Model Lee i Cartera a wysokość świadczeń dożywotnich wyniki dla Polski

Transkrypt

1 Model Lee i Cartera a wysokość świadczeń dożywotnich wyniki dla Polski Jakub Bijak Środkowoeuropejskie Forum Badań Migracyjnych i Ludnościowych, Warszawa Barbara Więckowska Katedra Ubezpieczenia Społecznego Szkoła Główna Handlowa w Warszawie Praca powstała w ramach badania przeprowadzanego na zlecenie Polskiej Izby Ubezpieczeń (PIU), koordynowanego przez Prof. Tadeusza Szumlicza Ogólnopolska Konferencja Naukowa Zagadnienia Aktuarialne Teoria i praktyka Warszawa, 9 11 czerwca 2008 r.

2 Wprowadzenie Plan prezentacji Estymacja parametrów modelu Lee i Cartera Ilustracja: prognoza umieralności dla Polski do 2050 roku Błędy szacunku i prosta analiza wrażliwości wyników Ubezpieczeniowe implikacje wyników prognozy Podsumowanie i wnioski 2

3 Wprowadzenie Motywacja Do określenia wysokości świadczeń emerytalnych w systemie o zdefiniowanej składce wymagane jest określenie długości wypłat Problem Przekrojowe tablice trwania życia przeszacowują rzeczywistą umieralność poszczególnych kohort (grup urodzonych w tym samym roku) Cele pracy Przedstawienie metody prognozowania trwania życia w oparciu o zmodyfikowany model Lee i Cartera Ilustracja dla Polski - prognoza na lata Wybrane implikacje ubezpieczeniowe wyników 3

4 Model Zmodyfikowana wersja modelu Lee i Cartera: liczba zgonów - zmienna losowa o rozkładzie Poissona D ( x, t ) ~ Poisson ( E( x, t ) µ ( x, t )) ln µ ( x, t ) = a x + b x κ t κ + + = κ c ε t t 1 t Taki model dopuszcza heteroskedastyczność reszt między oszacowaną a zaobserwowaną liczbą zgonów Brouhns, N., M. Denuit, J. Vermunt (2002). A Poisson log-linear regression approach to the construction of projected life tables. Insurance: Math. Econ. 31 (3):

5 Model Metody estymacji: Lee i Carter zaproponowali metodę rozkładu wartości osobliwych (SVD), odpowiadającą KMNK Krytyka: metoda nieodpowiednia w przypadku heteroskedastycznych reszt Proponowane alternatywy: ważona MNK lub MNW Źródła niepewności prognozy z modelu L-C: 1. Losowa liczba zgonów D x (rozkład Poissona) 2. Niepewność oszacowań parametrów a x, b x i κ t 3. Ekstrapolacja komponentu κ t Alho, J. (2000). Discussion of Lee (2000). North American Actuarial Journal, 4 (1): Keilman, N., D.Q. Pham (2006), Prediction intervals for Lee-Carter-based mortality forecasts. Referat na European Population Conference 2006, Liverpool,

6 Estymacja współczynników Założenia (podejście kohortowe): Spełnione są równania bilansowe ludności (rysunek) Natężenie umieralności jest przedziałami stałe Migracje równomiernie rozłożone w ciągu roku Wiek x+1 x D (x, t) + I (x, t) P (x, t+1) Wiek ω x max P (x max, t) D (x max, t) +I (x max, t) P (x max, t+1) x 1 P (x 1, t) x max 1 P (x max 1, t) 1 B (t) P (0, t+1) D (0, t) 0 +I (0, t) t t t+1 Rok t t t+1 Rok P liczba ludności B urodzenia I saldo migracji D zgony 6

7 Ilustracja: prognoza dla Polski Dane wyjściowe (GUS) - jednoroczne grupy wieku, w latach osiągniętych - zgony według wieku i kohort (D), lata liczba ludności na początku roku (P), liczba urodzeń w ciągu roku (B), dane oczyszczone; próba ograniczona do Obliczenia Estymacja parametrów: MNW dla rozkładu Poissona Niepewność estymacji: metoda bootstrap (100 prób) x Niepewność ekstrapolacji κ t : Monte Carlo (1000 prób) Oprogramowanie: własny kod w R ( Procedura dość czasochłonna (55 h) 7

8 Ilustracja: prognoza dla Polski Obserwowane i prognozowane ln[µ(x,t)] dla obu płci Polska, (obserwacje do 2005 roku) 8

9 Ilustracja: prognoza dla Polski Wzorce ln[µ(x,t)] według wieku dla obu płci Polska, 1961, 1990, 2005 i 2050 (prognoza) 9

10 Przeciętne dalsze trwanie życia Przekrojowe e(0) dla obu płci, Polska, % przedziały predykcyjne dla różnych źródeł niepewności

11 Przeciętne dalsze trwanie życia Przekrojowe e(0) dla kobiet, Polska, % przedziały predykcyjne dla różnych źródeł niepewności

12 Przeciętne dalsze trwanie życia Przekrojowe e(0) dla mężczyzn, Polska, % przedziały predykcyjne dla różnych źródeł niepewności

13 Przeciętne dalsze trwanie życia Przekrojowe i kohortowe e(60) dla Polski , M + K 80% przedziały predykcyjne dla różnych źródeł niepewności

14 Przeciętne dalsze trwanie życia Przekrojowe i kohortowe e(60) dla Polski , kobiety 80% przedziały predykcyjne dla różnych źródeł niepewności

15 Przeciętne dalsze trwanie życia Przekrojowe i kohortowe e(60) dla Polski , mężczyźni 80% przedziały predykcyjne dla różnych źródeł niepewności

16 Przeciętne dalsze trwanie życia Przekrojowe i kohortowe e(65) dla Polski, 1990, 2005, 2015; 80% przedziały predykcyjne dla różnych źródeł niepewności Wariant 1990 Kobiety Mężczyźni Razem Wskaźniki przekrojowe, e p (65, t) 10% Średnia % Wskaźniki kohortowe, e c (65, t) 10% Średnia %

17 Błędy szacunku Reszty dla µ(x,t): przekrój przez lata kalendarzowe 17

18 Błędy szacunku Reszty dla µ(x,t): przekrój przez grupy wieku 18

19 Analiza wrażliwości wyników Przekrojowe e(0) dla obu płci, Polska : prognozy punktowe dla prób o różnej długości

20 Analiza wrażliwości wyników Przekrojowe e(0) dla obu płci, Polska : porównanie wyników estymacji MNW i SVD

21 Warunki brzegowe kapitał emerytalny zł, płeć kobieta, mężczyzna, bez rozróżniania okres gwarantowany brak <0,10> techniczna stopa zwrotu - 4% <0%, 5%>, wiek emerytalny - 60/65 <60, 70>, narzuty związane z działalnością zakładu ubezpieczeń (emerytalnego) - 7% wartości świadczenia miesięcznie zastosowano kohortowe tablice trwania życia 21

22 Wpływ czynników na wysokość świadczeń płeć ariant Kobiety Mężczyźni Razem 10% średnia 90% 10% średnia 90% 10% średnia 90% iek przejścia na emeryturę , , , , , , , , , , , , , , , , , ,5 Rozróżnianie płci: znaczne różnice pomiędzy świadczeniami mężczyzn i kobiet 18,3% (dla 60-latków) i 19,4% (dla 65-latków) Bez rozróżniania płci: mężczyźni tracą 11% (10,3% vs. 12,6%) kobiety zyskują 8% (8% vs. 9%) 22

23 Wpływ czynników na wysokość świadczeń wiek Wariant wiek przejścia na emeryturę Kobiety Razem 10% Średnia 90% 10% Średnia 90% , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,55 Rozróżniając płeć: przesunięcie decyzji emerytalnych o 1 rok (ceteris paribus) - zwiększenie świadczenia o 2,6% (2,57% vs. 2,77%) łącznie w ciągu 5 lat wzrost o 13,7% (13,5% vs. 14,7%) Bez rozróżniania płci: przyrost 2,64% (2,65% vs. 2,78%) rocznie łącznie w ciągu 5 lat wzrost o 13,9% (13,96% vs. 14,7%) 23

24 Wpływ czynników na wysokość świadczeń wiek Wariant wiek przejścia na emeryturę Mężczyźni Razem 10% Średnia 90% 10% Średnia 90% , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,01 Rozróżniając płeć: przesunięcie decyzji emerytalnych o 1 rok (ceteris paribus) - zwiększenie świadczenia o 3,5% (3,45% vs. 3,59%) łącznie w ciągu 5 lat wzrost o 18,48% (18,5% vs. 19,26%) Bez rozróżniania płci: przyrost 3,32% (3,30% vs. 3,41%) rocznie łącznie w ciągu 5 lat wzrost o 17,74% (17,60% vs. 18,25%) 24

25 Wpływ czynników na wysokość świadczeń wysokość zebranego kapitału analiza dotyczy zebranego kapitału w OFE wzrost funduszu płac 4% stopa zwrotu z OFE 7% okres składkowy 10 lat, 35 lat, 40 lat badana jest stopa zastąpienia w zależności od horyzontu inwestycyjnego Okres Kobiety Mężczyźni Razem składkowy 10 lat 35 lat 40 lat 10 lat 35 lat 40 lat 10 lat 35 lat 40 lat wiek przejścia na emeryturę 60 4,87% 25,59% 31,82% 5,96% 31,31% 38,93% 5,11% 26,87% 33,40% 65 5,54% 29,11% 36,18% 6,88% 36,13% 44,91% 5,71% 29,98% 37,27% analiza dynamiczna: kobieta przesuwając decyzję emerytalną o 5 lat zyskuje świadczenie wyższe o ponad 41% (7% średniorocznie) 25

26 Wpływ czynników na wysokość świadczeń okres gwarantowany Wariant długość okresu gwarantowanego Kobiety (60 lat) Mężczyźni (65 lat) 10% Średnia 90% 10% Średnia 90% , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,07 Kobiety: 10-letni okres gwarantowany kosztuje 1,90% (1,64% vs. 2,20% Mężczyźni: 10-letni okres gwarantowany kosztuje 9,0% (8,28% vs. 10,28% Bez rozróżniania płci: osoba w wieku 60 lat koszt 3,54% (3,25% vs. 4,01%) osoba w wieku 65 lat koszt 5,5% (5,20% vs. 6,46%) 26

27 Wpływ czynników na wysokość świadczeń techniczna stopa zwrotu Kobiety (60 lat) Mężczyźni (65 lat) Wariant 10% Średnia 90% 10% Średnia 90% techniczna stopa procentowa , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,02 Kobiety: wprowadzenie stopy na poziomie 3% wzrost o 49,6% (52,5% vs. 46,2%) podwyższanie stopy o 1 punkt wzrost o 11,75% (12,25% vs. 11,14%) Mężczyźni: wprowadzenie stopy na poziomie 3% wzrost o 33,3% (34,9% vs. 31,0%) podwyższanie stopy o 1 punkt wzrost świadczenia o 8,51% (8,84% vs. 8,03%) 27

28 Wpływ czynników na wysokość świadczeń Metodologia tworzenia tablic trwania życia Kobiety Mężczyźni Razem Wariant 10% Średnia 90% 10% Średnia 90% 10% Średnia 90% tablice kohortowe , , , , , , , , , , , , , , , , , ,55 tablice przekrojowe , , , , , , , , , , , , , , , , , ,74 rozróżniając płeć: największe różnice pomiędzy wysokościami świadczeń dochodzą nawet do 8% (kobiety dolne granice przedziałów) najmniejsze różnice pomiędzy wysokościami świadczeń to 3,69% (dla 65-letnich mężczyzn) bez rozróżniania płci: różnica w wysokości świadczeń ok.6% deficyt funduszu średnio na beneficjenta w wieku 60 lat 1,46 rocznych wypłat, w wieku 65 lat 1,2 rocznych wypłat 28

29 Podsumowanie i wnioski: metodologia Dwa podstawowe wnioski metodologiczne: 1. Prognozowanie natężenia umieralności w oparciu o odpowiednie dane pozwala obliczyć prawdziwe (kohortowe) dalsze trwanie życia 2. Zmodyfikowany model Lee i Cartera pozwala na formalną analizę różnych źródeł niepewności, co może pomóc ocenić antyselekcję ryzyka Optymistyczny akcent na zakończenie: Najprawdopodobniej będziemy żyć dłużej, niż wynika z prognozy przekrojowych wartości e(x) 29

30 Podsumowanie i wnioski: ubezpieczenia Wnioski ubezpieczeniowe 1. Zastosowanie tablic Unisex wpływa na istotne obniżenie wysokości świadczeń u mężczyzn, jednocześnie powoduje zmniejszenie kosztu okresu gwarantowanego 2. Ze względu na znaczną wrażliwość świadczeń na wysokość technicznej stopy zwrotu należałoby odrzucić możliwość wypłacania świadczeń w formule = kapitał/ przeciętne dalsze trwanie życia (wprowadzenie do analiz stopy procentowej na poziomie 3% wpływa na 50% zwiększenie świadczeń u kobiet) 3. Stosowanie tablic przekrojowych wiąże się z deficytem funduszu emerytalnego na poziomie średnio na beneficjenta w wieku 60 lat 1,46 rocznych wypłat, w wieku 65 lat 1,2 rocznych wypłat 30

31 Model Lee i Cartera a wysokość świadczeń dożywotnich wyniki dla Polski Dziękujemy za uwagę! 31