AERODYNAMIKA I WYKŁAD 1 PRZEPŁYWY POTENCJALNE CZĘŚĆ 1

AERODYNAMIKA I WYKŁAD 1 PRZEPŁYWY POTENCJALNE CZĘŚĆ 1

Polog ównnie Cocco Równnie uchu (Eule) w fomie Lmb-Gomeki (pzepływ stcjonny, potencjlne pole sił zewnętznych) Piewsz Zsd Temodynmiki ωυ p p 1 1 f 1 Ts i p 1 1 1 Tds de pd d e dp di dp Podstwimy do ównni uchu Niech: 1 i const i ωυ Ts 1 f - pzepływ izoenegetyczny const s - pzepływ izoentopowy Wówczs: ωυ 0! W pzypdku D implikuje to ówność ω 0, czyli pole pędkości ośodk jest polem potencjlnym istnieje pole sklne (potencjł) tkie, że υ

Ustlone i nieściśliwe pzepływy potencjlne Złożymy dlej, że ośodek jest nieściśliwy. Poniewż pzepływ jest potencjlny, to pole pędkości spełni jednocześnie wunki υ 0, υ 0 Z wunku ciągłości wynik, że jest funkcją hmoniczną. υ 0 0, tj. potencjł pędkości Z dugiej stony, kżde pole wektoowe z zeową dywegencją może być zwsze pzedstwione jko otcj pewnego pol wektoowego (potencjłu wektoowego). W pzypdku pol pędkości pzepływy nieściśliwego możemy ztem npisć ówność υ ψ pzy czym bez utty ogólności możemy złożyć, że sm potencjł wektoowy m zeową dywegencję, tj. ψ 0. Jeśli dodtkowo pole pędkości jest potencjlne, to 0 υ ( ψ) ( ψ) Δψ Δψ 0

Δψ Ztem, 0, tj. potencjł wektoowy nieściśliwego pzepływu potencjlnego jest wektoowym polem hmonicznym. υ ue e W pzypdku dwuwymiowym mmy x y Rotcj tego pol m tylko jedn niezeową skłdową postopdle do płszczyzny pzepływu - wiowość jest zoientown υ ( ) e z e z x y u W pzypdku D, wektoowy potencjł pędkości m postć ψ z nzywmy funkcją pądu. Zgodnie z ogólną metodą liczeni otcji mmy e e e x y z υ e e ( ) e z x y z y x x y 0 0 Ztem, y u u x e, gdzie pole sklne

Jeśli pole pędkości jest potencjlne, to u 0 0 x y x y Widzimy, że 0, tj. funkcj pądu nieściśliwego dwuwymiowego pzepływu potencjlnego jest ównież funkcją hmoniczną Linie (w D) stłych wtości potencjłu pędkości nzywmy linimi ekwipotencjlnymi. Linie (w D) stłych wtości funkcji pądu nzywmy linimi pądu. Podczs kusu Mechniki Płynów I dowiedzieliśmy się, że w kżdym punkcie dowolnej linii pądu (niezeowy) wekto pędkości jest do tej linii styczny. Pmiętmy ównież, że w uchu stcjonnym linie pądu są tożsme z tjektoimi elementów płynu. Pokżemy, że linie pądu i linie ekwipotencjlne pzecinją się pod kątem postym. Wystczy pokzć, że pol wektoowe gdientów i są (w kżdym egulnym punkcie) postopdłe. Istotnie, mmy z definicji tych wielkości x x y y u u 0 W ten sposób, odzin linii ekwipotencjlnych i odzin linii pądu twozą n płszczyźnie sitkę otogonlną.

Zuwżmy dlej, że funkcje i twozą pę Riemnn, tj. spełniją ówności (Riemnn): u, x y y x W nlizie mtemtycznej dowodzi się, że w tkiej sytucji funkcje te są odpowiednio częścią zeczywistą i częścią uojoną funkcji zmiennej zespolonej z x iy postci ( z) ( x, y) i ( x, y) Funkcję nzywmy potencjłem zespolonym. Zgodnie z teoią funkcji zespolonych, pochodn tej funkcji dn jest wzoem z i i u i () x x y y W teoii pzepływów potencjlnych D wpowdz się pojęcie pędkości zespolonej V ( z) ( z). Jk widć z powyższej ówności skłdowe ktezjńskie pol wektoowego pędkości wyżją się wówczs wzomi u( x, y) Re{ V ( x iy)}, ( x, y) Im{ V ( x iy)}

W szeegu pzypdków kozystnym jest zstosownie opisu we współzędnych biegunowych x cos, y sin x y y x, tn( ) Wzoy tnsfomcyjne skłdowych pol pędkości w ukłdch ktezjńskim i biegunowym pzedstwiją się nstępująco ucos sin, usin cos cos sin, sin cos u Gdient pol sklnego we współzędnych biegunowych zdny jest wzoem (, ) e e Ztem 1 1, Biegunowe skłdowe pol pędkości wyżją się z pomocą funkcji pądu nstępująco 1,

Weszcie, (sklny) opeto Lplce we współzędnych biegunowych m postć f f f f ( f ) f 1 1 1 1

Elementne pzypdki pzepływów potencjlnych w D 1. Stumień jednoodny ( x, y) Ux V y, ( x, y) V x Uy (, ) U cos V sin, (, ) V cos U sin. Źódło/upust Q, 0 Q 0 - źódło, Q 0 - upust. Potencjł i funkcj pądu to K Q Q (, ) ln, (, ) Wielkość Q to wydjność (wydtek objętościowy) źódł/upustu. Istotnie, mmy Q υn ds (, ) 0 d Q

3. Wi potencjlny 0,. Wielkość to mi intensywności wiu fktyczny sens objśnimy dlej. Potencjł pędkości i funkcj pądu mją postć (, ), (, ) ln Policzmy cykulcję pol pędkości indukownej pzez wi wzdłuż kontuu kołowego śodku w początku ukłdu odniesieni i pomieniu K, o K υds τ ds K K Zuwżmy, że potencjł jest funkcją wielowtościową. W powyższej fomule, symbol [ f ] ozncz pzyost funkcji f, któego doznje on po jednokotnym pzejściu wzdłuż kieunku odwotnie zegowym). K (w

Zgodnie z definicją potencjłu pzyost ten jest ówny K K Zuwżmy, że pole pędkości jest potencjlne w kżdym punkcie z wyjątkiem punktu (0,0). Cłk kzywoliniow z pol pędkości po dowolnym kontuze zmkniętym nieotczjącym tego punktu (śodk wiu) jest ztem ówn zeu. Ogólniej: cykulcj (pol pędkości) wzdłuż dowolnej linii zmkniętej jest ówn wyżeniu ( n1 n), gdzie n 1 to liczb okążeń pzeciw zegowych, n - liczb okążeni zgodnie zegowych wokół śodk wiu.

4. Dipol (o osi pokywjącej się z osią 0x) Rozwżmy pzepływ otzymny w wyniku pzejści gnicznego polegjącego n ściągnięciu do jednego punktu (dl uposzczeni początku ukłdu odniesieni) py źódłoupust i identycznych (co do modułu) wydtkch, któych wtość wzst w tkcie pocesu zbliżni odwotnie popocjonlnie do odległości od punktu docelowego. Potencjł pol pędkości indukownej pzez pę Z/U ( x, y) ln ( x ) y ln ( x ) y D 1 D 1 D ln ( x ) y ln ( x ) y 1 1 Pzechodzimy do gnicy 0 (D - moment dipol) 0 0 1 1 ln ( x ) y ln ( x ) y ( x, y) lim ( x, y) Dlim... fomul de lhospitl x Dx y

Ćwiczenie: ( xy, ) Dy y Pokż, że funkcj pądu dipol to Wypowdź wzoy n ktezjńskie współzędne pol pędkości indukownego pzez dipol x Linie pądu py źódło/upust (po lewej) i dipol (po pwej)

Supepozycj i pzepływu złożone Dowolnie złożone pzepływy potencjlne w D mogą być uzyskne n dodze supepozycji pzepływów elementnych. Popwność tkiej poceduy jest konsekwencją liniowości opeto Lplce (dowoln kombincj funkcji hmonicznych jest w części wspólnej ich dziedzin funkcją hmoniczną). Pzykłd 1: supepozycj stumieni jednoodnego i źódł/upustu (, ) (, ) (, ) V cos ln sc (, ) (, ) (, ) sin Q sc V Ćwiczenie: Oblicz skłdowe biegunowe pol pędkości Wyzncz liczbę tką, że u(,0) 0 (punkt spiętzeni) 1 Pokż, że (,0) Q (, ) Znjdź ksztłt linii 1 Q x y Q

Pzykłd : supepozycj stumieni jednoodnego oz py źódło/upust (opływ owlu Rnkin) (, ) sin Q Q V (, ) (, ) Rozwżmy funkcję pądu postci 1 y sin 1 tn tn x cos gdzie y sin tn tn x cos Ćwiczenie: u( x, y) V Q x x ( x) y ( x) y 1) pokż, że ) pokż, że punkty spiętzeni to ( x, y) ( b,0), gdzie b Q V 3) pokż, że lini 0 opisn jest niejwną fomułą Y ( x) x Y ( x) tn[ V Y ( x) / Q]

Pzykłd 3: Symetyczny opływ pofilu kołowego (cylind) Rozwżmy nstępującą kombincję stumieni jednoodnego i dipol We współzędnych biegunowych ( x, y) U x U x x y cos (, ) cos U U U 1 cos Pole pędkości we współzędnych biegunowych U U U cos cos 1 cos U 1 Usin sin U 1 sin

Dl otzymujemy (, ) 0 (, ) U sin to lini pądu! Ztem, otzymliśmy potencjlny opływ pofilu Wnioskujemy, że lini kołowego o pomieniu ównym i śodku w początku ukłdu współzędnych. Zstosujemy ównnie Benoulliego do obliczeni ozkłdu ciśnieniu n pofilu kołowym. Mmy p U p(, ) V (, ) 1 1 Poniewż V (, ) 4U sin, otzymujemy p p U 1 ( ) (1 4sin ) W eodynmice często posługujemy się współczynnikiem ciśnieni ( ) p( ) p c 1 4sin p 1 U

Zuwżmy, że: - ciśnienie spiętzeni ( c 1) 1 pmx p(,0) p(, ) p U p q 1 3 3 min p p(, ) p(, ) p U p 3q - ciśnienie minimlne ( c 3) p p Zuwżmy tkże, że ozkłd ciśnieni wykzuje symetię względem obu osi 0x i 0y. Wnioskujemy, że cłkowit sił eodynmiczn jest ówn zeu. W szczególności, nie pojwi się sił opou. Wynik ten pozostje w jwnej spzeczności z włściwościmi opływu pofilu kołowego płynem zeczywistym (lepkim). Pokżemy, że w mch teoii pzepływów potencjlnych nieściśliwym możliwe jest uzysknie opływu z siłą nośną. W tym celu musimy dodć jeszcze jeden skłdnik wi potencjlny. U cos (, ) U cos stumien jednoodny Zuwżmy, że po dodniu wiu (położonego w śodku pofilu kołowego) pofil kołowy pozostje ndl lini pądu zmodyfikownego pzepływu! dipol wi

Aktulnie, skłdowe biegunowe pol pędkości wyżją się nstępująco: U 1 cos 1 U 1 sin N smym pofilu mmy ozkłdy (, ) 0 (, ) U sin Okeślimy położenie punktów spiętzeni (stgncji) U sin 0 sin 4U

Mmy ozwiązni sin, sin 4 4U,1,1 U o ile tylko 4U. W pzypdku gnicznym 4U n pofilu istnieje tylko 1 jeden punkt stgncji (w zleżności od znku cykulcji wiu odpowid mu kąt lub 3 ). Jeśli 4 U punkt stgncji pojwi się w polu pzepływu, nie n kontuze. Pole ciśnieni obliczmy z -ni Benoulliego Tym zem p p U V 1 (, ) [ (, )] V (, ) ( U sin ) U 4U sin sin 4

Ztem U p(, ) p U (1 4sin ) sin 4 1 Zuwżmy, że skłdow x-ow siły eodynmicznej (czyli opó) jest w wyniku symetii ozkłdu ciśnieni względem osi 0y - ndl ówn zeu. Obecność wiu łmie jednk symetię tego ozkłdu względem osi 0x. Obliczmy ztem siłę nośną. L p(, )sind e 0 y Obliczeni pzebiegją nstępująco 0 p(, )sind 1 3 U [ p sin 0 U (sin 4sin ) sin sin ] d 8 U U sin d 0

Otzymliśmy bdzo postą fomułę (zwną wzoem Kutty-Żukowskiego) pokżemy później, że obowiązuje on ównież w pzypdku pofilów o dowolnym ksztłcie (gdzie w oli U nleży podstwić po postu wtość pędkości w stumieniu niezbuzonym) LU e y Podkeślmy ponownie, że sił opou w otzymnym pzepływie jest ówn zeu, czyli D p(, )cosd 0 x e 0 Wynik ten jest szczególnym pzypdkiem tzw. pdoksu d Alembet.

Tnsfomcj konfoemn infomcj ogóln Pzypdek pofilu kołowego jest istotny bowiem opływ potencjlny tego pofilu możn pzeksztłcić w opływ potencjlny cił (kontuu) o w zsdzie dowolnym ksztłcie, posługując się odpowiednio skonstuowną tnsfomcją punktów płszczyzny, zwnej tnsfomcj konfoemną. Tnsfomcj konfoemn pzeksztłc obsz (D) pzepływu potencjlnego w tki sposób, że potencjł pol pędkości i funkcj pądu pozostją funkcjmi hmonicznymi. Dokłdniej, spw pzedstwi się nstępująco. Niech n płszczyźnie (, ) zdny będzie potencjł pędkości ˆ ˆ(, ) tki, że ˆ 0. Jeśli pzeksztłceni ( x, y), ( x, y) jest konfoemne to funkcj ( x, y) ˆ [ ( x, y), ( x, y)] spełni ównnie Lplce xy 0 czyli jest popwnym potencjłem pędkości pzepływu tnsfomownego. Okzuje się, że jest tk wówczs, gdy funkcje ( xy, ) i spełniją wunki Riemnn, czyli gdy są odpowiednio częścią zeczywistą i uojoną pewnej funkcji zespolonej. Pzykłdem podęcznikowym tnsfomcji konfoemnej jest tnsfomcj Żukowskiego. Pozwl on pzeksztłcić pzepływ wokół pofilu kołowego w opływ pofilu eliptycznego (w skjnym pzypdku opływ płskiej płytki), tkże w opływu kontuów o ksztłcie zbliżonym do wybnych pofili lotniczych. Zletą jest fkt, że otzymny opis pzepływu jest cłkowicie nlityczny.

Twiedzenie Milne-Thomson Niech zdny będzie pzepływ potencjlny, któego potencjł pędkości i funkcj pądu ówne są odpowiednio - ˆ( xy, ) i ˆ( xy, ). Twiedzenie M-T wyjśni jk zmodyfikowć ten pzepływ, by osiągnąć jednocześnie dw cele: Pofil kołowy o ównniu x y jest linią pądu w zmodyfikownym pzepływie Cłkowity łdunek cykulcji w pzepływie pozostje niezmienny. Oto jwne fomuły dl funkcji pądu i potencjłu pędkości (wsp. ktezjńskie) ˆ ˆ ˆ ˆ x y ( x, y) ( x, y) (, ) x y x y x y ( x, y) ( x, y) (, ) x y x y Dowód popwności tych fomuł jest dość posty. W szczególności, jeśli punkt ( xy, ) spełni x y wówczs ( xy, ) 0. Dowód popwności wzou dl potencjłu pozostwimy jko ćwiczenie. ównnie któej 0, czyli punkt ten nleży do linii pądu, wzdłuż

Anlogiczne fomuły we współzędnych biegunowych są jeszcze postsze (, ) ˆ(, ) ˆ (, ), ˆ ˆ (, ) (, ) (, ) Istotnie, mmy ntychmist kołowy jest linią pądu. (, ) ˆ(, ) ˆ (, ) 0, co pokzuje, że kontu Innym sposobem spwdzeni popwności podnych fomuł jest obliczenie skłdowej pomieniowej (czyli n kontuze kołowym nomlnej do bzegu) popzez zóżniczkownie potencjłu pędkości ˆ ˆ ˆ ˆ (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) Mmy ztem ˆ ˆ. (, ) (, ) (, ) 0 Zobczmy co dzieje się ze skłdową styczną. Obliczmy skłdową zymutlną pedkości ˆ ˆ ˆ ˆ 1 1 1 (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, )

Wobec tego, n kontuze otzymujemy ˆ ˆ ˆ (, ) (, ) (, ) (, ) Widzimy, że modyfikcj pzepływu zgodnie z eceptą Milne-Thomson ksuje skłdową nomlną i podwj skłdową styczną n bzegu pofilu kołowego. Pzykłdy: 1. Włożenie pofilu kołowego w stumień jednoodny Mmy ˆ( x, y) U x. Zgodnie z twiedzeniem M-T mmy (, ) ˆ (, ) ˆ x y (, ) x y x y U x U x y x y x y Otzymliśmy znną już fomułę. Wychodząc od postci we współzędnych biegunowych otzymujemy czyli ponownie popwny wzó. ˆ ˆ U U (, ) (, ) (, ) cos cos x

. Włożenie pofilu kołowego do pzepływu indukownego pzez wi potencjlny Niech oyginlny pzepływ będzie efektem indukcji wiu potencjlnego położonego w punkcie (c,0). Wyjściow funkcj pądu m postć ˆ( x, y) ln ( x c) y Zgodnie z twiedzeniem M-T, funkcj pądu pzepływu po modyfikcji m postć czyli ˆ ˆ x y ( x, y) ( x, y) (, ) x y x y ( x c) y ( x c) y ( xy, ) ln ln 4 4 x x x x ( 4 ( c) c) x y ( x y ) x y ( x y ) Pokżemy, że powyższy wzó opisuje de fcto pzepływ indukowny pzez tzy odpowiednio umieszczone wiy potencjlne.

W tym celu pzeksztłćmy wyżenie logytmowne w nstępujący sposób ( x c) y [( x c) y ]( x y ) 4 4 4 x x y ( c) x ( x y )[ xc c ( x y ) ] x y ( x y ) x y x y [( x c) y ]( x y ) [( x c) y ]( x y ) [( x c) y ]( x y ) 4 xc c ( x y ) c [( ) x x y ] c [( x c c ) y ] c Ztem, funkcj pądu może być zpisn w postci ( x c) y [( x c) y ]( x y ) ( xy, ) ln ln 4 4 ( c) 4 c [( x ) y ] x x x y ( x y ) c ln ( x c) y ln x y ln ( x c ) y oyginlny wi ( ) wi w (0,0) ( ) wi w punkcie inwesji ( ) ln c nieistotn stl

A oto ukłd linii pądu. Anlogicznie, możn wyznczyć pzepływ po włożeniu pofilu kołowego do pzepływu wywołnego obecnością źódł/upustu (ćwiczenie wzoy i intepetcj) Oto linie pądu tego pzepływu

A może włożyć pofil kołowy do pzepływu wywołnego kombincją wiu i źódł/upustu