Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 B D D B A C A A B A D D C D C B D B C C Zadanie (pkt) Schemat oceniania zadań otwartych ( x ) Rozwiąż nierówność ( x ) ( x) x Stosując wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów oraz wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy nierówność możemy zapisać w postaci równoważnej x x x x Przekształcając tę nierówność dostajemy kolejno x x x x 0, x 0, x Odpowiedź: x, Zdający otrzymuje pkt gdy poprawnie zastosuje oba wzory skróconego mnożenia zapisując nierówność w postaci np x x x x i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd Zdający otrzymuje pkt gdy poda zbiór rozwiązań nierówności:, lub x, lub x Zadanie ( pkt) Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f ( x) x x c do prostej o równaniu y x Oblicz wartość współczynnika c Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f jest równa b xw a Drugą współrzędna wierzchołka jest równa y f x f c c c w w Ponieważ wierzchołek paraboli leży na prostej o równaniu y x, więc czyli Stąd c 9 Odpowiedź: c 9 y w x w c należy

Uwaga Drugą współrzędną wierzchołka paraboli możemy obliczyć wykorzystując wzór c c y w Wtedy mamy yw c a Możemy również wzór funkcji f zapisać w postaci kanonicznej f x x c, z której odczytujemy obie współrzędne wierzchołka paraboli xw i yw c Zdający otrzymuje pkt gdy: obliczy pierwszą współrzędną wierzchołka i wyznaczy drugą współrzędną w zależności od c, np xw i yw c albo obliczy pierwszą współrzędną wierzchołka i wykorzystując informację, że wierzchołek paraboli leży na prostej o równaniu y x, obliczy drugą współrzędną wierzchołka: xw i yw i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje pkt gdy obliczy wartość współczynnika c: c 9 Zadanie (pkt) Zapisz wielomian W x x x 6x 6 w postaci iloczynowej Uzasadnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność Wx 0 Grupując wyrazy możemy wielomian W zapisać w postaci W x x x 6x 6 x x 6 x x x 6 x x x x x Dla każdej liczby rzeczywistej nieujemny, więc x x x czynnik 0, co należało uzasadnić x jest dodatni, a czynnik x jest Zdający otrzymuje pkt gdy zapisze wielomian w postaci lub W x x x lub W x x 6 x W x x x x Zdający otrzymuje pkt gdy uzasadni, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność x x 0 Zadanie (pkt) Krótsza przekątna równoległoboku jest prostopadła do dwóch przeciwległych jego boków Długość tej przekątnej jest o cm większa od długości krótszego boku i o cm mniejsza od długości dłuższego boku Oblicz długość dłuższej przekątnej tego równoległoboku

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku D x C Wówczas AD x i AB x Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ADB otrzymujemy AB AD DB, co pozwala napisać równanie x x x Rozwiązując je dostajemy x 6x 9 x 6x 9 x, x x Ponieważ x 0, więc dzieląc obie strony równania przez x mamy x Zatem AD 9 Przekątne równoległoboku połowią się, więc BM DM 6 oraz AM MC Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ADM obliczamy połowę długości przekątnej AC AM AD DM, Stąd Przekątna AC ma zatem długość 6 A AM 9 6 7 AM 7 Odpowiedź: Długość dłuższej przekątnej tego równoległoboku jest równa 6 Uwaga Długość dłuższej przekątnej równoległoboku możemy też obliczyć inaczej Poprowadźmy wysokość równoległoboku z wierzchołka A na prostą BC tak, jak na rysunku poniżej A D Czworokąt AEBD jest prostokątem, więc AE DB oraz EB AD 9 Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta AEC obliczamy długość przekątnej AC AC AE EC, M E B B 9 9 C

Stąd AC 8 68 AC 68 6 Zdający otrzymuje pkt gdy zapisze równanie z jedną niewiadomą wiążące długości boków równoległoboku i długość krótszej przekątnej, np: x x x, gdzie x oznacza długość krótszej przekątnej równoległoboku Zdający otrzymuje pkt gdy obliczy długość dłuższej przekątnej równoległoboku: 68 6 Zadanie 5 (pkt) Wewnątrz kwadratu ABCD wybrano takie punkty M i N, że trójkąty ABM i BCN są równoboczne (zobacz rysunek) Udowodnij, że trójkąt DNM jest równoboczny D M C N A B Dowód D M C N A Ponieważ AD AM AB BN BM BC CN CD, więc trójkąty DAM, NBM i NCD są równoramienne Pokażemy, że są to trójkąty przystające Ponieważ DAB 90 i MAB 60, więc DAM 90 60 0 Tak samo wykazujemy, że ABN ABC NBC 90 60 0, B

MBC ABC ABM 90 60 0, NCD BCD BCN 90 60 0 Teraz możemy obliczyć miarę kąta NBM NBM ABC ABN MBC 90 0 0 0 Pokazaliśmy zatem, że w każdym z trójkątów DAM, NBM i NCD dwa boki mają tę samą długość i kąt między tymi bokami ma tę samą miarę 0 Stąd wynika (cecha bok-kąt-bok), że są to trójkąty przystające Z przystawania tych trójkątów wynika z kolei równość DM MN ND, co oznacza, że trójkąt DNM jest równoboczny To kończy dowód Zdający otrzymuje pkt gdy zapisze, że trójkąty DAM, NBM i NCD są przystające i nie uzasadni tego przystawania oraz wywnioskuje, że trójkąt DMN jest równoboczny Zdający otrzymuje pkt gdy udowodni, że trójkąt DMN jest równoboczny Zadanie 6 (pkt) Pierwszy odcinek łamanej ma długość 8 cm, a długość każdego następnego jej odcinka jest o 5% mniejsza od długości poprzedniego Najkrótszy odcinek tej łamanej ma długość 0,5 cm Oblicz, z ilu odcinków składa się ta łamana Oznaczmy przez a n długość n-tego odcinka łamanej Ponieważ każdy kolejny odcinek łamanej jest o 5% krótszy od poprzedniego, więc an an 5% an an Oznacza to, że długości kolejnych odcinków łamanej tworzą ciąg geometryczny o ilorazie q n Ponieważ a 8, an 0, więc ze wzoru an a q na n-ty wyraz ciągu geometrycznego otrzymujemy równanie Stąd mamy 0 8 8 8 8 56 5 n n n n Zatem n, czyli n 5 Odpowiedź: Łamana składa się z pięciu odcinków Uwaga Możemy po kolei obliczać długości kolejnych odcinków łamanej Wtedy drugi odcinek ma długość 8 5% 8 8 96, trzeci 96 5% 96 96 7, czwarty 8 7 5% 7 7 5, piąty 5 5% 5 5 0,5 Kolejne odcinki są coraz krótsze, więc łamana składa się z pięciu odcinków,,

Zdający otrzymuje pkt gdy zapisze, że długości kolejnych odcinków łamanej tworzą ciąg geometryczny o ilorazie q Zdający otrzymuje pkt gdy obliczy liczbę odcinków łamanej Zadanie 7 (pkt) Ze zbioru,,, 5, 6, 7, 8 losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie bez zwracania Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że iloczyn wylosowanych liczb będzie podzielny przez 6 lub przez 0 Pierwszy sposób Możemy przyjąć, że zdarzeniem elementarnym jest uporządkowana para liczb xy, taka, że xy,,,, 5, 6, 7, 8 i x y Wówczas mamy do czynienia z modelem klasycznym, w którym,,,,,5,,6,,7,,8,,,,,,5,,6,,7,,8, 5,, 5,, 5,, 5,6, 5,7, 5,8, 6,, 6,, 6,, 6,5, 6,7, 6,8, 7,, 7,, 7,, 7,5, 7,6, 7,8, 8,, 8,, 8,, 8,5, 8,6, 8,7 } {,,,,,5,,6,,7,,8, Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa 7 6 Niech A oznacza zdarzenie, że wylosujemy taką parę liczb, że ich iloczyn będzie podzielny przez 6 lub przez 0 Wypiszmy wszystkie takie pary ze zbioru Zatem Tych par jest, czyli A,,,7,,8,,,,,,5,,6,,7,,8,,,,,,5,,6,,7,,8, 5,, 5,, 5,, 5,6, 5,7, 5,8, 6,, 6,, 6,, 6,5, 6,7, 6,8, 7,, 7,, 7,, 7,5, 7,6, 7,8, 8,, 8,, 8,, 8, 5, 8, 6, 8, 7 } A {,,,5,,6, Prawdopodobieństwa zdarzenia A jest zatem równe P A 7 Odpowiedź: Prawdopodobieństwo wylosowania pary liczb, których iloczyn jest podzielny przez 6 lub przez 0 jest równe 7 6

Uwaga Możemy również zdarzenia wszystkie zdarzenia elementarne potraktować jako pola odpowiedniej tabeli (lewa tabela) W pola tej tabeli możemy wpisać odpowiednie iloczyny W ten sposób od razu widzimy zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A (prawa tabela) Możemy też zaznaczyć w prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie wszystkie zdarzenia elementarne (lewy rysunek) oraz zaznaczyć na tym rysunku te, które sprzyjają zdarzeniu A (prawy rysunek) 9 8 7 6 y 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 6 8 0 6 6 5 8 8 0 8 5 0 5 0 0 5 0 6 8 0 8 7 8 5 56 8 6 0 8 56 9 8 7 6 y 5 5 5 6 7 8 9 x 5 6 7 8 9, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych: 7 6, w którym jest istotny postęp pkt Wypisanie co najmniej zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A, przy czym wśród wypisanych par nie może być żadnej pary nie sprzyjającej zdarzeniu A Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A: A pełne pkt Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P A 7 x Drugi sposób Możemy przyjąć, że zdarzeniem elementarnym, jest dwuelementowy podzbiór xy, zbioru siedmioelementowego,,, 5, 6, 7, 8 Wówczas mamy do czynienia z modelem klasycznym, w którym 7

,,,5,,6,,7,,8,,5,,6,,7,,8, 5,6, 5,7, 5,8, 6,7, 6,8, 7,8 } {,,,,,5,,6,,7,,8, Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa Niech A oznacza zdarzenie, że wylosujemy takie liczby, że ich iloczyn będzie podzielny przez 6 lub przez 0 Wypiszmy wszystkie zdarzenia elementarne, które sprzyjają zdarzeniu A Wtedy A {,,,5,,6,,,,6,,8,,5,,6, 5,6, 5,8 6,7, 6,8 }, Mamy takie zdarzenia, czyli A Prawdopodobieństwa zdarzenia A jest zatem równe P A 7 Odpowiedź: Prawdopodobieństwo wylosowania pary liczb, których iloczyn jest podzielny przez 6 lub przez 0 jest równe 7, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych:, w którym jest istotny postęp pkt Wypisanie co najmniej 7 zdarzeń elementarnych sprzyjający zdarzeniu A, przy czym wśród wypisanych zdarzeń elementarnych nie może być żadnego nie sprzyjającego zdarzeniu A Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A: A pełne pkt Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P A 7 Zadanie 8 (5pkt) Wierzchołki trójkąta ABC mają współrzędne: A,7, B, i C,5 Punkt S jest środkiem boku BC Prosta AS przecina prostą do niej prostopadłą i przechodzącą przez punkt B w punkcie E Oblicz współrzędne punktu E i długość odcinka SE A y 9 8 7 6 5-5 - - - - 5 6 7 8 9 0 - B - - - -5 C E S x 8

Obliczmy najpierw współrzędne środka S odcinka BC 5 S, 5, Wyznaczmy równanie prostej AS wykorzystując wzór y ya xs xa ys ya x xa 0 y 75 7x 0, 9 y 7 6x 0, 9 : x y 0, y x Prosta prostopadła do prostej AS i przechodząca przez punkt B ma więc równanie y x, y x Współrzędne punktu E obliczymy rozwiązując układ równań y x y x Porównując prawe strony równań dostajemy równanie x x, 9x x 6, x 6, x Stąd y Zatem E, Pozostaje jeszcze obliczyć długość odcinka SE SE xe xs ye ys Odpowiedź E,, SE 5, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt S 5, Obliczenie współrzędnych punktu S:, w którym jest istotny postęp pkt Wyznaczenie równania prostej AS, np w postaci: y x Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Wyznaczenie równania prostej BE, np w postaci: y x zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt E, Obliczenie współrzędnych punktu E: pełne 5 pkt Obliczenie długość odcinka SE: SE

Zadanie 9 (pkt) Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego (zobacz rysunek) jest równe 60 Krótsza przekątna tego graniastosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt taki, że tg Oblicz długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku Zaznaczmy kąt między krótszą przekątną AO graniastosłupa a płaszczyzną jego podstawy P O K L M h N B C Podstawa graniastosłupa jest złożona z sześciu przystających trójkątów równobocznych o boku długości a Odcinki AT i TE to wysokości dwóch z tych trójkątów Zatem a AE a Trójkąt AOE jest prostokątny Zatem tg OE h AE a Ponieważ wiemy, że tg, więc h, a h a Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa jest równe 60, ale więc a Pc Pp Pb 6 6ah a 6ah, a 6ah 60, a ah 0 Wykorzystując wcześniej otrzymaną zależność między a i h otrzymujemy równanie a a a 0, Stąd a A a 5a 0, a Odpowiedź: Długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa jest równa F T S E D 0

Rozwiązania zadań otwartych i schematy punktowania, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zaznaczenie kąta nachylenia krótszej przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny jego podstawy i zapisanie jednej z zależności między długością podstawy oraz wysokością graniastosłupa, np: h a h lub 6 6ah 60 lub ( a p i a p ) Uwaga Zdający nie musi zaznaczać tego kąta, o ile przyjmie oznaczenia potrzebnych mu długości odcinków, opisze te oznaczenia, a z dalszego toku rozwiązania wynika, że poprawnie interpretuje kąt nachylenia krótszej przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny jego podstawy, w którym jest istotny postęp pkt Zapisanie układu równań, z którego można otrzymać równanie z jedną niewiadomą, np: a 6 6ah 60 i h a Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie równania z jedną niewiadomą, np: a a a 0 bezbłędne pkt Obliczenie długości krawędzi podstawy graniastosłupa: a Zadanie 0 (5pkt) Do zbiornika o pojemności 800 m można doprowadzić wodę dwiema rurami W ciągu jednej godziny pierwsza rura dostarcza do zbiornika o m wody więcej niż druga rura Czas napełniania zbiornika tylko pierwszą rurą jest o godzin i 0 minut krótszy od czasu napełniania tego zbiornika tylko drugą rurą Oblicz, w ciągu ilu godzin pusty zbiornik zostanie napełniony, jeśli woda będzie doprowadzana przez obie rury jednocześnie Pierwszy sposób Oznaczmy przez t czas w godzinach, w jakim napełni się pusty zbiornik, gdy woda będzie doprowadzana do niego tylko pierwszą rurą Wtedy czas, w jakim napełniony zostałby pusty zbiornik, gdyby woda doprowadzana była do niego tylko drugą rurą byłby równy ( t ) godziny Ponieważ pojemność zbiornika jest równa 800 m, więc w ciągu jednej godziny pierwsza rura dostarcza 800 m 800, a druga m wody Pierwsza rura w ciągu godziny dostarcza o t t m więcej wody niż druga rura 800 800 t t Dzieląc obie strony tego równania przez mamy 5 5 t t Mnożąc teraz obie strony tego równania przez tt, a następnie przekształcając je równoważnie, dostajemy kolejno 5 t 5t t t,

65 5 5t 5t t t, 5 65 t t 0, t 5t 65 0 Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe obliczając kolejno jego wyróżnik i pierwiastki 5 65 65 865 9 65, 9 65 5 75 5 75 5 75 5 t 5 lub t Pierwsze z otrzymanych rozwiązań nie spełnia warunków zadania (czas nie może być liczbą ujemną) 800 800 Gdy t, to wtedy w ciągu godziny pierwsza rura dostarcza 6 m wody, t 800 800 a druga m, więc obie rury w ciągu godziny dostarczają 6 96 m t 5 wody Stąd czas, w jakim pusty zbiornik zostanie napełniony, jeśli woda będzie 800 5 doprowadzana przez obie rury jednocześnie jest równy 8 godziny, czyli 96 8 godzin i 0 minut pierwszego sposobu rozwiązania, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zapisanie zależności między pojemnością zbiornika, czasem jego napełniania przez jedną z rur i wydajnością tej rury, np: W ciągu jednej godziny pierwsza rura dostarcza 800 m t, w którym jest istotny postęp pkt Zapisanie zależności między pojemnością zbiornika, czasem jego napełniania przez drugą z rur i wydajnością tej rury, np: 800 W ciągu jednej godziny druga rura dostarcza m t Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie równania z jedną niewiadomą, np: 800 800 t t zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt Doprowadzenie do równania kwadratowego z jedną niewiadomą, np: t 5t 65 0 bezbłędne 5 pkt Obliczenie czasu, w jakim pusty zbiornik zostanie napełniony, gdy woda będzie doprowadzana przez obie rury jednocześnie: 8 godzin i 0

Drugi sposób Oznaczmy przez t czas w godzinach, w jakim napełni się pusty zbiornik, gdy woda będzie doprowadzana do niego tylko pierwszą rurą, natomiast przez v oznaczmy ilość wody w m dostarczanej do zbiornika tą rurą Wtedy czas w godzinach, w jakim napełni się pusty zbiornik, gdy woda będzie doprowadzana do niego tylko drugą rurą jest równy ( t ) godziny, natomiast w ciągu godziny druga rura dostarcza ( v ) m wody Pojemność zbiornika jest równa 800 m, więc otrzymujemy układ równań Rozwiązujemy ten układ Stąd vt 800 v t 800 vt 800, vt v t 00 800 vt 800, 800 v t 00 800 vt 800, v t 00 0 vt 800 5 5 t v 6 5 5 v v 800, 6 5 5 v v 800 0 6 Mnożąc obie strony równania przez 6 otrzymujemy równanie 5 v v6 0 Możemy je rozwiązać np metodą grupowania v v v 6 6 0, v v v 6 6 0, v v 6 0 Ponieważ z warunków zadania wynika, że v 0, więc czynnik v jest dodatni Stąd v 6 Wtedy druga rura w ciągu godziny dostarcza v 6 m wody, więc obie jednocześnie dostarczają w ciągu godziny 6 96 m wody Czas, w jakim pusty zbiornik zostanie napełniony, jeśli woda będzie doprowadzana przez 800 5 obie rury jednocześnie jest zatem równy 8 godziny, czyli 8 godzin i 0 minut 96 drugiego sposobu rozwiązania, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zapisanie zależności między pojemnością zbiornika, czasem jego napełniania przez jedną z rur i wydajnością tej rury, np: 800 v t 800 vt lub

, w którym jest istotny postęp pkt Zapisanie układu równań z dwiema niewiadomymi, np: vt 800 v t 800 Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie równania z jedną niewiadomą, np: 5 5 v v 800 6 zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt Doprowadzenie do równania kwadratowego z jedną niewiadomą, np: v v6 0 bezbłędne 5 pkt Obliczenie czasu, w jakim pusty zbiornik zostanie napełniony, gdy woda będzie doprowadzana przez obie rury jednocześnie: 8 godzin i 0 minut