PROGRAM ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI NA KIERUNKU MATEMATYKA

Transkrypt

1 PROGRAM ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI NA KIERUNKU MATEMATYKA UNIWERSYTET PRZYRODNICZO HUMANISTYCZNY Instytut Matematyki i Fizyki Siedlce 2011

2 Dział matematyki Szczegółowy program Liczba godz. I. ELEMENTY LOGIKI Zdania logiczne. Przykłady i kontrprzykłady. Funktory zdaniotwórcze. Tautologie i reguły wnioskowania rachunku zdań. Najważniejsze II. ZBIORY. III. ELEMENTY LOGIKI II IV. FUNKCJE V. LINIOWA VI. KWADRATOWA VII. WIELOMIANY przykłady praw i reguł. Dowody nie wprost. Zbiór jako pojęcie pierwotne. Różne sposoby definiowania zbiorów. Najważniejsze zbiory liczbowe. Podzbiór i zbiór potęgowy. Działania na zbiorach. Prawa rachunku zbiorów. Wartość bezwzględna. Interpretacja geometryczna. Kwantyfikatory. Funkcje zdaniowe i pojęcie spełniania. Tautologie i reguły wnioskowania rachunku predykatów. Pojęcie dowodu. Teorie matematyczne. Modele. Definicja funkcji. Dziedzina i wykres. Podstawowe pojęcia (zbiór wartości, miejsca zerowe, obraz i przeciwobraz zbioru). Własności funkcji rzeczywistych (różnowartościowość, monotoniczność, parzystość, nieparzystość, okresowość). Funkcja odwrotna i składanie funkcji. Przekształcenia wykresów. Własność funkcji liniowej. Równania i nierówności liniowe. Układy równań i różne sposoby ich rozwiązywania. Proste zadania optymalizacyjne. Różne postacie trójmianu kwadratowego. Wzory Viete a. Zależności wykresu funkcji kwadratowej od jej współczynników. Równania i nierówności kwadratowe. Układy równań stopnia drugiego. Potęgowanie liczb rzeczywistych. Wzory skróconego mnożenia. Wielomian i funkcja wielomianowa. Działania na wielomianach. Schemat Hornera. Twierdzenie o dzieleniu z resztą. Pierwiastki wielomianu. Twierdzenie Bezouta. Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych. Pierwiastki wielokrotne. Algorytm Euklidesa. Równania i nierówności wielomianowe. Uogólnione wzory Viete a. Wielomiany symetryczne i ich zastosowania przy

3 rozwiązywaniu układów równań. VIII. FUNKCJE WYMIERNE IX. FUNKCJE POTĘGOWE O WYKŁADNIKU WYMIERNYM. X. WYKŁADNICZA XI. LOGARYTMICZNA Definicja i własności funkcji wymiernych. Działania na funkcjach wymiernych. Rozkład na ułamki proste. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Potęga o wykładniku wymiernym. Niezależność od przedstawienia wykładnika. Własności funkcji potęgowej. Równania i nierówności potęgowe. Definicja i własności funkcji wykładniczej. Równania i nierówności wykładnicze. Zastosowania funkcji wykładniczej w matematyce finansowej. Definicja logarytmu. Podstawowe wzory. Własności funkcji logarytmicznej. Równania i nierówności logarytmiczne. Zastosowania funkcji logarytmicznej w matematyce finansowej. XII. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE XIII. CIĘGI LICZBOWE XIV. GRANICE FUNKCJI Definicje funkcji trygonometrycznych. Okrąg trygonometryczny i wzory redukcyjne. Własności funkcji trygonometrycznych. Związki między nimi. Wykresy. Równania i nierówności trygonometryczne. Funkcje cyklometryczne. Różne rodzaje definicji ciągów. Indukcja matematyczna. Symbol i dwumian Newtona. Trójkąt Pascala. Ciągi monotoniczne i ciągi ograniczone. Definicja granicy ciągu. Podciągi. Twierdzenia o granicach. Symbole nieoznaczone. Liczba e. Ciągi arytmetyczny i geometryczny. Ciągi rekurencyjne. Ciąg Fibonacciego. Szeregi liczbowe. Suma szeregu. Granca dolna i granica górna ciągu. Definicje ciągowe granic funkcji. Definicje otoczeniowe granic funkcji. Przykłady i kontrprzykłady. Twierdzenia o granicach. Asymptoty wykresów funkcji.

4 XV. FUNKCJE CIĄGŁE XVI. POCHODNA FUNKCJI XVII. ZASTOSOWANIA RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO XVIII. RACHUNEK CAŁKOWY XIX. PLANIMETRIA XX. STEREOMETRIA XXI. GEOMETRIA ANALITYCZNA XXII. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃST WA Ciągłość funkcji w punkcie i zbiorze. Przykłady i kontrprzykłady. Własność funkcji ciągłych. Twierdzenia: Darboux i Weierstrassa. Zastosowania. Definicja pochodnej funkcji w punkcie. Funkcja pochodna. Pochodna niewłaściwa. Interpretacje: geometryczna, fizyczna i ekonomiczna. Twierdzenia o działaniach arytetycznych na pochodnych. Pochodna funkcji złożonej i pochodna funkcji odwrotnej. Pochodne wyższych rzędów. Interpretacje drugiej pochodnej. Wzór Leibniza. Pojęcia ekstremów lokalnych i globalnych funkcji. Zastosowanie pochodnej do badania monotoniczności funkcji i jej ekstremów. Pojęcia wklęsłości i wypukłości funkcji. Wzór Jensena. Punkty przegięcia. Zastosowania drugiej pochodnej do badania funkcji. Informacja o regule de l Hospitala. Przykłady. Zadania optymalizacyjne. Metoda najmniejszych kwadratów. Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona. Twierdzenia o całkach nieoznaczonych. Całkowania przez podstawienie i przez części. Całkowanie funkcji wymiernych. Całka oznaczona, jej interpretacja i własności. Wzór Newtona-Leibniza. Zastosowania całki oznaczonej. Podstawowe własności figur płaskich. Wektory i działania na wektorach. Przekształcenia geometryczne. Przystawanie i podobieństwo. Twierdzenie Talesa. Kąty i okręgi. Własności czworokątów. Twierdzenia:sinusów i cosinusów. Płaszczyzny i proste w przestrzeni. Kąt dwuścienny. Wielościany i bryły obrotowe. Pola powierzchni, objętości i przekroje. Twierdzenie Eulera. Wielościany foremne. Podstawowe figury w układzie współrzędnych. Wektory w układzie współrzędnych. Iloczyn skalarny i wektorowy. Pola i objętości. Opisy analityczne przekształceń geometryczych. Kombinatoryka. Przestrzeń zdarzeń elementarnych. Zdarzenia losowe. Algebra zdarzeń. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa. Własności prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo: klasyczne i geometryczne. Prawdopodobieństwo warunkowe i prawdopodobieństwo całkowite.

5 XXIII. ELEMENTY STATYSTYKI Wzór Bayesa. Zdarzenia niezależne. Schemat Bernoulliego. Dane statystyczne i ich klasyfikacja. Srednia i mediana z próby. Wariancja i odchylenie standardowe z próby. 2 Literatura: 1. E.Świda, K.Kłaczow, A.Winsztal: Zdaj maturę. Matematyka. Oficyna Edukacyjna Krzysztof Pazdro, M.Małek, Z.Marciniak, A.Sułkowska, P.Traczyk: Egzaminy testowe z matematyki, WSiP, 200. A. Cewe, Cz. Grajek, H. Nahorska: Matura. Zbiór zadań. Cz.II. Wyd. Podkowa. Gdańsk, N.J.Wilenkin: Kombinatoryka PWN,1972. J.Jakubowski, R.Sztencel: Rachunek prawdopodobieństwa dla (prawie) każdego. SCRIPT, Warszawa R.Smullyan: Jaki jest tytuł tej książki, Książka i Wiedza, D.Ch.Musztard: Przygotowanie do olimpiad matematycznych, Oficyna Wydawniczo- Poligraficzna ADAM, Warszawa 200. J.Banaś, S.Wędrychowicz: Zbiór zadań z analizy matematycznej, WNT,1997