Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne wyższych rzędów. Różniczka funkcji i jej zastosowanie. Monotoniczność funkcji, wypukłość funkcji, twierdzenie Taylora. Ekstrema lokalne funkcji, warunki konieczne i dostateczne istnienia ekstremum, ekstrema globalne. Twierdzenie de l Hospitala. K. Trąbka-Więcław Matematyka 1 / 56 K. Trąbka-Więcław Matematyka 2 / 56 Efekty kształcenia Funkcja pierwotna, całka nieoznaczona - definicja, własności. Całkowanie przez części, całkowanie przez podstawienie. Całka oznaczona - definicja, własności, wzór Newtona-Leibniza, Całka oznaczona i jej zastosowania. Liczby zespolone Student zna funkcje elementarne. Student zna podstawowe pojęcia i fakty z zakresu rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej. Student potrafi analizować własności funkcji na podstawie badania jej pierwszej i drugiej pochodnej. Student zna podstawowe pojęcia i fakty z zakresu rachunku całkowego funkcji jednej zmiennej. Student potrafi stosować podstawowe metody całkowania do obliczania całek nieoznaczonych i oznaczonych. Student potrafi stosować całki oznaczone do rozwiązywania problemów w geometrii i fizyce. Student zna liczby zespolone i potrafi rozwiązywać zadania dotyczące liczb zespolonych. K. Trąbka-Więcław Matematyka 3 / 56 K. Trąbka-Więcław Matematyka 4 / 56 Literatura Warunki zaliczenia Krysicki W., Włodarski L.: Analiza matematyczna w zadaniach. PWN 2006. Gewert M., Skoczylas Z.: Analiza matematyczna. Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004. Jurlewicz T., Skoczylas Z.: Algebra liniowa 1. Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2007. Leitner R.: Zarys matematyki wyższej dla studentów. WNT 2001. Leitner R. et al: Zadania z matematyki wyższej. WNT 2006. warunkiem dopuszczenia do egzaminu jest zaliczenie ćwiczeń ocena 4 z ćwiczeń = zwolnienie z egzaminu skala ocen: 0-49% uzyskanych punktów - ocena 2 50-59% uzyskanych punktów - ocena 3 60-69% uzyskanych punktów - ocena 3,5 70-79% uzyskanych punktów - ocena 4 80-89% uzyskanych punktów - ocena 4,5 90-100% uzyskanych punktów - ocena 5 K. Trąbka-Więcław Matematyka 5 / 56 K. Trąbka-Więcław Matematyka 6 / 56 Funkcje elementarne konsultacje: środa 13-14 (s. 733 Wydz. Mechaniczny) adres mailowy: k.trabka@pollub.pl materiały do wykładów: www.pollub.pl Wydział Mechaniczny Instytut Technologicznych Systemów Informacyjnych Pracownicy lub tnij.org/ktrabka 1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne 2 Ogólne własności funkcji 3 Funkcje elementarne K. Trąbka-Więcław Matematyka 7 / 56 K. Trąbka-Więcław Matematyka 8 / 56
Wyrażenia potęgowe (wykładnik całkowity) Dla a R, n N mamy a 1 = a, a n = a a n 1. Zatem a n = } a a {{... a}. n razy Przyjmujemy ponadto, że a 0 = 1, a 0. Dla a R \ {0}, n N mamy a n = 1 a n. Własności wyrażeń potęgowych: 1 a m a n = a m+n 2 a m a n = am n 3 a m b m = (ab) m a m ( ) a m 4 b m = b 5 (a m ) n = a mn 6 jeśli a > 1 i m > n, to a m > a n 7 jeśli 0 < a < 1 i m > n, to a m < a n K. Trąbka-Więcław Matematyka 9 / 56 K. Trąbka-Więcław Matematyka 10 / 56 Pierwiastki i wyrażenia potęgowe (wykładnik wymierny) Logarytmy Dla a 0, n N pierwiastkiem arytmetycznym n-tego stopnia z liczby a nazywamy liczbę rzeczywistą b 0 taką, że b n = a. Piszemy b = n a. dla a < 0 i n NPar przyjmujemy, że n a = a n jeśli a < 0 i n Par, to pierwiastek arytmetyczny nie istnieje Dla a > 0, a 1 oraz b > 0 logarytmem przy podstawie a z liczby b nazywamy liczbę c taką, że a c = b. log a b = c a c = b dla a > 0 oraz m Z, n N mamy a m n n = a m K. Trąbka-Więcław Matematyka 11 / 56 K. Trąbka-Więcław Matematyka 12 / 56 Własności wyrażeń logarytmicznych: 1. log a b + log a c = log a (bc) ( ) b 2. log a b log a c = log a c 3. log a a = 1 4. log a 1 = 0 5. log a b n = n log a b 7. log a b = log d b log d a, d > 0, d 1 8. log a b = 1 log b a, b 1 9. log a (a b) = b 10. a log a b = b 6. log a n b = 1 n log a b K. Trąbka-Więcław Matematyka 13 / 56 K. Trąbka-Więcław Matematyka 14 / 56 Ogólne własności funkcji gdy a = 10, to piszemy log b lub lg b gdy a = e, to logarytm nazywamy naturalnym i piszemy wtedy ln b liczba e (liczba Eulera) e 2, 71828... Definicja 1 Niech dane będą niepuste zbiory X, Y. Jeśli każdemu elementowi zbioru X przyporządkujemy dokładnie jeden element zbioru Y, to mówimy, że została określona funkcja zbioru X w zbiór Y i piszemy f : X Y. Każdy element zbioru X nazywamy argumentem funkcji f ; zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f i piszemy D f lub D. Element zbioru Y, który fukcja f przyporządkowuje argumentowi x oznaczamy przez f (x) i nazywamy wartością funkcji odpowiadająca argumentowi x. Zbiór wartości funkcji nazywamy przeciwdziedziną i piszemy R f lub R. K. Trąbka-Więcław Matematyka 15 / 56 K. Trąbka-Więcław Matematyka 16 / 56
Jeśli funkcję określa tylko wzór, bez jawnego określenia dziedziny, to zbiór elementów należących do X, dla których ten wzór ma sens, nazywamy dziedziną naturalną funkcji. Podanie jawne dziedziny lub wyznaczenie dziedziny naturalnej jest częścią definicji funkcji, jest więc niezbędne. Jednak wyznaczenie przeciwdziedziny nie jest potrzebne dla prawidłowego zdefiniowania funkcji, często jest trudne. Definicja 2 Funkcję f : X Y nazywamy różnowartościową w zbiorze X, gdy [x 1 x 2 ] [f (x 1 ) f (x 2 )] x 1,x 2 X Funkcję różnowartościową nazywamy również funkcją wzajemnie jednoznaczną. Zapisujemy to symbolem 1 : 1. Przykład 1 Zbadaj różnowartościowość funkcji: f (x) = x + 5 x 3, g(x) = x 2 + 2x 3, h(x) = x 1 x. K. Trąbka-Więcław Matematyka 17 / 56 K. Trąbka-Więcław Matematyka 18 / 56 Niech dane będą dwie funkcje f : X U oraz g : W Y. Niech ponadto R f D g. Zatem f : X x u = f (x) R f g : D g u y = g(u) Y. oraz Można więc przyporządkować argumentowi x X wartość y = g(u) = g(f (x)) Y. W ten sposób zdefiniowaliśmy nową funkcję h : X Y daną wzorem h(x) = g(f (x)). Funkcję h nazywamy złożeniem lub superpozycją funkcji f i g,co zapisujemy h = g f. Funkcję f nazywamy funkcją wewnętrzną, a g - funkcją zewnętrzną tego złożenia. Jeśli nie zachodzi warunek R f D g, to składać funkcje f i g można tylko w pewnym podzbiorze zbioru X, mianowicie takim A X, dla którego zawężenie funkcji f - oznaczmy je przez f - ma zbiór wartości zawarty w dziedzinie funkcji g. R f Złożenie funkcji na ogół nie jest przemienne, tzn. f g g f. Przykład 2 Wyznaczyć, o ile to możliwe, złożenia f g i g f dla funkcji: a) f (x) = x i g(x) = 2 + sin x, b) f (x) = log x i g(x) = 1 x 2. K. Trąbka-Więcław Matematyka 19 / 56 K. Trąbka-Więcław Matematyka 20 / 56 Definicja 3 Funkcję g : Y X nazywamy funkcją odwrotną do funkcji f : X Y, jeśli dla każdego elementu x X zachodzi równość g(f (x)) = x oraz dla każdego elementu y Y zachodzi równość f (g(y)) = y. Twierdzenie 1 Jeśli funkcja f : X Y jest różnowartościowa w X, to istnieje funkcja odwrotna do niej. Funkcję odwrotną oznaczamy symbolem f 1. Wykres funkcji i funkcji do niej odwrotnej są symetryczne względem prostej y = x. Przykład 3 Wyznacz funkcje odwrotne do funkcji: f (x) = x+5 x 3, g(x) = x 2, h(x) = x 3. K. Trąbka-Więcław Matematyka 21 / 56 K. Trąbka-Więcław Matematyka 22 / 56 Definicja 4 Funkcję f : X Y nazywamy rosnącą w przedziale (a, b), jeśli [x 1 < x 2 ] [f (x 1 ) f (x 2 )] Definicja 5 Funkcję f : X Y nazywamy ściśle rosnącą w przedziale (a, b), jeśli [x 1 < x 2 ] [f (x 1 ) < f (x 2 )] Definicja 6 Funkcję f : X Y nazywamy malejącą w przedziale (a, b), jeśli [x 1 < x 2 ] [f (x 1 ) f (x 2 )] Definicja 7 Funkcję f : X Y nazywamy ściśle malejącą w przedziale (a, b), jeśli [x 1 < x 2 ] [f (x 1 ) > f (x 2 )] K. Trąbka-Więcław Matematyka 23 / 56 K. Trąbka-Więcław Matematyka 24 / 56
Definicja 8 Mówimy, że funkcja jest monotoniczna w przedziale (a, b), jeśli jest w tym przedziale rosnąca lub malejąca. Przykład 4 Funkcja f (x) = tg x rośnie w każdym z przedziałów postaci ( π 2 + kπ, π 2 + kπ), k Z; nie rośnie jednak w sumie przedziałów tej postaci. Np. dla x 1 = 0, x 2 = 3 4 π mamy f (x 1) = 0 > 1 = f (x 2 ). Definicja 9 Funkcję f : X Y nazywamy parzystą, jeśli [ x X f (x) = f ( x)]. x X Definicja 10 Funkcję f : X Y nazywamy nieparzystą, jeśli [ x X f (x) = f ( x)]. x X K. Trąbka-Więcław Matematyka 25 / 56 K. Trąbka-Więcław Matematyka 26 / 56 Przykład 5 Zbadać parzystość funkcji: f (x) = x + 5 x 3, g(x) = x 2, h(x) = x 3, f 1 (x) = x 2 + 2 x 4 + x 2 + 1, f 2 (x) = 2x 3 x 2 x + 3 x. Definicja 11 Funkcję f : X Y nazywamy okresową, jeśli [x ± T X f (x + T ) = f (x)]. T >0 x X Liczbę T nazywamy okresem funkcji f. Najmniejszą z liczb T, o których mowa w powyższej definicji nazywamy okresem podstawowym funkcji f. Przykład 6 f (x) = sin x g(x) = ctg x X = R, T = 2π lub dowolna wielokrotność 2π X = R \ {kπ : k Z}, T = π lub dowolna wielokrotność π K. Trąbka-Więcław Matematyka 27 / 56 K. Trąbka-Więcław Matematyka 28 / 56 Funkcje elementarne Wielomian (funkcja wielomianowa) f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje logarytmiczne, cyklometryczne) oraz wszystkie funkcje otrzymywane w wyniku skończenie wielu działań arytmetycznych lub złożeń tych funkcji. D f = R Jeśli a n 0, to mówimy, że f jest wielomianem stopnia n. gdy n = 0, to mówimy, że f jest wielomianem stopnia 0 lub funkcją stałą gdy n = 1, to mówimy, że f jest wielomianem stopnia 1 lub funkcją liniową gdy n = 2, to mówimy, że f jest wielomianem stopnia 2 lub funkcją kwadratową K. Trąbka-Więcław Matematyka 29 / 56 K. Trąbka-Więcław Matematyka 30 / 56 Funkcja kwadratowa postać ogólna: f (x) = ax 2 + bx + c, a 0 postać kanoniczna: ( f (x) = a x + b ) 2 2a 4a = a(x p)2 + q, gdzie p = b 2a, q = 4a są wpółrzędnymi wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f ; = b 2 4ac postać iloczynowa: f (x) = a(x x 1 )(x x 2 ), gdzie x 1 = b 2a, x 2 = b+ 2a, gdy 0 Jeśli x 1, x 2 są pierwiastkami równania kwadratowego ax 2 + bx + c = 0 (zatem a 0 i 0 ), to x 1 + x 2 = b a, x 1x 2 = c a (wzory Viete a) Funkcja wymierna to iloraz dwóch wielomianów f (x) = P(x) Q(x), przy czym Q nie jest wielomianem zerowym. D f = R \ {x : Q(x) = 0} gdy Q(x) = c, c R \ {0}, to funkcja wymierna jest wielomianem gdy P(x) = ax + b, Q(x) = cx + d, ad bc 0, to funkcja wymierna jest postaci f (x) = ax + b cx + d i nazywamy ją funkcją homograficzną K. Trąbka-Więcław Matematyka 31 / 56 K. Trąbka-Więcław Matematyka 32 / 56
Własności funkcji homograficznej f (x) = ax+b cx+d, ad bc 0, c 0: Funkcję homograficzną można przedstawić w postaci f (x) = 1 c ( a + ) bc ad cx + d jest więc złożeniem funkcji liniowej i funkcji odwrotność. D f = R \ { d c }, R f = R \ { a c }, Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola (równoosiowa), której asymptotą pionową jest prosta x = d c, zaś poziomą prosta y = a c. K. Trąbka-Więcław Matematyka 33 / 56 K. Trąbka-Więcław Matematyka 34 / 56 Funkcja wykładnicza Funkcja homograficzna jest różnowartościowa w całej swojej dziedzinie. Funkcją odwrotną do funkcji y = f (x) = ax+b cx+d jest funkcja homograficzna g(y) = dy+b cy a. Funkcja homograficzna jest bądź malejąca bądź rosnąca w każdym z przedziałów (, d c ) oraz ( d c, ). To nie znaczy, że f jest malejąca (rosnąca) w całej dziedzinie! Dla przykładu funkcja f (x) = 1 x maleje osobno w (, 0) oraz w (0, ), ale nie maleje w zbiorze (, 0) (0, ), gdyż np. dla x 1 = 1 < 1 = x 2 nie jest prawdą, że f (x 1 ) = 1 > 1 = f (x 2 ). D f = R, R f = R + f (x) = a x, a > 0, a 1 K. Trąbka-Więcław Matematyka 35 / 56 K. Trąbka-Więcław Matematyka 36 / 56 Własności funkcji wykładniczej: Funkcja wykładnicza jest różnowartościowa w całej dziedzinie. Funkcją odwrotną do funkcji y = f (x) = a x, a > 0, a 1 jest funkcja g(y) = log a y. Jeśli a > 1, to funkcja f (x) = a x jest rosnąca w R. Jeśli 0 < a < 1, to funkcja f (x) = a x jest malejąca w R. Prosta y = 0 jest asymptotą poziomą funkcji wykładniczej. gdy a = e, to funkcję f (x) = e x nazywamy funkcją exponens, piszemy również f (x) = exp(x) K. Trąbka-Więcław Matematyka 37 / 56 K. Trąbka-Więcław Matematyka 38 / 56 Funkcja logarytmiczna D f = R +, R f = R f (x) = log a x, a > 0, a 1 Własności funkcji logarytmicznej: Funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa w całej dziedzinie. Funkcją odwrotną do funkcji y = f (x) = log a x, a > 0, a 1 jest funkcja g(y) = a y. Jeśli a > 1, to funkcja f (x) = log a x jest rosnąca w R +. Jeśli 0 < a < 1, to funkcja f (x) = log a x jest malejąca w R +. Prosta x = 0 jest asymptotą pionową funkcji logarytmicznej. K. Trąbka-Więcław Matematyka 39 / 56 K. Trąbka-Więcław Matematyka 40 / 56
Funkcje trygonometryczne Funkcje sin, cos, tg, ctg definiuje się jako funkcje zmiennej rzeczywistej będącej łukową miarą kąta skierowanego. sin α = b r cos α = a r tg α = b a ctg α = a b K. Trąbka-Więcław Matematyka 41 / 56 K. Trąbka-Więcław Matematyka 42 / 56 W przypadku kąta ostrego funkcje trygonometryczne można określić jako proporcje boków w trójkącie prostokątnym. f (x) = sin x sin α = a c cos α = b c tg α = a b f (x) = cos x ctg α = b a K. Trąbka-Więcław Matematyka 43 / 56 K. Trąbka-Więcław Matematyka 44 / 56 f (x) = tg x f (x) = ctg x K. Trąbka-Więcław Matematyka 45 / 56 K. Trąbka-Więcław Matematyka 46 / 56 + wzory redukcyjne Własności funkcji trygonometrycznych: sin cos dziedzina R R przeciwdziedzina [ 1, 1] [ 1, 1] Parzystość / N P Nieparzystość okresowość T = 2π T = 2π różnowartościowość w każdym z [ π 2 + kπ, π 2 + kπ] [kπ, π + kπ] przedziałów π ekstrema 2 + kπ kπ asymptoty pionowe - - K. Trąbka-Więcław Matematyka 47 / 56 K. Trąbka-Więcław Matematyka 48 / 56
tg ctg dziedzina R \ { π 2 + kπ} R \ {kπ} przeciwdziedzina R R Parzystość / N N Nieparzystość okresowość T = π T = π różnowartościowość w każdym z ( π 2 + kπ, π 2 + kπ) (kπ, π + kπ) przedziałów ekstrema - - asymptoty pionowe x = π 2 + kπ x = kπ k Z Funkcje trygonometryczne nie są różnowartościowe w swych dziedzinach. Nie posiadają więc funkcji odwrotnych. Jeżeli jednak zawęzimy te funkcje do odpowiednich przedziałów, to otrzymamy funkcje różnowartościowe. Tak uzyskane zawężenia funkcji trygonometrycznych mają już funkcje odwrotne zwane funkcjami cyklometrycznymi. funkcja dziedzina zawężona funkcja odwrotna sin [ π 2, π 2 ] arc sin cos [0, π] arc cos tg ( π 2, π 2 ) arc tg ctg (0, π) arc ctg K. Trąbka-Więcław Matematyka 49 / 56 K. Trąbka-Więcław Matematyka 50 / 56 Funkcje cyklometryczne Funkcje cyklometryczne są funkcjami odwrotnymi do odpowiednio zawężonych funkcji trygonometrycznych. Wartości funkcji cyklometrycznych są więc łukowymi miarami kątów odpowiadających w zawężonej dziedzinie wartościom stosownej funkcji trygonometrycznej. funkcja f D f R f funkcja D g R g odwrotna g sin [ π 2, π 2 ] [ 1, 1] arc sin [ 1, 1] [ π 2, π 2 ] cos [0, π] [ 1, 1] arc cos [ 1, 1] [0, π] tg ( π 2, π 2 ) R arc tg R ( π 2, π 2 ) ctg (0, π) R arc ctg R (0, π) K. Trąbka-Więcław Matematyka 51 / 56 K. Trąbka-Więcław Matematyka 52 / 56 K. Trąbka-Więcław Matematyka 53 / 56 K. Trąbka-Więcław Matematyka 54 / 56 K. Trąbka-Więcław Matematyka 55 / 56 K. Trąbka-Więcław Matematyka 56 / 56