Statytycza ocea wyików pomiaru STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczeia jet: uświadomieie tudetom, że każdy wyik pomiaru obarczoy jet błędem o ie zawze zaej przyczyie i wartości, zapozaie ze tatytyczą aalizą wyików pomiarów, poobami zajdowaia i elimiacji wyików obarczoych błędami grubymi, oceą kładowej przypadkowej błędu, wkazaie a koieczość aalizy waruków i wyików pomiarów pod kątem obecości kładowej ytematyczej błędu PROGRAM ĆWICZENIA Pomiary wymiarów liiowych trójkątów, a, b, c, h a, h b, h c a zapozać ię z obługą uwmiarki i przeprowadzić kilka pomiarów próbych b przygotować tabele pomiarowe, Numer Nr a b c h a h b h c tudeta Trójkąta 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 Numer tudeta odpowiada umerowi pierwzego trójkąta jaki mierzył tudet Te pierwzy trójkąt jet jego trójkątem c zmierzyć wymiary a, b, c, h a, h b, h c, wojego trójkąta a wyiki zapiać w tabeli w wierzu odpowiadającym umerowi trójkąta d wymieiać z kolegami trójkąty (ewetualie rówież uwmiarki - patrz uwagi), zmierzyć ich wymiary a wyiki wpiać w odpowiedie wierze tabeli Przekazaie wyików pomiarów a podzielić tabelę z wyikami pomiarów a wyiki pomiaru pojedyczych trójkątów,
Statytycza ocea wyików pomiaru b zebrać wyiki pozczególych trójkątów- przekazać wyiki pomiaru każdego trójkąta właścicielom trójkątów (pierwzy mierzoy przez tudeta trójkąt jet jego trójkątem) c Przygotować tabelę wyików pomiaru wymiarów liiowych trójkąta wojego trójkąta 3 Przygotowaie tabel z wyikami pozczególych trójkątów a Tabela wyików pomiarów wymiarów liiowych trójkąta r Nr tudeta a b c h a h b h c 8 X X- wartość średia wyików; - odchyleie tadardowe b Tabela wyików pomiaru pośrediego pola trójkąta r Nr tudeta 8 P a [mm ] P b [mm ] P c [mm ] P H [mm ] X P- powierzchia trójkąta; P a, P b, P c powierzchia obliczoa z odpowiediej podtawy i wyokości, P H - powierzchia obliczoa z wzoru Heroa Aaliza i opracowaie wyików pomiarów Każdy tudet przeprowadza idywidualą aalizę wyików pomiarów wojego trójkąta W ramach tej aalizy ależy: a) Zbadać, czy ą pomiary obciążoe błędem grubym i przeprowadzić elimiację lub korektę tych wyików W razie potrzeby wyzaczyć wartości parametrów tatytyczych w korygowaej erii pomiarów b) Przeprowadzić aalizę miar błędów przypadkowych (odchyleń tadardowych ) w wyikach pomiarów boków i wyokości Porówać między obą wartości odchyleń tadardowych w grupie pomiarów boków, w grupie pomiarów wyokości oraz określić relacje między wartościami odchyleń tadardowych pomiarów boków i wyokości c) Porówać iepewość pomiaru wyikającą z błędów przypadkowych pomiarów boków i wyokości z błędem graiczym uwmiarki Podać otatecze wyiki tych pomiarów z uwzględieiem przedziałów iepewości d) Przeprowadzić aalizę wyików obliczeń powierzchi pola badaego trójkąta P za pomocą różych wzorów Sprawdzić czy otrzymae wyiki ie ą przecze Oceić,
Statytycza ocea wyików pomiaru 3 czy ą wyiki obarczoe błędami ytematyczymi i jaka mogła być ich przyczya e) * Wyzaczyć miimalą liczbę pomiarów pozczególych boków i wyokości, którą ależałoby wykoać, aby błąd przypadkowy wyzaczeia średiej arytmetyczej w każdym z tych pomiarów, był przyajmiej 0 razy miejzy iż błąd graiczy uwmiarki ( a więc pomijalie mały ) f)*wyzaczyć wartości graicze bezwzględych i względych błędów przypadkowych pomiarów pola trójkąta z różych wzorów Sprawdzić czy zachodzi prawo propagacji błędów przypadkowych, Np czy : (δ p P a ) = (δ p a) + (δ p h a )? WPROWADZENIE DO TEMATU Pomiar jet czyością doświadczalą, wykoywaą w celu wyzaczeia wartości jakiejś wielkości Do wykoaia pomiaru potrzebe ą odpowiedie środki techicze - arzędzia pomiarowe, i oberwator - człowiek wykoujący pomiary i aalizujący ich wyiki Po wykoaiu pomiaru dypoujemy zbiorem wartości odczytaych z przyrządów pomiarowych Są to urowe wyiki pomiarów Mogą być oe uporządkowae i zarejetrowae w potaci pliku daych, tabeli lub wykreu Wyik pomiaru odczytay z przyrządu różi ię prawie zawze od wartości prawdziwej ( rzeczywitej ) mierzoej wielkości, to jet tej którą ma ta wielkość w chwili przeprowadzaia pomiaru Dokładość pomiaru określa bliką zgodość wyiku pomiaru z wartością prawdziwą Miarą dokładości jet błąd pomiaru, będący różicą między otrzymaym wyikiem a wartością prawdziwą Wartość prawdziwa jet pojęciem teoretyczym, idealym W praktyce możemy ię tylko przybliżyć do jej wartości za pomocą wartości poprawej, określoej tak dokładie, że moża a tej podtawie, z pewą iepewością, wyzaczyć błąd pomiaru Najczęściej jedak ie dypoujemy wartością poprawą i błędu pomiaru ie potrafimy określić jedozaczie Umiejętość przewidywaia przyczy i miejc wytępowaia błędów pozwala oceić ich charakter, ozacować ajwiękzą możliwą wartość dodatią i ujemą błędu, zaleźć wzajeme korelacje między błędami w pomiarach pośredich i złożoych itd Źródłami błędów i iepewości w pomiarach ą mi: arzędzia pomiarowe, metoda pomiaru, wpływy zewętrze, obliczeia, oberwator Nieuchroość itieia błędów w pomiarach i trudość z ich zidetyfikowaiem powoduje iepewość wyików pomiarów i rozrzut wartości, które moża w uzaadioy poób przypiać wielkości mierzoej Wyikiem pomiaru jet zatem zawze para liczb charakteryzująca przedział wartości w obrębie którego zajduje ię z makymalie dużym prawdopodobieńtwem wartość prawdziwa mierzoej wielkości Szacowaie przedziału iepewości otrzymaych wyików pomiarów jak i zukaie metod ograiczeia przyczy i miejc wytępowaia błędów jet w metrologii dużą ztuką Loowość zjawik decydujących w dużym topiu o wyikach pomiaru powoduje, że 3
Statytycza ocea wyików pomiaru 4 do aalizy błędów i ocey iepewości otrzymywaych wyików wykorzytuje ię modele i metody rachuku prawdopodobieńtwa i tatytyki matematyczej Przeprowadzeie erii pomiarów- czyli -krote powtórzeie pomiaru tej amej wielkości, daje zaę a wyzaczeie błędów o charakterze przypadkowym i admierym Zmiaa metody pomiaru pozwala a zauważeie błędu ytematyczego Spoób doboru metod pomiarowych i powtórzeia pomiaru mui być wybray świadomie, dając zaę a wykrycie błędów jedej z wymieioych kategorii Błędy ytematycze w pomiarach tej amej wartości pewej wielkości, w iezmieych warukach, tym amym arzędziem i metodą pomiarową, przeprowadzoych przez tego amego oberwatora pozotają tałe Wykrycie tych błędów jet możliwe przez powtórzeie pomiarów po zmiaie jedego z czyików wpływających a wyik, p iym arzędziem, w iej temperaturze, w iym miejcu, w przypadku pomiarów pośredich przez korzytaie z iej zależości fukcyjej między wyikiem a wielkościami mierzoymi bezpośredio ( w ćwiczeiu wyiki pomiaru pola trójkąta moża okręcić z różych wzorów i- z długości podtawy i wyokości lub tylko długości boków trójkąta)tp Błąd przypadkowy powoduje, że wyiki kolejych pomiarów zmieiają ię w poób loowy, mimo, że mierzoa jet ta ama wartość wielkości w warukach praktyczie iezmieych Wyikami pomiarów obarczoymi błędami przypadkowymi rządzą prawa tatytyki i ich modelem matematyczym jet rozkład ormaly ( Gaua) Błędy admiere (grube, omyłki) powodują wyraźe odtęptwo wyiku pomiaru w erii od pozotałych wyików otrzymaych w praktyczie iezmieych warukach Bardzo częto ich bezpośredim źródłem jet wykoujący pomiary człowiek Opracowaie erii wyików pomiarów x i ( dla i =, ) i wiokowaie o ich iepewości rozpoczya ię od wyzaczeia podtawowych parametrów tatytyczych daej erii -elemetowej: - wartości średiej arytmetyczej z pomiarów: X = x i i= - odchyleia tadardowego ( odchyleia średiokwadratowego ) wyików pomiarów od wartości średiej: = i = i= ( x X) i Różica miedzy wartością średią z wyików pomiarów i wartością, którą moża uzać za poprawą wyzacza błąd ytematyczy popełiay w każdym z pomiarów w erii Modelem matematyczym błędów przypadkowych jet rozkład ormaly (Gaua) opiay fukcją rozkładu gętości prawdopodobieńtwa f(x) zdarzeń loowych, którymi ą koleje wyiki pomiarów x : = ( x µ ) f( x) exp σ π σ 4
Statytycza ocea wyików pomiaru 5 gdzie: µ - wartość oczekiwaa E{x} σ - odchyleie tadardowe Parametr σ azyway jet wariacją Wariacja i odchyleie tadardowe ą miarą rozprozeia wartości x wokół wartości oczekiwaej µ, czyli tej ajbardziej prawdopodobej Z właściwości fukcji gętości prawdopodobieńtwa f(x) wyika określoe prawdopodobieńtwo atępujących zdarzeń loowych ( wyików pomiarów ): P {µ - 3 σ x µ + 3 σ }= 0,997 P {µ - σ x µ + σ }= 0955 P {µ - σ x µ + σ } = 0,683 W tabelach rozkładu ormalego moża zaleźć wartości wpółczyików k, określających prawdopodobieńtwo zdarzeia, że wartość x µ± kσ Wyzaczoa z erii pomiarów: wartość średia X i odchyleie tadardowe ą odpowiedio etymatorami (oceami ) parametrów µ(wartości oczekiwaej) i σ (odchyleia tadardowego) tego rozkładu Ozacza to, że po wykoaiu bardzo wielu wyików pomiarów, w przedziale wartości X± 3 powio zaleźć ię 99,7 % wyików pomiarów Wioek te moża wykorzytać do elimiowaia z erii wyików, pomiarów obciążoych błędem admierym Korekta wyików poprzez elimiację wyików podejrzaych wymaga przeliczeia parametrów X i dla krócoej erii Określająca przedział iepewości wartości 3 może być iterpretowaa jako wartość graicza błędu przypadkowego Prawdopodobieńtwo p, z jakim określa ię wartość błędu przypadkowego, może być miejze iż p=0,997 W wielu przypadkach wytarczająca jet wartość p=0,95 dająca błąd przypadkowy pojedyczego pomiaru p x i = ± Wartość średia wyzaczoa z erii pomiarów jet tym bliżza wartości oczekiwaej im więkza jet liczba pomiarów w erii Odchyleie tadardowe wartości średiej z wyików o odchyleiu tadardowym zależy od liczby i jet rówe: x = Tak więc błąd przypadkowy przypiay wyzaczoej z pomiarów wartości średiej jet miejzy iż błąd przypadkowy pojedyczego pomiaru w erii i wyoi : p X= k gdzie k jet odpowiedim wpółczyikiem dla rozkładu ormalego ( ajczęściej przyjmuje ię k= lub k=3) Parametry rozkładu ormalego touje ię do ocey wyików pomiarów powtórzoych co ajmiej 30 razy W eriach pomiarów miej liczych korzyta ię z właściwości rozkładu t-studeta Wpółczyiki t tego rozkładu ą tabelaryzowae jako 5
Statytycza ocea wyików pomiaru 6 fukcja liczby pomiarów i przyjętego prawdopodobieńtwa p i podobie jak wpółczyiki k pełią fukcję wpółczyików rozzerzeia przy wyzaczaiu przedziału iepewości powodowaego błędem przypadkowym W tabeli poiżej podao przykładowe wartości t dla typowych wartości p i liczby pomiarów p=0,95 p=0,997 5,78 6,6 0,6 4,08,0 364 3,5 3,58 4,3 3,53 5, 3,49 6, 3,46 7,0 3,43 8,09 3,40 9,08 3,38 0,08 3,35 30,04 3, W takim przypadku, błędy przypadkowe wyzacza ię z zależości aalogiczych jak dla rozkładu ormalego zatępując wpółczyik k odpowiedią wartością wpółczyika t ZADANIA W celu prawdzeia błędu wkazań woltomierza cyfrowego wykoao im trzydzieści pomiarów SEM ogiwa wzorcowego i otrzymao wyiki: 087 088 086 087 087 087 087 087 087 085 089 087 088 086 088 087 088 087 087 087 087 088 087 088 087 088 085 08 086 087 a) zbadać, czy ą wyiki pomiarów obciążoe błędami grubymi i ewetualie dokoać ich elimiacji b) wyzaczyć średią U dla podaych wyików pomiarów, c) wyzaczyć z tej próby odchyleie tadardowe: pojedyczego pomiaru-, oraz średiej u, d) ozacować błąd ytematyczy woltomierza jeśli wartość poprawa wzorca SEM wyoi U p = (0860 ± 000000) V Za pomocą uwmiarki elektroiczej o błędzie graiczym 003 mm i rozdzielczości 00 mm zmierzoo wymiary liiowe trójkąta i otrzymao wyiki, boki: a = 9000 mm, b = 6380 mm, c = 800 mm, wyokości: h a = 5567 mm, h b = 7850 mm, h c = 680 mm Który ze wzorów P a, P b, P c czy P H pozwala a wyzaczeie powierzchi P trójkąta z ajmiejzym błędem graiczym (przy założeiu że błąd graiczy pomiaru boków i wyokości ie jet więkzy iż błąd uwmiarki) 3 Obliczoo średią arytmetyczą R z pomiarów rezytacji, R,R,,R Okazało ię 6
Statytycza ocea wyików pomiaru 7 atępie, że k-ty wyik, R k, k, jet obarczoy błędem grubym Wyprowadzić wzór obliczający ową korygowaą wartość średią R (bez poowego umowaia wyików) dla przypadków gdy: a) uuięto k-ty wyik z erii b) korygowao błędy, k-ty wyik R k, zatępując go wyikiem R k po twierdzeiu, że omyłkowo wpiao ią cyfrę a pierwzym miejcu zaczącym 4 * Trójkąt ABC ma zaokrągloe wierzchołki o promieiu krzywizy rówym r każdy, przy czym promień r jet bardzo mały w porówaiu z bokami, r << a,b,c Obliczyć kładową ytematyczą błędu pomiaru trójkąta przy użyciu różych wzorów P a, P b, P c oraz P H powodowaą zaokrągleiami w zależości od wartości r Założyć, że trójkąt jet w przybliżeiu rówoboczy: a b c 7