOWE sterowane numercnie sterowane numercnie konwencjonalne oś sterowana (C) (funkcja napędu głównego) napędane silnikami napędu głównego nieależn napęd NC napęd mechanicn napęd ręcn ruch posuwow podiał ruch posuwow podiał ciągł dskretn ciągł dskretn Rs. 1. Podiał osi obrotowch wiąanch ruchem narędia [4] Fig. 1. The division of rotar ais connected with the tool movement [4] OSIE OBROTOWE POZYCJONUJĄCE "wiąane predmiotem" WRZECIONO (napęd główn) funkcja napędu głównego STOŁY OBROTOWE (napęd posuwow) sterowane numercnie sterowane numercnie konwencjonalne oś sterowana (C') (funkcja napędu posuwowego) nieależn napęd NC napęd mechanicn napęd ręcn ruch posuwow podiał ruch posuwow ruch posuwow skokow podiał ciągł dskretn ciągł dskretn Rs.. Podiał osi obrotowch wiąanch ruchem predmiotu [4] Fig.. The division of rotar ais connected with the workpiece movement [4]
Złożone ruch osi obrotowch sterowanch numercnie 3. MOŻLIWOŚCI KINEMATYCZNE OSI OBROTOWYCH Do sterowania łożonmi ruchami narędia i predmiotu obrabianego na obrabiarkach numercnch koniecn jest dokładn matematcn opis wajemnego położenia poscególnch osi obrabiarki. Na rsunku 3 predstawiono schemat centrum obróbkowego o pełnch możliwościach wkorstania osi obrotowch NC w akresie ruchów predmiotu i narędia. Na rsunku astosowano onacenia: 1, 3, 1 i 3 element korpusowe obrabiarki,, 4, 5,, 4 i 5 osie obrotowe, α, β, α, β kąt obrotu poscególnch osi, n wektor opisując położenie narędia (wreciona), p wektor opisując położenie predmiotu (stołu obrotowego). Prkładem takiej obróbki jest obróbka kompletna, cęsto astosowaniem techniki obróbki sbkościowej HSC, średniej wielkości predmiotów o bardo łożonch kstałtach i dużch krwinach, np. obróbka bardo głębokich form. Rs. 3. Schemat możliwości kinematcnch ruchów obrotowch wkonwanch pre narędie i predmiot w casie obróbki Fig. 3. The scheme of possibilities of kinematic rotar movements of the tool and the workpiece
4 R. Staniek Na rsunku 3 anacono również kartejańskie układ współrędnch prostokątnch, a pomocą którch opisano położenie poscególnch elementów łącącch głowicę wrecionową belką obrabiarki ora stół obrotow e stołem krżowm. W analiie nie uwględniano ruchów liniowch X, Y i Z narędia i ruchów liniowch X, Y i Z, które wkonuje predmiot. Dopiero połącenie ruchów liniowch i obrotowch daje pożądan efekt, cli sbką obróbkę predmiotów o łożonch kstałtach. Poscególne układ wiąane narędiem definiowano następująco: 1) układ O jest pierwotnm układem stwno wiąanm obrabiarką; ) układ O 1 1 1 1 jest układem wiąanm trwale łącnikiem; otrma się go, gd obrócon ostanie układ O 1 o osiach równoległch do układu pierwotnego i pocątku w punkcie O 1 dookoła osi o kąt α; obrót o kąt α wkonwan jest na obrotnic pionowej; 3) układ O, wiąan stwno łącnikiem, powstaje w wniku obrotu o kąt ϕ = π/4 wokół osi 1 układu O 1 1 1, którego osie są odpowiednio równoległe do osi układu O 1 1 1 1, a pocątek najduje się w punkcie O ; układu O 1 1 1 nie pokaano na rs. 3; 4) układ O 3 3 3 3, wiąan trwale głowicą wrecionową, powstaje w wniku obrotu o kąt β dookoła osi układu O 3 (nieuwidocnion na rs. 3) o osiach odpowiednio równoległch do układu O i pocątku w punkcie O 3 ; obrót o kąt β wkonwan jest na obrotnic skośnej. Zdefiniowano maciere obrotu prporądkowane transformacjom ortogonalnm pomięd określonmi układami współrędnch. I tak, macier obrotu A 1 cosα = sinα 1 sinα cosα opisuje transformację międ układami O 1 ora O 1 1 1 1, a macier obrotu (1) 1 A 1 = () transformację międ układami O 1 1 1 ora O.
Złożone ruch osi obrotowch sterowanch numercnie 5 Z kolei macier obrotu o postaci: A 3 cosβ = sinβ 1 sinβ cosβ opisuje transformację międ układami O 3 ora O 3 3 3 3. Położenie osi głowic wrecionowej w prestreni określono a pomocą wektora jednostkowego n. Wektor ten w każdm wprowadonch wżej układów współrędnch ma inną repreentację. W układie O 3 3 3 3, uwagi na ukstałtowanie głowic wględem osi obrotnic skośnej (tj. osi O 3 3 ), postać wektora n jest następująca: (3) n = j k (4) Z punktu widenia operacji, która ma bć wkonwana, ważne jest ustalenie osi głowic wrecionowej w układie pierwotnm, trwale wiąanm obrabiarką. Istotne są atem współrędne wektora n wględem układu O. Onacając te współrędne pre n, n, n, wektor n w układie O można apisać następująco: n = n i+ n j+ n k (5) Współrędne wektora jednostkowego n w obu układach, tn. O ora O 3 3 3 3, powiąane są następującą relacją: = A A 3 1 A 1 Ilocn definiowanch wceśniej macier obrotu A 3 A1 A 1 opisuje łożoną transformację ortogonalną prowadącą od układu O 3 (o osiach odpowiednio równoległch do osi układu O ) do układu O 3 3 3 3. Transformację tę uskuje się w wniku trech elementarnch obrotów o kąt: α, ϕ = π/4 ora β. Rowiąując równanie macierowe (6), e wględu na postać wektora n w układie O otrmano: n n n (6)
6 R. Staniek T T n n n T T T T = A 1 A1 A 3 (7) gdie: A 1, A1, A 3 są macierami transponowanmi do macier obrotu. Zależności transformacjne (7) stanowią podstawę do określenia wiąków ujmującch jednocesną ależność kąta pochlenia głowic wrecionowej frearki od kątów opisującch ustawienie obrotnic pionowej i obrotnic skośnej. Po uwględnieniu w równaniu (7) postaci (1) (3) macier obrotu otrmuje się następując układ równań: n n n cosα sin β cos β + 1 = sinα 1 cos β = sinα sin β cos β + 1 = cosα Współrędne: n, n i n jednostkowego wektora n są kosinusami kierunkowmi osi głowic wrecionowej skierowanej, jak pokaano na rs. 3, wględem stwno wiąanego obrabiarką układu pierwotnego O. Określają one atem położenie gór adane dla konkretnej operacji wkonwanej na obrabiarce. Z punktu widenia operatora istotn jest sposób osiągnięcia tego położenia pre dobranie stosownch wartości kątów obrotu α i β na obu obrotnicach. Z drugiego równania układu (8) najdujem kąt β, któr należ ustawić na obrotnic skośnej: (8) cos β = 1 n (9) Po podstawieniu woru (9) do poostałch równań układu (8) i rowiąaniu ich następnie wględem cos α otrmano: ( n 1) n n n ( 1 n ) cosα = (1) n + n Z anali ależności (1) wnika, że współrędna n, a ależności (9) i (1) stanowią rowiąanie postawionego problemu. Gd celowe jest wmiarowanie położenia osi głowic w stosunku do płascn układu współrędnch O, należ prjąć następującą interpretację:
Złożone ruch osi obrotowch sterowanch numercnie 7 n jest sinusem kąta pomięd osią głowic a płascną O, n jest sinusem kąta pomięd osią głowic a płascną O, n jest sinusem kąta pomięd osią głowic a płascną O. Predstawione ależności mogą bć wkorstane do oblicenia ustawienia osi wreciona w dowolnm położeniu w głowicach wrecionowch arówno konwencjonalnch, jak i sterowanch numercnie podiałem ciągłm i dskretnm. Podobn tok roumowania preprowadono w prpadku predmiotu obrabianego i osi obrotowch nim wiąanch. Poscególne układ wiąane predmiotem definiowano następująco: 1) układ O jest pierwotnm układem stwno wiąanm obrabiarką; ) układ O 1 1 1 1 jest układem wiąanm trwale łącnikiem 3 ; układ ten otrma się, gd obrócim układ O 1 o osiach równoległch do układu pierwotnego i pocątku w punkcie O 1 dookoła osi o kąt α ; obrót o kąt α wkonwan jest na obrotnic poiomej ; 3) układ O, wiąan stwno łącnikiem, powstaje w wniku obrotu o kąt ϕ = π/4 wokół osi 1 układu O 1 1 1, którego osie są odpowiednio równoległe do osi układu O 1 1 1 1, a pocątek najduje się w punkcie O ; układu O 1 1 1 nie pokaano na rs. 3; 4) układ O 3 3 3 3, wiąan trwale korpusem stołu obrotowego umiesconego na obrotnic skośnej 4, powstaje w wniku obrotu o kąt β dookoła osi układu O 3 (nieuwidocnion na rs. 3) o osiach odpowiednio równoległch do układu O i pocątku w punkcie O 3 ; obrót o kąt β wkonwan jest na obrotnic skośnej 4. Zdefiniowano maciere obrotu prporądkowane transformacjom ortogonalnm pomięd określonmi układami współrędnch układu predmiotowego. I tak, macier obrotu cosα sinα A = 1 sinα cosα (11) 1 opisuje transformację międ układami O 1 ora O 1 1 1 1, a macier obrotu 1 A 1 = (1) transformację międ układami O 1 1 1 ora O.
8 R. Staniek Z kolei macier obrotu cosβ sin β A = 3 sin β cos β (13) 1 opisuje transformację międ układami O 3 ora O 3 3 3 3. Położenie osi predmiotu obrabianego w prestreni określono a pomocą wektora jednostkowego p. Wektor ten w każdm wprowadonch wżej układów współrędnch ma inną repreentację. W układie O 3 3 3 3 uwagi na ustuowanie stołu obrotowego wględem osi obrotnic skośnej (tj. osi O 3 3 ) postać wektora p jest następująca: p = j + k (14) Z punktu widenia operacji, która ma bć wkonwana, ważne jest ustalenie osi predmiotu obrabianego w układie pierwotnm, trwale wiąanm korpusem obrabiarki. Istotne są atem współrędne wektora p wględem układu O. Onacając te współrędne pre p, p, p, wektor p w układie O można apisać następująco: p = p i+ p j+ p k (15) Współrędne wektora jednostkowego p w obu układach, tn. O ora O 3 3 3 3 powiąane są następującą relacją: = A A 3 1 A p 1 p p (16) Ilocn definiowanch wceśniej macier obrotu A 3 A1 A 1 opisuje łożoną transformację ortogonalną prowadącą od układu O 3 (o osiach odpowiednio równoległch do osi układu O ) do układu O 3 3 3 3. Transformacja ta jest dokonwana popre tr elementarne obrot o kąt: α, ϕ = = π/4 ora β. Po rowiąaniu równania macierowego (16) e wględu na postać wektora p w układie O otrmuje się:
Złożone ruch osi obrotowch sterowanch numercnie 9 p T T T = p A1 A1 A3, (17) p T T T gdie: A 1, A 1, A 3 są macierami transponowanmi do macier obrotu. Zależności transformacjne (17) stanowią podstawę do ustalenia wiąków ujmującch jednocesną ależność kąta pochlenia osi stołu obrotowego obrabiarki od kątów opisującch ustawienie obrotnic poiomej i obrotnic skośnej. Po uwględnieniu w równaniu (17) postaci (11) (13) macier obrotu otrmuje się następując układ równań: p p p 1 cos β = sinα cos β 1 = cosα cos β + 1 = cosα sin β sinα sin β (18) Współrędne p, p, p jednostkowego wektora p są kosinusami kierunkowmi osi predmiotu obrabianego umiesconego na tarc stołu orientowanego wględem stwno wiąanego obrabiarką układu pierwotnego O. Określają one atem położenie gór adane do konkretnej operacji wkonwanej na obrabiarce. Z punktu widenia operatora istotn jest sposób osiągnięcia tego położenia pre dobranie stosownch wartości kątów obrotu α i β na obu obrotnicach. Z treciego równania układu (18) można wnacć kąt β, któr należ ustawić na obrotnic skośnej: cos β = p 1. (19) Po podstawieniu woru (19) do poostałch równań układu (18) i rowiąaniu ich następnie wględem cosα otrma się ależność postaci: ( 1 p ) + p ( 1 p ) p p cosα =. () p 1 Z ależności () wnika, że współrędna p, a ależności (19) i () stanowią rowiąanie postawionego problemu. Gd celowe jest wmiarowanie położenia osi predmiotu w stosunku do płascn układu współrędnch O, to należ prjąć następującą interpretację:
1 R. Staniek n jest sinusem kąta pomięd osią predmiotu a płascną O, n jest sinusem kąta pomięd osią predmiotu a płascną O, n jest sinusem kąta pomięd osią predmiotu a płascną O. 3. PODSUMOWANIE Osie obrotowe sterowane numercnie wiąane predmiotem (stoł obrotowe) i narędiem (głowice wrecionowe) nacąco ułatwiają obróbkę cęści o łożonch powierchniach. Dięki naturalnej kombinacji (kojarenia) ruchów obrotowch i liniowch programowanie obróbki tch cęści decdowanie się uprasca. Predstawione ależności matematcne mogą bć wkorstane do opisu ustawienia osi wreciona i osi predmiotu obrabianego w dowolnm położeniu w głowicach wrecionowch i stołach obrotowch arówno konwencjonalnch, jak i sterowanch numercnie. Mogą bć wkorstane do pocjonowania ciągłego i dskretnego. W praktce ależności tch korstała firma JAFO S.A. Jarocin do oblicania położenia osi wreciona w -skrętnej głowic wrecionowej tpu Hure pocjonowaniem dskretnm a pomocą połąceń Hirtha. LITERATURA [1] Karaśkiewic E., Zars teorii wektorów i tensorów, Warsawa, PWN 1971. [] Kosmol J., Automatacja obrabiarek i obróbki skrawaniem, Warsawa, PWN. [3] Ocoś K.E., Zwięksenie efektwności obrabiarek skrawającch. Cęść I i II, Mechanik, 4, nr i 3, s. 49 56 i s. 16 131. [4] Staniek R., Stoł obrotowe sterowane numercnie. Podstaw teoretcne, konstrukcja, technologia i badania, Ponań, Wd. Politechniki Ponańskiej 5, ISBN 83-7143-1-. [5] Wrotn L.T., Prewidwania kierunku rowoju obrabiarek do obróbki ubtkowej w Polsce, Mechanik, 199, nr 9/1, s. 97 3. Praca wpłnęła do Redakcji 11.4.6 Recenent: prof. dr hab. inż. Jan Żurek RESULTANT MOTION OF NUMERICAL CONTROLLED ROTARY AXIS S u m m a r In that article the mathematical dependencies allowing to calculate the location of the tool and the, mounted on a rotar table, workpiece aes in the machine tool space are presented. The machine tool is intended to be able to use all the possibilities of its rotar aes. Ke words: NC machine tools, rotar aes, kinematic, geometr