Wpływ kohorowych ablic rwania życia y na wysokość świadczeń emeryalnych Kaedra Ubezpieczenia Społecznego Szkoła Główna Handlowa w Warszawie Warszawa, 27 października 2010 r.
Plan prezenacji Wprowadzenie Przegląd modeli i meod prognozowania umieralności Obliczanie przecięnego (dalszego) rwania życia Model Lee i Carera oraz jego modyfikacje Wyniki prognozy przecięnego dalszego rwania życia i Emeryalne implikacja wyników prognozy Podsumowanie i wnioski 2
Moywacja Wprowadzenie Do określenia wysokości świadczeń emeryalnych w sysemie o zdefiniowanej składce wymagane jes określenie długości wypła Problem Przekrojowe ablice rwania życia przeszacowują rzeczywisą umieralność poszczególnych kohor (grup urodzonych w ym samym roku) Cele pracy Przedsawienie meody yprognozowania rwania życia y w oparciu o zmodyfikowany model Lee i Carera Ilusracja dla Polski - prognoza na laa 2006 2050 Implikacje emeryalne wyników 3
Wczesne modele umieralności Prace pionierskie: Jan de Wi (1671) Edmund Halley y( (1693) Nicolas Bernoulli (1709) Benjamin Gomperz (1825) µ = B c William Makeham (1860) µ = A + B c S. Haberman, Landmarks in he hisory of acuarial science (up o 1919), Acuarial Reserach Paper no. 84, Deparmen of Acuarial Science and Saisics, Ciy Universiy, London. 4
Modele umieralności - rozwój Zmiany paradygmau modelowania umieralności Modele: Dyskrene Ciągłe ł Dwusanowe Homogeniczne Sayczne Wielosanowe Heerogeniczne Dynamiczne DETERMINISTYCZNE STOCHASTYCZNE E. Piacco, From Halley o fraily fraily :a review of survival models for acuarial calculaions, Diparameno di Maemaica Applicaa, Universiy of Triese, Triese. 5
Prognozowanie podsawowe informacje Zakładając, że inensywność umieralności µ zależy od wieku (x) i roku kalendarzowego (), można ją zapisać jako: µ = Γ(x, ) Możliwe są rzy podejścia do prognozowania: werykalne (zależne od wieku), horyzonalne (zależne od okresu), diagonalne (kohorowe). 6
Prognozowanie podsawowe informacje Plany obserwacji: wiek, okres, kohora Wiek Okres 1 +1 0 µ (0, 1) µ (0, ) µ (0, +1) 1 µ(1, 1) µ(1, ) µ(1, +1) x µ (x, 1) µ (x, ) µ (x, +1) x + 1 µ (x+1, 1) µ (x+1, ) µ (x+1, +1) ω µ (ω, 1) µ (ω, ) µ (ω, +1) 7
Model Lee i Carera Oryginalna posać modelu: ln m ( x, ) = a x + b x κ + ξ x, κ + + = κ c ε 1 b = 1 κ = 0 x x Założenia o błędach: biały szum ze sałą wariancją (homoskedasyczne reszy, rzadkość w prakyce) Lee R.D., L. Carer (1992), Modeling and Forecasing he Time Series of U.S. Moraliy, Journal of he American Saisical Associaion, 87 (419): 659 671. 8
Udoskonalenia modelu Lee i Carera Modyfikacja modelu liczba zgonów jes zmienną losową o rozkładzie Poissona: D ( x, ) ~ Poisson ( E ( x, ) µ ( x, )) ln µ ( x, ) = a x + b x κ κ = κ + c + = κ c ε 1 Taki model dopuszcza heeroskedasyczność resz między oszacowaną a zaobserwowaną liczbą zgonów Brouhns, N., M. Denui, J. Vermun (2002). A Poisson log-linear li regression approach o he consrucion of projeced life ables. Insurance: Mah. Econ. 31 (3): 373 393. 9
Udoskonalenia modelu Lee i Carera Meody esymacji: Lee i Carer zaproponowali meodę rozkładu warości osobliwych (SVD), odpowiadającą KMNK Kryyka: meoda nieodpowiednia w przypadku heeroskedasycznych resz Proponowane alernaywy: ważona MNK lub MNW Źródła niepewności prognozy z modelu L-C: 1. Losowa liczba zgonów D x (rozkład Poissona) 2. Niepewność oszacowań paramerów a x, b x i κ 3. Eksrapolacja komponenu κ Alho, J. (2000). Discussion of Lee (2000). Norh American Acuarial Journal, 4 (1): 91-93. Keilman, N., D.Q. Pham (2006), Predicion inervals for Lee-Carer-based moraliy forecass. Refera na European Populaion Conference 2006, Liverpool, 21 24.06.2006. 10
Ilusracja: prognoza dla Polski Dane wyjściowe (GUS) - jednoroczne grupy wieku, w laach osiągnięych i - zgony według wieku i kohor (D), laa 1960 2005 - liczba ludności na począku roku(p) (P), 1960 2006 - liczba urodzeń w ciągu roku (B), 1960 2005 - dane oczyszczone; próba ograniczona do 1990 2005 Obliczenia Esymacja paramerów: MNW dla rozkładu Poissona Niepewność esymacji: meoda boosrap (100 prób) x Niepewność eksrapolacji κ : Mone Carlo (1000 prób) Oprogramowanie: własny kod w R (www.r-projec.org) Procedura dość czasochłonna (55 h) 11
Ilusracja: prognoza dla Polski Wzorce ln[µ(x,)] według wieku dla obu płci Polska, 1960, 2005 i 2050 (prognoza) B. Więckowska, J. Bijak, red. T. Szumlicz (2008), Analiza ubezpieczeniowych implikacji wyników prognozy przecięnego dalszego rwania życia uzyskanej meodą Lee i Carera, wydanie specjalne Wiadomości ubezpieczeniowych, PIU, Warszawa, syczeń 2008 12
Przecięne dalsze rwanie życia Przekrojowe i kohorowe e(65) dla Polski 1960-2010, M + K 80% przedziały predykcyjne dla różnych źródeł niepewności 26.4 25.0 23.2 21.8 21.4 20.5 B. Więckowska, J. Bijak, red. T. Szumlicz (2008), Analiza ubezpieczeniowych implikacji wyników prognozy przecięnego dalszego rwania życia uzyskanej meodą Lee i Carera, wydanie specjalne Wiadomości ubezpieczeniowych, PIU, Warszawa, syczeń 2008 13
Przecięne dalsze rwanie życia Przekrojowe i kohorowe e(65) dla Polski 1960-2010, kobiey 80% przedziały predykcyjne dla różnych źródeł niepewności 30.3 28.0 25.8 24.5 23.8 22.8 B. Więckowska, J. Bijak, red. T. Szumlicz (2008), Analiza ubezpieczeniowych implikacji wyników prognozy przecięnego dalszego rwania życia uzyskanej meodą Lee i Carera, wydanie specjalne Wiadomości ubezpieczeniowych, PIU, Warszawa, syczeń 2008 14
Przecięne dalsze rwanie życia Przekrojowe i kohorowe e(65) dla Polski 1960-2010, mężczyźni 80% przedziały predykcyjne dla różnych źródeł niepewności 22.3 21.0 19.5 19.0 18.5 17.5 B. Więckowska, J. Bijak, red. T. Szumlicz (2008), Analiza ubezpieczeniowych implikacji wyników prognozy przecięnego dalszego rwania życia uzyskanej meodą Lee i Carera, wydanie specjalne Wiadomości ubezpieczeniowych, PIU, Warszawa, syczeń 2008 15
Emeryura w nowym sysemie I filar B = I x C, ind + e x K ind B. Więckowska, J. Bijak, Wpływ zmiany sysemowej na wysokość świadczeń emeryalnych w Polsce, Problemy poliyki społecznej, ł nr 12, grudzień ń 2009. 16
B = K 0 36 k + 1 1 12 ( 1 (36 k) v k px q k 37 x+ k = 0 12 12.. (12) 12 (1 + cs) a x ) B. Więckowska, J. Bijak, Wpływ zmiany sysemowej na wysokość świadczeń emeryalnych w Polsce, Problemy poliyki społecznej, ł nr 12, grudzień ń 2009. 17
Lp. Płeć * Wiek Laa składkowe Laa nieskładkowe ** Wskaźnik wysokości podsawy wymiaru *** 1 K 60 30 5 50% 2 K 60 30 5 100% 3 K 60 30 5 250% 4 K 60 30 5 300% 5 M 65 35 5 50% 6 M 65 35 5 100% 7 M 65 35 5 250% 8 M 65 35 5 300% B. Więckowska, J. Bijak, Wpływ zmiany sysemowej na wysokość świadczeń emeryalnych w Polsce, Problemy poliyki społecznej, ł nr 12, grudzień ń 2009. 18
wynagrodzenie bazowe określone zosało na poziomie 2.317,77 zł jes o kwoa odpowiadająca kwocie bazowej w wysokości 2.000,00 zł średnioroczna sopa wzrosu płac 2%, średnioroczna sopa zwrou z OFE 5%, echniczna sopa zwrou dla dożywonich emeryur kapiałowych ł 1%, koszy adminisracyjne wypłay dożywonich emeryur kapiałowych 35% 3,5% warości miesięcznego świadczenia B. Więckowska, J. Bijak, Wpływ zmiany sysemowej na wysokość świadczeń emeryalnych w Polsce, Problemy poliyki społecznej, ł nr 12, grudzień ń 2009. 19
Lp. Przekrojowa sopa zasąpienia I filar + okresowa emeryura kapiałowa I filar + okresowa emeryura kapiałowa Kohorowa sopa zasąpienia I filar + okresowa emeryura kapiałowa I filar + dożywonia emeryura kapiałowa 1 35,53% 43,39% 32,37% 39,10% 2 35,53% 43,39% 32,37% 39,10% 3 35,53% 43,39% 32,37% 39,10% 4 29,61% 36,16% 26,97% 32,58% 5-58,04% - 51,44% 6-58,04% - 51,44% 7-58,04% - 51,44% 8-48,37% - 42,86% 20
Wnioski Prognozowanie naężenia umieralności w oparciu o odpowiednie dane pozwala obliczyć prawdziwe (kohorowe) dalsze rwanie życia Nawe warian najbardziej opymisyczny przekrojowego e(x) był niższy niż najbardziej pesymisyczny warian kohorowego e(x) Wysokość świadczeń emeryalnych obliczona w oparciu o kohorowe TTŻ jes średnio o 10% niższa niż w przypadku ablic przekrojowych Sosowanie ablic przekrojowych może wiązać się z deficyem w funduszu emeryalnym, w szczególności w I filarze sysemu emeryalnego 21
Dziękuję za uwagę! Kaedra Ubezpieczenia Społecznego Szkoła ł Główna Handlowa w Warszawie ul. Wiśniowa 41 pok.35 E-mail: bawie@sgh.waw.pl 22