Teoria Sterowania Warunki zaliczenia. Pytania. Tematy µ-projektów. 3.5 poprawne zaliczenie testu; Warunki zaliczenia 4 poprawne zaliczenie testu + poprawne rozwi zanie kilku zada«(pliki Alin, TS-skrypt1, TS-skrypt2 ); 4.5 poprawne zaliczenie testu + poprawne rozwi zanie kilku nietrywialnych zada«(pliki Alin, TS-skrypt1, TS-skrypt2 ) + poprawne rozwi - zanie kilku ±rednio trudnych problemów (plikts-4 ); 5 poprawne zaliczenie testu + poprawne rozwi zanie kilku nietrywialnych zada«(pliki Alin, TS-skrypt1, TS-skrypt2 ) + poprawne rozwi - zanie kilku ±rednio trudnych problemów (plikts-4 ) + poprawne rozwi zanie kilku dosy trudnych problemów (plikts-6); 5.5 poprawne zaliczenie testu + poprawne rozwi zanie kilku nietrywialnych zada«(pliki Alin, TS-skrypt1, TS-skrypt2) + poprawne rozwi zanie kilku ±rednio trudnych problemów (plikts-4 ) + poprawne rozwi - zanie kilku dosy trudnych problemów (plikts-6 ) + poprawne wykonanie µ-projektu w MATLABie. UWAGA: poprawne zaliczenie testu jest warunkiem koniecznym zaliczenia przedmiotu. Pytania Pytanie 1. (i) Wyznacz model w przestrzeni stanu na podstawie zadanego schematu symulacyjnego oraz równania ró»niczkowego. (ii) Wyznacz rozwi - zanie x(t) zadanego liniowego jednorodnego równania ró»niczkowego ẋ(t) = Ax(t), x(0). (iii) Podaj denicj oraz kryterium dobrej okre±lono±ci liniowego ukªadu dynamicznego. 1
Pytanie 2. (i) Sformuªuj denicj stabilno±ci w sensie BIBO, stabilno±ci wewn trznej oraz stabilno±ci asymptotycznej liniowego ukªadu dynamicznego. (ii) Podaj stosowne kryteria badania wymienionych typów stabilno±ci. (iii) Sprawd¹ asymptotyczn stabilno± systemu ẋ = Ax o zadanej macierzy A. Pytanie 3. (i) Podaj oraz opatrz komentarzem denicj sterowalno±ci liniowego stacjonarnego ukªadu dynamicznego. (ii) Omów przynajmniej trzy kryteria sterowalno±ci liniowych obiektów dynamicznych. (iii) Sprawd¹ sterowalno± zadanej pary (A, b). Pytanie 4. (i) Podaj oraz opatrz komentarzem denicj obserwowalno±ci liniowego stacjonarnego ukªadu dynamicznego. (ii) Omów przynajmniej trzy kryteria obserwowalno±ci liniowych obiektów dynamicznych. (iii) Sprawd¹ obserwowalno± zadanej pary (A, c). Pytanie 5. (i) Omów problemy ze sterowalno±ci /obserwowalno±ci obiektów z wielokrotnymi warto±ciami wªasnymi. (ii) Dane s elementy pewnego systemu: A R 2 2 oraz C R 1 2. Wiadomo,»e spectr A = {λ, λ} (podwójna warto± wªasna λ R). Rozwa» problem obserwowalno±ci [ pary (A, C). (iii) Czy wzbogacaj c ten system o odpowiedni czujnik, C = C ] C R 2 2, mo»na stosown par (A, C) zawsze uczyni par obserwowaln? Pytanie 6. (i) Omów metod Ackermanna oraz metod sprowadzania modelu do stosownej postaci kanonicznej jako mo»liwe podstawy syntezy regulatora od stanu danego obiektu liniowego o jednym wej±ciu. (ii) Niech ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) oraz y(t) = Cx(t) stanowi model pewnego obiektu dynamicznego, przy czym para (A, B) jest caªkowicie sterowalna, za± para (A, C) jest caªkowicie obserwowalna. Zastosowano sterowanie u(t) = Kx(t). Czy para (A BK, B), opisuj ca ukªad zamkni ty, mo»e by niesterowalna? (iii) Co powiesz o obserwowalno±ci pary (A BK, C)? Pytanie 7. (i) Omów syntez liniowego regulatora od stanu w przypadku obiektu (modelu) o wielu wej±ciach. (ii) Wyja±nij, dlaczego zadanie syntezy stabilizuj cego regulatora metod rozmieszczania biegunów nie posiada w ogólno±ci jednoznacznego rozwi zania. (iii) Jak wykorzystasz ten fakt w celu poprawienia numerycznej dokªadno±ci algorytmu syntezy odpowiedniego regulatora? 2
Pytanie 8. (i) Omów syntez liniowego regulatora od stanu w ukªadzie realizuj cym zadanie ±ledzenia wielko±ci zadanej (metoda rozmieszczania biegunów). (ii) Podaj denicj niezmienniczego (inwariantnego) zera obiektu dynamicznego opisanego modelem (A, B, C, D). (iii) Dany jest model pewnego obiektu dynamicznego (co to za obiekt?): ẋ 1 (t) = u(t) oraz ẋ 2 (t) = x 1 (t), przy czym x 1 (0) = 1 oraz x 2 (0) = 1. Wyznacz przykªadowe sterowanie u : [0, 1] R, przy którym x 1 (1) = 0 oraz x 2 (1) = 0. Czy ta jadowita zagadka ma jednoznaczne rozwi zanie? Pytanie 9. (i) Omów wªa±ciwo±ci klasy modeli podobnych w przestrzeni stanu liniowego obiektu dynamicznego. (ii) Omów kanoniczn dekompozycj przestrzeni stanu na cz ± sterowaln oraz niesterowaln. (iii) Jak wykorzystasz tak dekompozycje w celu syntezy sterowania (nieoptymalnego) w zadaniu przestawiania? (iv) Omów poj cie stabilizowalno±ci liniowego obiektu dynamicznego (pary (A, B)). Pytanie 10. (i) Omów syntez obserwatora o minimalnym rz dzie. (ii) Wyja±nij, na czym polega zasada dekompozycji struktury oraz algorytmu syntezy regulatora, który realizuje zadanie stabilizacji obiektu liniowego poprzez sprz»enie od stanu za 'po±rednictwem' obserwatora stanu tego obiektu. (iii) Omów 'praktyczne' przesªanki syntezy takich regulatorów. Pytanie 11. (i) Omów zaªo»enia oraz wªa±ciwo±ci ltru Kalmana. (ii) Co to znaczy,»e taki ltr, w oparciu o zasad ltarcji innowacyjnej, 'wybiela' proces innowacyjny? (iii) Sk d bra modele niezb dne do syntezy ltru Kalmana? (iv) Porównaj wªa±ciwo±ci ltru Kalmana w przypadku gaussowskich oraz niegaussowskich modeli procesów zaburzaj cych. Pytanie 12. (i) Opisz zaªo»enia metody syntezy liniowego ukªadu zamkni tego ze sprz»eniem od stanu sterowanego obiektu w oparciu o kryterium kwadratowe (problem LQR). (ii) Uzasadnij tez,»e ltr Kalmana jest optymalnym obserwatorem stanu. (iii) Omów zaªo»enia metody syntezy regulatorów liniowych w oparciu o rozwi zanie problemu LQG. Pytanie 13. (i) Opisz klas równa«lapunowa oraz sposoby rozwi zywania takich równa«liniowych. (ii) Opisz klas równa«riccatiego oraz sposoby 3
rozwi zywania takich równa«nieliniowych. (iii) Omów znane Ci zastosowania równa«lapunowa oraz równa«riccatiego. Pytanie 14. (i) Omów modele niepewno±ci liniowych obiektów dynamicznych. (ii) Opisz przykªadowy sposób wyznaczania takich modeli w przypadku niepewno±ci o parametrycznym charakterze. (iii) Zdeniuj tak zwane funkcje wra»liwo±ci zamkni tego ukªadu sterowania (regulacji) o standardowej strukturze. (iv) Omów rol takich funkcji w syntezie klasycznych oraz odpornych ukªadów sterowania. Pytanie 15. (i) Podaj denicj normy H oraz jej interpretacj w przypadku skalarnych (SISO) modeli. (ii) Podaj denicje przestrzeni RL oraz RH. (ii) Okre±l przynale»no± nast puj cych funkcji do owych przestrzeni: a) G(s) = 1, b) G(s) = s, s c) G(s) = 1 1, d) G(s) = s+1 e) G(s) = 1 1, f) G(s) = s 2 1 (iv) Wyznacz norm H zadanej funkcji G(s). s 1, s 2 +1. Pytanie 16. (i) Zdeniuj poj cie odpornej (krzepkiej) stabilno±ci (robust stability) ukªadu zamkni tego. (ii) Sformuªuj i uzasadnij warunek takiej stabilno±ci w przypadku addytywnej (lub multiplikatywnej) charakterystyki niepewno±ci zaªo»onego nominalnego modelu sterowanego obiektu. (iii) Podaj wnioski pªyn ce st d dla projektanta. Pytanie 17. (i) Omów ide tak zwanego uogólnionego obiektu (modelu) dynamicznego (generalised plant) i rol takiego obiektu w syntezie ukªadów sterowania w oparciu o norm H. (ii) Wyznacz model uogólnionego obiektu wªa±ciwy do rozwi zania zadanego problemu sterowania wielokryterialnego. (iii) Poka»,»e nast puj ce zadanie dopasowania modelu nie posiada trywialnych rozwi za«2 s + 1 s 1 s + 1 G(s) < 1 gdzie G(s) RH jest niewiadom. (iv) Podaj model uogólnionego obiektu stosownego do tego zadania oraz sformuªuj odpowiedni problem syntezy ze wzgl du na norm H. 4
Tematy (przykªadowe) µ-projektów Zadanie 1. Synteza regulatora od stanu dla zadanej pary (A, B), A R n n, B R n p, p > 1. Zadanie 2. Synteza obserwatora stanu dla zadanej pary (A, B), A R n n, C R q n, q > 1. Zadanie 3. Synteza obserwatora stanu o zredukowanym rz dzie. Zadanie 4. Synteza ltru Kalmana jako optymalnego obserwatora w ukªadzie sterowania z liniowym sprz»eniem od stanu. Zadanie 5. Zadanie 6. Zadanie 7. Synteza odpornego ukªadu sterowania. Studium ró»nych metod badania sterowalno±ci. Studium ró»nych metod badania obserwowalno±ci. Zadanie 8. Przeksztaªcanie modelu w przestrzeni stanu do postaci zdekomponowanej sterowalnej. Zadanie 9. Przeksztaªcanie modelu w przestrzeni stanu do postaci zdekomponowanej obserwowalnej. Zadanie 10. Dekompozycja Kalmana modelu w przestrzeni stanu. Zadanie 11. Studium sterowania optymalnego ze wzgl du na kwadratowy wska¹nik jako±ci (LQR, LQG). 5
Zadanie 12. Studium metod badania stabilno±ci obiektu o zadanym modelu w przestrzeni stanu. Poprawnie wykonany µ-projekt powinien obejmowa wszystkie ni»ej wymienione elementy: postawienie zadania, omówienie metody rozwi zania, opracowanie MATLABowego kodu, przeprowadzenie bada«symulacyjnych (w tym bada«wra»liwo±ci uzyskanych rozwi za«na niepewno± modelu sterowanego obiektu), dyskusja uzyskanych wyników, opracowanie raportu, zaliczenie ('obrona') projektu. I co Wy na to? (Piotr Jacek Suchomski, wiosna 2007) 6