Spis treści Liczby zespolone Macierze wyznaczniki równania liniowe 4 Geometria analityczna 9 4 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7 Pochodne cząstkowe różniczki zupełne i ich zastosowania 8 Całki podwójne 5 9 Równania różniczkowe zwyczajne 7 0 Szeregi liczbowe szeregi potęgowe 0 Analiza wektorowa Literatura 5
Liczby zespolone Pokazać że z z = z z z + z = Re z z z = i Im z 4 z jest liczbą rzeczywistą z = z Obliczyć: 5 6 i i +i 7 8 i) 0 i) 9 ) i 8 +i 0 +i 4 i) Re +i Im i + i ) 4 i 5 4 6 + i) 7 + 4i 8 5 k=0 ik 9 4 0 4 + 4i) 4 +i i) Odpowiedzi 5 + i; 6 i; 7 i; 8 5 i; 9 ; 0 ; 4 ; ; i; 4 + i i; 5 + i 5 i + i i ; 6 + 4i; 7 + i i; 8 + i; 9 i i; 0 + 4i 4i 4 + i 4 i Niech a + bi) = z Znaleźć z z z Rozwiązać równania: z z + = 0 z z + 5 = 0 4 z + 4z + = 0 5 z z + 4 = 0 6 z iz + = 0 7 z + + i) z + i = 0 8 i z 4 5i) z 0 = 0 9 z + 5i) z + 0i = 0 0 i) z i) z 4i = 0 Odpowiedzi ± i ± i 4 ± i 5 ± i 6 i i; 7 i; 8 4 i i; 9 + i + 9i; 0 i i 4 5 5 Obliczyć: i 4 i Odpowiedzi ± i ± i i ± + i 4 i ± i
5 Liczby zespolone u i v spełniają warunki u = v Czy u = v? Odpowiedź uzasadnić Następujące liczby przedstawić w postaci trygonometrycznej: 6 + i 7 i 8 i 9 i ctg α α 0 π ) Odpowiedzi 6 cos 5π + i sin 5π) ; 7 cos 7π + i sin 7π) ; 6 6 4 4 8 cos 4π + i sin 4π) ; 9 sin α cos π + α) + i sin π + α)) Obliczyć 40 cos π + i sin ) π 4 cos π + i sin ) π 6 4 + i) 6 4 i +i 44 5 Odpowiedzi 40 ; 4 ; 4 ; 4 ; 44 5+)±i 0 5 Czy wzory 45 cos α i sin α) n = cos nα i sin nα; 46 cos α + i sin α) n+ = cos n + ) α + i sin n + ) α; 47 cos α i sin α) n+ = cos n + ) α i sin n + ) α; są prawdziwe? Odpowiedź uzasadnić 5 )±i 0+ 5 4 4 Podane wielomiany rzeczywiste przedstawić w postaci iloczynu nierozkładalnych czynników rzeczywistych: 48 6 49 6 + 50 4 + + 5 4 + Odpowiedzi 48 ) + ) + + ) + ) ; 49 + ) + + ) + ) ; 50 + + ) + ) ; 5 + + ) + )
4 Macierze wyznaczniki równania liniowe Które z iloczynów AB BA A B istnieją? Obliczyć te które istnieją jeżeli A = 0 B = 0 0 7 Odpowiedź AB = istnieją 6 0 8 4 A = 0 7 5 4 4 6 Pozostałe iloczyny nie Czy dla macierzy A i B zawsze zachodzi A + B) = A +AB+B? Czy prawdą jest że AB) = A B? [ ] a b Wykazać że macierz spełnia równanie: c d a + d) + ad bc) = 0 Obliczyć wyznaczniki: 4 7 9 0 0 0 7 6 4 8 5 cos sin cos y sin y cos z sin z cos t 4 sin t + a b c a + b c a b + c a 0 0 6 a 0 0 a 0 0 a a b m n r s 8 b c n p s t c a p m t r 0 a b c a b c 0 5 0 0 0 Odpowiedzi 4 6; 5 ; 6 a 4 a + ; 7 0; 8 0; 9 + a + b + c; 0 a b) a c) b c) Rozwiązać równania: 4 = 0 4 4 4 5 = 0
Odpowiedzi 0 ; 5
6 Znaleźć A jeżeli: A = 5 A = 7 A = 9 A = cos ϕ sin ϕ 0 sin ϕ cos ϕ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 A = 6 A = 0 0 5 0 0 0 0 6 4 0 0 8 A = Odpowiedzi A T ; 4 A T ; 5 7 9 0 0 0 0 A = ; 8 5 0 0 0 0 0 0 0 0 cos ϕ 0 sin ϕ 0 0 sin ϕ 0 cos ϕ 0 5 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 ; 0 Macierz A spełnia równanie A + A = Obliczyć A + A Rozwiązać równanie macierzowe: [ ] [ 0 X = 4 5 [ ] [ ] X = 5 [ ] [ ] T 0 4 X = 0 ] [ 4 ; 0 0 5 0 0 6 4 0 0 0 0 ; 6 0 0 0 0 5 0 0 0 0 ] 0 0 0 5 0 0 0 0 ;
[ ] [ 5 + X = 0 0 6 X 0 4 0 = 0 0 ] X 7 6 [ ] Odpowiedzi 0 [ ] [ ] 6 5 6 4 4 0 T [ ] [ 4 4 0 7 la jakiej wartości parametru a równanie macierzowe a 0 0 X = 0 0 0 ma rozwiązanie? 0 0 a 0 0 a 7 ] Rozwiązać podane układy Cramera: 8 0 { + y = 4 y = 9 + y + z = 0 y + z = 0 + 4y 5z = 0 + y + z = 4 y + z = + y z = + y + z + t = 4 + y + z + t = y + z + t = 0 y z + t = Odpowiedzi 8 = y = ; 9 = y = z = ; 0 = y = z = 0; = y = z = t = Rozwiązać podane układy równań: 4 6 + y = 4 y = + y = 4 + y = + y = 0 4 + y = 0 + y + z = 4 + y z = + y + z = 5 5 7 + y = 4 y = + y = 4 y = 6 y = 9 4 y = 6 + y + z = 4 + y z = + y + z = 6
8 8 40 + y + z = 0 + 4y 4z = 0 + y 5z = 0 + y + z = 0 + y + z = 0 + y + z = 0 y + z = 0 9 4 + y + z t = 0 y + z + t = 0 y + z + t = 0 + y + z = 4 y + z = + y z = + y + z = 6 4 y z t = y + z t = + z t = 4 y + 4z 4t = 4 y z t = y + z t = + z = 4 y + 4z t = 4 44 + y + z t = y + z + t = + y + z t = y + z + t = 5 45 { + y + z = y + z + t + v = Odpowiedzi = y = ; układ sprzeczny; 4 układ sprzeczny; 5 = y = + 6 = y + y = y z = ; 7 układ sprzeczny ; 8 = 8z y = 7z z = z; 9 = y = +t z = 5 t = t; 40 układ sprzeczny ; 4 = y = z = ; 4 = z + y = 4z + z = z t = ; 4 = z + y = y z = z t = 4 4z y 44 układ sprzeczny; 45 = y = z + z = z t = t v = t W zależności od parametru a podać warunki rozwiązalności układu: { { + y + z = 6 + y = a 46 + ay + az = 47 + y = ay 48 a + y + z = ay z = + y z = a 49 a + 4y + 9z = a a + y + z = a + y + z = Odpowiedzi 46 układ ma nieskończenie wiele rozwiązań dla a nie ma rozwiązań dla a = 47 układ ma dokładnie jedno rozwiązanie dla a R 48 układ ma dokładnie jedno rozwiązanie dla a i a 4 ma nieskończenie wiele rozwiązań dla a = nie ma rozwiązań dla a = 4; 49 układ ma dokładnie jedno rozwiązanie dla a i a ma nieskończenie wiele rozwiązań dla a = nie ma rozwiązań dla a =
Geometria analityczna * Pokazać że środki boków dowolnego czworokąta są wierzchołkami równoległogoku * Pokazać że przekątne równoległoboku przecinają się w połowie la jakich wartości parametrów m i k wektory a = 4 6k) b = m 4) są równoległe 4 Znaleźć kąt między wektorami: a) a = ) b = ) b) a = ) b = + 6 + 6 ) c) a = ) b = ) 5 la jakiej wartości parametru λ wektory a = ) b = λ + λ) są wzajemnie prostopadłe? 6 Sprawdzić czy trójkąt ABC a) A = 5 4) B = ) C = 5) b) A = 5 4 ) B = ) C = 6 5) jest prostokątny 7 Znaleźć cosinusy kierunkowe wektora a = ) 8 Znaleźć rzut prostokątny wektora a = ) na oś o kierunku wektora b = ) 9 Znaleźć wektor jednostkowy m prostopadły do wektorów a = ) b = ) 0 Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach: a) P = 4 ) Q = 6 ) R = 0 5) b) P = ) Q = 4 ) R = 0 ) * Pokazaćże pole równoległoboku zbudowanego na przekątnych danego równoległoboku jest równa podwojonemu polu danego równoległoboku * Wyprowadzić twiedzenie sinusów Wskazówka: Wykorzystać fakt że warunkiem aby niewspólinowe wektory a b c tworzyły trójkąt jest a + b + c = 0 Następnie wykorzystać iloczyn wektorowy Obliczyć objętość równoległościanu o wierzchołkach O = 0 0 0) P = 4 ) Q = 6 ) R = 0 5) 9
0 4 Wykazać że punkty P = ) Q = 0 5) R = ) S = 0) leżą w jednej płaszczyźnie i obliczyć pole czworoboku o wierzchołkach P Q R S 5 Wykazać że punkty P = 0 ) Q = ) R = 4 0) S = 5) są wierzchołkami trapezu i policzyć jego wysokość 6* Wykazać że objętość równoległościanu zbudowanego na przekątnych ścian danego równoległościanu jest równa podwojonej objętości danego równoległościanu 7 Napisać równania prostej przechodzącej przez punkty: a) P = ) Q = ) b) P = ) Q = ) 8 Napisać równanie prostej przechodzącej przez punkt P = ) = t i równoległej do prostej l : y = + t z = + t 9 Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez: a) punkty P = 0 0 ) Q = 4 0 ) R = ) = + t b) prostą l : y = + t i punkt P = 0) c) proste l : d) proste l : z = t = + t y = + t z = t = + t y = + t z = t 0 Czy przez proste l : można poprowadzić płaszczyznę? l : l : = + t y = + t z = t = s y = 4s z = s = + s y = s z = + s l : = + s y = s z = 5 + s Przedstawić prostą l : w postaci parametrycznej { y + 5z = y + z = Na sferze danej wzorem + y + z = wyznacz współrzędne punktów najbliższych i najdalszych od punktu 4) Odpowiedzi k = m = ; 4 a) π b) π c) π; 5 λ = 6 6 a) nie; b) tak 7 cos α = 6 cos β = 6 cos γ = 6 ;
8 6 ± ); 9 5 5); 0 a) 49; b) 7 6; 4 ; 5 = t { = t = t ; 7 a) y = + t b) y = + t ; 8 y = + t z = z = + t 9 a) y + 4z 8 = 0; b) y 5 = 0; c) + y + = + t 5z = 0; d) y 4z = 0 0 nie y = 4 + 4t z = t ) ± 6 4 6 6
4 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania Znaleźć funkcje złożone f f g g g f f g dla: f) = g) = + ; f) = g) = cos ; f) = g) = ; 4 f) = + g) = ; 5 f) = 6 f) = g) = cos ; g) = ; 7 f) = + g) = Odpowiedzi f f) ) = g g) ) = + g f) ) = + f g) = ; f f) ) = + 4 g g) ) = cos cos ) g f) ) = cos f g) = cos ; f f) ) = g g) ) = 4 g f) ) = f g) = ; 4 f f) ) = g g) ) = ) + g f) ) = f g) = ; 5 f f) ) = 4 4 + g g) ) = cos cos ) g f) ) = cos f g) = cos ; 6 f f) ) = 9 g g) ) = 9 g f) ) = f g) = ; 7 f f) ) = + g g) ) = g f) ) = + f g) = + + 4 + Niech f) = g) = + Funkcję h przestawić za pomocą złożenia funkcji f i g 8 h) = + 9 h) = + ) 0 h) = + ) h) = + h) = + ) h) = 4 Odpowiedzi 8 h) = g f) ) ; 9 h) = f g) ) ; 0 h) = f g f) ) ; h) = g g) ) ; h) = f g g) ) ; h) = f f) ) Obliczyć: 4 arc sin ; 5 arc sin ) ; 6 arc tg ) ; 7 arc tg ; 8 arc sin sin 5π 7 ) ; 9 arc cos sin 5π 7 Odpowiedzi 4 π; 5 π; 6 π; 7 π; 8 π 5π ; 9 6 4 7 4 0 Rozwiązać równanie arc sin + arc sin = π Odpowiedź = 5 )
Obliczyć granice n lim n lim 5 lim n n+)! n! n n+)!+n! + + 4 ++ n n + + 9 ++ sin n 7 lim n 5n 9 lim n 6n+ ) n lim 4 lim n 6 lim 8 lim 0 lim n 4 lim n n lim n 4 n +5 n n n n+ n n 4 + +4+6++n n n n ) n 5n 07) n n 5n n+ n+ n n+ n n+ n+ n lim 4n + 7n n ) 4 lim n + n ) n n 5 lim n n n + ) 6 lim n n n a ) n ) n + 7 lim n + a n + b 8 lim n + n 5 n ) n + n 9 lim n + n + n n ) 40 lim + n n n n) 4 lim n + 4 lim n 45 lim n n 47 lim 4 49 lim 5 lim n) n 4 lim n+) n 44 lim n n+) 46 lim 48 lim + a ) 50 lim + + 0 + 5 lim 0 55 lim 0 ) n n n n + n n n n+) 0 +) + 5 lim + 54 lim 56 lim 57 lim 58 lim 59 lim sin 0 6 lim 0 tg sin 6 lim 0 sin 65 lim +sin 0 + + sin+) 67 lim 69 lim + 7 lim + 60 lim 6 lim 64 lim + a ) e + e + sin sin 0 sin 5 0 sin cos 0 +sin sin 66 lim 0 68 lim + 4 ) + ) +) 70 lim ln + ) ln ) + sin arc tg ) 7 lim + +e Odpowiedzi 0; ; ; 4 ; 5 4 ; 6 0; 7 0; 8 0; 9 ; 0 ; 0; ; 7; 4 0; 5 ; 6 a ; 7 0; 8 ; 4 9 + ; 40 e ; 4 e; 4 ; 4 ; 44 0; 45 ; 46 ; e e 8 47 4; 48 ; 49 0; 50 ; 5 ; 5 ; 5 ; 54 + ;
4 55 ; 56 ; 57 ; 58 0; 59 ; 60 ; 6 ; 6 5; 6 4 ; 64 ; 65 6 ; 66 ; 67 ; 68 e 6 ; 69 e ; 70 ; 7 ; 7 Korzystając z definicji wyprowadzić wzór na pochodną funkcji: 7 f) = 74 f) = + 75 f) = 76 f) = 77 f) = 78 f) = +5 Wyznaczyć pochodne podanych funkcji: 79 f) = 4 + ) 80 f) = + ) 8 f) = 8 f) = 0 5 8 f) = + 84f) = + ) + + ) 85 f) = e 86 f) = e sin 87 f) = e sin 88 f) = e sin 89 f) = sin + 90 f) = + 9 f) = ctg 9 f) = sin + cos 9 f) = sin 94 f) = arc sin arc tg ) 95 f) = arc sin + ln 5 96 f) = + + 97 f) = sin + +e 98 f) = ln + + k ) 99 f) = arc sin 00 f) = arc tg + + + Odpowiedzi 79 f ) = 64 + 4 + ; 80 f ) = ; ) 8 f ) = ; 8 f ) = ; 8 f ) = 6 ) ; 84 f ) ) = +5 +) ; 85 f ) = e ; 86 f ) = cos e sin ; 87 f ) = ++) cos sin e sin ; 88 f ) = cos sin e sin ; 89 f ) = cos + + ; 90 f ) = + + ; 9 f ) = ctg ; 9 f ) = sin cos sin cos sin ; 9 f ) = 6 sin cos ; 94 f ) = arc sin arc tg ) ; 95 f ) = + + 5 ln4 ; 96 f ) = 4 ln + + ; 97 f ) = sin sin cos ln + + ) e ; +e ) 98 f ) = ; 99 f ) = +k Wyznaczyć pochodną rzędu funkcji: + ; 00 f ) = ++) 0 f) = sin 0 f) = e 0 f) = ln + ) 04 f) = arc tg Odpowiedzi 0 f ) = sin f ) = cos ; 0 f ) = e f ) = e + 4 e ; 0 f ) = f ) = + ; 04 f ) = f ) = 6 + ) +4 +4 ) +)
05 Wykazaćże funkcja y = e cos spełnia równanie różniczkowe y IV + 4y = 0 06 Napisać równanie stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach: a) f) = 0 f0)) ; b) f) = f)) ; c) f) = f )) ; d) f) = 0 f0)) ; + e) f) = f)) ; + f) f) = arc tg f)) ; g) f) = arc sin 0 f0)) ; + h) f) = arc tg 0 f0)) + Odpowiedzi a) y = ; b) y = ; c) y = ; d) y = ; e) y = ; f) y = + + π 4 ; g) y = ; h) y = + π 4 5 07 Na krzywej y = ) znaleźć punkty w których styczne są równoległe do osi O 08 Obliczyć f i df dla: a) f) = przy = 0 i = 0 ; b) f) = + przy = i = 0 ; c) f) = przy = 4 i = 0 05 Odpowiedzi a) f = 9 df = 9; b) f = 46 i df = 4; c) f = 0 05 df = 0 05065 09 Przy pomocy różniczki obliczyć wartość przybliżoną a) arc tg 0; b) 6; c) sin ; d) ln 0 99 Odpowiedzi a) 0 8004; b) 979; c) 0 55; d) 0 0 Za pomocą reguły de L Hospitala obliczyć granice: 0 lim ; lim π 4 ; lim sin 0 lim ln 4 lim + + tg sin cos ; ln +) ; lnln ) ln sin ; 5 lim ; 0 + ln tg
6 6 lim 0 cos 8 lim e ln ; 7 lim e ; 0 lim 0 sin lim 0 4 lim +sin ; 9 lim lim e a e b ; 0 sin ln cos ; 0 arc sin ; 0 +arc tg + ln ; lim e + ) ; ) tg π; 5 lim 6 lim 8 lim + sin ) 0 ; 0 + ; 7 lim e + ) ; 0 9 lim ctg )tg 0 + Odpowiedzi 0 0; ; ; ln ; 4 0; 5 ; 6 7 a b; 8 ; 9 ; 0 ; 0; 0; e 4 4 ; 5 ; 6 π e ; 7 e ; 8 e; 9 0 Uzasadnić podane tożsamości: a) arc ctg = arc tg dla > 0 b) arc ctg = π + arc tg dla < 0 c) arc tg = π arc tg dla ) 4 + d) arc sin = arc tg dla ) + Znaleźć przedziały monotoniczności oraz ekstrema podanych funkcji: f) = 4 f) = + 4 5 f) = + 4 f) = + 5 f) = 6 f) = + 4 7 f) = 8 f) = ln + + ) 9 f) = e 40 f) = 4 f) = 4 f) = ln 4 f) = 44 f) = ln e 4 ) ) Odpowiedzi w 5 i 0 + 5 w ) 5 0 + i ) 5 + ; 5 + 5 minima 0 maksimum w 0) i 0 ) w ) i + ) ; maksimum minimum; w 5) i 5 7) w ) i 7 + ) ; maksimum 7 minimum; 4 w 0 + ) w 0) ; 0 maksimum; 5 w ) ; + ) w ) ; minimum -maksimum; 6 w ) ) i + ) ; brak ekstemów; 7 w ) i + ) w ) ) i ) ; maksimum minimum; 8 funkcja rosnąca; brak ekstemów; 9 w 0 + ) w 0) ; 0 maksimum; 40 w ) i ) ) w ) ; minimum maksimum; 4 w 0 i ) w ) ) i 0 ;
maksima; 4 w 0 e) w + ) ; minimum; 4 e e w 0 ) i e) w e + ) ; e minimum; 44 w 0) i 0 ) brak ekstremów Znaleźć najmniejszą i największą wartość podanych funkcji we wskazanych przedziałach 45 f) = + 6 [ ] 46 f) = + 9 [ 4 4]; 47 f) = 6 + 9 [0 4] Odpowiedzi 45 największa najmniejsza ; 46 największa 76 najmniejsza 5; 47 największa 4 najmniejsza 0 48 Liczbę rozbić na sumę dwóch składników dodatnich tak aby ich iloczyn był największy 49 Ile razy objętość kuli jest większa od objętości największego walca wpisanego w tę kulę? Odpowiedź 50 Z koła wycięto wycinek o kącie α a następnie zwinięto go tworząc powierzchnię stożka la jakiej wartości kąta α objętość stożka będzie największa? Odpowiedź π 7
8 Obliczyć całki 5 Całki nieoznaczone ln d; e sin e d; e e d; 4 e d; 5 cos d; 6 d ; ln 7 arc sin ) d; 8 d; 9 d; 0 cos d sin ; tg d; tg ) d; sin cos d; 4 sin 5 cos d; 5 cos d; 6 cos d; 7 e d; 8 ln d; 9 ln d; 0 arc cos d; arc tg d; e d; cos d; 4 +4 d; + 5 + d; 6 ++ ++ 7 e d; 8 e d; e +)e ) e 4 9 d ; 0 d e ++ d; ) ; cos sin sin ) d; ) +) d; d; 4 4 + d; 5 d; 6 tg d; cos 7 e d; 8 ln + + ) d; 9 d; 40 arc tg d; +) 4 arc tg d; 4 arc tg d; 4 ln+) d; 44 d; + 45 sin d; 46 d ; ) 47 sin cos 4 d; 48 sin cos d Odpowiedzi ln + C; cos e ) + C; e + C; 4 e + C; 5 sin + C; 6 ln ln + C; 7 arc sin 4 )4 + C; 8 ) +C; 9 +C; 0 sin +C; ln cos + C; tg + C; sin + C; 4 sin 6 )6 + C; 5 sin sin ) + C; 6 cos + sin + C; 7 e e + C; 8 ln + C; 9 ln + C; 0 arc cos + C; arc tg ln + ) + C; e e ) + C; cos + sin )+C; 4 + arc tg +C; 5 ln + + )+ C; 6 + ln + + ) + C; 7 ln e ln e + ) + C; 8 ln 4 e ln 4 e + ) + C; 9 ln e + C; 0
ln ln ) + C; ln sin ln sin + C; sin arc tg + C; ln + C; 4 arc tg + C 5 tg +ln cos +C; 6 tg +ln cos +C; 7 e arc tg e +C; 8 ln + + ) + +C; 9 arc tg + C; 40 arc tg +arc tg +C; 4 arc tg + arc tg + C; 4 arc tg ln +C; 4 ln ln + ) ln+) ; 44 arc sin + + +C; 45 ± + sin +C; 46 arc sin +C 47 tg +C 48 cos + + C cos 9
0 6 Zastosowania geometryczne całek Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi y = y =; 0 y = 4 y = 0; y = ) ) ) y = 0; 4 y = y = 4 ; 5 y = y = ; 6 y = y = + 4; 7 y = y = 5; 8 y = y = + ; 9 y = 4 y = + 4; y = y = 0; y = y = ; y = y = ; 4 y = = 4; 5 y = y = ; 6 y = y = 4 y = y = 4; 7 y = 4 + y = 5; 8 y = e y = e = 0; 9 y = e y = e y = e; 0 y = 4 y = 0; y = y = 0; y = + y = 0 = = ; y = ln y = 0; 4 y = ln y = 4 Odpowiedzi 4 4 5 6 9 7 5 8 5 6 9 9 0 9 4 5 6 6 ln 4 5 5 7 8 ln 8 9 0 6 π ln 4 4 4 e Obliczyć długośc łuku krzywej 5 y = gdzie 0 ; 6 y = + ; 7 y = gdzie 0 ; 8 y = ) arc cos ; 9 y = + arc sin ; 0 y = e + e ) gdzie 0 ; y = 5 + gdzie ; y = ln ) gdzie 0 0 6 Odpowiedzi 5 5 6 π 7 74 8 9 0 e e ) 779 40 ln Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi O obszaru ograniczonego krzywymi y = gdzie 0 ; 4 y = y = ; 5 y = 9 ; 6 ) + y = 4; 7 y = y = 0; 8 + y 0y + 75 = 0 Odpowiedzi 500 π π 4 π 5 6π 6 5 π 7 π 8 0 5 Obliczyć pole powierzchni obrotowej powstałej przez obrót dookoła osi O krzywej
9 y = gdzie 0 ; 40 y = 9 ; 4 y = e +e gdzie 0 ; 4 y = ) gdzie ; 4 + y 0y + 75 = 0 Odpowiedzi 9 8 5 π 40 6 π 4 π e4 + e 4 ) 4 9 π 4 00 π
7 Pochodne cząstkowe różniczki zupełne i ich zastosowania Pokazać że funkcja z y) = y spełnia równanie z + z = z y ln y Pokazać że funkcja z y) = y + F y ) spełnia równanie y z + z = dla y a) F u) = sin u b) F u) = arc tg u Pokazać że funkcja z y) = e y ln y spełnia równanie z + y z = z y ln y 4 Pokazać że funkcja T l g) = π spełnia równanie l T l + g T g = 0 5 Pokazać że funkcja z y) = yf y ) spełnia równanie z dla + y z = z y y a) F u) = arc tg u b) F u) = sin u 6 Pokazać że funkcja z y) = ln ) + y spełnia równanie z + y z = y 7 Pokazać że funkcja z y) = sin spełnia równanie y z + y z = z y 8 Pokazać że funkcja u y z) = + y + z spełnia równanie u ) ) + u y + u ) z = 9 Pokazać że funkcja V y z) = spełnia równanie +y +z V + V y + V z = 0 0 Pokazać że funkcja z y) = e y spełnia równanie y z y = z y z Pokazać że funkcja z y) = ln e + e y ) spełnia równanie z z = y z y) Pokazać że funkcja u y) = e y ) spełnia równanie u + u + u = y u y y y ) Pokazać że funkcja z y) = ln spełnia równanie y z + z = y l g
4 Obliczyć f df dla funkcji f y) = y gdy = y = = 0 y = 0 5 Przy odkształcaniu stożka jego promień R zwiększył się z 0 do 0 cm zaś wysokość H zmniejszyła się z 60 do 59 5 cm Obliczyć w przybliżeniu zmianę objętości V stosując wzór dv V Znaleźć wszystkie punkty krytyczne podanych funkcji: 6 g y) = ) + y 5) + + y) ; 7 gt s) = + t) + t + s ; 8 f y) = y 4R y Odpowiedzi 6 0 ) ; 7 0) ; 8 0 0) 0 ±R) ±R 0) Znaleźć ekstrema podanych funkcji: ) ± R ± R 9 f y) = + 6y y y 0 f y) = y 4 y f y) = y + 5 + y f y) = + y 9y f y) = y6 y) 4 f y) = y + + y) 5 f y) = + y + y 6 ln 6 f y) = + y ln y 7 f y) = + y + y 8 f y) = y + + y 9 f y) = + y + 8 y 0 f y) = 8 + + y y f y) = e y+y f y) = e +y +) f y) = y y + 6y 4 f y) = e y ) 5 f y) = e y ) 6 f y) = + y) e y Odpowiedzi 9 0 ) maksimum 0 brak ekstremum 0 0) minimum ) minimum ) maksimum 4 0 0) minimum 5 ) minimum 6 ) minimum 7 ) ) ) ) minima 8 ) minimum ) maksimum 9 ) minimum 0 4 ) minimum 0 0) minimum 0) maksimum 4 4) maksimum 4 0) minimum 5 0) maksimum 6 0 ) minimum 7 Znaleźć odległość punktu M = 5 ) od płaszczyzny π : + y z + = 0 8 Znaleźć odległość między prostymi l : = + t y = t z = 0 l : = 0 y = 0 z = s
4 9 Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji f y) = y 4R y na zbiorze gdzie : 0 y 0 + y 4R 40 W sferę o średnicy R wpisać prostopadłościan o największej objętości 4 Znaleźć wartość najmniejszą i największą funkcji f y) = y y) = y y y na domkniętym trójkącie ograniczonym prostymi + y = = 0 y = 0 4 Wśród prostopadłościanów których suma długości wszystkich krawędzi wynosi znaleźć ten o największej objętości 4 Znaleźć wartość najmniejszą i największą funkcji f y) = y + y) + y y)) na domkniętym trójkącie ograniczonym prostymi + y = = 0 y = 0 44 Wśród prostopadłościanów których suma długości wszystkich krawędzi wynosi znaleźć ten o największym polu powierzchni 45 Znaleźć wartość najmniejszą i największą funkcji f y) = y + y)+y y) na domkniętym trójkącie ograniczonym prostymi + y = = 0 y = 0 46 Wśród prostopadłościanów których suma długości wszystkich krawędzi wynosi znaleźć ten którego suma powierzchni pięciu ścian jest największa
5 Obliczyć całki podwójne: 8 Całki podwójne 4 + y ) ddy gdzie = [0 ] [ ] y ddy gdzie = [ ] [0 ] y ddy gdzie = [0 ] [0 ] 4 y) ddy gdzie = [ ] [ ] 5 y y) ddy gdzie = [0 a] [0 b] 6 ddy gdzie = [0 ] [0 ] +y 7 e y ddy gdzie jest prostokątem o wierzchołkach O = 0 0) P = 0) Q = ) R = 0 ) 8 + y) ddy gdzie jest obszarem ograniczonym krzywymi: = 0 y = 0 y = 9 cos + y) ddy gdzie jest obszarem ograniczonym krzywymi: = 0 y = y = π 0 + ) ddy gdzie jest trójkątem o wierzchołkach: a) 0 0) 0) ); b) 0 0) ) 0 ); c) 0 0) 0) 0 ); d) 0) ) 0 ) y ) ddy gdzie jest obszarem ograniczonym krzywymi: = 0 y = 0 + y = 0 Niech będzie trójkątem o wierzchołkach 0) 0) 0 ) Obliczyć a) ddy; b) y ddy ddy gdzie jest trójkątem o wierzchołkach O = 0 0) P = ) Q = 4 ) 4 y ddy gdzie jest obszarem ograniczonym krzywą + y = 5 a ddy gdzie jest obszarem ograniczonym krzywą + y = a
6 6 a ddy gdzie jest obszarem ograniczonym krzywą + y = a 7 + y ) ddy gdzie jest obszarem ograniczonym krzywymi: = = y = 0 y = 8 ) ddy gdzie jest obszarem ograniczonym krzy- wymi: = y = 9 6 ) ddy gdzie jest obszarem ograniczonym krzywymi: = 6 y = y = 0 4 y ) ddy gdzie jest obszarem ograniczonym krzywymi: y = y = Odpowiedzi 4 0 5 4 6 b a + 6 b a 6 π 7 e e 4 e 7 + ) 8 9 0 a) 5; b) ; c) ; 6 d) 5 0 a) 0; b) 4 0 5 4a 6 8 6 a 5 7 8 6 9 48 05 5 6 0 56 Pokazać że: π π 4 0 sin y dy y ) d = ) e y dy d = e ) 0 a a a 0 a a a y dy a 0 +y dy ) ) d = 8 a d = a
7 9 Równania różniczkowe zwyczajne Narysować linie całkowe równań: y = sin y + y tg = 0 y 4) = y 4 yy + = 0 5 y y = 0 6 y + y = 0 7 y = y 8 y = y Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych 9 y + y = 0 0 y a + = y y = y dr + r tg ϕ dϕ = 0; rπ) = d = dt 0) = 4 y = 0 005y y0) = 0 5 5 y = 0 005y + 5 y0) = 0 5 6 y = e y cos y0) = 0 7 y = y; y4) = 8 + ) y + y + = y; y0) = 9 y + y = 0; y ) = 0 y = y + ) ctg ; y = gdy = π 4 + ) y + + y = 0 + ) y = y + y = 0 +y 4 y = y ln ; ye) = Odpowiedzi 9 y = Ce ; 0 y = C + a + ) ; y = C e ; r = cos ϕ; = ; 4 y = 0 5 e 0005t ; 5 +e t y = 5000 + 9e 0005t ) ; 6 y = ln sin + ) ; 7 y = e ; e 8 y = + + 9 y = ; 0 y = sin C ; y = ; + +C y+ = C ; 0 y = 0 +C; 4 y = ln +; +) Równania różniczkowe postaci y = f y 5 y = +y 6 y = y + y 7 ds = s t 8 dt t s y + y = y 9 yy = y 0 y y = + y y) = 0 y = y y; y ) = y = y + ln ) y ; y) = e y + y = + y) y 4 y y) arc tg y = ; y) = 0 5 yy = y 6 y = y Odpowiedzi 5 y = ln + C; 6 y = ) ; 7 C ln s = t ln C ; 8 gdy > 0 y = ln C gdy < 0 y = ln C; 9 t + y = C; 0 y = ; y = ; y = e ; y = Ce y ; 4 + y = e y arc tg y ; 5 y = Ce y ; 6 y = C + y) Wyznaczyć równanie rodziny krzywych prostopadłych do rodziny: 7 parabol ay = 8 hiperbol y = c 9 elips + 4y = a 40 okręgów + y = a Odpowiedzi 7 y + = c ; 8 y = C; 9 y = C 4 ; 40 + y = Cy
8 Równania różniczkowe liniowe 4 y y = y) = 4 y y tg = cos 4 y + y = e 44 y + y = e 45 + ) y y = + ) 46 y = y+ 47 y + y = e 48 y + y = ln + 49 y + y = 4 50 y + ) y = + 5 + 4) y + y = 5 y y = y0) = 0 5 t ds dt y cos y sin = sin 55 y + y cos = sin 56 t ds s dt = t ln t dt 57 y y tg = ctg 58 + ) y + y = 59 y + y = 60 a + ) y + y = Odpowiedzi 4 y = +; 4 y = ; 4 y = cos e 5 e5 + C ) ) 44 y = + C e ; 45 y = + C) + ) ; 46 y = C ; 47 y = e + C ; 48 y = ln + C ; 49 y = + C e ; 50 y = + C e ); + 5 y = + C ; 5 y = +4) + C ; 5 s = + t t ; 54 y = sin +C ; 55 y = sin + C cos e sin ; 56 s = t ln t t + Ct ; 57 y = ln tg +cos +C ; 58 y = + C cos 59 y = + C e ; 60 y = ln C+ a + ) a + Równania różniczkowe zupełne ) 6 4 y d + y dy = 0 6 e y d + e y ) dy = 0 6 e y d + e y ) dy = 0 64 cos yd + y sin y) dy = 0 65 + y) d + ) dy = 0 66 y 4y ) d + 4 y + y ) dy = 0 67 cos y + ) d sin ydy = 0 68 y y d + y ln dy = 0 + ; Odpowiedzi 6 y + 4 = C; 6 e y y = C; 6 e y + y = C; 64 cos y+y = C; 65 +y y = C; 66 y y +y 4 = C; 67 cos y + = C; 68 y = C Równania różniczkowe rzędu drugiego 69 y = y y0) = 0 y 0) = ; 70 y = y y0) = y 0) = 0; 7 y = y y0) = y 0) = 0; 7 yy = y ) ; 7 y + y y ) = 0; 74 4y y = y0) = y 0) = ;
9 75 + y ) y = y y ) ; 76 y tg y = y ) ; 77 yy y ) = y ; 78 d y = α + dy d d 79 y y = e ; 80 y ln = y ; 8 y + y ) = 0; 8 y + y = ) y0) = α y 0) = 0; Odpowiedzi 69 y = sin ; 70 y = cos ; 7 y = e +e ; 7 y = C e C y ; 7 + yc = + C ; 74 y = ) 4 4 ; 75 y = tg C + C ) ; 76 = C tg y + C ; 77 y = C C e C + C ; 78 y = e α +e α α ; 79 y = e ) + C + C ; 80 y = C ln ) + C ; 8 gdy C > 0 y = C arc tg C + C gdy C < 0 y = C ln C + C + C gdy C = 0 y = C ; 8 y = + C ln + C
0 0 Szeregi liczbowe szeregi potęgowe Korzystając z definicji zbadać zbieżność szeregu: ) n ) n + n n= n= n 4 n! nn+) n= n= 5 6 ln + n )n+) n) n= n= 7 n 8 n= n= n n Odpowiedzi rozbieżny rozbieżny zbieżny 4 zbieżny 5 zbieżny 6 rozbieżny 7 rozbieżny 8 rozbieżny Obliczyć sumę szeregu: 9 0 n n=0 n=0 n= ) n+ n n + n +4 n 6 n 5 + 7 + 9 + + Odpowiedzi 9 0 4 Zbadać zbieżność szeregu n 4 n+ n + n n= n= ) 5 n+ n n 6 n n n= n= 7 ) n+ n + n ) 8 n + n= n= 9 ln n n+ 0 n n= n= ln n ne n n n= Odpowiedzi rozbieżny 4 rozbieżny 5 zbieżny 6 zbieżny 7 zbieżny warunkowo zbieżny) 8 zbieżny 9 rozbieżny 0 rozbieżny zbieżny zbieżny n= Wyznaczyć przedziały zbieżności szeregów:
5 7 9 n n 4 n + ) n 6 n n 0 n 8 +) n n+ 0 n= n= n= n= n= n ) n n n= n= n= +) n n +) n n n n + )n n= ) n n n n n n n= Odpowiedzi < < 4 < 0 5 < < 0 6 0 7 0 < 0 8 0 < < 9 < 0 < 5 < Pokazać że sin = 4 + 6 8 + ;! 5! 7! 4 sin =! + 5 5! 7 7! + ; 5 e d = C + + 5 5! 7 7! + Obliczyć z dokładnością do trzech miejsc po przecinku 6 05 d : 7 05 0 + 4 0 + d 8 0 e d 9 sin d 0 Odpowiedzi 6 0 867 7 0 508 8 0 747 9 0 60
Analiza wektorowa Znaleźć jednostkowy wektor normalny do powierzchni stożka opsanej równaniem + y = z w punkcie ) Wyznaczyć jednostkowy wektor normalny do powierzchni opisanej równaniem yz = w punkcie ) Pokazać że wersor normalny n do powierzchni sfery +y +z = a skierowany na zewnątrz ma postać n = y z) a 4 Obliczyć div A oraz rot A dla A = y i + yz j + y z k 5 Obliczyć div A oraz rot A dla A = sin yz i + sin z j + sin y k 6 Niech r = i + y j + z k Wykazać że r = oraz r = 0 o ile r 0) 7 Niech r = i + y j + z k Wykazać że grad r = r r o ile r 0) 8 Obliczyć y dl gdzie Γ jest łukiem paraboli y = zawartym Γ między punktami ) 4) 9 Obliczyć Γ + y)dl gdzie Γ jest brzegiem trójkąta o wierzchołkach 0) 0 ) 0 0) 0 Obliczyć Γydl gdzie Γ jest obwodem prostokąta o wierzchołkach: O = 0 0) P = 4 0) Q = 4 ) R = 0 ) Obliczyć z dl gdzie Γ jest pierwszym zwojem linii śrubowej: +y Γ = a cos t y = a sin t z = at Obliczyć Γ y dy + d ) gdzie Γ jest okręgiem + y = w kierunku dodatnim Obliczyć ) y d + dy gdzie Γ jest okręgiem +y = +y +y Γ w kierunku dodatnim 4 Obliczyć Γ y d + dy ) gdzie Γ jest sparametryzowana równaniem rt) = t ) i + t t) j dla t 5 Czy całka Γ y + )d + dy ) zależy od drogi całkowania? 6 Obliczyć ) 00) y + )d + dy ) 7 Czy całka Γ yzd + zdy + ydz ) zależy od drogi całkowania?
8 Sprawdzić twierdzenie Greena dla + y )d + + )dy) gdzie Γ Γ jest brzegiem trójkąta o wierzchołkach 0 0) 0) 0 ) 9 Sprawdzić twierdzenie Greena w przypadku całki y dy y Γ d ) gdzie Γ jest okręgiem + y = 4 w kierunku dodatnim; 0 Stosując twierdzenie Greena obliczyć całkę y + + y) d + Γ y + y) dy ) gdzie Γ jest brzegiem kwadratu o wierzchołkach O = 0 0) A = 0) B = ) C = 0 ); Stosując twierdzenie Greena obliczyć całkę ) d dy gdzie Γ y Γ jest brzegiem trójkąta o wierzchołkach A = ) B = ) C = ) Stosując twierdzenie Greena obliczyć całkę Γ y ) d+ + y ) dy ) gdzie Γ jest brzegiem prostokąta o wierzchołkach A = ) B = 4 ) C = 4 ) C = ) Pokazać że Γ y + e y ) d + y + e y y) dy ) = 0 gdzie Γ jest krzywą zamkniętą symetryczną względem osi współrzędnych 4 Obliczyć pole elipsy = a cos t y = b sin t Σ 5 Obliczyć pole pętli linii = t y = t t 6 Korzystając ze wzoru Σ = ds obliczyć pole powierzchni bocznej walca o promieniu R i wysokości H 7 Obliczyć 6 + z y ) ds po powierzchni sparamatryzowanej Σ równaniem ru v) = u i + v j + u k dla 0 u i 0 v 8 Obliczyć ds po tej części sfery + y + z = a która leży w Σ pierwszej oktancie 9 Obliczyć ) dydz +y dzd+z dd po zewnętrznej stronie sfery Σ + y + z = a 0 Za pomocą wzoru Gaussa obliczyć Obliczyć Γ Σ ) dydz + y dzd + z ddy braną po zewnętrznej stronie ostosłupa utworzonego z płaszczyzn + y + z = a = 0 y = 0 z = 0 ) d+ + y) dy+ + y + ) dz gdzie Γ : = a sin t y = a cos t z = a sin t + cos t) t [0 π]
4 Odpowiedzi ± 6 ) ; ± ) ; 4 div A = y + z rot A = yz y) i+yz y) k; 5 div A = 0 rot A = cos y cos z) i y cos y y cos yz) j+z cos z z cos yz) k; 8 7 ) 5 ; 9 + ; 0 4; a8π ; 0; π; 4 6 ; 5 nie; 6 4; 7 nie; 5 8 9 0; 0 0; 8 ; 6; 4 πab 5 7 9 πa ; 8 ; 6 5 6 4 9 4πa ; 0 a4 ; 4 πa
Literatura [] GNBerman Zbiór zadań z analizy matematycznej PWN Warszawa 966 [] M Gewert Z Skoczylas Analiza matematyczna Cz - Oficyna Wydawnicza GIS Wrocław 00 [] B Gdowski E Pluciński Zbiór zadań z rachunku wektorowego i geometrii analitycznej Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej Warszawa 000 [4] l Jeśmanowicz J Łoś Zbiór zadań z algebry PWN Warszawa 969 [5] WKrysicki L Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach Cz I-II PWN Warszawa 00 [6] A McQuarrie Matematyka dla przyrodników i inżynierów PWM Warszawa 005 [7] WPMinorski Zbiór zadań z matematyki wyższej WNT Warszawa 974 5