MES w zagadnieniach ośrodka ciągłego 2D i 3D

Podobne dokumenty
MES w zagadnieniach ośrodka ciągłego 2D i 3D

Metody obliczeniowe - modelowanie i symulacje

Metody obliczeniowe - modelowanie i symulacje

6. Dynamika Stan równowagi. ρb(x, y, z) V n t d. Siły

Analiza płyt i powłok MES

MODELOWANIE MATERIAŁÓW - WSTĘP

ROZWIĄZANIE PROBLEMU NIELINIOWEGO

MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych

Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż.

[ P ] T PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES. [ u v u v u v ] T. wykład 4. Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia)

Metoda elementów skończonych

MES w zagadnieniach nieliniowych

1 Charakterystyka ustrojów powierzchniowych. Anna Stankiewicz

Materiały pomocnicze do wykładów z wytrzymałości materiałów 1 i 2 (299 stron)

ALGORYTM STATYCZNEJ ANALIZY MES DLA KRATOWNICY

ANALIA STATYCZNA UP ZA POMOCĄ MES Przykłady

Metoda elementów skończonych w mechanice konstrukcji / Gustaw Rakowski, Zbigniew Kacprzyk. wyd. 3 popr. Warszawa, cop

5. MES w mechanice ośrodka ciągłego

Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe Rozdział II. Swobodne skręcanie izotropowych prętów pryzmatycznych oraz analogia membranowa

TARCZE PROSTOKĄTNE Charakterystyczne wielkości i równania

Spis treści. Wstęp Część I STATYKA

METODY KOMPUTEROWE W MECHANICE

PŁYTY OPIS W UKŁADZIE KARTEZJAŃSKIM Charakterystyczne wielkości i równania

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PODSTAWOWE POJĘCIA MES

Al.Politechniki 6, Łódź, Poland, Tel/Fax (48) (42) Mechanika Budowli. Inżynieria Środowiska, sem. III

Karta (sylabus) modułu/przedmiotu Mechatronika Studia pierwszego stopnia. Wytrzymałość materiałów Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy Kod przedmiotu:

8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ

Pierwsze komputery, np. ENIAC w 1946r. Obliczenia dotyczyły obiektów: o bardzo prostych geometriach (najczęściej modelowanych jako jednowymiarowe)

PŁYTY OPIS W UKŁADZIE KARTEZJAŃSKIM Charakterystyczne wielkości i równania

Projekt nr 4. Dynamika ujęcie klasyczne

PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH

TARCZOWE I PŁYTOWE ELEMENTY SKOŃCZONE

Inżynierskie metody analizy numerycznej i planowanie eksperymentu / Ireneusz Czajka, Andrzej Gołaś. Kraków, Spis treści

PLASTYCZNOŚĆ W UJĘCIU KOMPUTEROWYM

Łagodne wprowadzenie do Metody Elementów Skończonych

Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie

MODELOWANIE OŚRODKA LEPKOSPRĘŻYSTEGO W METODZIE ELEMENTÓW CZASOPRZESTRZENNYCH

Karta (sylabus) modułu/przedmiotu Mechatronika Studia pierwszego stopnia. Wytrzymałość materiałów Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy Kod przedmiotu:

Karta (sylabus) przedmiotu Mechanika i Budowa Maszyn Studia I stopnia o profilu: A P

MES w zagadnieniach sprężysto-plastycznych

Laboratorium Mechaniki Technicznej

Analiza płyt i powłok MES Zagadnienie wyboczenia

TEORIA SPRĘŻYSTOŚCI I PLASTYCZNOŚCI (TSP)

DWUTEOWA BELKA STALOWA W POŻARZE - ANALIZA PRZESTRZENNA PROGRAMAMI FDS ORAZ ANSYS

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ

ANALIZA STATYCZNA MES DLA USTROJÓW POWIERZNIOWYCH

POLITECHNIKA ŁÓDZKA INSTYTUT OBRABIAREK I TECHNOLOGII BUDOWY MASZYN. Ćwiczenie D - 4. Zastosowanie teoretycznej analizy modalnej w dynamice maszyn

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

Elementy projektowania inżynierskiego

Politechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki. Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2019/2020

Politechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki. Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2015/2016

Metoda Różnic Skończonych (MRS)

KARTA PRZEDMIOTU. Odniesienie do efektów dla kierunku studiów. Forma prowadzenia zajęć

Karta (sylabus) modułu/przedmiotu MECHANIKA I BUDOWA MASZYN Studia pierwszego stopnia

Zastosowanie MES do rozwiązania problemu ustalonego przepływu ciepła w obszarze 2D

Analiza statyczna MES dla dźwigarów powierzchniowych

P. Litewka Efektywny element skończony o dużej krzywiźnie

Wyznaczanie modułu sztywności metodą Gaussa

Modelowanie w MES. Kroki analizy Zakładamy, że model już jest uproszczony, zdefiniowane są materiał, obciążenie i umocowanie (krok 0).

Analiza płyt i powłok MES Zagadnienie wyboczenia

Rozwiązanie stateczności ramy MES

8. Metody rozwiązywania układu równań

ANALIZA WYTRZYMAŁOŚCI WYSIĘGNIKA ŻURAWIA TD50H

Wprowadzenie do WK1 Stan naprężenia

Projektowanie elementów z tworzyw sztucznych

SYSTEMY MES W MECHANICE

Politechnika Poznańska Wydział Budowy Maszyn i Zarządzania

Mechanika Analityczna

Drgania układu o wielu stopniach swobody

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

Podstawy mechaniki komputerowej

Analiza wrażliwości tarczy z wykorzystaniem metody elementów skończonych

Modelowanie, sterowanie i symulacja manipulatora o odkształcalnych ramionach. Krzysztof Żurek Gdańsk,

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1 (ocena dostateczna)

7. ELEMENTY PŁYTOWE. gdzie [N] oznacza przyjmowane funkcje kształtu, zdefinować odkształcenia i naprężenia: zdefiniować macierz sztywności:

Karta (sylabus) przedmiotu

Modelowanie w MES. Kolejność postępowania w prostej analizie MES w SWS

Wstęp. Numeryczne Modelowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Elementów Skończonych. Warunki brzegowe. Elementy

4. Elementy liniowej Teorii Sprężystości

Metody elementów skończonych

9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI

I. KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU

Rozwiązywanie zagadnień nieliniowych

DRGANIA ELEMENTÓW KONSTRUKCJI

MES1 Metoda elementów skończonych - I Finite Element Method - I. Mechanika i Budowa Maszyn I stopień ogólnoakademicki

DYNAMIKA KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH

Defi f nicja n aprę r żeń

Rozszerzony konspekt preskryptu do przedmiotu Teoria Maszyn i Mechanizmów

Mechanika i wytrzymałość materiałów Kod przedmiotu

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć

Podstawowe pojęcia wytrzymałości materiałów. Statyczna próba rozciągania metali. Warunek nośności i użytkowania. Założenia

KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA

DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPUTEROWA

2. Pręt skręcany o przekroju kołowym

Wytrzymałość materiałów

MECHANIKA 2. Drgania punktu materialnego. Wykład Nr 8. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

PROJEKT NR 1 METODA PRZEMIESZCZEŃ

METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH

Wytrzymałość Materiałów

Transkrypt:

MES w zagadnieniach ośrodka ciągłego 2D i 3D Wykład 2 dla kierunku Budownictwo, specjalności DUA+TOB/BIM+BIŚ+BOI Jerzy Pamin i Piotr Pluciński Instytut Technologii Informatycznych w Inżynierii Lądowej Politechnika Krakowska Podziękowania: T. Kolendowicz, C. Felippa ADINA R&D, Inc.www.adina.com ALTAIR www.altair.com ANSYS, Inc. www.ansys.com NIST www.fire.nist.gov TNO DIANA www.tnodiana.com

Plan prezentacji Modelowanie MES Błędy w modelowaniu MES Klasyfikacja modeli i elementów skończonych Redukcja błędu dyskretyzacji Stan równowagi dynamicznej Drgania własne Przykłady

Mechanika obliczeniowa (computational mechanics) Skala fizyczna Nanomechanika (fizyka cząstek elementarnych, chemia) Mikromechanika (fizyka kryształów, mikrostruktury) Mechanika kontinuum (założenie o ciągłości pól, homogenizacja, modele fenomenologiczne) Systemy mechaniczne (samoloty, mosty, roboty, silniki,...) Mechanika kontinuum ciała stałe i konstrukcje z nich wykonane płyny (CFD) zadania sprzężone (multiphysics) Fire Dynamics Simulator and Smokeview (FDS-SMV) Symulacja pożaru (M. Kwapisz)

Proces modelowania Konstrukcja rzeczywista Model fizyczny Równanie rózniczkowe i warunki brzegowe Model matematyczny Model numeryczny Cel: otrzymanie prostego modelu matematycznego, ujmującego najistotniejsze właściwości konstrukcji i jej zachowanie pod działaniem obciążeń, i dostosowanego do narzędzi obliczeniowych.

Proces modelowania Zbiór założeń: model konstrukcji, materiału, obciążenia Model fizyczny: reprezentacja istotnych cech Model matematyczny: zbiór równań (algebraicznych, różniczkowych, całkowych) + warunki graniczne (ograniczające)

Dlaczego symulacje MES TEORIA SYMULACJA EKSPERYMENT Zastępują/wspomagają badania doświadczalne Zastępują/wspomagają metody analityczne Nie zastępują modelowania Uwaga na ograniczenia elementów skończonych Różne rodzaje zjawiska blokady (nadsztywności) Więzy kinematyczne (np. nieścisliwość) Formy deformacji o zerowej energii Problemy źle postawione (np. dla materiału z osłabieniem)

Błędy w modelowaniu MES Błąd modelowania Błąd dyskretyzacji Błąd rozwiązania

Nieciągłość pochodnych Mapy rozkładu σ xx Bez wygładzania Z wygładzaniem

Wygładzanie wybranej wielkości σ h funkcja otrzymana z rozwiązania MES σ funkcja po wygładzeniu Różnica pomiędzy tymi dwoma polami jest wskaźnikiem błędu dyskretyzacji Zienkiewicza-Zhu

Modele fizyczne i matematyczne Zmiany w czasie: zagadnienia stacjonarne - niezależne od czasu (statyka) zagadnienia niestacjonarne - zależne od czasu (dynamika) Uproszczenia na podstawie hipotez: kinematycznych (geometrycznych), np. dominujące wymiary, rodzaj przekroju statycznych/dynamicznych - np. obciążenia wolno- lub szybkozmienne, obciążenia działające w jednej płaszczyźnie Modele matematyczne są: liniowe (małe deformacje i prawo Hooke a) obowiązuje zasada superpozycji nieliniowe

Klasyfikacja modeli i elementów skończonych Obniżenie wymiarowości: ustroje prętowe (geometrycznie jednowymiarowe) ustroje powierzchniowe (dwuwymiarowe) ustroje bryłowe (trójwymiarowe) Elementy skończone dla mechaniki: 1D - kratowy (truss) 1.5D - belkowy (beam), ramowy (frame) 2D - PSN (panel, plane stress), PSO (plane strain), symetria osiowa (axial symmetry) 2.5D - płytowy (plate/slab), powłokowy (shell) 3D - bryłowy (volume)

Ustrój 1.5D - rama Rysunki zaczerpnięte z podręcznika T. Kolendowicz Mechanika budowli dla architektów

Ustrój 2.5D - płyta Zginanie Ścinanie Skręcanie TNO DIANA http://www.tnodiana.com Czteroprzęsłowa płyta po obciążeniem ruchomym

Ustrój 2.5D - powłoka Ugięcia pod działaniem obciążenia równomiernego

Rysunki zaczerpnięte z podręcznika: C.A. Felippa, Introduction to Finite Element Methods, University of Colorado at Boulder. www.colorado.edu/engineering/cas/courses.d/ifem.d

Geometryczna niezmienność układu

Wykorzystywanie symetrii zadania

Gdzie zagęszczać siatkę elementów

Warianty poprawy siatki Rysunki zaczerpnięte z podręcznika: R.D. Cook, Finite Element Method for Stress Analysis, J. Wiley & Sons 1995.

Adaptacyjne zagęszczenie siatki elementów Przykład zaczerpnięty ze strony Altair Engineering www.altair.com

Generacja siatki elementów

Monitoring błędów dyskretyzacji Adaptacyjne zagęszczenie siatki

Stan równowagi dynamicznej t ρb d (x, y, z) P S ρü(x, y, z) ρb(x, y, z) Z V n t d X Y

Stan równowagi dynamicznej Siły X Z S V Y t ρb d (x, y, z) P ρü(x, y, z) ρb(x, y, z) n t d ρb wektor gęstości sił masowych [N/m 3 ] ρb d wektor gęstości sił masowych tłumienia [N/m 3 ] ρü wektor gęstości sił bezwładności [N/m 3 ] t wektor gęstości sił powierzchniowych [N/m 2 ] t d wektor gęstości sił powierzchniowych tłumienia [N/m 2 ]

Stan równowagi dynamicznej Równanie równowagi ciała X Z S t ρb d (x, y, z) P ρü(x, y, z) ρb(x, y, z) V n t d Y S ( t t d ) ds + ρ ( b b d ü ) dv = 0 V

Stan równowagi dynamicznej Równanie równowagi ciała X Z S t ρb d (x, y, z) P ρü(x, y, z) ρb(x, y, z) V n t d Y S ( t t d ) ds + ρ ( b b d ü ) dv = 0 V Statyczne warunki brzegowe t t d = σn gdzie σ tensor naprężeń

Stan równowagi dynamicznej Równanie równowagi ciała X Z S t ρb d (x, y, z) P ρü(x, y, z) ρb(x, y, z) V n t d Y S ( t t d ) ds + ρ ( b b d ü ) dv = 0 V Statyczne warunki brzegowe t t d = σn gdzie σ tensor naprężeń Wykorzystując twierdzenie Greena Gaussa Ostrogradzkiego σnds = L T σdv gdzie L macierz operatorów różniczkowych S V

Równanie równowagi Równania Naviera ( L T σ + ρ ( b b d ü )) dv = 0 L T σ + ρ ( b b d ü ) = 0 P V V

Równanie równowagi Równania Naviera ( L T σ + ρ ( b b d ü )) dv = 0 L T σ + ρ ( b b d ü ) = 0 P V V σ ij,j + ρ ( b i b d i ü i ) = 0

Równanie równowagi Równania Naviera ( L T σ + ρ ( b b d ü )) dv = 0 L T σ + ρ ( b b d ü ) = 0 P V V σ ij,j + ρ ( b i b d i ü i ) = 0 Sformułowanie słabe funkcja wagowa w = δu kinematycznie dopuszczalna wariacja przemieszczenia (zgodna z kinematycznymi warunkami brzegowymi) V (δu) T ( L T σ + ρ ( b b d ü )) dv = 0 δu

Równanie równowagi Równania Naviera ( L T σ + ρ ( b b d ü )) dv = 0 L T σ + ρ ( b b d ü ) = 0 P V V σ ij,j + ρ ( b i b d i ü i ) = 0 Sformułowanie słabe funkcja wagowa w = δu kinematycznie dopuszczalna wariacja przemieszczenia (zgodna z kinematycznymi warunkami brzegowymi) V (Lδu) T σdv + V (δu) T ( L T σ + ρ ( b b d ü )) dv = 0 S δu (δu) T σnds + (δu) T ρ ( b b d ü ) dv = 0 V

Równanie równowagi Równania Naviera ( L T σ + ρ ( b b d ü )) dv = 0 L T σ + ρ ( b b d ü ) = 0 P V V σ ij,j + ρ ( b i b d i ü i ) = 0 Sformułowanie słabe funkcja wagowa w = δu kinematycznie dopuszczalna wariacja przemieszczenia (zgodna z kinematycznymi warunkami brzegowymi) V (Lδu) T σdv + V (δu) T ( L T σ + ρ ( b b d ü )) dv = 0 S δu t t d (δu) T σn ds + (δu) T ρ ( b b d ü ) dv = 0 V

Równanie równowagi Równania Naviera ( L T σ + ρ ( b b d ü )) dv = 0 L T σ + ρ ( b b d ü ) = 0 P V V σ ij,j + ρ ( b i b d i ü i ) = 0 Sformułowanie słabe funkcja wagowa w = δu kinematycznie dopuszczalna wariacja przemieszczenia (zgodna z kinematycznymi warunkami brzegowymi) V (Lδu) T σdv + V (δu) T ( L T σ + ρ ( b b d ü )) dv = 0 S δu (δu) T ( t t d) ds+ (δu) T ρ ( b b d ü ) dv = 0 V

Równanie równowagi Równania Naviera ( L T σ + ρ ( b b d ü )) dv = 0 L T σ + ρ ( b b d ü ) = 0 P V V σ ij,j + ρ ( b i b d i ü i ) = 0 Sformułowanie słabe funkcja wagowa w = δu kinematycznie dopuszczalna wariacja przemieszczenia (zgodna z kinematycznymi warunkami brzegowymi zasada prac wirtualnych) V V (Lδu) T σdv = (δu) T ( L T σ + ρ ( b b d ü )) dv = 0 S δu (δu) T ( t t d) ds + (δu) T ρ ( b b d ü ) dv V

Równanie równowagi Równania Naviera ( L T σ + ρ ( b b d ü )) dv = 0 L T σ + ρ ( b b d ü ) = 0 P V V σ ij,j + ρ ( b i b d i ü i ) = 0 Sformułowanie słabe funkcja wagowa w = δu kinematycznie dopuszczalna wariacja przemieszczenia (zgodna z kinematycznymi warunkami brzegowymi zasada prac wirtualnych) V V (Lδu) T σdv = (δu) T ( L T σ + ρ ( b b d ü )) dv = 0 S δu (δu) T ( t t d) ds + (δu) T ρ ( b b d ü ) dv V praca sił wewnętrznych praca sił zewnętrznych

Równanie równowagi układu zdyskretyzowanego Równanie równowagi (Aproksymacja MES: u eh (x, t) = N e (x)d e (t)) { ( (L e δu e ) T σ e dv e (δu e ) T t e t de) ds e V e S e (δu e ) T ρ (b e b de ü e) } dv e = 0 V e

Równanie równowagi układu zdyskretyzowanego Równanie równowagi (Aproksymacja MES: u eh (x, t) = N e (x)d e (t)) { ( (L e δu e ) T σ e dv e (δu e ) T t e t de) ds e V e S e (δu e ) T ρ (b e b de ü e) } dv e = 0 V { e ( (L e N e δd e ) T σ e dv e (N e δd e ) T t e t de) ds e V e S e (N e δd e ) T ρ (b e b de ü e) } dv e = 0 V e

Równanie równowagi układu zdyskretyzowanego B e Równanie równowagi { (L e δu e ) T σ e dv e V e (δu e ) T S e { (δu e ) T ρ V e δd e ) T σ e dv e V e (L e N e ( t e t de) ds e (b e b de ü e) } dv e = 0 S e (N e δd e ) T ( t e t de) ds e (N e δd e ) T ρ (b e b de ü e) } dv e V e = 0

Równanie równowagi układu zdyskretyzowanego Równanie równowagi { (L e δu e ) T σ e dv e V e (δu e ) T S e { V e (B e δd e ) T σ e dv e (δu e ) T ρ V e S e (N e δd e ) T ( t e t de) ds e (b e b de ü e) } dv e = 0 ( t e t de) ds e (N e δd e ) T ρ (b e b de ü e) } dv e V e = 0

Równanie równowagi układu zdyskretyzowanego Równanie równowagi { (L e δu e ) T σ e dv e V e (δu e ) T S e { (δu e ) T ρ V e (B e δd e ) T σ e dv e V e (N e δd e ) T ρ V e (δd e ) {V T B et σ e dv e e S e (N e δd e ) T S e N et ( t e t de) ds e (b e b de ü e) } dv e = 0 ( t e t de) ds e (b e b de ü e) } dv e = 0 ( t e t de) ds e N et ρ (b e b de ü e) } dv e V e = 0

Równanie równowagi układu zdyskretyzowanego Równanie równowagi { (L e δu e ) T σ e dv e V e (δu e ) T S e { (δu e ) T ρ V e (B e δd e ) T σ e dv e V e (N e δd e ) T ρ V IT e { e ( δd δd) e T B et σ e dv e V e S e (N e δd e ) T S e N et ( t e t de) ds e (b e b de ü e) } dv e = 0 ( t e t de) ds e (b e b de ü e) } dv e = 0 ( t e t de) ds e N et ρ (b e b de ü e) } dv e V e = 0

Równanie równowagi układu zdyskretyzowanego Równanie równowagi { (L e δu e ) T σ e dv e V e (δu e ) T S e { (δu e ) T ρ V e (B e δd e ) T σ e dv e V e (N e δd e ) T ρ V e ( IT e δd) {V T B et σ e dv e e S e (N e δd e ) T S e N et ( t e t de) ds e (b e b de ü e) } dv e = 0 ( t e t de) ds e (b e b de ü e) } dv e = 0 ( t e t de) ds e N et ρ (b e b de ü e) } dv e V e = 0

Równanie równowagi układu zdyskretyzowanego Równanie równowagi { (L e δu e ) T σ e dv e V e (δu e ) T S e { (δd) T (δu e ) T ρ V e (B e δd e ) T σ e dv e V e (N e δd e ) T ρ V E e IT {V et B et σ e dv e e S e (N e δd e ) T ( t e t de) ds e (b e b de ü e) } dv e = 0 ( t e t de) ds e (b e b de ü e) } dv e = 0 S e N et ( t e t de) ds e N et ρ (b e b de ü e) } dv e V e = 0

Równanie równowagi układu zdyskretyzowanego Równanie równowagi { (L e δu e ) T σ e dv e V e (δu e ) T S e { (δd) T δd (δu e ) T ρ V e (B e δd e ) T σ e dv e V e (N e δd e ) T ρ V e IT {V et B et σ e dv e e S e (N e δd e ) T ( t e t de) ds e (b e b de ü e) } dv e = 0 ( t e t de) ds e (b e b de ü e) } dv e = 0 S e N et ( t e t de) ds e N et ρ (b e b de ü e) } dv e V e = 0

Równanie równowagi układu zdyskretyzowanego Równanie równowagi { (L e δu e ) T σ e dv e V e (δu e ) T S e { (δu e ) T ρ V e S e (N e δd e ) T ( t e t de) ds e (b e b de ü e) } dv e = 0 ( t e t de) ds e (B e δd e ) T σ e dv e V e (N e δd e ) T ρ (b e b de ü e) } dv e V e ( IT {V et B et σ e dv e t e t de) ds e e S e N et = 0 N et ρ (b e b de ü e) } dv e = 0 V e

Równanie równowagi układu zdyskretyzowanego Równanie równowagi { } { } IT et B et σ e dv e + IT et N et ρü e dv e + V e V e } + IT et N {S et t de ds e + N et ρb de dv e = e V e } = IT {S et N et t e ds e + N et ρb e dv e e V e

Równanie równowagi układu zdyskretyzowanego Równanie równowagi { } { } IT et B et σ e dv e + IT et N et ρü e dv e + V e V e } + IT et N {S et t de ds e + N et ρb de dv e = e V e } = IT {S et N et t e ds e + N et ρb e dv e e V e Uwzględnienie związków kinematycznych, fizycznych i tłumienia liniowy związek kinematyczny: ε = Lu liniowa sprężystość: σ = Dε σ e =D e L e u e =D e L e N e d e =D e B e IT e d, ü e =N e de =N e IT e d lepkie tłumienie: t de =µ d u e =µ d N e ḋ e =µ d N e IT e ḋ, ρb de =µ b u e =µ b N e ḋ e =µ b N e IT e ḋ

Równanie równowagi układu zdyskretyzowanego Równanie równowagi + { } IT et B et D e B e dv e IT e d+ V e + { } IT et ρn et N e dv e IT e d+ V e } IT {S et µ d N et N e ds e + µ b N et N e dv e e V e = IT e ḋ = } IT {S et N et t e ds e + N et ρb e dv e e V e

Równanie równowagi układu zdyskretyzowanego Równanie równowagi { } IT et B et D e B e dv e IT e d+ V e k e { } + IT et ρn et N e dv e IT e d+ V e m { e } + IT et µ d N et N e ds e + µ b N et N e dv e IT e ḋ = S e V e c e { } = IT et N et t e ds e + N et ρb e dv e S e V e f e

Równanie równowagi układu zdyskretyzowanego Równanie równowagi IT et k e IT e d + IT et m e IT e d + E IT et c e IT e ḋ = IT et f e

Równanie równowagi układu zdyskretyzowanego Równanie równowagi IT et k e IT e K e d + IT et m e M e IT e d + IT et c e C e IT e ḋ = IT et f e F e

Równanie równowagi układu zdyskretyzowanego Równanie równowagi K e d + M e d E + C e ḋ = F e

Równanie równowagi układu zdyskretyzowanego Równanie równowagi K K e d + M M e d + C C e ḋ = F F e

Równanie równowagi układu zdyskretyzowanego Równanie równowagi Kd + M d + Cḋ = F

Równanie równowagi układu zdyskretyzowanego Równanie równowagi drgania wymuszone z tłumieniem M d(t) + Cḋ(t) + Kd(t) = F(t) M macierz bezwładności C macierz tłumienia K macierz sztywności F wektor węzłowych obciążeń zewnętrznych

Równanie równowagi układu zdyskretyzowanego Równanie równowagi drgania wymuszone z tłumieniem M d(t) + Cḋ(t) + Kd(t) = F(t) Równanie równowagi drgania własne bez tłumienia M d(t) + Kd(t) = 0

Równanie równowagi układu zdyskretyzowanego Równanie równowagi drgania wymuszone z tłumieniem M d(t) + Cḋ(t) + Kd(t) = F(t) Równanie równowagi drgania własne bez tłumienia M d(t) + Kd(t) = 0 Równanie równowagi statyka Kd = F Przed rozwiązaniem konieczne jest uwzględnienie podstawowych (kinematycznych) warunków brzegowych

Drgania własne Aproksymacja u e (x, t) = N e (x)d e (t) = N e (x)d e A sin(ωt + ϕ) N e macierz funkcji kształtu d e A wektor amplitud drgań własnych ω częstość drgań własnych ϕ przesunięcie fazowe ω = 2πf = 2π T gdzie f, T odpowiednio częstotliwość i okres drgań własnych

Drgania własne Przemieszczenie zależne od czasu d e (t) = d e A sin(ωt + ϕ)

Drgania własne Przemieszczenie zależne od czasu d e (t) = d e A sin(ωt + ϕ) d e (t) = ω 2 d e A sin(ωt + ϕ)

Drgania własne Równanie równowagi = problem własny d e (t) = d e A sin(ωt + ϕ) d e (t) = ω 2 d e A sin(ωt + ϕ) po agregacji i podstawieniu do równania równowagi ( K ω 2 M ) d A sin(ωt + ϕ) = 0

Drgania własne Równanie równowagi = problem własny d e (t) = d e A sin(ωt + ϕ) d e (t) = ω 2 d e A sin(ωt + ϕ) po agregacji i podstawieniu do równania równowagi ( K ω 2 M ) d A sin(ωt + ϕ) = 0

Drgania własne Równanie równowagi = problem własny d e (t) = d e A sin(ωt + ϕ) d e (t) = ω 2 d e A sin(ωt + ϕ) po agregacji i podstawieniu do równania równowagi ( K ω 2 M ) d A = 0

Drgania własne Równanie równowagi = problem własny d e (t) = d e A sin(ωt + ϕ) d e (t) = ω 2 d e A sin(ωt + ϕ) po agregacji i podstawieniu do równania równowagi ( K ω 2 M ) d A = 0 równanie jest spełnione dla det ( K ω 2 M ) = 0 lub d A = 0 (ω 1, d A1 ), (ω 2, d A2 ),...

Drgania własne Równanie równowagi = problem własny d e (t) = d e A sin(ωt + ϕ) d e (t) = ω 2 d e A sin(ωt + ϕ) po agregacji i podstawieniu do równania równowagi ( K ω 2 M ) d A = 0 równanie jest spełnione dla det ( K ω 2 M ) = 0 wynik: spektrum częstości drgań własnych i odpowiednie formy drgań (ω 1, d A1 ), (ω 2, d A2 ),...

Drgania własne Element belkowy z e A, I, ρ z e d e 1 d e 3 0 l e x e d e 2 i d e 4 j x e Funkcje kształtu N e = [N e 1 N e 2 N e 3 N e 4 ] 1 N e 1 (xe ) = 1 3 ( x e l e ) 2 + 2 ( x e l e ) 3 1 N e 3 (xe ) = 3 ( x e l e ) 2 2 ( x e l e ) 3 0 l e x e 0 l e x e N e 2 (xe ) = x e [ 1 ( x e l e )] 2 N e 4 (xe ) = x e [ (x e l e ) 2 ( x e l e ) ] 0 l e x e 0 l e x e

Drgania własne Macierz sztywności element belkowy k e = l e B e = LN e, L = k e = Ee I e l e 3 0 [ B et D e B e dx e d2 dx e2 ], D e = [E e I e ] 12 6l e 12 6l e 6l e 4l e2 6l e 2l e2 12 6l e 12 6l e 6l e 2l e2 6l e 4l e2

Drgania własne Macierz bezwładności element belkowy m e = l e 0 ρa e N et N e dx e µ e = ρa e masa na jedn. długości [kg/m] 156 22l e 54 13l e m e = µe l e 22l e 4l e2 13l e 3l e2 420 54 13l e 156 22l e 13l e 3l e2 22l e 4l e2

Przykład Drgania giętne wspornika ( K ω 2 M ) d A = 0 E, I, µ, l Z d 1 d 3 d 2 d 4 X

Przykład Drgania giętne wspornika EI l 3 12 6l -12 6l 6l 4l 2-6l 2l 2-12 -6l 12-6l ω 2 µl 420 6l 2l 2-6l 4l 2 ( K ω 2 M ) d A = 0 156 22l 54-13l 22l 4l 2 13l -3l 2 54 13l 156-22l -13l -3l 2-22l 4l 2 d A1 d A2 d A3 d A4 = 0 0 0 0 Z E, I, µ, l d 1 d 3 d 2 d 4 X

Przykład Drgania giętne wspornika ( K ω 2 M ) d A = 0 12 6l -12 6l 156 22l 54-13l d A1 6l 4l 2-6l 2l 2-12 -6l 12-6l ω2 µl 4 1 22l 4l 2 13l -3l 2 d A2 EI 420 54 13l 156-22l d = A3 6l 2l 2-6l 4l 2-13l -3l 2-22l 4l 2 d A4 0 0 0 0 Z E, I, µ, l d 1 d 3 d 2 d 4 X

Przykład Drgania giętne wspornika 12 6l -12 6l 6l 4l 2-6l 2l 2-12 -6l 12-6l ω2 µl 4 EI 6l 2l 2-6l 4l 2 λ ( K ω 2 M ) d A = 0 1 420 156 22l 54-13l 22l 4l 2 13l -3l 2 54 13l 156-22l -13l -3l 2-22l 4l 2 d A1 d A2 d A3 d A4 = 0 0 0 0 Z E, I, µ, l d 1 d 3 d 2 d 4 X

Przykład Drgania giętne wspornika 12 6l -12 6l 6l 4l 2-6l 2l 2-12 -6l 12-6l 6l 2l 2-6l 4l 2 ( K ω 2 M ) d A = 0 λ 420 156 22l 54-13l 22l 4l 2 13l -3l 2 54 13l 156-22l -13l -3l 2-22l 4l 2 d A1 d A2 d A3 d A4 = 0 0 0 0 Z E, I, µ, l d 1 d 3 d 2 d 4 X

Przykład Drgania giętne wspornika 12 6l -12 6l 6l 4l 2-6l 2l 2-12 -6l 12-6l 6l 2l 2-6l 4l 2 ( K ω 2 M ) d A = 0 λ 420 156 22l 54-13l 22l 4l 2 13l -3l 2 54 13l 156-22l -13l -3l 2-22l 4l 2 0 0 d A3 d A4 = 0 0 0 0 Z E, I, µ, l d 1 d 3 d 2 d 4 X

Przykład Drgania giętne wspornika 12 6l -12 6l 6l 4l 2-6l 2l 2-12 -6l 12-6l 6l 2l 2-6l 4l 2 ([ ] 12-6l -6l 4l 2 ( K ω 2 M ) d A = 0 156 22l 54-13l 0 λ 22l 4l 2 13l -3l 2 0 420 54 13l 156-22l d A3-13l -3l 2-22l 4l 2 d A4 [ ])[ ] [ ] λ 156-22l da3 0 420-22l 4l 2 = d A4 0 = 0 0 0 0 Z E, I, µ, l d 1 d 3 d 2 d 4 X

Przykład Drgania giętne wspornika 12 6l -12 6l 6l 4l 2-6l 2l 2-12 -6l 12-6l 6l 2l 2-6l 4l 2 ([ ] 12-6l -6l 4l 2 [ ] [ ] 12-6l -6l 4l 2 λ 156-22l 420-22l 4l 2 = 0 ( K ω 2 M ) d A = 0 156 22l 54-13l 0 λ 22l 4l 2 13l -3l 2 0 420 54 13l 156-22l d A3-13l -3l 2-22l 4l 2 d A4 [ ])[ ] [ ] λ 156-22l da3 0 420-22l 4l 2 = d A4 0 = 0 0 0 0 Z E, I, µ, l d 1 d 3 d 2 d 4 X

Przykład Drgania giętne wspornika 12 6l -12 6l 6l 4l 2-6l 2l 2-12 -6l 12-6l 6l 2l 2-6l 4l 2 ([ ] 12-6l -6l 4l 2 ( K ω 2 M ) d A = 0 [ ] [ ] 12-6l -6l 4l 2 λ 156-22l 420-22l 4l 2 = 0 156 22l 54-13l 0 λ 22l 4l 2 13l -3l 2 0 420 54 13l 156-22l d A3-13l -3l 2-22l 4l 2 d A4 [ ])[ ] [ ] λ 156-22l da3 0 420-22l 4l 2 = d A4 0 λ1 = 12.48 λ 2 = 1211.52 = 0 0 0 0 Z E, I, µ, l d 1 d 3 d 2 d 4 X

Przykład Drgania giętne wspornika 12 6l -12 6l 6l 4l 2-6l 2l 2-12 -6l 12-6l 6l 2l 2-6l 4l 2 ([ ] 12-6l -6l 4l 2 ( K ω 2 M ) d A = 0 [ ] [ ] 12-6l -6l 4l 2 λ 156-22l 420-22l 4l 2 = 0 Z 156 22l 54-13l 0 λ 22l 4l 2 13l -3l 2 0 420 54 13l 156-22l d A3-13l -3l 2-22l 4l 2 d A4 [ ])[ ] [ ] λ 156-22l da3 0 420-22l 4l 2 = d A4 0 ω λ1 = 12.48 1 = λ 2 = 1211.52 = 0 0 0 0 3.53 EI l 2 µ EI ω 2 = 34.81 l 2 µ E, I, µ, l d 1 d 3 d 2 d 4 X

Przykład Wspornik Postaci drgań własnych Formy drgań własnych wyznaczone z jednego z dwóch równań liniowo zależnych po podstawieniu odpowiedniej wartości własnej d A4 dla ω 1 d A3 = 0.728l d A4 dla ω 2 d A4 0 l e x e 0 l e x e d A3 = 0.131l d A4

Modelowanie drążenia tunelu Mechanika gruntów i mechanika betonu wymagają trójwymiarowych modeli nieliniowych i wydajnych implementacji MES

Zaawansowane zagadnienia mechaniki Obciążenia wyjątkowe, np. uderzenie Nielinowości fizyczne, np. uszkodzenie, zarysowanie, odkształcenia plastyczne Nieliniowości geometryczne, tzn. duże przemieszczenia, duże odkształcenia Zagadnienie kontaktu (więzów jednostronnych) ADINA R&D, Inc. www.adina.com Uderzenie belki, głowy w kasku, samochodu Idealizacja zapory - przerwana zapora ANSYS, Inc. www.ansys.com Zagadnienie kontaktowe, inne zagadnienie kontaktowe Zagadnienie dynamiczne Animacje R. Cieszyńskiego Powłoka, wyboczenie powłoki