Dowody ombiatorycze 1 DOWODY KOMBINATORYCZNE 1. Ozaczeia Przypuśćmy, że day est zbiór sończoy A. Wtedy A liczba elemetów zbioru A, P(A{B: B A}, P (A{B P(A: B }. W szczególości P 0 (A{ }, P 1 (A { {a}: a A }, P m (A{A}, gdzie A m.poadto []{1,2,...,}, [0], [1]{1}, [2]{1,2}, P(P([]P({1,2,...,}, P (P ([]P ({1,2,...,}, P (0P (. Będąpotrzebedwiefuce.Jeśli1,to ( ( 1... ( +1. Dla>przymuemy( 0.Wreszcie!( 1 2... oraz0!1. 2. Reguła dodawaia Zauważmybezdowodu,żeeśliAiBsązbioramisończoymiorazA B,to A B A + B. Ogólie,eślidaesązbiorysończoeA 1,A 2,...,A oraza i A dlai,to A 1 A 2... A A 1 + A 2 +...+ A. Wyłady z ombiatoryi
2 Wyład 1 Stąd w szczególości mamy: oraz A B (A\B (A B (B\A A\B + A B + B\A A\B + A B + B\A + A B A B (A\B (A B + (B\A (A B A B A + B A B A B C (A B C A B + C (A B C A + B A B + C (A C (B C A + B + C A B ( A C + B C (A C (B C A + B + C A B A C B C + A B C. W astępym wyładzie zamiemy się uogólieiami tych wzorów. Regułę dodawaia możemy wysłowić w astępuący sposób. Przypuśćmy, że możemy wyoaćczyości;pierwszaończysięedymzm 1 wyiów,drugaedymzm 2 wyiówitadale,ażdoostatie,ończącesięedymzm wyiów.załadamy przytym,żewszystietewyiisąróże,tz.żadedwieztychczyościiemogą ończyć się tym samym wyiiem. Załóżmy astępie, że mamy wyoać edą, dowolieprzezaswybraączyość.możemywtedyotrzymaćedezm 1 +m 2 +...+m wyiów. 3. Reguła możeia Zacziemy od astępuące oczywiste rówości A B A B. Możemy ą wysłowić w astępuący sposób. Przypuśćmy, że mamy do wyoaia dwie czyości. Pierwsza ończy się edym z m wyiów, druga edym z wyiów. Wyoaieobu,edapodrugie,zaończysięzatemedymzm możliwychwyiów. Przy tym sformułowaiu załadamy, że iezależie od wyiu pierwsze czyości, druga ończy się zawsze edym z tych samych wyiów. Iacze mówiąc, zbiór wyiów drugie czyości est ustaloy; ie zależy od tego, w ai sposób zaończy się pierwsza czyość. Zbiór wyiów drugie czyości może eda zależeć od tego, a zaończyła się pierwsza czyość. Popatrzmy a przyład. Z talii 52 art wyciągamy oleo dwie arty i uładamy oło siebie(z zachowaiem oleości. Pierwszą czyością est wyciągięcie pierwsze arty. Może oa zaończyć się edym z 52 wyiów. Drugą czyością est wyciągięcie drugie arty. Widzimy, że zbiór możliwych wyiów drugie czyościzależyodtego,aieartyużiemawtalii,czyliodwyiupierwszeczyości. Wyłady z ombiatoryi
Dowody ombiatorycze 3 Zauważmy eda, że druga czyość, iezależie od wyiu pierwsze, zaończy się edym z 51 wyiów, bo iezależie, od tego, aą artę wyciągiemy, w talii pozostaie 51 art. Przypuśćmy zatem, że mamy do wyoaia dwie czyości. Pierwsza ończy się edym zmwyiów:x 1,x 2,...,x m.dlaażdegox zbióra możliwychwyiówdrugie czyości ma zawsze elemetów: A 1 A 2... A m. Wyouemy obie czyości po olei. Wyiiem będzie para(x, y, gdzie x est wyiiem pierwsze czyości, a y wyiiem drugie. Zbiór wyiów ma zatem postać: {(x,y: 1,2,...,m,y A }. Te zbiór możemy przedstawić w postaci sumy m zbiorów rozłączych: {(x,y: 1,2,...,m,y A } {(x 1,y: y A 1 } {(x 2,y: y A 2 }... {(x m,y: y A m }. Każdyzmzbiorówpoprawestroiemaelemetów,awięczregułydodawaia wyia, że {(x,y: 1,2,...,m,y A } m. Regułę możeia możemy zatem wysłowić w astępuący sposób. Mamy do wyoaia dwie czyości. Pierwsza ończy się edym z m wyiów. Druga, iezależie od wyiu pierwsze, ończy się edym z wyiów(przy czym zbiory wyiów drugie mogą być róże w zależości od wyiu pierwsze. Wyoaie obu czyości po olei zaończy sięwtedyedymzm wyiów. Regułę możeia możemy łatwo uogólić a więszą liczbę czyości. Dołade e sformułowaie pozostawię ao ćwiczeie. 4. Zliczaie fuci i podzbiorów Niech A mi B.Wtedyzregułymożeiawyiaatychmiast,że A B m. Wartośćf(bdlaażdegoelemetuzbioruBwybieramybowiemaedezmsposobów; tych elemetów zbioru B est, więc doouemy wyborów. Podobie {f A B : fest1 1} (m. Zów wybieramy wartości: pierwszą wartość f(b wybieramy a ede z m sposobów, drugąaedezm 1sposobówitadale. Defiiuemywspółczyidwumiaowy ( m wzorem ( m P (m. Wyłady z ombiatoryi
4 Wyład 1 5. Permutace, ombiace i wariace Niech A m. Wtedy mamy astępuące obiety ombiatorycze zae ze szoły. 1 Wariacami -elemetowymi z powtórzeiami ze zbioru A azywamy ciągi (a 1,...,a 2 owyrazachzezbiorua.wówczas {(a 1,...,a : a 1,...,a A} A [] m. 2 Wariacami -elemetowymi bez powtórzeń ze zbioru A azywamy ciągi różowartościowe(a 1,...,a owyrazachzezbiorua.wówczas {(a 1,...,a A [] : a i a dlai } (m m! (m!. 3 Permutacami zbioru A azywamy m-elemetowe wariace bez powtórzeń. Wówczas {(a 1,...,a m A [m] : a i a dlai } m! 4 Kombiacami -elemetowymi ze zbioru A azywamy -elemetowe podzbiory zbioru A. Wówczas ( m P (A. Zobaczymy teraz ede waży przyład występowaia ombiaci. Niech będzie day zbiórcsładaącysięzewszystichciągówdługościmodwóchwyrazachaib,wtórychliteraawystępuerazy,aliterabwystępuem razy.otóżwtedy C ( m. Każdy tai ciąg est bowiem edozaczie wyzaczoy przez wsazaie, tóre spośród mwyrazówsąliteramia;pozostałesąróweb.wsazaćtewyrazówmożemywłaśie a ( ( m sposobów.wszczególościistiee m+ m ciągów,wtórychestdoładiem wyrazówrówychaiwyrazówrówychb. Oprócz powyższych obietów zaych ze szoły zdefiiuemy teraz ombiace z powtórzeiami. Kombiace wsazuą, tóre elemety zbioru A zostały wybrae, bez uwzględieia oleości, w aie te elemety były wybierae. Kombiace z powtórzeiami wsazuą poadto, że elemety zbioru A mogły być wybrae wielorotie, przy czy adal ie wsazuemy oleości wybieraia. Poażemy teraz dwa sposoby defiiowaia taich ombiaci z powtórzeiami. Możemy przedstawiać e ao fuce c: A N, gdzie liczba c(a wsazue, ile razy elemet a został wybray. Zatem ombiacami -elemetowymizpowtórzeiamizezbioruaazywamyfucec:a Ntaie, że c(a. a A Popatrzmy a przyład. Niech A {p, q, r, s, t} będzie zbiorem pięcioelemetowym. Fucac:A Noreśloawastępuącysposób c(p3, c(q2, c(r1, c(s1, c(t0 Wyłady z ombiatoryi
Dowody ombiatorycze 5 est ombiacą, w tóre elemet p został wybray 3 razy, elemet q został wybray 2 razy,elemetyrispoedymrazieiwreszcieelemettairazu.tęombiacęzpowtórzeiami moglibyśmy zatem zapisać w postaci ciągu pppqqrs. Tai właśie sposób zapisu ombiaci z powtórzeiami będzie podstawą ie defiici. Te drugi sposób defiiowaia ombiaci z powtórzeiami wymaga uporządowaia apierw zbioru A. Przymimy, że A{a 1,a 2,...,a m }. Kombiacą -elemetową z powtórzeiami ze zbioru A azwiemy teraz dowoly ciąg(x 1,x 2,...,x elemetówzbiorua,wtórymdladowolychi,1,2,...,m,eśli i<,towszystiewyrazyrówea i występuąprzezwszystimiwyrazamirówymia. Iaczemówiąc,wtaimciąguapierwwystępueblowartościa 1,potemblowartości a 2 itadaleażdoostatiegoblouwartościa m ;możesięzdarzyć,żeietóreztych bloówbędąpuste.waszymprzyładziezbiorua{p,q,r,s,t}taieciągibędą sładać się z blou liter p a początu, potem będą występować oleo bloi liter q, risiwreszcieaońcuzadziesięblolitert.przypomiamy,żeietóreztych bloów mogą być puste. Widzieliśmy wyże przyład taiego ciągu: pppqqrs. W tym ciągu mieliśmy apierw blo trzech liter p, astępie blo dwóch liter q, po im dwa bloiedoliteroweliterrisiwreszcieaońcupustyblolitert. Zamiemy się teraz zliczaiem ombiaci z powtórzeiami. Zacziemy od przyładu. Niech A 5 i 7. Zliczamy zatem ombiace siedmioelemetowe z powtórzeiami z pięcioelemetowego zbioru A. Uporządumy elemety zbioru A: A{p,q,r,s,t}. Weźmy zay am przyład ombiaci z powtórzeiami zapisae w postaci ciągu: pppqqrs. Oddzielmy pioowymi resami bloi liter: ppp qq r s Zwracamy uwagę a resę a ońcu. Oddziela oa edoliterowy blo s od pustego blou liter t. Teraz możemy zauważyć, że ie est uż potrzebe pisaie liter. Wiemy bowiem,żewpierwszymbloumusząwystąpićliteryp,wdrugimliteryqitadale. Istote est tylo zazaczeie, ile liter est w ażdym blou. Rysuemy zatem ropi w miescu liter. Narysuemy więc 7 rope, ozaczaących elemety wybrae podzieloych czterema pioowymi resami a pięć części. Wsażemy tym samym, tóre ropi ozaczaą olee elemety zbioru A. W aszym przyładzie otrzymamy astępuący ciąg rope i rese ozaczaący, że elemet p został wybray 3 razy(przed pierszą resą są 3 ropi, elemet q został wybray 2 razy(między pierwszą i drugą resą są 2 ropi, elemety r i s zostały wybrae po edym razie(między oleymi resami est eda ropa, wreszcie elemet t ie został wybray ai razu(za ostaią, czwartą resą ie ma ai ede ropi. Podobie zapis Wyłady z ombiatoryi
6 Wyład 1 ozacza,żeelemetpzostałwybray2razy,elemeyqirairazu,elemetszostał wybray4razyielemettederaz.każdyciągsiedmiuropeiczterechreseodpowiada doładie ede ombiaci z powtórzeiami. Mamy zatem łączie 11 symboli: 7( rope i 4 resi. Z powyższych rozważań dotyczących ombiaci wyia, że istiee 11 4 różychciągówzłożoychz7ropei4rese. Wogólościmamyrope(wybieramyelemetówim 1rese(dzieląoe ropiambloówodpowiadaącychmelemetomzbiorua.mamyzatem ( m+ 1 m 1 ciągówropeim 1reseityleest-elemetowychombiacizpowtórzeiami z m-elemetowego zbioru A. Zwróćmy uwagę a dwie rzeczy. Po pierwsze, sposób odowaia ombiaci z powtórzeiami za pomocą ciągu rope i rese zależy od uporządowaia zbioru A. Przy iym uporządowaiu te sam ciąg będzie a ogół ozaczał ią ombiacę. Po drugie, eśli aszym zbiorem A est zbiór[m] z aturalym uporządowaiem, to ombiacę z powtórzeiami możemy przedstawić ao ciąg liczb od 1 do m, w tórym apierw występuą wyrazy rówe 1, potem wyrazy rówe 2 i ta dale. Iacze mówiąc, taą ombiacę możemy zapisać w postaci ciągu iemaleącego długości o wyrazach ze zbioru [m].stądwyia,żeistiee ( m+ 1 m 1 iemaleącychciągówdługościowyrazachze zbioru[m]. Z tego wiosu ilarotie dale sorzystamy. 6. Podstawowe własości współczyiów dwumiaowych Przypomiamy,że ( m P (A, gdzie A m.oczywiściedla>mmamyp (A,czyli ( m 0dla>m. Przymuemypoadto,że ( m 0dla<0. Zauważmy astępie, że P 0 (A{ } oraz P m (A{A}. Zatem ( m 0 ( m 1. (1.1 m Niechteraz0< m.udowodimy,że ( m m Niech A m. Rozpatruemy zbiór ( m 1. 1 B{(a,N: a N P (A}. Zliczamy dwoma sposobami elemety zbioru B. Po pierwsze B {(a,n: a N}, N P (A Wyłady z ombiatoryi
Dowody ombiatorycze 7 przyczymsumowaezbiorysąrozłączedlaróżychn.zregułydodawaiamamy zatem B {(a,n: a N} ( m. Z drugie stroy N P (A B a A N P (A {(a,n: a N P (A}, przy czym zów sumowae zbiory są rozłącze(tym razem dla różych a. Zatem B a A a A {(a,n: a N P (A} {(a,{a} K: K P 1 (A\{a}} {(a,k: K P 1 (A\{a}} a A ( m 1 1 a A ( m 1 m. 1 Poieważ liczba elemetów zbioru sończoego ie zależy od sposobu zliczaia tych elemetów, więc otrzymuemy rówość ( ( m m 1 m, (1.2 1 ztóreotrzymuemy ( m m ( m 1. (1.3 1 Zazwycza ie przedstawiamy dowodów tożsamości ombiatoryczych w sposób ta sformalizoway. Przedstawiamy atomiast historyę, tórą moża łatwo sformalizować i tórą tratuemy ao dowód. Jest to tzw. dowód ombiatoryczy. A oto przyład historyi będące dowodem tożsamości(1.2. Przypuśćmy, że w asze firmie pracue m osób. Chcemy wybrać spośród ich osób ( > 0, tóre otrzymaą agrodę oraz chcemy edą z agrodzoych osób awasować. Na ile sposobów możemy tego dooać? Popierwszewybieramyosobydoagrody.Możemytozrobića ( m sposobów.następie wśród wybraych osób wsazuemy osobę przezaczoą do awasu. Możemy to zrobićasposobów.zregułymożeiawyia,żeistiee (m sposobówłączego wyboru. Możemy taże wybrać apierw osobę do awasu: mamy m możliwości. Tę osobę taże agradzamy, mamy więc uż edą osobę agrodzoą. Spośród pozostałych m 1 osób Wyłady z ombiatoryi
8 Wyład 1 dobieramyeszcze 1osóbdoagrody;możemytozrobića ( m 1 1 sposobów.zreguły możeiawyia,żemamyłącziem (m 1 1 sposobówwyboru. Wreszcie, ta a poprzedio, stwierdzamy, że liczba sposobów wyboru ie zależy od metody zliczaia. Otrzymuemy zatem rówość(1.2: co ończy dowód. ( m m ( m 1, (1.2 1 Tożsamość(1.3 pozwala obliczać współczyii dwumiaowe. Popatrzmy a przyład: ( 7 7 4 4 ( 6 7 3 4 6 3 ( 5 7 2 4 6 3 5 2 7 4 6 3 5 2 4 1 17 6 5 4 7 6 5 4 3 2 1 3 2 Przyład te uogóliamy w astępym twierdzeiu. Twierdzeie1.1.Jeśli0 m,to ( m ( 4 7 1 4 6 3 5 2 4 1 7 535. ( 3 0 m!! (m!. (1.4 Dowód. Stosuemy iducę względem m. Zauważmy apierw, że dla dowolego i dla 0mamy ( m m! 1 oraz 0 0! (m 0! m! m! 1, czyli ( m 0 m! 0! (m 0!. W szczególości teza twierdzeia est prawdziwa dla m 0. Załadamyastępie,żedlapewegomidowolegotaiego,że0 mprawdziwa estrówość ( m m!! (m!. Niechteraz0 m+1.mamydowieść,że ( m+1 (m+1!! (m+1!. Wiemyuż,żetarówośćestprawdziwadla0.Niechzatem>0.Zrówości (1.3otrzymuemy ( m+1 m+1 ( m. 1 Wyłady z ombiatoryi
Dowody ombiatorycze 9 Poieważ0 1 m,więczzałożeiaiducyegootrzymuemy ( m 1 m! ( 1! (m ( 1 m! ( 1! (m+1!. Stąd dostaemy c.b.d.o. ( m+1 m+1 m! ( 1! (m+1! m! (m+1 ( 1! (m+1! (m+1!! (m+1!, Twierdzeie 1.1 moża udowodić w iy sposób. Zastaówmy się, a moża utworzyć dowolą permutacę ustaloego m-elemetowego zbioru A. Wyouemy trzy czyości: apierw wybieramy -elemetowy podzbiór B zbioru A, astępie porząduemy elemety zbioru A, wreszcie porząduemy elemety zbioru A\ B, ustawiaąc e za elemetami zbioru B. Nietrudo zauważyć, że w te sposób ażdą permutacę zbioru A otrzymamy doładie ede raz. Popatrzmy teraz, ile możliwych wyiów da ażda ztychtrzechczyości.pierwszama ( m możliwychwyiów,druga!,trzecia(m! wyiów. Z reguły możeia otrzymuemy zatem ( m! (m!m!, czyli ( m m!! (m! Poażemy teraz dowód astępuące tożsamości, podobe do tożsamości(1.2: ( ( m m (m +1. (1.5 1 Niech A m. Zów dwoma sposobami zliczamy elemety zbioru B N P (A {(a,n: a N}. Taapoprzedio,zbiórN P (Amożemywybraća ( m sposobów,aegoelemet amożemywybraćasposobów.todaełączie (m par(a,n.możemypostąpić iacze.napierwwybieramyzbiórn P 1 (A.Możemytozrobića ( m 1 sposobów. Następiewybieramya A\N iprzymuemynn {a}.elemetamożemy Wyłady z ombiatoryi
10 Wyład 1 wybraćam +1sposobów,codaełączie(m +1 ( m 1 par(a,n.wte sposób rówość(1.5 została udowodioa. Paragraf te zaończymy dowodem tożsamości będące aturalym uogólieiem tożsamości(1.2. Udowodimy, że ( ( m ( m ( m. (1.6 Niech M będzie zbiorem m-elemetowym. Będziemy zliczać a dwa sposoby elemety zbioru A{(N,K: K N M, K, N }. ZbiórNmożemywybraća ( m sposobów.następieegopodzbiór-elemetowyk możemywybraća ( ( sposobów.todaełącząliczbę m ( sposobówwyboru. Możemy eda wybierać te zbiory w ie oleości. Napierw wybieramy zbiór K; mamy ( m sposobówwyboru.następiespośródpozostałychm elemetówzbioru M wybieramy elemetów. Łączie z uż wybraymi elemetami utworzą oe zbiór ( m N.Te elemetówmożemywybraća ( ( m sposobów.łącziedaeto m sposobów wyboru elemetów zbioru A. Zów liczba elemetów zbioru A ie zależy od oleości zliczaia, co dowodzi rówości(1.6. Do tego dowodu moża ułożyć historyę podobą do historyi w dowodzie tożsamości (1.2.Przypuśćmy,żewaszefirmieadalpracuemosób.Chcemyagrodzićzich oraz agrodzoych osób awasować. Na ile sposobów możemy to zrobić? Zliczamy tesposobywyborudwiemametodami.napierwwybieramyosobydoagrody:a ( m sposobów,astępiespośródichwybieramyosóbdoawasu:a ( sposobów.to dae lewą stroę rówości(1.6. Możemy też apierw wybrać osoby do awasu(i edocześieagrody:a ( m sposobów,aastępiedobraćbrauące osóbdoagrody: a ( m sposobów.todaeprawąstroę.zauważmytaże,żedla1otrzymuemy rówość(1.2. 7. Tróąt Pascala Ustawmy współczyii dwumiaowe w tablicy: ( 0 ( 0 1 ( 1 ( 0 1 2 ( 2 ( 2 ( 0 1 0 3 ( 3 ( 3 ( 3 ( 0 1 2 0 4 ( 4 ( 4 ( 4 ( 4 0 1 2 3 0.................. Tablicę tę azywamy tróątem Pascala. Widzimy zasadę umieszczaia współczyiówdwumiaowychwtróąciepascala.liczbamwewspółczyiu ( m ozacza umer wiersza, przy czym wiersze umeruemy od zera. Liczba ozacza oley umer współczyia w wierszu, przy czym zów umeruemy miesca od zera. Zauważmy Wyłady z ombiatoryi
Dowody ombiatorycze 11 astępie, że w wierszu o umerze m mamy m + 1 współczyiów umerowaych liczbami od zera do m. Możemy sobie oczywiście wyobrazić, że wszystie wiersze są iesończoeiichwyrazysąumerowaeliczbamicałowitymi.poieważ ( m 0dla < 0 i > m, więc wszystie współczyii dwumiaowe ieuwidoczioe w tróącie Pascala są rówe zeru. Iacze mówiąc, w tróącie Pascala poazuemy tylo iezerowe współczyii dwumiaowe. Pierwsze wiersze tróąta Pascala wyglądaą astępuąco: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1.................. Zbadamy teraz własości tróąta Pascala. Zauważmy, że ażdy wiersz tróąta Pascala zaczya się i ończy edyą. Wyia to zrówości(1.1: ( ( m m 1. 0 m Następie zauważmy, że ażdy wiersz est symetryczy: ( ( m m. (1.7 m Wyiatostąd,żeeśli A m,tozbioryp (AiP m (Asąrówolicze,fuca f:p (A P m (Aoreśloawzoremf(BA\Bustalatęrówoliczość.Iacze mówiąc, wybór elemetów ze zbioru A est tym samym, co odrzuceie pozostałych m elemetówtegozbiorua. Wreszcie ( aważiesza własość tróąta Pascala. Każdy współczyi dwumiaowy m,gdzie0<<m,estsumądwóchwspółczyiówstoącychbezpośredioad im. Tę zależość moża zapisać wzorem ( ( m m 1 1 Podamy teraz trzy dowody tego wzoru. ( m 1 +. (1.8 Dowód1.Korzystamyzrówości(1.5(podstawiaącm 1wmiescem.Mamy zatem ( ( m 1 m 1 (m. 1 Teraz, orzystaąc rówież z rówości(1.3, dostaemy ( ( ( m 1 m 1 m 1 + + m ( m 1 ( 1 1 1 m ( ( m 1 m. 1 Wyłady z ombiatoryi 1+ m ( m 1 1
12 Wyład 1 Dowód 2. Korzystamy ze wzoru(1.4. Mamy zatem ( ( m 1 m 1 (m 1! + 1 ( 1! (m! + (m 1!! (m 1! (m 1! ( 1! (m 1! (m + (m 1! ( 1! (m 1! (m 1! ( 1 ( 1! (m 1! m +1 (m 1! m ( 1! (m 1! (m (m 1! m ( 1! (m 1! (m ( m! m! (m!. Dowód 3. Podamy teraz dowód ombiatoryczy. W asze firmie, razem z dyretorem, pracue m osób. Chcemy, by a oferecę poechało m osób. Na ile sposobów możemy e wybrać? Mamy dwa przypadi. W pierwszym przypadu załadamy, że dyretor edzie a oferecę. Wtedy z pozostałych m 1 osób musimy wybrać 1 osób. W drugim przypadu załadamy,żedyretorieedzieaoferecę.wtedyzpozostałychm 1osóbmusimy wybrać osób adących a oferecę. Z reguły dodawaia wyia teraz wzór (1.8. To rozumowaie moża łatwo sformalizować. Miaowicie zauważamy, że P (mp (m 1 { A {m}: A P 1 (m 1 }, przy czym zbiory po prawe stroie są rozłącze oraz oczywiście ( m P (m 1 oraz { A {m}: A P 1 (m 1 } ( m 1. 1 DopiszmydotróątaPascalawspółczyii ( m dla<0i>m: (... 0 ( 0 ( 0 ( 0 ( 0 ( 2 1 0 1 2 1 ( 1 ( 1 ( 1 ( 1 ( 1 2 ( 1 0 1 2 3... 2 ( 2 ( 2 ( 2 ( 2 ( 1 0 1 2 3 3 ( 3 ( 3 ( 3 ( 3 ( 3 1 ( 0 1 2 3 4... 4 ( 4 ( 4 ( 4 ( 4 0 1 2 3 4........................... Zauważmy, że w pierwszym wierszu występuą same zera z wyątiem edego miesca: ( 0 1. 0 Wyłady z ombiatoryi
Dowody ombiatorycze 13 We wszystich astępych wierszach ażdy współczyi powstae z położoych ad im zgodie ze wzorem(1.8. Dlatego odtąd we wzorze(1.8 ie będziemy przymować żadychzałożeńomi,pozaoczywistymzałożeiem,żem 1 0,czylim 1. Jeszcze edą ważą własość tróąta Pascala otrzymuemy z rówości(1.5. Miaowicie z rówości ( ( m m (m +1 (1.5 1 wyia,że ( m m +1 ( m. 1 Przypuśćmyteraz,żemestliczbąparzystą:m2p.Niechteraz p.wówczas m +1 m+1 1 2p+1 1 2+1 1> 2 11, sądwyia,że ( ( m m >. 1 Niechteraz>p,czyli 1 p.wówczas m +1 m+1 1 2p+1 1 2( 1+1 1 2 1 1< 2 11, sądwyia,że Podsumowuąc,eślim2p,to ( m 0 ( m < m ( ( m m <. 1 ( ( ( ( m m m m <...< < 1 m 1 p 1 p+1 ( m. p Przypuśćmytaraz,żemestliczbąieparzystą:m2p+1.Niechapierw p. Wówczas m +1 m+1 1 2p+2 1 2+2 1> 2 11, sąd wyia, że Niechastępiep+1.Wtedy m > m 1. m +1 2p+1 p 1+1 p+1 p+1 p+1 1, Wyłady z ombiatoryi
14 Wyład 1 sądwyia,że ( m p+1 ( m. p Wreszcieiech>p+1,czylip< 1.Wówczas m +1 m+1 1 2p+2 1< 2( 1+2 1 2 11, sądwyia,że Podsumowuąc,eślim2p+1,to ( m 0 ( m < m ( ( m m <. 1 ( ( ( ( m m m m <...< < 1 m 1 p 1 p+2 ( ( m m. p p+1 Paragraf te zaończymy wzorem a sumę współczyiów dwumiaowych edego wiersza tróąta Pascala: m ( m 2. (1.9 0 Dowód.Zauważmy,że,eśli A m,to P(AP 0 (A P 1 (A... P m (A, przy czym zbiory po prawe stroie są rozłącze oraz P (A ( m dla0,1,...,m.rówość(1.9wyiaterazzregułydodawaia. 8. Wzór dwumiaowy Newtoa W tym paragrafie podamy dwa dowody wzoru zaego(przyamie częściowo ze szoły.dladowolychliczbrzeczywistychaibidowoleliczbyaturale 1 zachodzi rówość: ( (a+b a b. (1.10 Wzór(1.10 azywamy zazwycza wzorem dwumiaowym Newtoa. 0 Dowód1.Stosuemyiducęzewzględua.Dla1mamy P 1 0 ( 1 a 1 b ( 1 a 1 b 0 + 0 Wyłady z ombiatoryi ( 1 a 0 b 1 a+b(a+b 1 L. 1
Dowody ombiatorycze 15 Przypuśćmy astępie, że dla pewe liczby aturale rówość(1.10 est prawdziwa: (a+b 0 ( a b. Mamy udowodić, że +1 ( +1 (a+b +1 a +1 b. 0 Sorzystamy w tym celu z rówości(1.8: co ończy dowód. (a+b +1 (a+b (a+b ( ( a b (a+b 0 ( ( a a b +b 0 0 ( ( a +1 b + 0 0 +1 0 ( a +1 b + ( a +1 b + ( ( + ( +1 0 0 Dowód 2. Przyrzymy się lewe stroie: ( 1 a b, 0 +1 1 +1 0 a b a b +1 ( a +1 b 1 ( a +1 b 1 a b (a+b (a+b... (a+b. }{{} czyiów Po wymożeiu czyiów w awiasach otrzymamy sumę iloczyów: dla ażdego wyboru a lub b z oleego czyia otrzymamy ede sładi sumy. Mamy zatem łączie2 sładiów;ażdyzichestpostacia b dlapewego.sładia b powstaewwyiuwyborubzczyiówa+b;zpozostałych czyiów wybieramya.poieważmamy ( możliwościwyborówbzczyiówa+b,więc Wyłady z ombiatoryi
16 Wyład 1 sładia b poawisię ( razywaszesumie.zatempouproszczeiuedomia a b wystąpizewspółczyiiem (.Poieważestoczywiścieedązliczbod1 do, więc ostateczie otrzymuemy sumę występuącą po prwe stroie wzoru(1.10, c.b.d.o. 9. Cztery dowody ede tożsamości W tym paragrafie udowodimy astępuącą tożsamość dla 1: 0 Podamy cztery dowody te tożsamości. Dowód 1. Sorzystamy apierw ze wzoru(1.2. Wiemy, że: 0 ( 1 ( 1 Teraz wystarczy sorzystać z rówości(1.9: sąd wyia rówość(1.11. ( 2 1. (1.11 ( 1 1 1 ( 1 2 1, 0 1 ( 1 1 1 0 ( 1 Dowód2.Prowadzimydowódprzeziducęzewzględua.Niechapierw1. Mamy wtedy 1 ( ( ( 1 1 1 0 +1 1 0 1 oraz 0 1 2 1 1 1, codowodzi,żewzór(1.11estprawdziwydla1. Załóżmy teraz, że rówość(1.11 est prawdziwa dla pewe liczby. Wyażemy, że est oateżprawdziwadlaliczby+1.mamyzatemudowodić,że +1 ( +1 (+1 2. 0 W dowodzie sorzystamy ze wzoru(1.8: ( + 1 ( ( +1 Wyłady z ombiatoryi..
Dowody ombiatorycze 17 A oto obliczeia: +1 ( +1 +1 ( +1 ( +1 ++1 0 1 1 ( ( + ++1 1 1 1 1 ( 2 1 + (+1 ++1 0 1 ( 1 ( + + 2 1 ++1 0 0 2 1 +2 1+ 2 1 ++1 (+1 2. Dowód 3. Sorzystamy z prostego wiosu ze wzoru dwumiaowego Newtoa. Miaowicie dla ażde liczby rzeczywiste x prawdziwa est rówość: (1+x 0 ( x. Po obu stroach zau rówości mamy więc dwie fuce, tórych wartości w ażdym pucie są rówe. Są to wielomiay, a więc fuce różiczowale. Ich pochode są więc też rówe. Popatrzmy więc a te pochode: ( (1+x (1+x 1 oraz ( Zatem mamy rówość 1+ 1 ( x (1+x 1 wtórewystarczypodstawićx1. 1 1 ( x 1. ( x 1, Dowód 4. Jest to dowód ombiatoryczy. Zauważmy apierw, że wzór(1.11 moża zapisać w astępuące rówoważe postaci: ( 2 1. (1.11 1 Wyłady z ombiatoryi
18 Wyład 1 Przypuśćmy zatem, że w asze firmie pracue osób. Chcemy agrodzić pewe osoby i edą z agrodzoych osób dodatowo chcemy awasować. Na ile sposobów możemy to uczyić? Róże wybory tych osób będziemy zliczać dwiema metodami. Po pierwsze, możemy apierw zdecydować, ile osób agradzamy, potem wybrać osoby, tóre agrodzimy i a ońcu wybierzemy edą z tych agrodzoych osób, by ą awasować. Przypuśćmy więc,żezdecydowaliśmysięagrodzićosób.oczywiścieestedązliczbod0 (gdy iogo ie chcemy agrodzić do (gdy chcemy agrodzić wszystich. Osoby do agrodymożemyterazwybraća ( sposobów.przyażdymtaimwyborzeedą osobędoawasumożemywybraćasposobów.dladaeliczbymamywięc ( sposobów wyoaia zadaia. Liczba wszystich sposobów est zatem rówa 0 (. Możemy też popatrzeć a to samo zadaie z drugie stroy. Napierw wybierzmy edą osobędoawasu,apotemzpozostałych 1osóbwybierzmyietóredoagrody.Tę edą osobę do awasu możemy oczywiście wybrać a sposobów. A pewą liczbę pozostałychosóbdoagrodymożemywybraća2 1 sposobów botyleestpodzbiorów zbioruliczącego 1elemetów.Łącziemamy 2 1 sposobówwyoaiazadaia. To ończy dowód rówości(1.11. 10. Tożsamość Cauchy ego(tożsamość Vadermode a W tym paragrafie udowodimy tożsamość, z tóre ilarotie sorzystamy w dalszym ciągu. Udowodimy miaowicie, że dla dowolych liczb aturalych m, i zachodzi rówość 0 ( ( m ( m+. (1.12 Tożsamość(1.12 osi azwę tożsamości Cauchy ego(lub tożsamości Vadermode a. Poażemy teraz trzy dowody tożsamości Cauchy ego. Dowód 1. Zastosuemy iducę względem m. Poażemy, że eśli m est dowolą liczbą aturalą, to dla dowolych liczb aturalych i zachodzi rówość(1.12. Sprawdzamyapierw,żetarówośćzachodzidlam0idowolychi,tz. 0 (( 0 (. Zauważmy,żedla 0mamy ( 0 0.Zatemsumapolewestroiesładasiętylo zedegosładiadla0.mamyzatemdowieść,że (( 0 0 0 (, Wyłady z ombiatoryi
Dowody ombiatorycze 19 co est oczywiste. Przeprowadzimy teraz ro iducyy. Przypuśćmy więc, że tożsamość Cauchy ego zachodzidlapeweliczbymiwszystichliczbaturalychi: 0 ( ( m ( m+ Poażemy, że wtedy dla dowolych i zachodzi rówość ( ( m+1 0 A oto obliczeia: ( ( m+1 0 0 0. ( m++1. (( ( ( m m + 1 ( ( m + Dowód 2. Jeszcze raz wyorzystamy rówość 0 ( ( m 1 ( 1 m+ ( ( m + 1 0 ( ( m+ m+ + 1 ( m++1. (1+x 0 ( x. Popatrzmy a astępuący iloczy wielomiaów: (1+x m+ (1+x m (1+x m ( m 0 x 0 ( Po lewe stroie rówości mamy oczywiście wielomia stopia m +. Po prawe stroie mamyiloczydwóchwielomiaów,edestopiamidrugistopia,awięcestto tażewielomiastopiam+.porówamywspółczyiistoąceprzyx wobuwielomiaach.polewestroiemamyzgodiezewzoremdwumiaowymsładi ( m+ x. Po prawe stroie, zgodie ze wzorem a możeie wielomiaów, mamy 0 ( ( m x x, Wyłady z ombiatoryi x.
20 Wyład 1 czyli 0 ( ( m x. Porówuąc te współczyii w obu wielomiaach otrzymamy dowodzoą rówość. Dowód 3. Zów ończymy dowodem ombiatoryczym. W asze firmie pracue m+ osób: m obiet i mężczyz. Chcemy agrodzić osób. Oczywiście osoby do agrody możemywybraća ( m+ sposobów.tęliczbęsposobówmożemyedaotrzymać w wyiu iego rozumowaia. Napierw zdecydumy, ile obiet powio dostać agrodę. Niech ozacza liczbę agrodzoych obiet. Oczywiście est edą z liczb od 0 (gdy ie agrodzimy żade obiety do (gdy agrodzimy same obiety. Dla ażde wartościobietommożemyprzyzaćagrodya ( m sposobów.gdyrozdzielimyuż agrody między obiety, zostaie am wolych agród do rozdziału między mężczyz.tychmężczyzdoagrodyoczywiściemożemywybraća ( sposobów. Łączie,dlaażdewartościmamy ( ( m sposobówprzydziałuagród.teraz wystarczy zsumować otrzymae liczby sposobów ze względu a, by otrzymać wzór (1.12. Iteresuącym wiosiem z tożsamości Cauchy ego est rówość ( 2 ( 2, (1.13 0 0 tórąotrzymuemyprzymuącm.mamywtedy ( 2 ( ( ( ( 0 0 ( 2. 11. Wybory ze zbiorów uporządowaych W dowodach ombiatoryczych, tóre widzieliśmy do te pory, wybieraliśmy a początu dowoly zbiór sończoy i ie była istota żada ego dodatowa strutura. W tym paragrafie poażemy ila dowodów ombiatoryczych, w tórych istote będzie to, że wybierzemy zbiór uporządoway. Dla ustaleia uwagi będzie to zbiór[] dla pewe liczby aturale z aturalym porządiem. Udowodimy apierw, że dla dowolych liczb aturalych m i zachodzi rówość m ( ( + m++1. (1.14 +1 Dowód. Zauważmy, że P +1 (m++1 0 m { } A: A +1 oraz max(a++1 0 m { } A: ++1 A oraz A [+]. 0 Wyłady z ombiatoryi
Dowody ombiatorycze 21 Zbiory będące sładiami sumy po prawe stroie oczywiście są rozłącze oraz { A: ++1 A oraz A [+] } ( +. Rówość(1.14 wyia zatem z reguły dodawaia. Te dowód moża opisać słowie w astępuący sposób. Mamy wybrać + 1 elemetów ze zbioru[m + + 1]. Napierw wybieramy awięszy elemet aszego zbioru. Niech będzie im liczba l. Następie ze zbioru[l 1] wybieramy pozostałe elemetów. Zauważmy,że+1 l m++1.liczbęlmożemyzatemzapisaćwpostaci l++1,gdzie0 m.awięc:apiewwybieramyliczbę++1,gdzie {0,...,m},aastępiezezbioru[+]wybieramyelemetów. Podstawiaącm wmiescemizmieiaącgraicesumowaiawewzorze(1.14 otrzymuemy ego postać rówoważą: m ( Popatrzmy a ila przyładów tego wzoru: 1 1 1 ( 1 ( 2 ( 3 ( m+1. (1.15 +1 ( +1 2 ( +1 3 ( +1 Ze wzorów tych sorzystamy w astępym paragrafie. Udowodimy teraz astępuący wzór: Miaowicie P 3 (+1 4. (1.16. (1.17. (1.18 ( +1 (. (1.19 3 0 { } {a,b,c}: a [], b+1, c [+1]\[+1]. 0 Wystarczy teraz zauważyć, że zbiory występuące w sumie po prawe stroie są rozłącze oraz { {a,b,c}: a [], b+1, c [+1]\[+1] } (. Iaczemówiąc,trzyelemetya,biczbioru[+1]wybieramywastępuącysposób: Wyłady z ombiatoryi
22 Wyład 1 apierwustalamyliczbę0,...,, potemwybieramyaspośródamieszychliczbzbioru[+1](tz.spośródliczb 1,...,, astępiewybieramyb+1, wreszciewybieramycspośród awięszychelemetówzbioru[+1](tz. spośródliczb+2,...,+1. Paragraf te zaończymy dowodem astępuące tożsamości: ( 2 2 4. (1.20 0 Rozpatruemy zbiór P(2 + 1. Możemy przedstawić go w postaci sumy gdzie P(2+1P + (2+1 P (2+1, P + (2+1{A P(2+1: A +1}, P (2+1{A P(2+1: A }. Zauważmy,żedladowolegozbioruA P(2+1 Stąd wyia, że A P + (2+1 [2+1]\A P (2+1. P + (2+1 P (2+1 1 2 P(2+1 1 2 22+1 2 2 4. ZbioryAależącedoP + (2+1maącoamie+1elemetów.Będzieasiteresować położeie elemetu( + 1-go w zbiorze A(licząc od amieszego elemetu, w oleości rosące. Zauważmy, że P + (2+1 { A P+ (2+1: 2 +1 A oraz A [2 ] }. 0 Iacze mówiąc: mamy wybrać co amie +1 elemetów ze zbioru[2+1]. Namieszeelemetówwybieramyzezbioru[2 ],potemwybieramyelemet2 +1 i wreszcie dopełiamy dowolymi elemetami wybraymi ze zbioru[2+1]\[2 +1], czyli spośród awięszych elemetów zbioru[2 + 1]. Zatem oczywiście { A P + (2+1: 2 +1 A oraz A [2 ] } ( 2 2. Poadto zbiory występuące w sumie po prawe stroie są rozłącze. Do zaończeia dowodu wystarczy sprawdzić, ai est zares zmieości parametru. Otóż oczywiście Wyłady z ombiatoryi
Dowody ombiatorycze 23 2 2,sądwyia,że 0.Poadto2,sądwyia,że.Zatem {0,...,}.Toończydowód. 12. Sumy potęg liczb aturalych Przymimy ozaczeie S ( 1 +...+, 1 gdzie, 1.WtymparagrafiewyprowadzimywzoryaS (dla0,1,2,3. Poażemy miaowicie, że S 0 (, ( +1 S 1 ( (+1, 2 2 S 2 ( 4 1 ( 2+2 (+1(2+1, 3 6 ( 2 +1 S 3 ( S 1 ( 2 2 (+1 2. 2 4 RówośćS 0 (estoczywista.wpoprzedimparagrafieudowodiliśmyrówość (1.16: ( ( +1. 1 2 Mamy zatem 1 ( +1 2 1 (+1. (1.21 2 LiczbyT S 1 (azywamyliczbamitróątymi.tożsamość(1.21wrazzastępuącym rysuiem tłumaczy tę azwę: T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 Iy dowód tożsamości(1.21 poażemy a przyładzie. Dwie piramidi maące po T 5 wdratówustawiamyobosiebietaaarysuu: Wyłady z ombiatoryi
24 Wyład 1 Po połączeiu ich otrzymuemy prostoąt o wymiarach 6 5: Ogólie2T (+1,sąddostaemy Następie udowodimy, że: S 1 (T (+1. 2 1 Sorzystamy tym razem z rówości(1.17: Mamy bowiem sąd dostaemy czyli S 2 ( 1 2 (+1(2+1. (1.22 6 1 ( +1 3 ( 2 1 ( +1 ( 2 2 (+1( 1 6 2 (+1( 1 3 (+1( 1 3 (+1(2+1. 6 + + (+1 2 3 1. ( 1, 2 ( 2, 1 1 Poażemy teraz dowód ombiatoryczy rówości (+1 6 (2( 1+3 2 1 ( 2+2. (1.23 4 3 1 Wyłady z ombiatoryi
Dowody ombiatorycze 25 Z ie dostaemy atychmiast 2 1 ( 2+2 4 3 1 (2+2(2+1(2 4 6 (+1(2+1. 6 Defiiuemy dwa zbiory: oraz A{(i,,: 1 i, }, B{(i,,: 1 i 2}. Poażemyapierw,że A S 2 (.Miaowicie oraz zbiory A {(i,,: i, []} 1 A {(i,,: i, []} dlaróżychsąrozłącze.zauważmypoadto,że A 2 ;zregułydodawaiawyia zatem,że A S 2 (.Wyażemyteraz,że ( 2+2 B. 3 Zauważmy, że zbiór B est zbiorem wszystich iemaleących ciągów długości 3 o wyrazach ze zbioru[2]. Z rozważań dotyczących ombiaci z powtórzeiami wyia, że taich ciągów est tyle, ile 3-elemetowych ombiaci z powtórzeiami ze zbioru (2-elemetowego,czyliwłaśie ( 2+2 2. Defiiuemyterazfucęf:B Awastępuącysposób: f(2i,2,2(i,,, f(2i,2,2 1(+1,i,, f(2i,2 1,2(,i,, f(2i,2 1,2 1(,i,, f(2i 1,2,2(i,,, f(2i 1,2,2 1(+1,i,, f(2i 1,2 1,2(i,,, f(2i 1,2 1,2 1(i,,. Sprawdzeie,żef(i,, Adla(i,, Bpozostawiamyaoćwiczeie.Naprzyład f(1,4,6(1,2,3. Wyłady z ombiatoryi
26 Wyład 1 Możateżłatwopoazać,żeeślii,to f 1( (i,, { (2i,2,2,(2i 1,2,2,(2i 1,2 1,2,(2i 1,2 1,2 1 } oraześlii>,to f 1( (i,, { (2,2i 1,2 1,(2,2i 1,2,(2,2i 2,2 1,(2 1,2i 2,2 1 }. Na przyład Podobie f 1( (1,2,3 { (1,3,5,(1,3,6,(1,4,6,(2,4,6 }. f 1( (2,1,3 { (1,2,5,(2,2,5,(2,3,5,(2,3,6 }. Ztewłasościfucifwyia,że4 A B,coończydowódtożsamości(1.23. Na zaończeie udowodimy tożsamość ( 2 +1 3 2 (+1 2. (1.24 2 4 1 KwadratoboudługościT podzielmyat 2 wadratówedostowych,aastępie aczęścitaaarysuu(dla4: 4 3 2 1 1 2 3 4 Długości odciów, a aie podzieliliśmy lewy i doly bo wadratu wyoszą oleo: 1,2,...,.NiechG ozaczaliczbęwadratówedostowychzawartychw-teczęści. Wtedy ietrudo zauważyć, że G T 2 T 2 1 2 (+1 2 Stąd wyia, że 4 S 3 ( co ończy dowód tożsamości(1.24. 2 ( 1 2 4 2 4 ((+1 2 ( 1 2 2 G T 2 (+1 2 2, 4 1 Wyłady z ombiatoryi 4 43.
Dowody ombiatorycze 27 Naszicuemy eszcze ede dowód ombiatoryczy tożsamości(1.24. Defiiuemy dwa zbiory A { (i,,,l: 0 i,,<l } oraz B {( (i,,(,l : 0 i<,0 <l }. Pozostawiamy ao ćwiczeie wyazaie, że ( 2 +1 A S 3 ( oraz B. 2 Następiedefiiuemyfucęf:A Bwzorem ( ( (i,,(,l f(i,,,l (,l,(,i ( (,l,(,l eślii<, eślii>, eślii. Na przyład f(1,2,3,4 ( (1,2,(3,4, f(2,1,3,4 ( (3,4,(1,2, f(1,1,3,4 ( (1,4,(3,4. Pozostawiamy rówież ao ćwiczeie sprawdzeie, że fuca f przeształca zbiór A wzaemie edozaczie a zbiór B. 13. Sumy aprzemiee współczyiów dwumiaowych Udowodimyteraz,żeeśli 1,to ( 1 0 Dowód. Zdefiiumy apierw dwa zbiory P{ N: 2 }, N{ N: 2 }. Tożsamość(1.25 możemy teraz zapisać w postaci [] P ( 0. (1.25 ( [] N (, czyli [] P P ( [] N P (. Wyłady z ombiatoryi
28 Wyład 1 Nietrudo zauważyć, że fuca oreśloa wzorem f(aa. {} f:p( P( { A\{} eśli A, A {} eśli A dla A P( est fucą przeształcaącą wzaemie edozaczie zbiór a zbiór P (iaodwrót(zauważmybowiem,żef 1 f. [] N Oczywiście,eśli0,to 0 ( 1 0 ( 0 ( 1 0 Nazaończeieudowodimy,żeeśli 1im 0,to m ( 1 0 ( ( 1 m [] P P ( ( 0 1. (1.26 0 ( 1 m. (1.27 Rozpatruemytęsamąfucęf:P( P(oreśloąwzoremf(AA. {} dla A P(. Wiemy, że fuca f est różowartościowa. Będziemy rozpatrywać teraz dwa przypadi. Przypade 1. m 2p. Tożsamość(1.27 przymue postać czyli Zdefiiumy trzy zbiory: p 0 p 0 P N ( 2 ( 2 p 1 0 p P 2 (, 0 p 1 0 ( 2+1 ( p 1 1 2p P 2+1 (, 0 ( 1 2p, RP 2p ( 1{A P 2p (: A}. Wyłady z ombiatoryi (. (1.27a 2+1
Dowody ombiatorycze 29 Zauważmyteraz,żef(P\RN,codowodzitożsamości(1.27a. Przypade2.m2p+1.Tożsamość(1.27przymueterazpostać p ( p ( ( 1, 2 2+1 2p+1 czyli Zdefiiumy trzy zbiory: 0 P N p 0 ( + 2 0 p P 2 (, 0 p 1 0 P 2+1 (, ( 1 2p+1 p 1 0 RP 2p+1 ( 1{A P 2p+1 (: A}. (. (1.27b 2+1 Zauważmyteraz,żef(PN\R,codowodzitożsamości(1.27b.Wtesposóbdowód tożsamości(1.27 został zaończoy. 14. Zliczaie dróg Mamy day prostoąt o wymiarach m podzieloy a m wadratów edostowych. Chcemy obliczyć liczbę dróg prowadzących z putu A do putu B, spełiaących założeie: w czasie przechodzeia drogi wolo poruszać się tylo w prawo i do góry. B A m Przyład taie drogi widzimy a astępym rysuu: B A m Wyłady z ombiatoryi
30 Wyład 1 Każdątaądrogęmożemyzaodowaćzapomocąm+zaów:mpoziomychipioowych rese. Koleość tych rese odpowiada przechodzoym odciom poziomym ipioowymodputuadoputub.powyższądrogęmożemyzatemzaodowaćza pomocą ciągu Oczywiste est też, że ażdy tai ciąg odue doładie edą drogę. Ciąg sład się z m + zaów. Jest o wyzaczoy edozaczie po wsazaiu, a tórych miescachzaduąsięresipoziome(rówoważie:resipioowe.zatemistiee ( m+ m (rówoważie: ( m+ taichciągów,awięcitylerozważaychdróg.mamyzatem ( ( m+ m+ liczbadrógzadob. (1.28 m 0 Tę iterpretacę ombiatoryczą współczyia dwumiaowego ao liczby dróg moża wyorzystać do dowodu tożsamości ombiatoryczych. Udowodimy apierw tożsamość(1.14: m ( ( + m++1. (1.14 +1 Weźmyprostoątowymiarachm (+1.KażdadrogaprowadzącazAdoBwdoładie edym miescu przechodzi z przedostatie a ostatią liię poziomą(i dale uż poziomo zmierza do B. Niech put C będzie ostatim putem asze drogi zaduącym się a przedostatie liii: B C + 1 A m Niech odległość putu C od lewego srau prostoąta wyosi rate. Wtedy istiee doładie ( + drógprowadzącychzadoc.poieważażdadrogazadobprowadzi przez ede tai put C, z tórego astępie przechodzi do ostatie poziome liii idalepoziomodob,więcłączaliczbadrógestrówasumie m ( +. 0 Wyłady z ombiatoryi
Dowody ombiatorycze 31 Zdrugiestroy,zewzoru(1.28wyia,żetaliczbadrógestrówa ( m++1 +1,coończy dowód. Udowodimy teraz tożsamość(1.13. 0 ( 2 ( 2, (1.13 Weźmywadratoboudługościrate.KażdadrogazAdoBprzechodziprzez doładie ede zazaczoy put leżący a przeąte wadratu. B A Przypuśćmy, że asza droga przechodzi przez put C położoy w odległości rate odlewegobouwadratu.wtedyteputleżytażewodległościrateodbou górego. B C A KażdądrogęzAdoBprzechodzącąprzezputCdzielimyadwiedrogi:zAdoC izcdob.drogazadoczaduesięwewątrzprostoątaowymiarach ( ;est zatem ( taichdróg.drogazcdobzaduesięwewątrzprostoątaowymiarach ( ;taichdrógestteż ( (.Zregułymożeiawyia,żeistiee 2dróg zadobprzechodzącychprzezputc.sumuącteliczbydrógdla0,1,...,, otrzymuemy tożsamość(1.13. 15. Zliczaie fuci mootoiczych W tym paragrafie zamiemy się zliczaiem fuci mootoiczych f:[m] []. Napierw rozpatruemy fuce rosące. Zauważmy, że fucę rosącą wyzacza e zbiór Wyłady z ombiatoryi
32 Wyład 1 wartości.stądwyia,żeliczbafucirosącychf:[m] []estrówa ( m.oczywiścietaiefuceistieą,oile1 m.nietrudozauważyć,żefucimaleących est tyle samo. Następie zamiemy się fucami iemaleącymi. Udowodimy astępuące twierdzeie. Twierdzeie1.2.Niechm, 1.Liczbaiemaleącychfucif:[m] []est rówa ( m+ 1 m. Dowód1.Dladowolefucif:[m] []defiiuemyfucęg:[m] [m+ 1] wzorem g(f(+ 1 dla1,...m.mamyzatem g(1f(1, g(2f(2+1, g(3f(3+2,...... Poieważ1 f( dla [m],więc g(m 1f(m 1+m 2, g(mf(m+m 1. 1 f( f(+ 1g( f(+m 1 m+ 1. Zatem rzeczywiście g:[m] []. Teraz poazuemy, że fuca f est iemaleąca wtedyitylowtedy,gdyfucagestrosąca.przypuśćmyzatem,żefucafest iemaleącaoraz1 <l m.wtedyf( f(l,sądwyia,że g(f(+ 1 f(l+ 1<f(l+l 1g(l. Naodwrót,przypuśćmy,żefucagestrosącaoraz1 m.wtedyg(< g(+1,czyli f(+ 1<f(+1+(+1 1. Zatem czyli f(+ 1<f(+1+, f(<f(+1+1. Stąddostaemyf( f(+1.zdowolościwyia,żefucafestiemaleąca. Wreszciepoazuemy,żeażdafucarosącag:[m] [m+ 1]powstaewte sposóbzpewefucif.otóżfucęfdefiiuemywzorem f(g( +1 Wyłady z ombiatoryi
Dowody ombiatorycze 33 dla1,...,m.szczegółydowodu,żef :[m] []orazżef estiemaleąca, pozostawiamy ao ćwiczeie. Do zaończeia dowodu wystarczy zauważyć, że istiee fucirosącychz[m]do[m+ 1]. ( m+ 1 m Dowód2.Fucaiemaleącaf :[m] []estpoprostuciągiemiemaleącym długości m o wyrazach ze zbioru[]. Przypomiamy, że za pomocą taich ciągów defiiowaliśmy ombiace z powtórzeiami. Zatem liczba tych ciągów est rówa liczbie m-elemetowych ombiaci z powtórzeiami z -elemetowego zbioru[], a więc est rówa ( ( m+ 1 1,czyli m+ 1 m.każdątaąombiacęodowaliśmyzapomocąciągu rope i rese. Ze względu a zaczeie tego odowaia przypomimy e w oteście odowaia fuci iemaleących. Każdąfucęiemaleącąf:[m] []oduemyzapomocąciągum+ 1symboli: mropei 1pioowychrese.Popatrzmyaprzyład.Niechm8i7. Weźmy fucę f:[8] [7] zdefiiowaą astępuąco: f(11, f(22, f(32, f(45, f(56, f(66, f(77, f(87. Kodem te fuci będzie ciąg ośmiu rope i sześciu rese: Pioowe resi dzielą ciąg a 7 części odpowiadaących możliwym wartościom fuci f. Kolee ropi odpowiadaą argumetom. Jeśli -ta ropa leży w l-te części, to f(l.zatempierwszaropależywpierwszeczęści,drugaitrzeciawdrugie części,czwartawpiąteczęści,piątaiszóstawszósteczęściiwreszciesiódmaiósma w siódme części. Ogólie mamy m rope odpowiadaących argumetom i 1 rese dzielących ciąg a części odpowiadaących możliwym wartościom. Teraz wystarczy zauważyć, że ażdy tai ciąg odue doładie edą fucę iemaleącą i a odwrót, ażda fuca iemaleąca ma doładie ede od. Wreszcie zauważmy, że od est całowicie wyzaczoy, gdy wsażemy, a tórych miescach zaduą się ropi; est zatem ( m+ 1 m taichodówityleestfuciiemaleącychf:[m] []. Dowód 3. Wyorzystamy prostoąt o wymiarach m ( 1 do sporządzeia wyresu fuci. Na dolym bou prostoąta umeruemy olee rati liczbami od 1 do m. Na lewym bou umeruemy liie tworzące rati liczbami od 1 do. Następie zazaczamy pogrubioą liią m poziomych odciów edostowych. Jeśli f( l, to w -te olumie zazaczamy odcie zaduący się a l-te liii poziome. Zwracamy uwagę Wyłady z ombiatoryi
34 Wyład 1 a to, że powstae wyres fuci, w tórym wartości ie są putami, ale odciami. Otoprzyładtaiegowyresudlam8i7ifuciforeśloewdowodzie2: 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 Poziome odcii łączymy astępie odciami pioowymi, otrzymuąc tym samym drogę z putu A do putu B, spełiaącą warue sformułoway w poprzedim paragrafie. Oto droga utworzoa z wyresu asze fuci f: 7 6 5 4 3 2 1 A 1 2 3 4 5 6 7 8 B Zauważmy teraz, że ażda fuca iemaleąca defiiue w te sposób doładie edą drogęzadobiaodwrót:ażdadrogazadobspełiaącawaruezpoprzediego paragrafu defiiue doładie edą fucę iemaleącą. Stąd wyia, że istiee ( m+ 1 m taichfuci.toończydowódtwierdzeia. 16. Liczby Catalaa W tym paragrafie rozwiążemy astępuące zadaie: Zadaie. Oblicz, ile est fuci iemaleących f:[] [] spełiaących warue f( dla1,...,. ( W rozwiązaiu tego zadaia wyorzystamy odowaie fuci iemaleących za pomocą dróg.niechzatemdaybędzieprostoątwymiaru ( 1.Nadolymbouumeruemyratiliczbamiod1do,alewymbouumeruemyliieod1do.Wiemy uż,żeażdafucaiemaleącaf:[] []defiiuedoładieedądrogęzputu AdoputuB.Dodatowywarue( ałożoyafucefozacza,żedrogaodpowiadaąca fuci f ie może przeroczyć przerywae liii zazaczoe a rysuu Wyłady z ombiatoryi
Dowody ombiatorycze 35 (gdzieprzyęto8: 8 7 6 5 4 3 2 1 A 1 2 3 4 5 6 7 8 B Iteresuące as drogi z A do B ieprzeraczaące przerywae liii zliczymy iacze: od liczby ( 2 1 1 wszystichdrógzadobodemiemyliczbędrógprzeraczaącychtęliię. Narysumy więc ową przerywaą liię, położoą o edą ratę wyże. Droga przeraczaąca dolą liię przerywaą musi mieć put wspóly z wyższą liią przerywaą. NiechCbędziepierwszymputemadrodzezAdoBpołożoymatewyższeliii przerywae. B 8 7 6 5 4 3 2 1 A C 1 2 3 4 5 6 7 8 Część drogi od putu A do putu C odbiamy teraz symetryczie względem wyższe liiiprzerywae.otrzymuemydrogęzputua doputub. B 2 C 1 A A +1 Odwrotie,ażdadrogazputuA doputubmusiprzeciąćtęwyższąliięprzerywaą. Niech C będzie pierwszym putem wspólym drogi i te liii przerywae. OdbiaącsymetryczieczęśćA Ctedrogiwzględemliiiprzerywae,otrzymuemy drogę z A do B przeraczaącą dolą liię przerywaą. Zatem iteresuąca as liczba Wyłady z ombiatoryi
36 Wyład 1 drógzadobprzeraczaącychdoląliięprzerywaąestrówaliczbiedrógza do B,czyli ( 2 1 2. Liczbafucif:[] []spełiaącychwarue( estzatemrówa ( 2 1 1 ( 2 1. 2 Sorzystamy teraz ze wzoru(1.5: ( ( m m (m +1. (1.5 1 Mamy wówczas ( 2 1 ( 1 ( 2 1 ( 1+1 1 czyli Stąd otrzymuemy ( 2 1 1 Liczby ( 2 1 2 ( 2 1 1 2 +1 ( 2 1 (+1 2 ( 2 1. 1 ( 2 1 1 ( 2 1 1 +1 1 ( 1 1 ( 2 1 +1 1 +1 2 ( 2 1 +1 2 1 1 1 +1 ( 2. C 1 +1 ( 2 ( 2 1, 2 ( 2 1 1 azywamy liczbami Catalaa. Oto ila początowych liczb Catalaa: C 1 1, C 2 2, C 3 5, C 4 14, C 5 42, C 6 132, C 7 429. 17. Podział zbioru a bloi rówolicze Następe zadaie ombiatorycze, tórym będziemy się zamować, polega a zliczaiu podziałów zbioru a rówe części. Przypuśćmy, że day est m-elemetowy zbiór A. Chcemy wiedzieć, iloma sposobami możemy podzielić go a m zbiorów -elemetowych: AA 1... A m, A 1... A m. Wyłady z ombiatoryi
Dowody ombiatorycze 37 Każdy tai podział możemy łatwo otrzymać z pewe permutaci całego zbioru A. Miaowicieaopierwszyzbiórpodziału(czyliA 1 bierzemyzbiórsładaącysięzelemetówstoącychapierwszychmiescach,aodrugizbiór(czylia 2 bierzemyzbiór elemetówstoącychaastępychmiescachitd.wreszciezbióra m sładasięzelemetów stoących a ostatich miescach. Oczywiście te sam podział otrzymamy a ogół z różych permutaci całego zbioru A. Liczbę podziałów wyzaczymy dzieląc liczbę wszystich permutaci przez liczbę permutaci daących te sam podział zbioru A. Wszystich permutaci est oczywiście(m!. Te sam podział otrzymamy z permutaci różiących się porządiem elemetów w ażdym blou -elemetowym oraz różiących się porządiem tych bloów. Każdy blo -elemetowy możemy uporządować a! sposobów. Taich bloów est m, więc łącziemamy(! m sposobówuporządowaiaelemetówwewątrzażdegoblou.wreszcie mamy m! sposobów uporządowaia tych m bloów. To ostateczie dae liczbę (! m m!permutaciwyzaczaącychtesampodziałzbiorua.zatemliczbapodziałów wyosi (m! (! m m!. Wyprowadzimy stąd astępuący wiose. Poieważ liczba podziałów zbioru est liczbą całowitą, więc (! m m! (m! Otrzymay wiose pozwoli am łatwo rozwiązać astępuące zadaie teorioliczbowe (XLIII Olimpiada Matematycza, zawody III stopia, zadaie 6. Zadaie. Udowodi, że dla dowole liczby aturale (! 2 ++1 ( 3! Rozwiązaie.Napierwpodstawimymiotrzymamy (!! ( 2! czyli (! +1 ( 2! Następiepodstawimym 2 oraziotrzymamy (! 2 ( 2! ( 3! Łącząc ze sobą ostatie dwie zależości łatwo otrzymamy (! 2 (! +1 ( 3! czyli ostateczie (! 2 ++1 ( 3! Wyłady z ombiatoryi
38 Wyład 1 18. Operator różicowy Niechf: R R.Defiiuemyfucę f: R Rwzorem ( f(xf(x+1 f(x. Operator tworzący z fuci f fucę f azywamy operatorem różicowym. Teoperatorróżicowymożaiterować.Defiiuemymiaowicieciągfuci fdla 1,2,...wzorami: 1 f f, +1 f ( f, Czasamidefiiuemypoadto 0 ff.popatrzmyterazailaprzyładów. ( 1 f(x( f(xf(x+1 f(x, ( 2 f(x( ( 1 f(x( f(x+1 ( f(x (f(x+2 f(x+1 (f(x+1 f(x f(x+2 2f(x+1+f(x, ( 3 f(x( ( 2 f(x( 2 f(x+1 ( 2 f(x (f(x+3 2f(x+2+f(x+1 (f(x+2 2f(x+1+f(x f(x+3 3f(x+2+3f(x+1 f(x, ( 4 f(x( ( 3 f(x( 3 f(x+1 ( 3 f(x (f(x+4 3f(x+3+3f(x+2 f(x+1 (f(x+3 3f(x+2+3f(x+1 f(x f(x+4 4f(x+3+6f(x+2 4f(x+1+f(x i ta dale. Udowodimy teraz twierdzeie ogóle. Twierdzeie1.3.Niechf: R R.Wtedydladowolego 1idowolegox R mamy ( ( f(x ( 1 f(x+. (1.29 0 Dowód.Stosuemyiducęwzględem.Dla1mamy L( 1 f(xf(x+1 f(x oraz P ( 1 1( 1 1 f(x+ 0 ( ( 1 1 ( 1 1 0 f(x+0+( 1 1 1 f(x+1 0 1 ( 1 f(x+f(x+1f(x+1 f(x L. Wyłady z ombiatoryi
Dowody ombiatorycze 39 W rou iducyym załadamy, że dla pewego mamy ( f(x ( ( 1 f(x+ 0 i dowodzimy, że +1 ( +1 ( +1 f(x ( 1 +1 f(x+. 0 Zaczyamy od lewe stroy: L( +1 f(x( ( f(x( f(x+1 ( f(x ( ( ( 1 f(x+1+ ( 1 f(x+ 0 1 0 +1 ( ( 1 +1 f(x++ 1 c.b.d.o. 1 ( ( 1 +1 f(x+ 0 ( ( ( 1 +1 f(x++( 1 (+1+1 f(x++1+ 1 ( +( 1 0+1 f(x+0+ 0 ( ( 1 +1 f(x+ 1 ( ( 1 +1 0 f(x+0+ 0 1 ( +( 1 +1 (+1 f(x++1 ( +1 ( 1 +1 0 f(x+0+ 0 1 0 ( 1 +1 (( 1 ( +1 +( 1 +1 (+1 f(x++1 +1 +1 ( +1 ( 1 +1 f(x+ P, + ( f(x++ ( +1 ( 1 +1 f(x++ Operatoryróżicowe i możastosowaćtażedociągówowyrazachrzeczywistych. Niechf: N R.Defiiuemywtedy ( f(f(+1 f( Wyłady z ombiatoryi
40 Wyład 1 oraz 1 f f, +1 f ( f. Z twierdzeia 1.3 otrzymuemy wtedy astępuący wiose: Wiose1.4.Niechf: R R.Wtedydladowolego 1idowolegox Rmamy ( f(x Dowód otrzymuemy zmiaiaąc apierw oleość sumowaia: ( f(x 0 ( ( 1 f(x. (1.30 0 ( ( 1 f(x+ 0 0 aastępiepodstawiaącx wmiescex. ( ( 1 f(x+ ( ( 1 f(x+, Wiose1.5.Niechf: N R.Wtedydladowolego 1idowolego 0mamy ( f( Wszczególościdla0dostaemy ( f(0 ( ( 1 f(+. (1.31 0 ( ( 1 f(. (1.32 0 Dla dowodu wystarczy rozszerzyć fucę f a cały zbiór R, przymuąc a przyład { 0 dlax<0, f(x f([x] dlax 0, gdzie[x] ozacza część całowitą liczby rzeczywiste x. 19. Zastosowaia operatora różicowego Zacziemy od wyazaia, że operator różicowy est operatorem liiowym. Przypuśćmy zatem,żemamydaedwiefucef,g:r Ridwieliczbyrzeczywisteaib.Defiiuemyfucęh:R Rwzorem h(xa f(x+b g(x Wyłady z ombiatoryi
Dowody ombiatorycze 41 dlax R.Wówczas ( h(xh(x+1 h(xa f(x+1+b g(x+1 a f(x b g(x a ( f(x+b ( g(x dlax R.Iaczemówiąc ( ( (a f+b g (x a ( f+b ( g (x dlax R,czyli ( (a f+b g ( a ( f+b ( g. Stąd łatwo wyia przez iducę, że ( (a f+b g ( a ( f+b ( g dla 1. Niechterazfucaf: R Rbędzieoreśloawzoremf(xx dlax R.Wtedy 1 ( f(xf(x+1 f(x(x+1 x 0 ( x dlax R.Zatemfuca f estwielomiaemstopia 1.Stądizliiowości operatora wyia, że eśli f est wielomiaem stopia, to f est wielomiaem stopia 1.Przeziducęwzględemłatwodowodzimy,że festwielomiaem stopia dla1,...,.wszczególości estwielomiaemstałym.stąd astępiewyia,żedla +1fuca festtożsamościoworówa0. Udowodimyterazprzeziducę,żeeślifucaf: R Restoreśloawzorem f(xx dlax R,to( f(x!dlax R.Tęrówośćbędziemyzapisywać wsrócieao x!. Dla1mamyf(xxdlax R.Zatem ( 1 f(xf(x+1 f(xx+1 x11! Załóżmyteraz,żedaesąfucef : R Roreśloewzoremf (xx dla 0 ix R.Załóżmytaże,że f!.pamiętamyrówież,że f 0dla<. Chcemyudowodić,że +1 f +1 (+1!.Otóżzauważmyapierw,że ( f +1 (xf +1 (x+1 f +1 (x(x+1 +1 x +1 ( ( +1 ( +1 x f (x 0 0 dlax R.Zatem f +1 ( +1 f. 0 Wyłady z ombiatoryi
42 Wyład 1 Stąd dostaemy ( ( +1 ( +1 f +1 ( ( f +1 f 0 ( +1 ( f (+1!(+1! (( +1 ( f Poażemy teraz ila przyładów wyorzystaia twierdzeia 1.3 oraz wiosów 1.4 i 1.5 do dowodu tożsamości ombiatoryczych. Przyład1.Weźmyfucęf: R Roreśloąwzoremf(x1dlax R.Wtedy dla 1mamy f0iztożsamości(1.30dostaemy czyli ( f(x Jest to tożsamość(1.25. ( ( 1 f(x 0 ( ( 1 0. 0 0 ( ( 1, Przyład2.Weźmyfucęf: R Roreśloąwzoremf(xxdlax R.Wtedy dla 2mamy f0iztożsamości(1.30dostaemy ( f(x czylidlaxmamy Poieważ 0 ( ( 1 f(x 0 0 ( ( 1 ( 0 ( ( 1 ( 0. 0 0 ( ( 1 0 ( ( 1 0 0 ( ( 1, 0 ( ( 1 (x, ( ( 1 ( ( 1. więc ( ( 1 0. (1.33 0 Wyłady z ombiatoryi
Dowody ombiatorycze 43 Nietrudo obliczyć, że oraz 1 ( 1 ( 1 1 (1.34 0 0 ( 0 ( 1 0. (1.35 0 Przyład3.Niech 1.Weźmyfucęf: R Roreśloąwzoremf(xx dla x R.Wtedy f!iztożsamości(1.30dostaemy ( ( ( f(x ( 1 f(x ( 1 (x, czyli 0 0 0 ( ( 1 (x!. (1.36 Nietrudo sprawdzić, że ta tożsamość est prawdziwa taże dla 0. Przyład4.Weźmyfucęf: N Roreśloąwzoremf(2 dla N.Wtedy ietrudozauważyć,że ffdla 1iztożsamości(1.32dostaemy czyli ( f(0 ( ( 1 0 0 f( ( ( 1 0 2, ( ( 1 2 1. (1.37 Tatożsamośćestteżprawdziwadla0. Przyład5.Niechdaabędzieliczbaaturalam.Defiiuemyfucęf: N R wzorem ( m+ f( m dla 0.Zrówości(1.32dlaciągufotrzymuemy ( ( f(0 ( 1 f(, czyli ( f(0 0 (( m+ ( 1 m 0 ( ( m+ ( 1 m 0 (( m+ ( 1. m 0 Wyłady z ombiatoryi
44 Wyład 1 Z drugie stroy udowodimy przez iducę, że Dla1mamy ( f( ( m+. m ( ( m++1 m+ ( f(( f(f(+1 f( m m ( ( ( ( m+ m+ m+ m+ +. m m 1 m m 1 W rou iducyym załóżmy, że ( f( ( m+. m Mamy udowodić, że Otóż ( +1 f( ( m+. m 1 ( f(( ( f(( f(+1 ( f( ( ( ( m++1 m+ m+ + m m m ( m+. m 1 Stąd otrzymuemy rówość (( m+ ( 1 m 0 Przymuącterazm+,otrzymuemy 0 ( m+ m 1 ( m+ m ( m. (1.38 m (( ( +2 + ( 1. (1.39 + Przyład 6. Niech teraz p i q będą dowolymi liczbami aturalymi i przymimy ( p f( q Wyłady z ombiatoryi
Dowody ombiatorycze 45 dla 0.Zrówości(1.32dlaciągufotrzymuemy czyli ( i f(0 ( i f(0 i ( i ( 1 i f(, 0 i (( i p ( 1 i q 0 i (( i p ( 1 i+. q 0 Z drugie stroy udowodimy przez iducę, że ( i f(( 1 i ( p i. q i Dlai1mamy ( ( p 1 p ( i f(( f(f(+1 f( q q ( (( ( ( p 1 p 1 p 1 p 1 +. q q q 1 q 1 W rou iducyym załóżmy, że ( p i ( i f(. q i Mamy udowodić, że Otóż ( p i 1 ( i+1 f(. q i 1 ( i f(( ( i f(( i f(+1 ( i f( ( ( p i 1 p i q i q i ( (( ( p i 1 p i 1 p i 1 + q i q i q i 1 ( p i 1. q i 1 Stąd otrzymuemy rówość i (( i p ( 1 i ( 1 i q 0 Wyłady z ombiatoryi ( p i. (1.40 q i
46 Wyład 1 Dzielącobiestroyprzez( 1 i iorzystaącztego,że( 1 ( 1,otrzymuemy i (( i p ( 1 q 0 Przymuącterazp+2iq,otrzymuemy 0 ( p i. q i i (( ( ( i +2 +2 i +2 i ( 1. (1.41 i 2 19. Tożsamość Li Żeń-Szua W siążce opubliowae w Naiie w 1867 rou chińsi matematy Li Żeń-Szua podał szereg iteresuących tożsamości zgodie z chińsą tradycą bez dowodu. Wśród tych tożsamości zalazła się astępuąca: i0 ( 2 ( +2 i i 2 ( 2 +. (1.42 Tożsamość tę azywamy dzisia tożsamością Li Żeń-Szua. W tym paragrafie udowodimy tę tożsamość, orzystaąc z wyiów uzysaych w poprzedim paragrafie. Napierw eda udowodimy dwie tożsamości pomocicze. Niechibędąliczbamiaturalymitaimi,że.Wtedy Miaowicie i ( 2 ( i i Druga tożsamość ma postać: i i ( ( ( 2 ( i i ( i i ( i i0 ( i ( ( 2 i (( i i (( i i ( i ( ( (. (1.43 i0 ( i ( 2 (( i i ( ( ( ( +2 2 +2 +. (1.44 + Wyłady z ombiatoryi.
Dowody ombiatorycze 47 Udowodimy ą orzystaąc ilarotie z tożsamości(1.5. Miaowicie ( ( ( ( +2 2 +2 2 2 ( ( +2 (+2 (2 ( ( +2 + ( ( +2 + ( ( +2 (+2 (+ ( ( +2 +. + Dowodzimy teraz tożsamości Li Żeń-Szua. ( 2 ( +2 i ( 2 i (( i +2 ( 1 i 2 i i0 i0 i00 0i 0 0 0 i ( ( 1 i ( ( 1 i 2 ( i 2 ( i ( 1 ( +2 ( 1 ( +2 ( +2 ( +2 i ( ( 2 ( i i ( 2 (( ( +2 2 ( 1 0 (( ( +2 + ( 1 + 0 ( + (( +2 ( 1 + 0 ( ( + + ( 2 +. Wyłady z ombiatoryi
48 Wyład 1 W dowodzie orzystaliśmy apierw z tożsamości(1.41, potem z(1.43, astępie z(1.44iwreszciez(1.39. 20. Współczyii wielomiaowe Współczyidwumiaowy ( m estrówyliczbie-elemetowychpozdbiorówzbioru m-elemetowego. Iacze mówiąc, est o rówy liczbie podziałów zbioru m-elemetowego a dwa zbiory: pierwszy -elemetowy i drugi(m -elemetowy. Należy tu zwrócić uwagę a ustaloą oleość zbiorów. Ta defiica współczyia dwumiaowego ma aturale uogólieie. Przypuśćmy,żedayestciągliczb( 1,..., taich,że 1 +...+ m.współczyiiemwielomiaowym ( m 1,..., azywamyliczbęciągów(a1,...,a taich, że: A 1,...,A [m], zbiorya 1,...,A sąparamirozłącze, A 1... A [m], A 1 1,..., A. Wszczególościdla2mamy ( ( m 1, 2 m 1,gdziepolewestroiemamywspółczyi wielomiaowy, a po prawe zay am współczyi dwumiaowy. Rodzię parami rozłączych podzbiorów zbioru A, daących w sumie cały zbiór A, azywamy podziałem tego zbioru A. Jeśli ustalimy oleość zbiorów w te rodziie, czyli eśli mamy do czyieia z ciągiem(a ie zbiorem podzbiorów zbioru A, to będziemy mówićouporządowaychpodziałachzbiorua.współczyiwielomiaowy ( m 1,..., est zatem rówy liczbie uporządowaych podziałów zbioru[m] a podzbiorów, z tórychpierwszyma 1 elemetów,drugima 2 elemetówitadale,ażwreszcieostati ma elemetów. Iaczemówiąc,współczyiwielomiaowy ( m (gdzie1 1,..., +...+ mest liczbąciągów(x 1,...,x m długościmowyrazachzezbioru[],maących 1 wyrazów rówych1, 2 wyrazówrówych2,... iwreszciemaących wyrazówrówych. Symboliczie możemy to zapisać w astępuący sposób: { ( } f [] [m] : f 1 (1 1,..., f 1 ( m 1,..., Współczyii wielomiaowe maą astępuącą własość(tóra może być wyorzystaa taże do zdefiiowaia ich przez iducę względem : ( ( ( m m m +1. (1.45 1,...,, +1 +1 1,..., Abybowiempodzielićzbiór[m]a+1zbiorów,wybieramyapierw +1 -elemetowy zbióra +1,aastępiezbiórmaącypozostałem +1 elemeówdzielimya podzbiorów. Stąd wyia astępuące twierdzeie. Twierdzeie1.6.Jeśli 1 +...+ m,to ( m m! 1,..., 1!...!. (1.46 Wyłady z ombiatoryi.