Włdysłw Tomszewicz Piotr Grygiel Podstwy Fizyki Część I Fizyk Klsyczn (n prwch rękopisu) Wydził Fizyki Technicznej i Mtemtyki Stosownej Politechnik Gdńsk 2002
Rozdził 1 Wstęp 1.1 Międzynrodowy ukłd jednostek mir SI W fizyce dne zjwisk są opisywne z pomocą mtemtycznych prw, wiążących ze sobą poszczególne wielkości fizyczne. Przykłdmi wielkości fizycznych są długość, czs, ms, prędkość, sił, tempertur. Ogólnie przez wielkości fizyczne rozumiemy te włsności cił lub zjwisk, które możn zmierzyć, tj. porównć ilościowo z tymi smymi włsnościmi innych cił lub zjwisk. Pomir wielkości fizycznej poleg n wyznczeniu liczbowego stosunku mierzonej wielkości do wielkości przyjętej z jednostkę. W zleżności od przyjętego ukłdu jednostek wielkości fizyczne możemy podzielić n wielkości podstwowe orz wielkości pochodne. Dl wielkości podstwowych ustlne są ich wzorce, stnowiące jednostki wielkości podstwowych. Wielkości pochodne i ich jednostki określ się n n podstwie zleżności mtemtycznych, wiążących je z wielkościmi podstwowymi i ich jednostkmi. Wybór wielkości podstwowych i ich wzorców jest równowżny z ustleniem określonego ukłdu jednostek. Nleży zuwżyć, że od wyboru ukłdu jednostek zleży również postć niektórych wzorów, zwłszcz w elektrodynmice. Złóżmy dl przykłdu, że jko wielkości podstwowe wybrliśmy m. in. odległość x i czs t i odpowiednio nzwliśmy ich jednostki metrem (oznczenie 1 m) i sekundą (oznczenie 1 s). Prędkość cił jest wtedy wielkością pochodną, zdefiniowną (w przypdku ruchu jednostjnego prostoliniowego) wzorem v = x/t. Z jednostkę prędkości przyjmujemy ztem prędkość tkiego ruchu, podczs którego w ciągu jednostki czsu ciło przebyw drogę równą jednostce długości. Jednostką prędkości jest więc 1 m/1 s=1 m/s. Zwykle jednostkę miry dnej wielkości fizycznej jej wymir ozncz- 1
2 WSTĘP my przez ujęcie tej wielkości w nwisy kwdrtowe, np. [x] = m, [t] = s. Poniewż [v] = [x]/[t] = m/s, widć że jednostką prędkości jest istotnie 1 m/s. Obecnie w nuce i technice jest stosownych kilk różnych ukłdów jednostek. W niniejszym wykłdzie będzie stosowny Międzynrodowy Ukłd Jednostek Mir, nzywny ukłdem SI od skrótu frncuskiego terminu Système Interntionl (Ukłd Międzynrodowy). Ukłd ten zostł ustlony przez Międzynrodowy Komitet Metrologii Ustwodwczej w Pryżu w 1958 roku. Ukłd SI m 6 jednostek podstwowych i dwie jednostki uzupełnijące (ptrz tbel 1.1). Poniżej podmy uproszczone definicje tych jednostek. Lp. Wielkość Jednostk Symbol 1 Długość metr m 2 Ms kilogrm kg 3 Czs sekund s 4 Ntężenie prądu elektr. mper A 5 Tempertur kelwin K 6 Świtłość kndel cd 7 Kąt płski rdin rd 8 Kąt bryłowy sterdin sr Tbel 1.1: Metr jest długością równą 1 650 763, 73 długości fli w próżni promieniowni monochromtycznego o brwie pomrńczowej emitownego przez tom kryptonu 86. Kilogrm jest msą międzynrodowego wzorc przechowywnego w Międzynrodowym Biurze Mir w Sèvres pod Pryżem. Sekund jest czsem trwni 9 192 631 770 okresów promieniowni odpowidjącego przejściu między dwom ndsubtelnymi poziommi stnu podstwowego tomu cezu 133. Amper jest ntężeniem prądu elektrycznego, który płynąc w dwóch nieskończenie długich równoległych przewodch, umieszczonych w próżni w odległości jednego metr, wywołuje między tymi przewodmi siłę równą 2 10 7 niuton n kżdy metr długości przewodu. Kelwin jest jednostką tempertury termodynmicznej w skli, w której tempertur punktu potrójnego wody jest równ 273,16 K. Kndel jest świtłością, którą m w kierunku prostopdłym pole równe 1 6 10 5 m 2 powierzchni cił doskonle czrnego, promieniującego w temperturze krzepnięci pltyny pod ciśnieniem normlnym.
MIĘDZYNARODOWY UKŁAD JEDNOSTEK MIAR SI 3 Rysunek 1.1: Kąt płski α wyrżony w rdinch jest równy stosunkowi łuku s do promieni tego łuku r (rys. 1.1): α = s r. (1.1) Rdin jest kątem płskim zwrtym między dwom promienimi koł, wycinjącymi z okręgu tego koł łuk o długości równej promieniowi. Poniewż dl pełnego kąt płskiego długość łuku s = 2πr, pełny kąt płski wynosi 2π rd. Kątem bryłowym nzywmy część przestrzeni ogrniczoną prostymi poprowdzonymi z jednego punktu do wszystkich punktów dowolnej krzywej zmkniętej. Kąt bryłowy Ω jest równy stosunkowi powierzchni S, którą ten kąt wycin z powierzchni kuli o promieniu r, do kwdrtu promieni tej kuli (rys. 1.1b): Ω = S r 2. (1.2) Sterdin jest kątem bryłowym o wierzchołku w środku kuli, wycinjącym z powierzchni tej kuli pole równe kwdrtowi jej promieni. Poniewż dl pełnego kąt bryłowego pole powierzchni kuli S = 4πr 2, pełny kąt bryłowy wynosi 4π sr. Rdin i sterdin są jednostkmi bezwymirowymi i mogą być użwne w dowolnym ukłdzie jednostek. Jeżeli mmy do czynieni z wrtościmi wielkości fizycznych zncznie większymi lbo zncznie mniejszymi od ich jednostek, to w celu uniknięci brdzo dużych lub brdzo młych liczb wprowdz się jednostki wtórne, będące wielokrotnościmi lub podwielokrotnościmi jednostek zsdniczych. Wielokrotność i podwielokrotność jednostki miry wyrż sie w ukłdzie
4 WSTĘP dziesiętnym przez dodnie odpowiednio do nzwy lub oznczeni jednostki miry nstępujących przedrostków lub ich oznczeń (ptrz tbl. 1.2). Przedr. Ozn. Wielokr. Przedr. Ozn. Podwiel. ter T 10 12 decy d 10 1 gig G 10 9 centy c 10 2 meg M 10 6 mili m 10 3 kilo k 10 3 mikro µ 10 6 hekto h 10 2 nno n 10 9 dek d 10 1 piko p 10 12 femto f 10 15 tto 10 18 Tbel 1.2: 1.2 Elementy rchunku wektorowego 1.2.1 Wektory. Dziłni n wektorch Wśród wielkości występujących w fizyce możemy wyróżnić m.in. sklry i wektory. Wielkości, które możn jednozncznie określić z pomocą liczby i jednostki, więc mjące jedynie wrtości, nzywmy wielkościmi sklrnymi w skrócie sklrmi. Do sklrów nleżą np. ms, prc i energi. Inne wielkości, jk np. sił, prędkość, nie mogą być wyznczone tylko przez swoje wrtości, gdyż zleżą one jeszcze od kierunku. Tkie wielkości nzywmy wielkościmi wektorowymi w skrócie wektormi. Wektor jest to skierowny odcinek, t.j. odcinek mjący określoną długość, kierunek i zwrot (rys. 1.2). Punkt początkowy A wektor nzywmy jego punktem zczepieni (przyłożeni), punkt B końcem wektor, prostą l, n której leży wektor, linią dziłni wektor. Wektory oznczmy litermi wyróżnionymi tłustym drukiem lub, zwłszcz przy pisniu ręcznym, litermi ze strzłkmi nd nimi, np. lub. Długość wektor nzywmy również wrtością bezwzględną lub modułem wektor i oznczmy jko lub po prostu. Długość wektor przedstwi w określonej skli wrtość liczbową wielkości fizycznej, reprezentownej przez dny wektor. Dl wielkości wektorowych możn zdefiniowć określone dziłni, jk m.in. mnożenie wektor przez liczbę, dodwnie i odejmownie wektorów. Jeżeli c jest pewną liczbą dodtnią i pewnym wektorem, to przez c rozumiemy wektor który m ten sm kierunek, co wektor i jest od nigo c rzy
ELEMENTY RACHUNKU WEKTOROWEGO 5 l B A Rysunek 1.2: dłuższy (rys. Jeżeli c jest liczbą ujemną, to przez c rozumiemy wektor,który jest c rzy dłuższy, niż wektor, jest do niego równoległy i m przeciwny zwrot. W szczególności przez wektor przeciwny do wektor rozumiemy wektor ( 1) (rys. 1.2b), oznczmy go symbolem. M on tę smą długość, co wektor, lecz jest przeciwnie skierowny. 1.3). Przez sumę c dwóch wektorów i b rozumiemy wektor, będący przekątną AD równoległoboku ABCD, zbudownego n wektorch i b w sposób pokzny n rysunku 1.4. Sumę c dwóch wektorów i b oznczmy symbolem: c = + b. (1.3) Możn ją znleźć również w inny sposób (rys. 1.4b,c). Wykreślmy njpierw z dowolnego punktu wektor, z końc wektor wykreślmy wektor b; wektor c, którego początek leży w początku wektor, koniec w końcu wektor b, jest sumą c tych wektorów. Jeśli przy tworzeniu sumy njpierw wykreślimy wektor b, potem wektor, otrzymmy ten sm wektor c. Wynik stąd, że dodwnie wektorów podleg prwu przemienności: + b = b +. (1.4) Przez różnicę d wektorów i b rozumiemy wektor, który, dodny do wektor b, dje wektor (rys. 1.4). Możn go przedstwić przez przekątną CB równoległoboku, zbudownego z wektorów i b. Różnicę d dwóch wektorów i b oznczmy symbolem: d = b. (1.5) Wektor różnicy m początek w końcu wektor, który odejmujemy, koniec w końcu wektor, od którego odejmujemy (rys. 1.4d).
6 WSTĘP c -c - c > 0 c < 0 ) b) Rysunek 1.3: A ) b C d c B A D c B b D b) c) C D C d) b c b d A A B Rysunek 1.4:
ELEMENTY RACHUNKU WEKTOROWEGO 7 Rysunek 1.5: Zdefiniujemy terz mnożenie wielkości wektorowych. Poniewż wektory są wielkościmi brdziej złożonymi od sklrów, możn określić kilk rodzjów iloczynu dwóch wektorów. Iloczyn sklrny dwóch wektorów i b, oznczny symbolem b, jest zdefiniowny nstępująco: b = b cos ϕ, (1.6) gdzie ϕ jest kątem zwrtym między tymi dwom wektormi (rys. 1.5). Z podnej definicji wynik, że iloczyn sklrny dwóch wektorów jest sklrem i że spełni prwo przemienności, b = b. (1.7) Widć też, że iloczyn sklrny dwóch prostopdłych wektorów jest równy zeru (jeżeli ϕ = π/2, to cos ϕ = 0 i b = 0). Wielkościmi fizycznymi, które możn przedstwić w postci iloczynu sklrnego dwóch wektorów są np. prc mechniczn i potencjł elektryczny. Iloczyn wektorowy dwóch wektorów, oznczny symbolem b, jest nowym wektorem c = b. (1.8) Wrtość bezwzględn wektor c jest określon równniem c = b sin ϕ, (1.9) gdzie ϕ jest kątem zwrtym między wektormi i b (rys. 1.6). Wyrżenie po prwej stronie osttniego równni jest powierzchnią S równoległoboku rozpiętego n wektorch i b. Możn zuwżyć, że iloczyn wektorowy dwóch równoległych wektorów jest równy zeru.
8 WSTĘP Rysunek 1.6: Kierunek wektor c = b jest z definicji prostopdły do płszczyzny, w której leżą wektory i b jego zwrot określ nstępując reguł. Jeżeli śrub prwoskrętn, prostopdł do wspomninej płszczyzny, obrc się od wektor do wektor b o kąt mniejszy od 180 o, to kierunek ruchu śruby określ zwrot wektor c. Możn stąd wywnioskowć, że przy zminie kolejności czynników w iloczynie wektorowym zmieni on zwrot n przeciwny, b = b. (1.10) Dl iloczynu wektorowego nie zchodzi więc prwo przemienności. Przykłdmi wielkości fizycznych, będących iloczynmi wektorowymi, są moment siły, moment pędu i sił, dziłjąc n łdunek poruszjący się w polu mgnetycznym. 1.2.2 Krtezjński ukłd współrzędnych. Skłdowe wektor Przytoczone w poprzednim podrozdzile definicje wektorów i dziłń n nich miły chrkter geometryczny. W wielu przypdkch wygodniej jest korzystć z nlitycznego opisu dziłń n wektorch, wykorzystującego rozkłdnie wektorów n skłdowe w określonym ukłdzie odniesieni. Złóżmy, że mmy wybrny w przestrzeni pewien krtezjński (prostokątny) ukłd współrzędnych Oxyz, tj. ukłd trzech wzjemnie prostopdłych osi Ox, Oy i Oz (rys. 1.7). Będziemy oznczć przez i, j i k wektory jednostkowe ( i = j = k = 1), skierowne wzdłuż osi Ox, Oy i Oz. Wektory te nzywmy wersormi odpowiednich osi. Zwykle przyjmujemy, że krtezjński ukłd odniesieni jest prwoskrętny, t.j., że i j = k. Z rysunku wynik, że wektor możn zpisć jko sumę jego rzutów i x, j y i k z n osie Ox,
ELEMENTY RACHUNKU WEKTOROWEGO 9 Rysunek 1.7: Oy i Oz ukłdu współrzędnych: = i x + j y + k z. (1.11) Sklrne wielkości x, y i z nzywmy skłdowymi wektor. Osttnie równnie zpisujemy często jko: = ( x, y, z ). (1.12) Widć, że w dnym ukłdzie współrzędnych wektor jest jednozncznie określony przez jego skłdowe. Dl uproszczeni będziemy terz zkłdć, że wszystkie rozptrywne wektory leżą w płszczyźnie Oxy. Jeżeli znmy długość wektor i kąt α, jki tworzy ten wektor z osią Ox, to skłdowe tego wektor, zgodnie z rysunkiem 1.8, wyrżją się wzormi x = cos α, (1.13) y = sin α. (1.14) Przeciwnie, gdy znne są skłdowe wektor w prostokątnym ukłdzie współrzędnych, możemy wyznczyć jego długość i kierunek. N podstwie twierdzeni Pitgors mmy bowiem: = x 2 + y 2, (1.15)
10 WSTĘP Rysunek 1.8: Rysunek 1.9: orz cos α = x, (1.16) sin α = y. (1.17) Przyjmijmy terz, że mmy dw wektory, i b=c (rys. 1.9). Z rysunku wynik, że b x = c x, (1.18) b y = c y. (1.19) Widzimy więc, że przy mnożeniu wektor przez liczbę jego skłdowe są mnożone przez tę smą liczbę. Przyjmiemy terz, że mmy dw wektory i b
ELEMENTY RACHUNKU WEKTOROWEGO 11 orz ich sumę c = + b (rys. 1.9b). Z rysunku wynikją zleżności c x = x + b x, (1.20) c y = y + b y. (1.21) Ztem, przy sumowniu dwóch wektorów sumują się ich skłdowe. Podobnie możn pokzć, że przy odejmowniu dwóch wektorów ich skłdowe się odejmują. Rezultty te możn uogólnić n przypdek dwóch wektorów leżących w dowolnej płszczyźnie orz n przypdek dowolnej liczby wektorów. Wyrzimy terz iloczyn sklrny i iloczyn wektorowy dwóch wektorów z pośrednictwem skłdowych tych wektorów. Będziemy przyjmowć bez dowodu, że przytoczone poniżej formlne przeksztłceni są poprwne. Obliczymy njpierw iloczyn sklrny wektorów i b: b = (i x + j y + k z ) (ib x + jb y + kb z ) = i i x b x + i j x b y + i k x b z + j i y b x + j j y b y + j k y b z + k i z b x + k j z b y + k k z b z. (1.22) Poniewż zchodzą związki i i = j j = k k = 1, i j = i k = j k = 0, otrzymujemy wzór b = x b x + y b y + z b z. (1.23) Obliczymy terz w podobny sposób iloczyn wektorowy wektorów i b: b = (i x + j y + k z ) (ib x + jb y + kb z ) = i i x b x + i j x b y + i k x b z + j i y b x + j j y b y + j k y b z + k i z b x + k j z b y + k k z b z. (1.24) Uwzględnijąc związki i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j (por. rys. 1.7), i i = j j = k k = 0 otrzymujemy wzór b = i( y b z z b y ) + j( z b x x b z ) + k( x b y y b x ). (1.25) Wzór ten jest łtwiejszy do zpmiętni, jeżeli zpisć go w postci wyzncznik: i j k b = x y z. (1.26) b x b y b z
12 WSTĘP Istotnie, obliczjąc wyzncznik otrzymuje się wzór (1.25). Znczenie rchunku wektorowego w fizyce wynik z fktu, że równni wektorowe, np. c = + b, są słuszne w dowolnym ukłdzie współrzędnych. Przy zminie ukłdu współrzędnych skłdowe wszystkich wektorów przeksztłcją się, jk możn sprwdzić, w ten sm sposób. Z drugiej strony, jest fktem stwierdzonym empirycznie, że prw fizyki również są niezleżne od wyboru ukłdu współrzędnych. Notcj wektorow jest więc idelnym językiem do wyrżni prw fizyki.