Aa owalczyk Marc Lpec VI LO m. Jaa ochaowskego w Radomu Cąg boaccego w przyrodze Jeżel matematyka jest królową auk to królową matematyk jest teora lczb. /C.. Gauss/ Praca wykoaa pod kerukem: prof.. Dyrdy mgr P. Murawskego Radom 999
Rozdzał Cąg boaccego. Cągem boaccego azywamy cąg określoy astępująco: dla... Jest to ajstarsza zaa ludzkośc rekurecja z ok. 0 roku. Polczmy klka perwszych wyrazów tego cągu: 4 6 8 Wzór ogóly cągu określa sę wzorem: os o mao wzoru Beta. Dowód. Rozważmy weloma charakterystyczy rekurecj. Jest o postac: fxx -x- polczmy jego perwastk. x c c Przedstawmy teraz klka cekawych własośc cągu boaccego. Jeżel jest lczbą aturalą to: Dowód. c c x c oraz a zatem a zatem - c korzystając z faktu że c c.k.d c Z defcj cągu otrzymujemy rówośc: oraz otrzymujemy : po prostych przeksztalceach otrzymujemy :
Ią własoścą jest fakt: Dla dowolego będącego lczba aturalą zachodz zwązek: Dowód: Oto klka ych własośc cągu których dowodów e będzemy przytaczal operają sę oe a rozumowau dukcyjym przedstawoym powyżej. Pokażemy teraz zastosowae cągu boaccego do rozwązywaa problemów z elemetarej teor lczb. Zadae. Udowodj że steje eskończee wele par m lczb aturalych takch że dzel lczbę m zaś m dzel lczbę - c.k.d czyl czyl otrzymujemy : stroam Dodająo rówosc......... 4 4 ckd kazdej lczby aturalej. jest prawdzwe dla twerdzee mocy zasady dukcj zatem a mamy : Wtedy : zachodz pewego k że dla Zakladamy mamy Dla - I I I I
Dowód: Udowodlśmy wcześej że ech k k wówczas ech k k wówczas k k k k 4 k k k k k k a zatem dzel - oraz k dzel k k k Zatem wystarczy że m będą odpowedo k k wyrazam cągu boaccego. c.k.d. Cąg boaccego ma róweż zastosowae w geometr pożej przedstawoo pokryce płaszczyzy kwadratam o boku będącym -tym wyrazem cągu boaccego. 4
Rozdzał Cąg boaccego w przyrodze. rólestwo rośl śwat matematyk są a ogół postrzegae jako e mające ze sobą c wspólego. Doskoałość rozwoju rośl ch eskończoa welorakość form różorodość wzorów e wydają sę poddawać matematyczym rówaom. A jedak za tym pozorym zamętem stale ukryta jest matematyka psał Roger V.Jea. Pod koec XVIII weku Charles Boet zateresował sę szczególą symetrą w układze lśc zwaą flotaksją. Badając rozkład lśc a gałązkach łatwo moża zauważyć że wszystke lśce leżą jede a drugm lecz przecwe: lśce sąsede ajczęścej wysuwają sę z l prostej okrążając gałązkę. Jeśl od jedej podstawy lśca do drugej trzecej td. Przecągemy kolejo wzdłuż gałązk tkę to otrzymamy dość prawdłową lę śrubową zwaą helsą. Jeśl a przykład aby dojść od jedego lśca do drugego leżącego ścśle ad m wykoać trzeba dwa obroty gałązk a tej przestrze spotyka sę pęć odstępów to układ lśc scharakteryzoway jest ułamkem. Ułamek tak wyraża także kąt rozchodzea sę dwóch lśc sąsedch p. obrotu 44. Wyka stąd że ułamk wyrażają te sam układ lśc poeważ *60 44 60-44 6 *60. Róże lczby wykają z faktu że lę śrubową przeprowadzamy raz z jedej a raz z drugej stroy. Jest to wdocze a poższym zdjęcu przedstawającym pęd ślwy oraz a jego schemace.
Lcze badaa ad rozkładem lśc poszczególych rośl wykazały że ajczęścej występujące układy to: 8 8 4... 4 89 czyl ułamk których lczk tworzą cąg boaccego maowk cąg boaccego począwszy od drugego wyrazu. Jeśl układ lśc jest scharakteryzoway przez ułamek to mówmy o -flotaksj. -flotaksja występuje m.. ma wąze lpe amerykańskej morwe -flotaksja a buku leszczye brzoze juce o -flotaksj mówmy w przypadku dębu morel wś ślwy jabło. a topol gruszy platae spotykamy 8 -flotaksję a a werzbe mgdałowcu bałej sośe - 8 flotaksję. oecza jest w tym mejscu uwaga że lczby powyższe charakteryzujące pewe gatuek e odoszą sę do każdego egzemplarza daego gatuku lecz do przeważającej lczby ch egzemplarzy. a przykład w jodle balsamczej -flotaksja staow poad 90% wszystkch przypadków. Także w jedym egzemplarzu może wystąpć przejśce jedego ułamka do ego. Jest to spowodowae p. przez specyfcze cechy wzrostu różych częśc daej rośly. Późej zauważoo że zjawsko flotaksj występuje także w rozmeszczeu zare a tarczy słoeczka łusek a szyszce śwerkowej lub a owocu aaasa w postac spralych lub śrubowych zwojów. Przyjrzyjmy sę blżej temu zjawsku a przykładze aaasa. Zareka aaasa przypomające sześcokąte klatk są rozmeszczoe w rzędach o różych kerukach: rówoległych rzędów podoszących sę łagode w prawo 8 osem rzędów podoszących sę eco bardzej stromo w lewo rzędów podoszących sę bardzej stromo w prawo. 6
Załóżmy że powerzcha aaasa ma postać walca zareka aaasa są jedakowym sześcokątam klatk. Gdy rozetemy go wzdłuż tworzącej rozpostrzemy a płaszczyźe otrzymamy pas pomędzy dwema prostym rówoległym jak a rysuku. Załóżmy że proste te mają rówaa x0 x. Okazało sę że sześcokąte klatk poumerowae kolejo w marę wzrastaa ch odległośc od os X są tzw. obszaram Drchleta pewej sec. Pukt sec ozaczoy lczbą 0 zajduje sę a początku układu w pukce 0. Cekawą własoścą jest to że odcęta puktu sec ozaczoego lczbą dzel odcek 00 w stosuku złotym czyl pukt ma współrzęde α 0 gdze 0 jest wartoścą oblczoą []. -ty pukt sec ma współrzęde α-[α] 0. Rzędy które wdać a owocu aaasa w modelu są róweż wdocze. Pukty sec m odpowadające tworzą cąg arytmetycze. Są oe wyzaczoe przez lczby 8 które są umeram klatek sąsadujących z klatką 0. Poeważ stosuek k k kolejych lczb boaccego jest zbeży do lczby α lczba k α jest emal lczbą całkowtą co zaczy że jej część ułamkowa jest mała. Zatem 7
pukty ozaczoe lczbam boaccego leżą coraz blżej os Y w marę ch wzrastaa. a schemat te możemy spojrzeć jako a rozmeszczee lśc a gałązce. Pukt secowy ozaczoy lczbą leży blsko os Y. Moża węc założyć że leży dokłade ad puktem 0. Otrzymalśmy w te sposób aalogę do zjawska flotaksj występującego w układze lśc. Gdybyśmy bowem rozmeszczee zareek a owocu aaasa potraktowal jako rozmeszczee lśc a gałązce otrzymalbyśmy 8 - flotaksję. Założee to jest zasade: Boet... wdzał w przypadku morel zupełe wyraźe że koleje cykle e akładają sę prostopadle. olejy warat flotaksj wdzmy a przykładze szyszk śwerkowej. Wyraźe wdzmy że układ łusek w szyszce tworzy 8 - flotaksję co obrazuje rysuek. Modelem matematyczym byłby stożek. W porówau z modelem aaasa byłoby to zastąpee ruchu śrubowego ruchem śrubowym złożoym z dylatacją Perfekcyjym przykładem flotaksj jest słoeczk. Cekawą jego własoścą jest zależość rodzaju flotaksj od welkośc główk co obrazuje tabelka. 8
Welkość główk słoeczka Bardzo mała Mała ormala4- cm średcy Duża Bardzo duża Welka około cm średcy Rodzaj flotaksj 4 4 89 89 44 44 Rysuek słoeczka jest przykładem przejśca -flotaksj a zewątrz z 4 -flotaksję w środku tarczy. Zateresowae zjawskem flotaksj od 900 roku przezywa swój reesas. Od tego czasu pojawa sę wele opracowań a temat owych przykładów flotaksj. Oto 9
ektóre z ch: Zawązk w pączku sosy tworzą 8 -flotaksję co wdać a rysuku U welu rośl złożoych p. u margaretk rumaku wdocze są sprale rozłożea oddzelych kwatków w kwatostaach. Tworzą oe w perwszym przypadku -flotaksję a w drugm 4 -flotaksję[8]. Struktury przypomające flotaksję pojawają sę także wśród mkroorgazmów p. flagella Salmoell reprezetuje wzór zblżoy do -flotaksj. Jest to wdocze a rysuku. Trzeba w tym mejscu zazaczyć że oprócz k k -flotaksj występują w przyrodze jeszcze e. Są oe wyzaczoe przez cąg które podobe jak cąg boaccego spełają waruek: u k u k u k lecz mają e waruk początkowe. Jedakże flotaksję postac k k są w przyrodze przeważającą tedecją. Lczby boaccego w przyrodze występują e tylko w postac flotaksj. Dobrze zaa skorupa głowooga łodzka autlus obrazuje am z zadzwającą perfekcją spralę logarytmczą. Cąg boaccego jest przykładem przedzwego splataa sę matematyk z przyrodą. Przypomjmy sobe bowem że sam pomysł cągu boaccego powstał dzęk dealzacj zjawska przyrodczego rozmażae królków a astępe okazało sę że tak wymyśloe pojęce powraca do przyrody w postac flotaksj czy kształtu skorupy ślmaka. Lteratura: 0
Gradet r /998 udacja Rozwoju Matematyk Polskej Warszawa. Ecyklopeda Powszecha PW PW Warszawa 997. Serpńsk W. Wstęp do teor lczb WSIP Warszawa 987. Weyl H. Symetra PW Warszawa 960