MODELOWANIE STRUKTURY PROBABILISTYCZNEJ UBEZPIECZEŃ ŻYCIOWYCH Z OPCJĄ ADBS JOANNA DĘBICKA 1, BEATA ZMYŚLONA 2

Transkrypt

1 JOANNA DĘBICKA 1, BEATA ZMYŚLONA 2 MODELOWANIE STRUKTURY PROBABILISTYCZNEJ UBEZPIECZEŃ ŻYCIOWYCH Z OPCJĄ ADBS X OGÓLNOPOLSKA KONFERENCJA AKTUARIALNA ZAGADNIENIA AKTUARIALNE TEORIA I PRAKTYKA WARSZAWA, WRZEŚNIA Praca finansowana z grantu 2013/09/B/HS4/ Praca finansowana z grantu 2011/01/B/HS4/05924

2 PLAN WYSTĄPIENIA I. OPCJA ADBS W KONTEKŚCIE WTÓRNEGO RYNKU UBEZPIECZEŃ II.MODEL WIELOSTANOWY UBEZPIECZEŃ Z OPCJĄ ADBS III. MACIERZOWA REPREZENTACJA SKŁADEK UBEZPIECZENIOWYCH IV. MODELOWANIE STRUKTURY PROBABILISTYCZNEJ MODELU V. PRZYKŁADY NUMERYCZNE

3 II. OPCJA ADBS W KONTEKŚCIE WTÓRNEGO RYNKU UBEZPIECZEŃ Rezygnacja Ubezpieczony Wartość wykupu Ubezpieczyciel Odsprzedaż Wartość odsprzedaży RYNEK UBEZPIECZENIOWY zerwanie umowy ubezpieczenia Wartość wykupu < Wartość odsprzedaży < Suma ubezpieczenia Inwestor RYNEK FINANSOWY Rynek wtórny ubezpieczeń (viatical market) odsprzedanie umowy ubezpieczenia

4 II. OPCJA ADBS W KONTEKŚCIE WTÓRNEGO RYNKU UBEZPIECZEŃ Ubezpieczony Rezygnacja Wartość wykupu Ubezpieczyciel Odsprzedaż Inwestor Life settlement RYNEK Wartość wykupu < Wartość odsprzedaży < Accelerated Death Benefit RYNEK FINANSOWY tzw. rynek wtórny opcja ADBs = możliwość wzięcia świadczenia z tytułu śmierci przez ciężko chorego ubezpieczonego

5 II. MODEL WIELOSTANOWYCH UBEZPIECZEŃ Z OPCJA ADBS UBEZPIECZENIE NA ŻYCIE UBEZPIECZONY: 1 żyje 2 nie żyje 1 2

6 UBEZPIECZENIE NA ŻYCIE + ADBS 1a 1b 1c 1d żyje zdrowy żyje chory (oczekiwany przyszły czas trwania życia > 4 lata) żyje ciężko chory (oczekiwany przyszły czas trwania życia < 4 lata) żyje ciężko chory + ADBs 2 nie żyje 1a 1b 2 1c 1d

7 UBEZPIECZENIE NA ŻYCIE + ADBS 1a 1b 1c 1d (i) żyje zdrowy żyje chory żyje ciężko chory i- ty rok żyje ciężko chory + ADBs 2 nie żyje 1a 1b 2 1c (1) 1d 1c (2) 1c (3) 1c (2)

8 III. MACIERZOWA REPREZENTACJA SKŁADEK UBEZPIECZENIOWYCH UBEZPIECZENIE NA ŻYCIE + ADBS ZMODYFIKOWANY MODEL WIELOSTANOWY 1a 1b c (1) 1d+ 1d 1c (2) nie żyje świadczenie z tytułu śmierci jest wypłacane 1c (3) 1c (2) żyje ciężko chory wcześniejsze świadczenie z tytułu śmierci jest wypłacane (opcja ADBs)

9 III. MACIERZOWA REPREZENTACJA SKŁADEK UBEZPIECZENIOWYCH S, T UBEZPIECZENIE NA ŻYCIE + ADBS ZMODYFIKOWANY MODEL WIELOSTANOWY ( * * )

10 Twierdzenie 1 (macierzowa reprezentacja składek) Dębicka (2013) Załóżmy, że spełniona jest zasada równoważności. Ponadto dla modelu wielostanowego * * S, T macierz przepływów pieniężnych określona jest dla funduszu strat ubezpieczyciela, a ( ) * składki płacone są, gdy ( ) X t = 1 dla. Wówczas a) jednorazowa składka netto, płatna na początku okresu ubezpieczenia, gdy b) stała okresowa składka netto p płatna przez pierwszych jednostek czasu trwania umowy ubezpieczenia ( ), gdy

11 Twierdzenie 2 (macierzowa reprezentacja składek ubezpieczenie z opcją ADBs) Załóżmy, że spełniona jest zasada równoważności. Ponadto dla modelu wielostanowego * * S, T macierz przepływów pieniężnych określona jest dla funduszu strat ubezpieczyciela, a ( ) składki płacone są, gdy for. Wówczas stała okresowa składka netto p płatna przez pierwszych jednostek czasu trwania umowy ubezpieczenia ( ) jest postaci, gdzie

12 IV. MODELOWANIE STRUKTURY PROBABILISTYCZNEJ MODELU - DANE Rak płuc w liczbach najczęstszy nowotwór złośliwy oraz pierwszy pod względem umieralności u mężczyzn (w Polsce i na świecie) pierwszy pod względem umieralności, drugi pod względem zapadalności po raku piersi u kobiet (w Polsce) występuje kilka razy częściej u mężczyzn niż u kobiet od połowy lat osiemdziesiątych ubiegłego wieku obserwuje się zahamowanie zachorowalności wśród mężczyzn, wśród kobiet liczba zachorowań nadal rośnie najwięcej zachorowań na raka płuc występuje w wieku około lat, głównie wśród osób palących papierosy zapadalność i śmiertelność na raka płuc jest zróżnicowana w zależności od płci, wieku, miejsca zamieszkania

13 IV. MODELOWANIE STRUKTURY PROBABILISTYCZNEJ MODELU - DANE Dane dla mężczyzn Dane dla kobiet Współczynnik zachorowalności: 20,2% (mężczyźni) 8,7% (kobiety) Współczynnik śmiertelności: 31% (mężczyźni) 15,4% (kobiety) Czas przeżycia: 1-roczny: 34,7% (mężczyźni) 41,6% (kobiety) 5-letni: 10,8 % (mężczyźni) 15,7% (kobiety)

14 IV. MODELOWANIE STRUKTURY PROBABILISTYCZNEJ MODELU - DANE Polskie Tablice Trwania Życia z 2008 roku Zbiór danych dotyczących pojedynczych hospitalizacji we wszystkich szpitalach na terenie Dolnego Śląska, dane z Dolnośląskiego Oddziału NFZ ( ) Dane z Krajowego Rejestru Nowotworów dla Dolnego Śląska ( ) Województwo Dolnośląskie Polska

15 IV. MODELOWANIE STRUKTURY PROBABILISTYCZNEJ MODELU - DANE historie hospitalizacji pacjentów z roku 2008 (horyzont czasowy od 2006 do 2011) rozpoznanie: nowotwór złośliwy płuca i oskrzela: kod C33-C34 (na podstawie międzynarodowej klasyfikacji ICD-10) dane o pacjencie: płeć, wiek, miejsce zamieszkania, rozpoznanie główne, choroby współistniejące (przerzuty do węzłów chłonnych i przerzuty tzw. odległe) identyfikacja pacjenta na bazie kodu będącego zaszyfrowanym numerem PESEL dane o hospitalizacji: długość hospitalizacji, zastosowane procedury, szpital

16 UBEZPIECZENIE NA ŻYCIE + ADBS ZMODYFIKOWANY MODEL WIELOSTANOWY W PRZYPADKU UBEZPIECZENIA OD RYZYKA ZACHOROWANIA NA NOWOTWÓR ZŁOŚLIWY PŁUC: Stan 1: osoba ubezpieczona nie choruje na złośliwy nowotwór płuc Stan 2: osoba ubezpieczona choruje na złośliwy nowotwór płuc bez przerzutów odległych Stan 3: osoba ubezpieczona choruje na złośliwy nowotwór płuc ze zdiagnozowanymi przerzutami odległymi Stan 4-6: osoba ubezpieczona z przerzutami odległymi żyje dłużej niż rok, dwa lub trzy lata. Stan 7: osoba ubezpieczona umarła Stan 9: osoba ubezpieczona skorzystała z opcji ADBs

17 IV. MODELOWANIE STRUKTURY PROBABILISTYCZNEJ MODELU Q ( k ) ( ) ( ) ( ) ( ) q22 ( k ) q23 ( k ) q24 ( k ) q27 ( k ) q34 ( k ) q37 ( k ) q39 ( k ) q45 ( k ) q47 ( k ) q49 ( k ) q ( k ) q ( k ) q ( k ) q11 k q12 k q13 k q17 k = T P(0) = (1,0,0,...,0) R Q(k)= q ( k) R ij i, j= 1 gdzie q ( k) = Ρ ( X( k + 1) = j X( k) = i) ij k 1 T T P ( k) = P (0) Q( t) N t= 0 N N N D T P (0) T P (1) = R P T ( n) N ( n+ 1)

18 IV. MODELOWANIE STRUKTURY PROBABILISTYCZNEJ MODELU 1 2 Badana kohorta: pacjenci, którzy w 2008 roku zachorowali na nowotwór złośliwy płuc 7 3 średni wskaźnik umieralności na raka płuc na osób ( ) ( ) ( ) q k = q t c 11 1 x+ k x+ k x+ k ( ) = ( ) q k c b 12 x+ k 1 x+ k ( ) q k = c b 13 x+ k x+ k ( ) q k = q t 17 x+ k x+ k średni współczynnik zapadalności na raka płuc na osób ( ) proporcja pacjentów, którzy zachorowali w roku 2008 i pierwsza diagnoza wskazywała na istnienie przerzutów (do węzłów chłonnych, mózgu, kości i innych organów)

19 IV. MODELOWANIE STRUKTURY PROBABILISTYCZNEJ MODELU Kobiety Mężczyźni WIEK

20 IV. MODELOWANIE STRUKTURY PROBABILISTYCZNEJ MODELU Badana kohorta: pacjenci, którzy w w ciągu 2008 roku chorowali na raka płuc i podczas pierwszej diagnozy w 2008 roku nie mieli przerzutów ( ) q k = q a 22 1 x+ k x+ k ( ) q k = a + 23 x k ( ) q k = q + 27 x k odsetek pacjentów z rakiem płuc w roku 2008, u których w ciągu roku 2008 stwierdzono przerzuty

21 IV. MODELOWANIE STRUKTURY PROBABILISTYCZNEJ MODELU Kobiety Mężczyźni 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,

22 IV. MODELOWANIE STRUKTURY PROBABILISTYCZNEJ MODELU Badana kohorta: pacjenci, którzy zachorowali na nowotwór złośliwy płuc w roku 2008 i u których w 2008 roku zdiagnozowano tzw. przerzuty odległe 5 Niech α 1 będzie prawdopodobieństwem, że ubezpieczony zdecyduje się wykorzystać opcję ADBs, gdy X ( k ) = 3. Wtedy q k = ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( k ) 33 0 ( ) ( 1 ) ( 1 ) q k = q k α q k = q k α q Analogicznie: α 2 - dla X ( k ) = 4 α 3 - dla X ( k ) = 5 Dla stanu 6 zakładamy, że: q67 ( k ) = 1

23 MĘŻCZYŹNI IV. MODELOWANIE STRUKTURY PROBABILISTYCZNEJ MODELU Wartości estymatorów modelu regresji logistycznej dla danych porządkowych: Parametr estymator p-value Badana kohorta: mężczyźni u których w ciągu 2008 roku zdiagnozowano przerzuty odległe Y - liczba lat, które pacjent przeżyje (Y=0,1,2,3). Stała 3 2, , Wiek (x) 0, ,000725

24 IV. MODELOWANIE STRUKTURY PROBABILISTYCZNEJ MODELU P( Y 3) = 1 ( 2) P Y ( + x) ( x) exp 2, , = 1 + exp 2, , ( 1) P Y ( x) ( x) exp 0, = 1 + exp 0, ( 0) ( 1) P Y w P Y = = 0, gdzie 0 w oznacza odsetek mężczyzn, którzy nie przeżyli roku spośród żyjących do dwóch lat ( 1) ( 1) P Y w P Y = = 1, gdzie 1 przeżyli rok spośród żyjących do dwóch lat w oznacza odsetek mężczyzn, którzy

25 MĘŻCZYŹNI IV. MODELOWANIE STRUKTURY PROBABILISTYCZNEJ MODELU ,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,

26 KOBIETY IV. MODELOWANIE STRUKTURY PROBABILISTYCZNEJ MODELU Wartości estymatorów modelu regresji Poissona z identycznościową funkcją wiążącą: Parametr estymator p-value Badana kohorta: kobiety, u których w ciągu 2008 roku zdiagnozowano przerzuty odległe Y - liczba lat, które pacjent przeżyje (Y=0,1,2,3). Stała 0, , Wiek (x) -0, ,039798

27 KOBIETY IV. MODELOWANIE STRUKTURY PROBABILISTYCZNEJ MODELU

28 V. PRZYKŁADY NUMERYCZNE MACIERZ FUNKCJI DYSKONTUJĄCEJ Dla stałej stopy procentowej For constant interest rate: 2 3 n 1 υ υ υ υ 1 2 n 1 υ 1 υ υ υ 2 1 n 2 υ υ 1 υ υ Λ= n 3 υ υ υ 1 υ n ( n 1) ( n 2) ( n 3) υ υ υ υ 1

29 V. PRZYKŁADY NUMERYCZNE MACIERZE PRZEPŁYWÓW PIENIĘŻNYCH n+1 Składka jednorazowa Składka okresowa m

30 V. PRZYKŁADY NUMERYCZNE PRZYKŁAD 1

31 V. PRZYKŁADY NUMERYCZNE PRZYKŁAD 2

32 V. PRZYKŁADY NUMERYCZNE PRZYKŁAD 3

33 LITERARTURA 1. Dębicka J. (2013) An approach to the study of multistate insurance contracts, Applied Stochastic Models in Business and Industry, Volume 29, Issue 3, pages , May/June Haberman S., Pitacco E. (1999) Actuarial Models for Disability Insurance. Chapman & Hall CRC, Londyn. 3. Kim H.S. (2009) Life settlement in US. Research report in KIDI 4. Wojciechowska U., Didkowska J. Zachorowania i zgony na nowotwory złośliwe w Polsce. Krajowy Rejestr Nowotworów, Centrum Onkologii - Instytut im. Marii Skłodowskiej - Curie. Dostępne na stronie dostęp z dnia

34 DZIĘKUJEMY ZA UWAGĘ