Analiza matematyczna 1 Marcin Styborski Katedra Analizy Nieliniowej pok. 610E (gmach B) marcins@mif.pg.gda.pl www.mif.pg.gda.pl/homepages/marcins () 28 września 2010 1 / 10
Literatura podstawowa R. Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej, Wydawnictwo Naukowe PWN 2006 W. Kryszewski, Wykład analizy matematycznej. Część I. Funkcje jednej zmiennej, Wydawnictwo Naukowe UMK W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, Wydawnictwo Naukowe PWN 2009 K. Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN 1964 () 28 września 2010 2 / 10
Literatura uzupełniająca G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, Tom 1, Wydawnictwo Naukowe PWN 2007 W. Kołodziej, Analiza matematyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN 2009 K. Maurin, Analiza, Tom 1, Wydawnictwo Naukowe PWN 2010 () 28 września 2010 3 / 10
Iloczyn kartezjański Parą uporządkowaną o poprzedniku a i następniku b nazywamy zbiór (a, b) := {{a}, {a, b}}. () 28 września 2010 4 / 10
Iloczyn kartezjański Parą uporządkowaną o poprzedniku a i następniku b nazywamy zbiór (a, b) := {{a}, {a, b}}. Iloczynem kartezjańskim zbiorów X i Y nazywamy zbiór X Y := {(x, y) x X y Y }. () 28 września 2010 4 / 10
Relacje Dowolny podzbiór R iloczynu X Y nazywamy relacją. () 28 września 2010 5 / 10
Relacje Dowolny podzbiór R iloczynu X Y nazywamy relacją. Niektóre typy relacji R X X : zwrotna x X (x, x) R symetryczna x, y X (x, y) R (y, x) R przechodnia x, y, z X [(x, y) R (y, z) R] (x, z) R () 28 września 2010 5 / 10
Relacje Dowolny podzbiór R iloczynu X Y nazywamy relacją. Niektóre typy relacji R X X : zwrotna x X (x, x) R symetryczna x, y X (x, y) R (y, x) R przechodnia x, y, z X [(x, y) R (y, z) R] (x, z) R () 28 września 2010 5 / 10
Relacje Dowolny podzbiór R iloczynu X Y nazywamy relacją. Niektóre typy relacji R X X : zwrotna x X (x, x) R symetryczna x, y X (x, y) R (y, x) R przechodnia x, y, z X [(x, y) R (y, z) R] (x, z) R () 28 września 2010 5 / 10
Funkcje Funkcją określoną na zbiorze X i o wartościach w zbiorze Y nazywamy relację f X Y spełniającą następujące warunki: x X y Y (x, y) f x X y, z Y [(x, y) f (x, z) f ] y = z. () 28 września 2010 6 / 10
Funkcje Funkcją określoną na zbiorze X i o wartościach w zbiorze Y nazywamy relację f X Y spełniającą następujące warunki: x X y Y (x, y) f x X y, z Y [(x, y) f (x, z) f ] y = z. () 28 września 2010 6 / 10
Funkcje Funkcją określoną na zbiorze X i o wartościach w zbiorze Y nazywamy relację f X Y spełniającą następujące warunki: x X y Y (x, y) f x X y, z Y [(x, y) f (x, z) f ] y = z. () 28 września 2010 6 / 10
Funkcje Funkcją określoną na zbiorze X i o wartościach w zbiorze Y nazywamy relację f X Y spełniającą następujące warunki: x X y Y (x, y) f x X y, z Y [(x, y) f (x, z) f ] y = z. Oznaczenie: f : X Y Jeśli x 0 X, to jedyny element y 0 Y taki, że (x 0, y 0 ) f oznaczać będziemy y 0 = f (x 0 ). X - dziedzina funkcji f Y - przeciwdzedzina funkcji f () 28 września 2010 6 / 10
Funkcje: obraz i przeciwobraz Niech f : X Y będzie funkcją, A X oraz B Y Obrazem zbioru A poprzez f jest zbiór f (A) := {y Y x A y = f (x)} Przeciwobrazem zbioru B poprzez f jest zbiór f 1 (B) := {x X f (x) B} () 28 września 2010 7 / 10
Funkcje: obraz i przeciwobraz Niech f : X Y będzie funkcją, A X oraz B Y Obrazem zbioru A poprzez f jest zbiór f (A) := {y Y x A y = f (x)} Przeciwobrazem zbioru B poprzez f jest zbiór f 1 (B) := {x X f (x) B} () 28 września 2010 7 / 10
Funkcje: obraz i przeciwobraz Niech f : X Y będzie funkcją, A X oraz B Y Obrazem zbioru A poprzez f jest zbiór f (A) := {y Y x A y = f (x)} Przeciwobrazem zbioru B poprzez f jest zbiór f 1 (B) := {x X f (x) B} () 28 września 2010 7 / 10
Funkcje c.d. Funkcja f : X Y jest injekcją lub różnowartościowa, jeżeli x, x X, x x f (x) f (x ) surjekcją lub na jeżeli y Y x X, y = f (x) bijekcją lub 1-1 jeżeli jest jednocześnie injekcją i surjekcją. () 28 września 2010 8 / 10
Funkcje c.d. Funkcja f : X Y jest injekcją lub różnowartościowa, jeżeli x, x X, x x f (x) f (x ) surjekcją lub na jeżeli y Y x X, y = f (x) bijekcją lub 1-1 jeżeli jest jednocześnie injekcją i surjekcją. () 28 września 2010 8 / 10
Funkcje c.d. Funkcja f : X Y jest injekcją lub różnowartościowa, jeżeli x, x X, x x f (x) f (x ) surjekcją lub na jeżeli y Y x X, y = f (x) bijekcją lub 1-1 jeżeli jest jednocześnie injekcją i surjekcją. () 28 września 2010 8 / 10
Funkcje c.d. Funkcja f : X Y jest injekcją lub różnowartościowa, jeżeli x, x X, x x f (x) f (x ) surjekcją lub na jeżeli y Y x X, y = f (x) bijekcją lub 1-1 jeżeli jest jednocześnie injekcją i surjekcją. () 28 września 2010 8 / 10
Funkcje c.d. Niech f : X Y i g : Y Z będą funkcjami. Złożeniem funkcji f i g nazywamy funkcję g f : X Z zdefiniowaną wzorem (g f )(x) := g(f (x)). Mówimy, że funkcja f : X Y jest odwracalna, jeżeli istnieje funkcja g : Y X, taka że x X g f (x) = x y Y f g(y) = y. Funkcję g nazywamy funkcją odwrotną do f () 28 września 2010 9 / 10
Funkcje c.d. Twierdzenie Funkcja f : X Y jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest bijekcją. Wniosek Jeśli f jest odwracalna, to funkcja do niej odwrotna jest tylko jedna. () 28 września 2010 10 / 10