J. Szantyr - Wykład 3 Równowaga płynu Siły wewnętrzne wzajemne oddziaływania elementów mas wydzielonego obszaru płynu, siły o charakterze powierzchniowym, znoszące się parami. Siły zewnętrzne wynik oddziaływania mas nie należących do wydzielonego obszaru płynu dzielimy je na siły masowe i siły powierzchniowe. Siły masowe obejmują każdy element płynu i są proporcjonalne do jego masy. F F m s kg 3 m lim m 0 F m lim τ 0 F τ df dτ jednostkowa siła masowa, np. siła grawitacji czyli przyspieszenie g gęstość płynu
Siły powierzchniowe działają na powierzchnię obejmującą wydzielony obszar płynu i są proporcjonalne do pola tej powierzchni. lim s 0 p s dp ds N m jednostkowa siła powierzchniowa W ogólnym przypadku siła powierzchniowa zależy od orientacji elementu powierzchni określonej wersorem normalnym n, stąd należy ją oznaczać n łyn jest w równowadze pod działaniem danych sił zewnętrznych jeżeli siły działające na każdą dowolnie ograniczona jego część tworzą układ wektorów równoważny zeru.
W płynie będącym w stanie równowagi ciśnienie w dowolnym punkcie ma wartość stałą i niezależną od orientacji elementu powierzchniowego przechodzącego przez ten punkt. warunki równowagi czworościanu: p p p p x y ds ds x y pds pds 0 ; p p 0; p p 0 ( p, x) 0 cos ( p, y) 0 cos p ds pds cos ( p, z ) 0 z z ale mamy: ds ds ( p x) x cos, itd. p p p czyli: x y z x y z p Wniosek: hydrostatyczny stan naprężenia w płynie ma charakter pola skalarnego.
Warunki równowagi płynu Jednostkowa siła masowa: ( x, y z) F Xi + Yj + Zk F, Gęstość: ( x, y, z) Warunki równowagi elementu płynu: p Xdxdydz + pdydz p + dx dydz 0 x p Ydxdydz + pdxdz p + dy dxdz 0 y p Zdxdydz + pdxdy p + dz dxdy 0 z
p p p stąd otrzymujemy: X Y Z x y z co prowadzi do podstawowego w hydrostatyce równania Eulera: F gradp lub w postaci różniczkowej: dp Xdx + Ydy + Zdz jeżeli pole sił masowych ma potencjał U, czyli: Leonhard Euler 707-783 F gradu to otrzymamy: du dp i po scałkowaniu: p U + C Stała całkowania może być wyznaczona ze znanego ciśnienia i potencjału sił masowych w określonym punkcie obszaru płynu.
Na przykład w polu grawitacyjnym w pobliżu Ziemi mamy XY0 U Z g czyli: U gz co daje: p gz + C z Wniosek: w polu grawitacyjnym Ziemi powierzchnie stałego ciśnienia hydrostatycznego (izobaryczne) są poziome. Wniosek ogólny: powierzchnie izobaryczne i powierzchnie ekwipotencjalne są prostopadłe do wektora sił masowych (patrz przykład na końcu wykładu). Jeżeli przez p a oznaczymy ciśnienie na swobodnej powierzchni cieczy na wysokości H, to otrzymamy: p a gh + C co daje: C pa + gh ( H z) i dalej: p pa + g ostatecznie: p pa + gh gdzie: hh-z zanurzenie punktu pod swobodną powierzchnią pa - ciśnienie na swobodnej powierzchni (np. atmosferyczne)
rzykłady zastosowania Naczynia połączone na poziomie -B mamy: p pa + gh p p gh a + czyli: albo: h h h h Hydrostatyczny pomiar ciśnienia p p p p B p B p + g h a p pa g h W ten sposób mierzymy nadciśnienie (ciśnienie względne) w zbiorniku, czyli różnicę pomiędzy ciśnieniem bezwzględnym p a ciśnieniem atmosferycznym.
Barometr pomiar ciśnienia atmosferycznego. p a gh Blaise ascal 63-66 rawo ascala rzyrost ciśnienia w dowolnym punkcie jednorodnego płynu nieściśliwego znajdującego się w stanie równowagi w potencjalnym polu sił masowych wywołuje zmianę ciśnienia o taką samą wielkość w każdym innym punkcie płynu. p p0 0 ( U U ) ( p + δp ) ( U U ) p + δp 0 0 0 δp δp 0 δ p δp 0 0
rzykład : Wyznaczenie nachylenia swobodnej powierzchni cieczy w naczyniu poruszającym się ruchem prostoliniowym jednostajnie przyspieszonym w dowolnym kierunku. a przyspieszenie unoszenia u u rzuty jednostkowe siły masowej: X 0 Y a cos β Z g a sin β równania równowagi cieczy: p 0 x p a cos β y p g a sin β z a a
czyli: dp β po scałkowaniu przy const otrzymujemy: ( a cos βdy + asin dz + gdz) a a p g y cos β + sin β + z + C g g stałą wyznaczamy z ciśnienia na swobodnej powierzchni w punkcie M: a a C pa + g y cos β + sin β + ( z + t) g g po podstawieniu otrzymujemy: a p pa + g + sin β t g
z kolei równanie powierzchni izobarycznych (stałego ciśnienia p): cos β z y + C a + sin β g jest to rodzina płaszczyzn nachylonych pod kątem α takim, że: tgα cos β a + sin β g natomiast kąt nachylenia wypadkowej siły masowej φ: a + sin β Z g tg ϕ Y cos β ctgα Wniosek: wypadkowa siła masowa jest prostopadła do powierzchni izobarycznych
rzykład : Wyznaczenie zależności opisującej rozkład ciśnienia panującego w zbiorniku obracającym się ze stałą prędkością kątową ω. Zbiornik napełniono cieczą o gęstości, a ciśnienie otoczenia wynosi p. W cylindrycznym układzie współrzędnych podstawowe równanie hydrostatyki ma postać: dp qr dr + qϑ r dϑ + qz dz gdzie człony są odpowiednio równe: q r ω r q z g q ϑ 0
( ) o podstawieniu otrzymujemy: dp ω r dr g dz Całkowanie prowadzi do: p ω r g z + C Dla punktu na powierzchni cieczy w osi naczynia mamy: r 0 0 z z p p0 Czyli stałą całkowania można określić jako: C p0 + g z0 Ostatecznie rozkład ciśnienia w cieczy opisuje równanie: p p0 g ( z z0 ) + ω r Czyli równanie powierzchni swobodnej ma postać: ω r g ( z z ) 0 Jest to równanie paraboloidy obrotowej. 0
rzykład 3: Trzy tłoki o powierzchniach 0,6 m**, 0,8 m**, 3 0,4 m**, obciążone odpowiednio siłami kn, kn i 33 kn działają na wodę o gęstości 000 kg/m**3. Określić na jakich wysokościach h i h układ tłoków pozostanie w stanie równowagi.
Ciśnienie pod tłokiem wynosi: + h g Ciśnienie pod tłokiem 3 wynosi: + h g 3 3 Z powyższych równań wyznaczamy wysokości: h g 085 3 0, [ m ] h 0, 5 [ m ] g 3 Dla sprawdzenia można ułożyć równanie równowagi przekroju względem przekroju 3: 000 0,6 3000 0,4 3 ( h + h ) + 000 9,8 ( 0,085 + 0,5) 7500 7500 + g 3