MES w zagadnieniach nieliniowych

MES w zagadnieniach nieliniowych Jerzy Pamin e-mail: JPamin@L5.pk.edu.pl Podziękowania: A. Wosatko, A. Winnicki ADINA R&D, Inc.http://www.adina.com ANSYS, Inc. http://www.ansys.com TNO DIANA http://www.tnodiana.com Altair Engineering http://www.comco.com

Tematyka zajęć Zagadnienia nieliniowe Analiza przyrostowo-iteracyjna Nieliniowość geometryczna Nieliniowość fizyczna Zarysowanie Katastrofy budowlane Literatura [1] R. de Borst and L.J. Sluys. Computational Methods in Nonlinear Solid Mechanics. Lecture notes, Delft University of Technology, 1999. [2] G. Rakowski, Z. Kacprzyk. Metoda elementow skończonych w mechanice kostrukcji. Oficyna Wyd. PW, Warszawa, 2005. [3] M. Jirásek and Z.P. Bažant. Inelastic Analysis of Structures. J. Wiley & Sons, Chichester, 2002. [4] M. Kwasek Advanced static analysis and design of reinforced concrete deep beams. Diploma work, Politechnika Krakowska, 2004.

Źródła nieliniowości Spowodowane zmianą geometrii ciała (odkształcalnego) duże odkształcenia (np. guma, formowanie metali) duże przemieszczenia (np. konstrukcje smukłe, cienkościenne) kontakt (oddziaływanie stykających się ciał) obciążenie śledzące (zależne od deformacji ciała) Spowodowane nieliniowymi związkami konstytutywnymi plastyczność (odkształcenia trwałe) uszkodzenie (degradacja własności sprężystych) zarysowanie (kontynualna reprezentacja rys)... Uwagi: Nie obowiązuje zasada superpozycji. Możliwy jest opis ośrodka nieciągłego, w którym części składowe są połączone interfejsami (np. konstrukcje zespolone) lub występują pękniecia (rysy dyskretne). Interfejsy mają zazwyczaj nieliniowe charakterystyki, reprezentując np. tarcie, adhezję, pękanie.

Nieliniowe kontinuum [1,2,3] Równania równowagi + statyczne warunki brzegowe L T σ + b = 0 w V, σν = ˆt na S gdzie: L macierz operatorów różniczkowych σ tensor/wektor uogólnionych naprężeń b wektor sił masowych ˆt S ν Słaba forma równań równowagi δu T (L T σ + b) dv = 0 δu V Zasada prac wirtualnych δw int = δw (Lδu) T σ dv = δu T b dv + δu Tˆt ds V V S V

Metoda Galerkina Przemieszczeniowa wersja MES u u h = n w i=1 N i (ξ, η, ζ)u i = Nu e gdzie: N - funkcje kształtu, u e - wektor stopni swobody elementu, n w - liczba węzłów Transformacja węzłowych stopni swobody u e = A e u g gdzie: u g - wektor stopni swobody układu Słaba forma równań równowagi dla układu zdyskretyzowanego n e e=1 A e T V e B T σ dv = f, B = LN Podejście izoparametryczne, numeryczne całkowanie macierzy ES

Liniowa sprężystość Prawo Hooke a Notacja tensorowa: σ = D e : ɛ, Notacja macierzowa: σ = D e ɛ, σ = σ x σ y σ z τ xy τ yz τ zx Izotropia materiału: D e = D e (E, ν) Liniowe związki kinematyczne σ ij = Dijkl e ɛ kl, ɛ = ɛ x ɛ y ɛ z γ xy γ yz γ zx Notacja tensorowa: ɛ = 1 2 [ u + ( u)t ], ɛ ij = 1 2 (u i,j + u j,i ) Notacja macierzowa: ɛ = Lu Zatem tensor naprężenia: σ = D e ɛ = D e Lu = D e LNu e = D e BA e u g Równania równowagi dla układu zdyskretyzowanego n e e=1 A e T V e B T D e B dv A e u g = f, Ku g = f σ 1 E ɛ

Analiza przyrostowo-iteracyjna Nieliniowy problem: f przykładane w przyrostach t t + t σ t+ t = σ t + σ Równowaga w chwili t + t: n e A e T gdzie: e=1 n e A e T e=1 B T σ t+ t dv = f t+ t V e B T σ dv = f t+ t V e f t int = n e e=1 Ae T V e B T σ t dv Linearyzacja lewej strony w chwili czasu t: Układ równań dla przyrostu: σ = σ( ɛ( u)) K u g = f t+ t f t int f t int

Schemat metody przyrostowo-iteracyjnej Konieczne poprawki iteracyjne celem osiągnięcia stanu równowagi w chwili t + t algorytm Newtona-Raphsona Siły niezrównoważone (residualne): R j = f t+ t f t+ t 0 f f f t+ t f t u t u 1 du 2 u t+ t R 1 f int,1 u K j du g = f t+ t f t+ t K - operator styczny Pierwsza iteracja: u g 1 =K 1 0 (f t+ t fint,0) t σ 1 f t+ t int,1 f t+ t Poprawki: du g j+1 =K 1 j σ j+1 (f t+ t f t+ t +1 Kryterium zbieżności: f t+ t f t+ t f δ f t+ t ) Algorytm zmodyfikowany: K j = K 0

Schemat metody przyrostowo-iteracyjnej Konieczne poprawki iteracyjne celem osiągnięcia stanu równowagi w chwili t + t algorytm Newtona-Raphsona Siły niezrównoważone (residualne): R j = f t+ t f t+ t 0 f f f t+ t f t u t u 1 du 2 u t+ t R 1 f int,1 u K j du g = f t+ t f t+ t K - operator styczny Pierwsza iteracja: u g 1 = K 1 0 (f t+ t σ 1 f t+ t int,1 Poprawki: du g j+1 =K 1 j σ j+1 f t+ t (f t+ t f t+ t +1 Kryterium zbieżności: f t+ t f t+ t f δ f t int,0) f t+ t ) Algorytm zmodyfikowany: K j = K 0

Schemat metody przyrostowo-iteracyjnej Konieczne poprawki iteracyjne celem osiągnięcia stanu równowagi w chwili t + t algorytm Newtona-Raphsona Siły niezrównoważone (residualne): R j = f t+ t f t+ t 0 f f f t+ t f t u t u 1 du 2 u t+ t R 1 f int,1 u K u g = f t+ t fint t K - operator styczny Pierwsza iteracja: u g 1 = K 1 0 (f t+ t σ 1 f t+ t int,1 Poprawki: du g j+1 =K 1 j σ j+1 f t+ t +1 f t+ t f int,0) (f t+ t f t+ t ) Kryterium zbieżności: f t+ t f t+ t f δ Algorytm zmodyfikowany: K j = K 0

Schemat metody przyrostowo-iteracyjnej Konieczne poprawki iteracyjne celem osiągnięcia stanu równowagi w chwili t + t algorytm Newtona-Raphsona Siły niezrównoważone (residualne): R j = f t+ t f t+ t 0 f f f t+ t f t u t u 1 du 2 u t+ t R 2 f int,2 u K u g = f t+ t fint t K - operator styczny Pierwsza iteracja: u g 1 = K 1 0 (f t+ t σ 1 f t+ t int,1 Poprawki: du g j+1 =K 1 j σ j+1 f t+ t (f t+ t f t+ t +1 Kryterium zbieżności: f t+ t f t+ t f δ f int,0) f t+ t ) Algorytm zmodyfikowany: K j = K 0

Sposoby przykładania przyrostów Sterowanie siłą lub przemieszczeniem Sterowanie parametrem łuku

Nieliniowość geometryczna x 2, X 2 φ(x, t) S 0 u V X V 0 x S Konfiguracja początkowa i aktualna x 1, X 1 Funkcja ruchu: x = φ(x, t) Wektor przemieszczenia: u(x, t) = x X Gradient deformacji (podstawowa miara deformacji): F = φ X = X x Tensor odkształcenia Greena (jedna z możliwych miar odkształcenia): E = 1 2 (FT F I) = 1 2 [ X u + ( X u) T + ( X u) T X u]

Nieliniowość geometryczna Nieliniowe związki kinematyczne, np. ε x = ε L x + ε N x = u x + 1 2 ( w ) 2 x σ = σ( ɛ( u)) Równania równowagi opisują równowagę ciała zdeformowanego. Zasadę prac wirtualnych można zapisać w konfiguracji początkowej lub aktualnej. Różnym miarom odkształcenia odpowiadają różne miary naprężenia. Małe odkształcenia: E ɛ = 1 2 [ u + ( u)t ] < 2%. Małe przemieszczenia (uogólnione): V V 0 (jeden opis, zasada zesztywnienia).

Nieliniowość geometryczna Równowaga układu zdyskretyzowanego: K u g = f t+ t gdzie styczna macierz sztywności: f t int K 0 - macierz sztywności liniowej K = K 0 + K u + K σ K u - macierz sztywności przemieszczeniowej (macierz dyskretnych związków kinematycznych B zależna od przemieszczeń) K σ - macierz sztywności naprężeniowej (zależna od naprężeń uogólnionych)

Nieliniowość fizyczna K u g = f t+ t Linearyzacja lewej strony w chwili czasu t: σ = ( ) σ t ( ɛ t ɛ u) u D = σ ɛ, L = ɛ u Dyskretyzacja: u = N u e f t int σ = σ( ɛ( u)) Liniowe związki geometryczne macierz dyskretnych związków kinematycznych B = LN niezależna od przemieszczeń Styczna macierz sztywności n e K = A e T B T D B dv A e V e e=1

Uplastycznienie materiału siła A B C P σ y - A σ y B σ y - - C + + + przemieszczenie σ y σ y σ y zakres sprężysty pełne uplastycznienie zakres sprężysty pełne uplastycznienie

Rysy dyskretne lub rozmazane Energia pękania G f (zużyta na powstanie jednostki powierzchni rysy)

Symulacja zarysowania żelbetowej tarczy pakietem ATENA [4]

Katastrofa platformy Sleipner A, Norwegia 1991 Żelbetowa platforma wirtnicza posadowiona na głebokosci 82 m, podstawa złożona z 24 komór o średnicy 12 m (4 wspierają pomost) Przyczyna zatonięcia konstrukcji podstawy podczas operacji posadowienia: błąd w obliczeniach MES trójnika łączącego komory (niedoszacowanie siły ścinającej o 47%) i niewystarczające zakotwienie zbrojenia w strefie krytycznej Rysunki z www.ima.umn.edu/ arnold/disasters/sleipner.html

Airport Paris Charles de Gaulle, Terminal 2E, 2004 Zespolona przeszklona konstrukcja powłokowa w kształcie rury, swobodnie podparte sklepienie osłabione licznymi otworami Zaprojektowany przez architekta Paula Andreu (zaprojektował również terminal 3 w Dubai International Airport, który zawalił się podczas budowy), oddany w roku 2003 Przyczyna: zbyt mały margines bezpieczeństwa w projekcie, prawdopodobnie także błedy wykonawcze i/lub niedostatecznie dobry beton Rysunki zaczerpnięte z www.equipement.gouv.fr

Uwagi końcowe 1. Symulacje komputerowe stwarzają bezcenne możliwości, ale tylko świadomemu użytkownikowi MES. 2. W modelowaniu efektów nieliniowych zaczyna dominować modelowanie 3D. 3. Dla poprawy jakości aproksymacji MES wskazane jest adaptacyjne zagęszczanie siatki na podstawie oszacowania błędu dyskretyzacji.

Adaptacyjne zagęszczenie siatki elementów Przykład zaczerpnięty ze strony Altair Engineering http://www.comco.com

Generacja siatki elementów Przykład zaczerpnięty ze strony Altair Engineering http://www.comco.com

Monitoring błędów dyskretyzacji Adaptacyjne zagęszczenie siatki