3. DRGANIA I FALE 3.1. Ruch harmoniczny W szkole poznajemy ruch harmoniczny w trakcie analizy ruchu jednostajnego po okręgu jako rzut na prostą (rys. 3.1). Tak jest w istocie, poniewaŝ ruch po okręgu to złoŝenie wzajemnie prostopadłych ruchów harmonicznych (rys. 1.2 w rozdz. 1): Rys. 3.1. Ruch harmoniczny jako rzut ruchu po okręgu Ruch harmoniczny opisany jest następującą funkcją czasu: x(t) = A cos(ωt+ϕ) (3.1) gdzie: A - amplituda ω - częstość (2π f, gdzie f częstotliwość, czyli odwrotność okresu T) ωt+ϕ - faza ϕ - faza początkowa Rys. 3.2. Wykres funkcji opisującej ruch harmoniczny. Ruch harmoniczny powstaje pod wpływem tzw. siły harmonicznej. Siła ta jest zmienna, i zaleŝy od współrzędnej, na jakiej znajduje się oscylująca masa. W ogólności, siła ta wyraŝa się następująco: F = - k x, gdzie k jest współczynnikiem proporcjonalności. Taką siłą jest równieŝ w ruchu po okręgu rzut siły dośrodkowej na współrzędną (dowolną). Ruch harmoniczny opisywany jest na współrzędnej, której początek znajduje się w połoŝeniu odpowiadającym trwałej równowadze masy wykonującej oscylacje (rys. 3.3). Wtedy chwilowa współrzędna tej masy w nomenklaturze ruchu harmonicznego to wychylenie (od połoŝenia równowagi). Siła, która działa na oscylującą masę to siła kierująca (oscylującą masę do połoŝenia równowagi). Kryterium, czy dana masa wykonuje ruch harmoniczny, jest proporcjonalność pomiędzy siłą wymuszającą a wychyleniem i znak minus przy współczynniku proporcjonalności.
3.2. Przykłady ruchu harmonicznego W świecie idei, w przyrodzie, technice czy nawet w pokoju z zabawkami moŝna wskazać wiele przypadków występowania ruchu harmonicznego. Wymieńmy kilka: cięŝarek zawieszony na spręŝynie (rys. 3.3), wahadło skrętne (rys. 3.4), wahadło matematyczne (rys. 3.5), ciecz w U-rurce (rys. 3.6), areometr (rys. 3.7), struna w instrumencie (rys. 3.8). CięŜarek na spręŝynie jest oscylatorem, w którym siłę kierującą wytwarza wydłuŝana lub skracana (spręŝana) spręŝyna, w wahadle skrętnym mamy do czynienia z momentem kierującym siły skrętnej wytwarzanym przez skręcany pręt, w wahadle matematycznym siłą kierującą jest składowa siły cięŝkości (która jest niezerowa po odchyleniu cięŝarka), w U-rurce siłą kierującą jest cięŝar tej części cieczy, jaka jest wychylona z połoŝenia równowagi, w areometrze siłą kierującą jest siła niezrównowaŝenia wyporności, jaką wywiera ciecz na zanurzoną część areometru. W strunie siłą kierującą jest składowa siły napięcia struny (która jest niezerowa od momentu wychylenia struny z połoŝenia równowagi). Rys. 3.3. CięŜarek na spręŝynie wykonujący drgania harmoniczne Rys. 3.4. Wahadło skrętne (torsyjne) 32
Rys. 3.5. Wahadło matematyczne Rys. 3.6. Drgania harmoniczne cieczy w U-rurce. 33
Rys. 3.7. Ruch harmoniczny areometru w cieczy Rys. 3.8. Drgania harmoniczne struny truna Nie kaŝdy ruch drgający (periodyczny) jest ruchem harmonicznym. Na przykład cięŝarek zawieszony na nici wykonuje ruch, który moŝna uwaŝać za zbliŝony do harmonicznego, jeŝeli nić jest bardzo lekka, cięŝarek bardzo mały, nie występuje oddziaływanie z powietrzem i amplituda wychyleń jest bliska zeru (rys. 3.4). 3.3. Ruch harmoniczny z siłą tłumiącą KaŜdy oscylator harmoniczny, jeŝeli nie dostarcza mu się energii z zewnątrz, zmniejsza z czasem amplitudę drgań. Szybkość zanikania amplitudy zaleŝy od intensywności tłumienia. Intensywność tę ilościowo ujmuje tzw. współczynnik tłumienia β. Tak jak zwykły ruch harmoniczny (tzw. drgania harmoniczne proste) opisane są funkcją 3.1, tak drgania harmoniczne tłumione opisuje funkcja 3.2: x(t) = A o e -βt cos(ωt+ϕ) (3.2) Funkcja 3.1 tylko wtedy dobrze opisuje ruch harmoniczny tłumiony, jeŝeli siła tłumiąca jest dostatecznie mała. Częstość ω drgań tłumionych zaleŝy od częstości drgań własnych ω o (częstość taką miałby oscylator gdyby nie był tłumiony) i określa ją zaleŝność 3.3. ω 2 = ω 2 o - β 2 (3.3) Funkcja 3.2 jest iloczynem dwóch funkcji: funkcji amplitudowej A o e -βt oraz funkcji fazowej cos(ωt+ϕ). Kształt funkcji opisującej drgania gasnące przedstawiony został na rys. 3.9. 34
Rys. 3.9. Drgania gasnące (tłumione) Przykładem drgań gasnących moŝe być cięŝarek na spręŝynie zanurzony w cieczy (rys. 3.10). JeŜeli drgania będą silnie tłumione przestają być drganiami harmonicznymi. Określamy je wówczas jako anharmoniczne lub aperiodyczne, a adekwatność opisu za pomocą funkcji 3.2 zanika. Rys. 3.10. Przykład oscylatora harmonicznego tłumionego cięŝarek zanurzony w wodzie. Rys. 3.10. Przykład oscylatora anharmonicznego cięŝarek zanurzony w gęstym oleju. Praktycznym przykładem ruchu harmonicznego tłumionego jest cięŝarek jak na rysunku 3.3, ale zanurzony w wodzie (rys. 3.10), przykładem ruchu aperiodycznego taki sam cięŝarek, ale zanurzony w gęstym oleju (rys. 3.11). 3.3. Ruch harmoniczny z siłą tłumiącą i siłą wymuszającą JeŜeli do oscylatora tłumionego doprowadzona będzie energia w postaci siły oscylującej harmonicznie, wtedy zaczyna on wykonywać oscylacje harmoniczne o częstotliwości takiej samej jak siła wymuszająca, o amplitudzie zaleŝnej od częstotliwości siły wymuszającej. Drgania opisane są wtedy funkcją postaci: x(t) = A(ω) cos(ωt+ϕ) (3.4) Funkcja 3.1 jest w istocie iloczynem dwóch funkcji. Pierwsza z nich czynnik amplitudowy ma kształt zaleŝny od współczynnika tłumienia (rys. 3.11), druga to czynnik fazowy. 35
Rys. 3.11. ZaleŜność amplitudy drgań wymuszonych od częstości. 3.4. Ruch falowy Ruch falowy to rozprzestrzeniane się zaburzenia w ośrodku. Opisem fali jest funkcja czasu i przestrzeni: w(x,t) = A cos(ωt-kx) (3.4) gdzie: w - wielkość charakteryzująca odkształcenie ośrodka od stanu równowagi t - czas x - współrzędna przestrzenna A - amplituda ω - częstość k - liczba falowa Liczba falowa k związana jest z długością fali λ: 2π k = (3.5) λ Przykładem fali jest rozprzestrzenianie się zaburzenia ciśnienia w powietrzu, czyli fala akustyczna. W opisywaniu fali waŝnym pojęciem jest tzw. czoło fali, czyli powierzchnia w przestrzeni, gdzie punkty ośrodka drgają w jednakowej fazie. Przykładowo, jeŝeli czoło fali ma kształt kuli, mamy do czynienia z tzw. falą kulistą. Innym rodzajem fali moŝe być fala płaska lub fala cylindryczna. W danym ośrodku powstaje fala kulista wtedy, jeŝeli jej źródłem jest drgająca radialnie powierzchnia kuli (kula, która pulsująco zmienia swoją objętość). Fala płaska ma swoje źródło u płaszczyzny wykonującej drgania translacyjne. Źródłem fali cylindrycznej jest radialnie drgająca powierzchnia boczna walca. Innym rodzajem klasyfikacji fal jest podział ze względu na kierunek drgań ośrodka w stosunku do kierunku rozchodzenia się fali. W klasyfikacji tej najczęściej mamy do czynienia z falami poprzecznymi i podłuŝnymi. JeŜeli nastąpi nałoŝenie się dwóch fal biegnących w kierunkach przeciwnych, będziemy mieli do czynienia z tzw. falą stojącą. Jest to równieŝ zaburzenie ośrodka, ale trwałe przestrzennie. Istnieją zatem punkty w przestrzeni, gdzie ośrodek drga z amplitudą największą (tzw. strzałki) i miejsca, gdzie ośrodek nie wykonuje Ŝadnych ruchów (tzw. węzły). Przykładem fali jest rozprzestrzenianie się zaburzenia ciśnienia w powietrzu, czyli fala akustyczna. Fala akustyczna w powietrzu jest falą podłuŝną. Innym przykładem fali jest fala elektromagnetyczna, która jest falą poprzeczną. Początkowo wyobraŝano sobie, Ŝe fala elektromagnetyczna rozchodzi się, jak kaŝda fala, w ośrodku zwanym eterem. Od około stu lat koncepcja eteru została zarzucona. Fala elektromagnetyczna nie jest zatem falą w rozumieniu klasycznym. W fizyce współczesnej, w niektórych sytuacjach, przyjmuje się cząsteczkową naturę światła. Posumowanie 36
Ruch harmoniczny powstaje pod wpływem tzw. siły harmonicznej F = - k x Opisem ruchu jest funkcja sinusoidalna x(t) = A sin(ωt+ϕ o), A nazywamy amplitudą, argument sinusa (ωt+ϕ o) fazą (faza jest liniową funkcją czasu), ω - częstością, ϕ o fazą początkową Opisem ruchu harmonicznego słabotłumionego jest funkcja: x(t) = A o e -βt cos(ωt+ϕ), gdzie β jest współczynnikiem tłumienia. Są to równieŝ drgania harmoniczne (bo w opisie znajduje się czynnik fazowy cos(ωt+ϕ)), w przeciwieństwie do drgań silnie tłumionych, które są anharmoniczne (aperiodyczne). W ruchu anharmonicznym wart szczególnej uwagi jest przypadek drgań tłumionych krytycznie, charakteryzujący się tym, Ŝe układ powraca do stanu równowagi po czasie najkrótszym Opis fali jest funkcją czasu (t) i przestrzeni (x): w(x,t) = A cos(ωt-kx), gdzie k jest liczbą falową 2π/λ. 37