METODY OCENY JAKOŚCI CYFROWYCH UKŁADÓW REGULACJI

POLITECHNIKA OPOLSKA WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI AUTOREFERAT PRACY DOKTORSKIEJ MGR INŻ. GRZEGORZ BIALIC METODY OCENY JAKOŚCI CYFROWYCH UKŁADÓW REGULACJI PRACUJĄCYCH W WARUNKACH STACJONARNYCH ZAKŁÓCEŃ PRZYPADKOWYCH PROMOTOR: DR HAB. MARIAN BŁACHUTA PROF. POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ OPOLE 6

TECHNICAL UNIVERSITY OF OPOLE DEPARTMENT OF ELECTRICAL ENGINEERING, AUTOMATIC CONTROL AND COMPUTER SCIENCE PH.D. THESIS ON METHODS OF CONTROL PERFORMANCE ASSESSMENT FOR SAMPLED DATA SYSTEMS WORKING UNDER STATIONARY STOCHASTIC DISTURBANCES BY GRZEGORZ BIALIC, M. SC. ADVISOR: MARIAN BŁACHUTA, PROF., D. SC. OPOLE 6 Absrac The hesis deals wih a LQG conrol benchmark for a linear coninuous-ime plan whose oupu is corruped by a sochasic disurbance and conrolled by a discree-ime conroller, which can be seen as a MV benchmark wih bounded conrol variance. The qualiy of discree-ime conrol sysems wih PID conrollers uned boh classically and opimally in such way ha disurbance characerisics are aken ino accoun is invesigaed and, assuming he same conrol effor, compared wih he benchmark. I has been shown ha opimal uning of classical PID conrollers improves he disurbance aenuaion bringing i closer o he lower bound. Suiabiliy of conrol qualiy assessmen based on delay approximaion for delay-free plans is invesigaed. To his end, he LQG conrol benchmark is compared for boh linear delay-free coninuous-ime plans and heir lag-delay models. Using approximaed plan models, he area of achievable accuracy is hen defined for conrol performance assessmen. Cerain ime and frequency domain funcions are hen examined o furher assess he conrol performance in erms of robusness. I has been shown ha as long as he sysem o be conrolled is delay-free, and here is no exreme demand on performance, simple lag-delay sysem model along wih opimally uned PID conrol algorihm provides conrol qualiy similar o ha of LQG conrolled original sysem assuming he same bound on conrol signal variance. Alhough he classical performance measure based on subsiue delay indicaes hen almos opimal performance, here is sill room for addiional improvemen ha can be aained using boh PID and LQG conrollers and more sophisicaed original delay-free model. The price paid is much larger conrol variance. I is ineresing o noe ha while LQG sysems remain robus his is no longer valid for PID conrollers.

Spis reści Spis reści... Wsęp.... Wprowadzenie do problemayki rozprawy..... Przegląd echnik oceny jakości układów regulacji...3... Opis procesu...3... Dolna granica jakości...5..3. Popularne miary jakości...6..4. Esymacja dolnej granicy jakości....7.. Moywacja pracy...8.3. Cele naukowe rozprawy...9.4. Teza rozprawy...9. Benchmark LQG dla sysemów ciągłych w czasie..... Model procesu..... Maemayczny model procesu....3. Funkcja koszu cel serowania....4. Krzywa opymalnych rozwiązań... 3. Ocena jakości łumienia zakłóceń przypadkowych układów z regulaorami o usalonej srukurze - ypu PID...3 4. Ocena jakości na podsawie modelu z aproksymacją opóźnieniem...4 4.. Maemayczny model procesu z opóźnieniem...5 4.. Niejednoznaczność oceny jakości w oparciu o model z aproksymacją opóźnieniem..5 5. Ocena jakości analiza korelacyjna i widmowa...8 6. Wpływ dokładności modelu obieku i sopnia złożoności regulaora na jakość łumienia zakłóceń i odporność sysemu podejście pragmayczne... 6.. Algorym D-PID i LQG... 6.. Wpływ jakości modelu...3 7. Konkluzje, wnioski, perspekywy oraz kierunki dalszych badań...5 Bibliografia...6

Wsęp Zagadnienie oceny jakości układów regulacji jes sosunkowo nowym i modnym kierunkiem prac prezenowanych w lieraurze świaowej, zaznacza się naomias wyraźny brak polskich publikacji i rozwiązań z ego zakresu. W osanich laach dał się zauważyć znaczący wzros zaineresowania meodami analizy jakości układów regulacji zarówno w sensie komercyjnym jak i naukowym. Zaineresowanie o jes powodowane fakem, że obecnie sysemy regulacji mają duży wpływ na osiąganie przez przedsiębiorswa wyznaczonych celów związanych z jakością, zapewnieniem bezpieczeńswa oraz konkurencyjnością. Prace naukowe ukierunkowane są na opracowanie narzędzi procesowych eliminujących zawodny czynnik ludzki w procedurze diagnosyki układu. Najważniejszym elemenem akiego narzędzia jes algorym oceny jakości bazujący na dosępnych zmiennych procesowych mierzonych w układzie zamknięym. W miarę możliwości nie powinien on wpływać na bieżący proces regulacji. Pomimo wagi problemu, dopiero w laach dziewięćdziesiąych zaineresowanie zagadnieniem doprowadziło się do isonego posępu oraz propozycji rozwiązań, kórych modyfikacje są emaem akualnie prezenowanych prac. W ym czasie przegląd oraz analizę echnik związanych z oceną jakości układów regulacji podejmowali w swoich publikacjach: T.J. Harris, L. Desborough, B.S. Ko, T.F. Edgar, B. Hang, S.L. Shah, N.F. Thornhill, A. Horch, A.J. Isaksson czy M.J. Grimble. Zagadnienia regulacji w obecności zakłóceń deerminisycznych oraz sochasycznych, śledzenie warości zadanej oraz saysyki określające poencjalne możliwości polepszenia jakości układów regulacji opare na benchmarku z minimalno-wariancyjnym regulaorem Åsröma są fundamenem dla większości ych prac. Bazują one przeważnie na opisie wejściowo-wyjściowym modeli dyskrenych procesu i aparacie maemaycznym równań wielomianowych. W ciągu osanich kilku la znaczenia nabrały prace doyczące rozwoju bardziej realisycznych miar oceny jakości sysemów serowania, kóre uwzględniają ograniczenia wynikające ze srukury regulaora lub obieku [Grimble 3; Huang 3; Ko, Edgar 4].. Wprowadzenie do problemayki rozprawy Procedurę oceny jakości układów regulacji można podzielić na kilka eapów: akwizycja danych procesowych, analiza i diagnosyka: o sworzenie narzędzi oparych na maemaycznym modelu procesu, o esymacja dolnej granicy jakości, o oszacowanie jakości bieżącego układu regulacji, o esowanie możliwości poprawy jakości serowania w ramach isniejącej srukury regulaora srojenie - propozycja nowych nasaw regulaora lub zmiany algorymu serowania. W rozprawie podjęa zosała problemayka związana z worzeniem narzędzi oparych na maemaycznym modelu procesu oraz esowaniu poencjalnych możliwości poprawy jakości łumienia zakłóceń układów z regulaorami PID.

3 ANALIZA I DIAGNOSTYKA GROMADZENIE DANYCH STROJENIE UKŁAD REGULACJI Rys... Procedura oceny układów regulacji... Przegląd echnik oceny jakości układów regulacji Popularna, dominująca w lieraurze meodologia moniorowania i oceny jakości regulacji wykorzysuje sraegię minimalno-wariancyjną i jej modyfikacje.... Opis procesu W pracach [Huang 3; Ko, Edgar 3; Huang, Shah 999; Desborough, Harris 99; Harris 989]: rozważa się proces Rys.., kórego zachowanie wokół nominalnego punku pracy może być zamodelowane przez liniową funkcję przejścia z zakłóceniem: ω δ ( q l ( q ) l y = q u + d = q K( q ) u + ) d (.) a D y r - G c u q -l K + + d y Rys... Schema blokowy procesu ze serowaniem ypu feedback. W równaniu (.) gdzie y oznacza zmienną procesową na wyjściu sysemu, u oznacza procesową wielkość serującą, K(q - ) jes funkcją przejścia obieku bez opóźnienia, l jes komplenym, dyskrenym czasem opóźnienia pomiędzy zmianami na wejściu a pierwszymi obserwacjami ich wpływu na wyjście procesu, ω ( q ) i δ ( q ) są wielomianami z operaorem przesunięcia wsecz q. Zakłócenie d w większości przypadków jes reprezenowany przez auoregresywny model ruchomej średniej z całkowaniem (ARIMA) opary na ciągach czasowych:

4 θ ( q ) d = a = D( q ) a ( q ) φ( q ) (.) gdzie θ ( q ) i φ ( q ) są wielomianami z operaorem przesunięcia wsecz q. a jes białym szumem z zerową warością średnią i wariancją σ a. W przeciwieńswie do zakłócenia sacjonarnego, ego ypu niesacjonarny model zakłócenia charakeryzuje się narasającą z upływem czasu warością wariancji σ ) = σ, co zilusrowano na (Rys..3). d ( a 5 nonsaionary disurbance σ 5 saionary disurbance σ 5 5 5 5 d d -5-5 - - -5-5 - - -5 4 6 8 k (samples) -5 4 6 8 k (samples) Rys..3. Realizacje zakłócenia niesacjonarnego oraz sacjonarnego. Proces jes serowany przy pomocy liniowego regulaora posaci: ( y y ) u = Gc q ( ) r (.3) gdzie G c ( q ) jes ransmiancją regulaora a y r jes warością zadaną. Przyjmuje się dalej założenie, że y =, wówczas układ zamknięy jes dany zależnością 3 : r y = l + q KG Podsawiając dalej równanie (.) za d w równaniu (.4) orzymamy: y D c d (.4) = a l (.5) + q KGc Nasępnie przedsawiając ransmiancję układu zamknięego za pomocą wielomianów α ( q ) i β ( q ) oraz rozwiązując równanie diofanyczne lub przeprowadzając długie dzielenie orzymamy: α( q ) y = a = ψ ( q ) a β ( q ) (.6) D D = = q.9q 3 w celu uproszczenia zapisu przyjmuje się równoważność oznaczeń K(q - )=K, G c (q - )=G c, D(q - )=D

5 gdzie wielomian ψ ( q ) można wyrazić przy pomocy współczynników odpowiedzi impulsowej układu zamknięego w nasępującej posaci: ψ ( q ) = ψ + ψ q + ψ q + K (.7) Zbieżność ciągu z równania (.7) jes zapewniona gdy układ zamknięy jes sabilny.... Dolna granica jakości W przypadku projekowania regulaora, kórego zadaniem jes minimalizacja wariancji wyjścia, wykorzysuje się fak, że część wariancji wyjściowej w układzie zamknięym jes niezmienna i może być esymowana [Harris 989]. Oznacza o również, że współczynniki ψ i odpowiedzi impulsowej układu z regulaorem minimalno-wariancyjnym powyżej warości dyskrenego opóźnienia procesu zn. i = l, l +, K, są równe zeru. Rozważając wobec ego zamknięy układ regulacji (.5) i wykorzysując ożsamość wielomianową (diofanyczną) dla (.) orzymamy: D K l+ = f + fq + + fl q + Rq 4444 4444 3 F (.8) gdzie f i (dla i=,..., l-) są sałymi współczynnikami, a R jes pewną funkcją przejścia. Równanie (.5) może być eraz przedsawione w posaci: y l F + q R = l + q KG c a R FKGc = F + q l + q KGc 443 L l a = Fa + La l (.9) Ponieważ Fa = f a + L + fd a l +, dwa składniki z prawej srony równania (.9) są niezależne i w rezulacie: sąd Var y ) = Var( Fa ) + Var( La ) (.) ( l Var y ) Var( Fa ) (.) ( W wyrażeniu (.) zachodzi równość gdy L=, czyli R-FKG c =, co prowadzi do prawa serowania minimalno-wariancyjnego: R G c = (.) KF Wariancja wyjścia procesu serowanego regulaorem (.) jes równa: σ = σ = K K (.3) y mv ( ψ + ψ + + ψ l ) σ a = ( f + f + + fl ) σ a mv σ jes nieprzekraczalną dolną granicą jakości, osiągalną ylko w przypadku serowania za pomocą regulaora minimalno-wariancyjnego Åsröma. Zależy ona wówczas jedynie od opóźnienia procesu (Rys..4).

6 nonsaionary disurbance saionary disurbance 6 σ mv 8 4 5 5 l Rys..4. Wariancja błędu w układzie z regulaorem MV w zależności od warości dyskrenego opóźnienia z niesacjonarnym i sacjonarnym modelem zakłócenia (Rys..3)...3. Popularne miary jakości [Harris 989; Desborough, Harris 99] zaproponowali kilka wskaźników jakości, kórych zadaniem jes określenie jak odległa jes jakość badanego układu od układu minimalno-wariancyjnego. Typowe, silnie ze sobą związane miary jakości: σ y η ( l) =, η( l) (.4) σ mv σ mv η ( l) =, η( l) (.5) σ y ψ + ψ + L+ ψ l σ mv η ( l) = =, η ( l) ψ + ψ + L+ ψ + ψ + L σ l l y (.6) Wskaźnik jakości (.4) odpowiada sosunkowi wariancji analizowanego sysemu do wariancji, kóra eoreycznie może być osiągnięa sosując regulaor minimalno-wariancyjny. Inuicyjny wskaźnik (.5) przyjmuje warości od zera (jakość odległa od minimalnowariancyjnej) do (jakość w przypadku sraegii minimalno-wariancyjnej). Wreszcie wskaźnik jakości (.6) przyjmuje również warości od zera do jeden, jednak oznacza najwyższą osiągalną jakość (MV) a jakość odległą od eoreycznej dolnej granicy (MV). Należy zwrócić uwagę, że zaproponowane wskaźniki nie zależą od ampliudy szumu a z równania (.). zakłócenie zakłócenie dynamika obieku regulaor y l- czas σ mv = [ ] σ [ ] y = [ ] + Rys..5. Inerpreacja graficzna popularnej miary jakości.

7..4. Esymacja dolnej granicy jakości. Esymacja dolnej granicy jakości jes niezbędnym elemenem procedury benchmarkingu układów regulacji. Prowadzi ona do zdefiniowania algorymu zapewniającego najwyższą osiągalną jakość serowania danym procesem. Do znanych meod należy algorym FCOR [Huang, Shah 999] opary na filrowaniu i analizie korelacyjnej. Wyznaczenie funkcji korelacji skrośnej pomiędzy wyjściem i zakłóceniem przypadkowym prowadzi do esymacji mv σ oraz wyznaczenia warości współczynnika (.5). Rozważany jes sabilny zamknięy układ regulacji opisany modelem nieskończonej odpowiedzi impulsowej lub modelem MA nieskończonego rzędu (.6). Mnożąc równanie (.6) odpowiednio przez a, a -,...,a -l+ i biorąc warość oczekiwaną obu sron równania orzymuje się: r r r M r () = E[ y a ] = ψ σ () = E[ y a () = E[ y a ( d ) = E[ y a l+ a ] = ψ σ a ] = ψ σ a ] = ψ l σ a (.7) sąd niezmienna część wariancji sygnału wyjściowego (wariancja osiągalna w przypadku serowania algorymem minimalno-wariancyjnym Åsröma) wynosi: σ mv ( ψ = + + + l r = = [ r ψ ( ) r () r ( ) r ( l ) σ a () + r K + ψ σ a () + r ) σ a + σ a () + L+ r + L+ ( l )]/ σ a σ a σ a (.8) podsawiając równanie (.8) do równania (.5) orzymuje się: η ( l) = [ r = ZZ () + r T () + r () + L + r = ρ () + ρ () + ρ () + L + ρ ( l ) ( l )]/ σ σ y a (.9) gdzie Z jes wekorem współczynników korelacji skrośnej pomiędzy y i a dla k=,, l- kroków wsecz: [ ( ) + ρ () + ρ () + + ρ ( ) ] Z = ρ L l (.) Esymay ˆ ρ ( k) współczynników korelacji skrośnej ρ (k) opisane są zależnością: M M M y = a k ˆρ ( k) = M (.) y M M a Warości ciągów a przybliża się ciągami innowacji â uzyskiwanymi przez zasosowania filra wybielającego co odpowiada esymacji paramerów modelu obieku i zakłócenia w posaci równań wielomianowych (MA, ARMA, ARX, ARMAX).

8.. Moywacja pracy Prezenowana doychczas w świaowej lieraurze meodyka worzenia algorymów oceny jakości pęli regulacji bazuje w większości przypadków na benchmarku będącym minimalno-wariancyjnym (MV) regulaorem Åsröma oraz na ocenach ciągów innowacji pobudzających model sochasyczny regulowanego procesu. Analiza akich rozwiązań skłania do weryfikacji niekórych ez sawianych przez auorów. Za zby opymisyczne należy uznać swierdzenia, że ocena jakości regulacji może być dokonana wyłącznie na podsawie znajomości opóźnienia w orze regulacji oraz mierzonych zmiennych procesowych. W rzeczywisości dla esymacji ciągów innowacji konieczne jes dokonanie idenyfikacji złożonego układu składającego się z obieku, regulaora oraz modelu zakłócenia. Ze względu na zazwyczaj wysoki rząd i złożoną srukurę ego układu nie jes o zadanie ławe. Opóźnienie w orze serowania mające charaker opóźnienia ransporowego wysępuje w posaci czysej przeważnie w grupie procesów związanych z fizycznym ransporem subsancji. W większości przypadków opóźnienie może być co najwyżej inerpreowane jako model bardziej złożonej dynamiki. Nie jes ono wówczas znane a-priori i wymaga przeprowadzenia procedury idenyfikacji. Jego warość jes silnie zależna od przyjęego modelu całego procesu i nie może być uważana za z góry znaną. W końcu ze względu na częso nierealisyczne ampliudy serowania, lub wręcz niesabilność regulaora minimalno-wariancyjnego Åsröma, jego warość do oceny jakości układu wydaje się mocno problemayczna. Należy podkreślić, że wskuek częso wysępującej nieminimalnofazowości dyskrenego modelu rozparywanej klasy obieków przy odpowiednio wysokiej częsoliwości próbkowania, niesabilność jes raczej regułą niż wyjąkiem. W efekcie benchmark en pozwala uzyskać odpowiedź na pyanie jak jakość ocenianego układ ma się do hipoeycznej jakości układu zazwyczaj nierealizowalnego. Jes oczywise, że warość ej odpowiedzi nie może być zby wielka. Należy podkreślić, że a w sumie złożona procedura esymacji dolnej granicy jakości nie daje żadnych wskazówek co do przesrojenia paramerów regulaora isniejącego lub zaprojekowania regulaora lepszego. Dlaego eż można posawić ezę, że celowe jes przeprowadzenie idenyfikacji modelu procesu łącznie z modelem zakłócenia, a nasępnie przesrojenie regulaora lub konsrukcja regulaora lepszego uwzględniającego en model. Należy podkreślić, że powszechnie sosowaną prakyką jes srojenie regulaorów według reguł ignorujących paramery zakłócenia czyli jedynie w oparciu o model oru serowania. Najnowsze rendy w podejmowanej dziedzinie doyczą zagadnienia oceny jakości układów regulacji z ograniczeniami wynikającymi ze srukury obieku (nieminimalnofazowość funkcji przejścia) bądź regulaora (regulaory o usalonej srukurze np. PID) oraz dopuszczalnych ampliud sygnału serującego. Akualność oraz celowość przeprowadzonych w rakcie rwania przewodu dokorskiego badań powierdzają równolegle prowadzone prace [Grimble 3; Hang 3; Ko, Edgar 4] gdzie podjęa zosała analiza akich właśnie sysemów. Zaware w nich rozważania doyczą sysemów oparych na dyskrenych modelach obieków z prosym modelem zakłócenia niesacjonarnego ypu błądzenie przypadkowe o wariancji zwiększającej się z upływem czasu, co sanowi o jego nierealisyczności. Również w ym przypadku nieodłączną częścią modelu obieku, decydującą o osiągalnej jakości, jes opóźnienie co czyni rozważania mało reprezenaywnymi dla układów nie zawierających rzeczywisego opóźnienia. Podsawowym celem ych prac jes ocena i poprawa jakości sysemów pod kąem śledzenia warości zadanej, naomias łumienie zakłóceń sochasycznych jes jedynie dodakowym efekem przeprowadzonych analiz. Te elemeny oraz fak, że w kolejnych rozdziałach zosaną przedsawione opymalne nasawy regulaorów ypu PID minimalizujące kwadraową funkcję koszu, co prowadzi do propozycji osiągalnych benchmarków dla regulaorów o usalonej srukurze, w sposób zasadniczy różnicuje orzymane rezulay.

9.3. Cele naukowe rozprawy Przedsawione wąpliwości skłoniły do wyznaczenia nasępujących celów naukowych: opracowanie realisycznego benchmarku bazującego na LQG i zakładającego ograniczenie wariancji ampliud serowania wykorzysując realisyczny model zakłócenia sacjonarnego, przeprowadzenie sudium przydaności benchmarku oparego na modelu obieku z aproksymowanym opóźnieniem dla oceny jakości układów bez opóźnienia, zbadanie w jakim sopniu uwzględnienie charakerysyki zakłócenia dla doboru nasaw regulaora jes w sanie poprawić jakość regulacji w przypadku najczęściej sosowanych regulaorów PID, zbadanie wpływu srojenia regulaorów PID zapewniających najwyższą możliwą jakość łumienia zakłóceń na odporność układu regulacji, sformułowanie benchmarków bazujących na porównaniu zależności korelacyjnych lub widmowych układów zamknięych i owarych. Meodologia przyjęa w rozprawie polega na zasosowaniu jako wiodącego narzędzia badawczego do analizy i synezy układów regulacji kwadraowej funkcji koszu oraz opisu ciągłego w przesrzeni sanu, rozwiązanie problemu LQG dla obieków ciągłych z próbkowaniem (sampled daa sysems) i serowaniem dyskrenym w czasie, minimalizację wielowymiarową z ograniczeniami. Przygoowane na ej podsawie narzędzia badawcze mają charaker ogólny pozwalający na analizę dowolnego procesu. Przedsawione w rozprawie rezulay są efekem badań przeprowadzonych na szerokiej i reprezenaywnej klasie obieków (duże sałe czasowe reprezenują dominujące magazyny energii, naomias mniejsze sałe czasowe zasępują pozosałą część dynamiki obieku i elemeny wykonawcze) oraz zakłóceniach o różnych charakerysykach..4. Teza rozprawy Analiza akualnego sanu wiedzy pozwoliła na posawienie nasępującej ezy: Sformułowanie i rozwiązanie problemu serowania dyskrenego obiekem ciągłym ze sacjonarnym zakłóceniem sochasycznym minimalizującego średnią wariancję wyjścia przy ograniczeniu wariancji serowania prowadzi do realisycznego benchmarku pozwalającego na ocenę osiągalnej jakości. W szczególności: w przypadku ograniczonych ampliud serowań i przecięnych wymagań jakościowych aproksymacja dynamiki obieku modelem z opóźnieniem prowadzi do akcepowalnego benchmarku, skukuje jednak niedoszacowaniem osiągalnej jakości łumienia zakłóceń dla obieku bez opóźnienia, regulaor PID nasrojony opymalnie uwzględniając charakerysykę obieku i zakłócenia pozwala na uzyskanie jakości serowania zbliżonej do benchmarku LQG, jednakże koszem spadku odporności układu regulacji, funkcje auokorelacji i gęsości widmowej mocy uchybu regulacji oraz ich porównanie z analogicznymi funkcjami dla zakłócenia mogą być wykorzysane do oceny jakości regulacji i możliwości jej poprawy.

. Benchmark LQG dla sysemów ciągłych w czasie Zagadnienie oceny jakości łumienia zakłóceń przypadkowych wymaga zdefiniowania benchmarku [Harris 989; Huang, Shah 999; Grimble 3] czyli algorymu serowania zapewniającego najwyższą możliwą jakość. Sysem pod konrolą akiego hipoeycznego algorymu wyznacza dolną granicę jakości 4 i może być pojmowany jako wzorzec dla warościowania jakości oryginalnego regulaora nadzorującego proces. W rozprawie zaproponowany zosał benchmark opary na zmodyfikowanej minimalno-wariancyjnej sraegii serowania uwzględniającej kosz serowania co prowadzi do sformułowania problemu LQG. Rozwiązanie kwesii serowania liniowo-kwadraowego układu poddanego działaniu zakłóceń sochasycznych wymaga znajomości modelu procesu... Model procesu W rozprawie przyjęo założenie że proces składa się z oru serowania oraz sprowadzonego na jego wyjście oru zakłócenia (Rys..). & ξ () GENERATOR ZAKŁÓCENIA r() REGULATOR ZOH + e() u(k) u() DYSKRETNY OBIEKT y d () y p ()=y c () + y() y(k)+n(k) + n(k) Rys... Schema blokowy cyfrowego układu regulacji. Opis modelu oru serowania oraz zakłócenia opary zosał na reprezenacji w przesrzeni sanu. Zakłada się więc isnienie ciągłego modelu obieku regulacji oraz zakłócenia zapisanych w przesrzeni sanu. Obiek serowania jes widziany od srony regulaora za pośrednicwem układów wejścia-wyjścia. Informacje o ciągłym sygnale wyjściowym y p () 5 obieku docierają do regulaora wyłącznie w dyskrenych chwilach czasu poprzez przewornik analogowo-cyfrowy. Najczęściej ma o miejsce w równych odsępach czasu zwanych chwilami próbkowania. Obiek jes serowany sygnałem u () poprzez przeworniki cyfrowo-analogowe z wyjścia dyskrenego regulaora, kóre zmienia swe warości również ylko dyskrenych chwilach czasu. Dla opisu dynamiki obieków serowania widzianych od srony cyfrowych urządzeń serujących wygodne jes sosowanie modeli dyskrenych w czasie. Nowoczesne układy przewarzające sygnały ciągłe na dyskrene i odwronie pozwalają na pominięcie zjawiska dyskreyzacji lub uwzględnienie go w posaci pomiarowego szumu gaussowskiego n(k) o zerowej warości oczekiwanej. 4 ang.-lower bound 5 y p ()= y c () wyjście oru serowania

.. Maemayczny model procesu Proces regulacji z Rys.. można opisać układami równań [Błachua 999; Błachua, Grygiel ] charakeryzującymi odpowiednio or serowania: oraz or zakłócenia: c dx ( ) c c c = A x ( ) + b u( ) d (.) c c' c y ( ) = d x ( ) (.) d dx ( ) d d d = A x ( ) + c ξ ( ) d (.3) d d ' d y ( ) = d x ( ) (.4) c d Nasępnie dodając obie ścieżki według zależności y( ) = y ( ) + y ( ) orzymamy opis sysemu w posaci macierzy blokowych: lub w formie zagregowanej: c c c c x ( ) A x ( ) b u( ) ( ) d = & ξ d d + + d x ( ) A x ( ) c 443 { { A c c d x ( ) [ d ' d '] b c (.5) y( ) = 443 d (.6) x ( ) d ' x& ( ) = Ax( ) + bu( ) + c ξ ( ) (.7) y ( ) = d' x( ) (.8) gdzie x() jes p wymiarowym wekorem sanu (p=m+n), A jes macierzą sanu o wymiarach p p, b jes p wymiarowym wekorem serowania, c jes p wymiarowym wekorem zakłócenia oraz d jes p wymiarowym wekorem wyjścia. Warunek począkowy x jes wekorem losowym o rozkładzie normalnym x N(,Q ). ~ µ Zasosowanie regulaora dyskrenego wymaga implemenacji algorymu serowania na serowniku lub kompuerze, a do ego niezbędny jes opis ciągłego procesu (.7)-(.8) w dyskrenych chwilach czasu. Sygnał serujący u() jes orzymywany z impulsaora z eksrapolaorem zerowego rzędu (ZOH) z okresem próbkowania h: ( kh, kh + h], =,,, u( ) = uk, for k K (.9) Ciągły w czasie wygnał wyjściowy y() jes synchronicznie próbkowany w chwilach czasu k =kh. Uzyskane w en sposób warości z k są wyrażone nasępującym równaniem pomiarowym: ' z = d x + n, (.) k gdzie n k reprezenujące błąd pomiarowy jes gaussowskim białym szumem z zerową warością średnią, E[n k ]=, zerową warością kowariancji E[n i n j ]= dla i j oraz wariancją E[n i ]=ν. k k

.3. Funkcja koszu cel serowania Celem zaprezenowanego układu jes minimalizacja średniej warości wariancji uchybu z ograniczeniem na wariancję serowania. Rozważany problem jes równoważny minimalizacji wskaźnika jakości posaci Przy czym e() = r() - y(), i r()=, sąd: Nh { e ( ) λu ( ) } I = lim E + d (.) N Nh Nh { y ( ) λu () } I = lim E + d (.) N Nh Współczynnik wagowy λ we wskaźniku jakości ma charaker mnożnika Lagrange a wykorzysywanego w eorii opymalizacji..4. Krzywa opymalnych rozwiązań Rozwiązanie problemu LQG ze sacjonarnym modelem zakłócenia pozwoliło na propozycję narzędzia do oceny jakości układów regulacji w posaci krzywej opymalnych rozwiązań. krzywa opymalnych rozwiązań σ y obszar osiągalny obszar nieosiągalny Rys... Krzywa opymalnych rozwiązań. σ u Minimalizacja kwadraowej funkcji koszu (.) dla zmieniającej się warości współczynnika wagowego λ doprowadziła do wyznaczenia krzywej opymalnych rozwiązań zn. zależności w przesrzeni dwuwymiarowej kryeriów wariancja sygnału wyjściowego i serowania. Dzieli ona płaszczyznę na dwa obszary: osiągalny (powyżej) oraz nieosiągalny (poniżej). Na podsawie położenia punków w sosunku do ej krzywej (dolnej granicy jakości lower bound) można dokonać oceny jakości serowania. Wprowadzenie sacjonarnego modelu zakłócenia pozwoliło na propozycję krzywej w funkcji warości wariancji sygnału serowania. Ponieważ odchylenie sandardowe jes wielkością lepiej charakeryzującą ampliudy sygnałów (mierzalne zmienne procesowe) w pracy krzywe opymalnych rozwiązań wyznaczono na płaszczyźnie σ σ (Rys..). y u

3 3. Ocena jakości łumienia zakłóceń przypadkowych układów z regulaorami o usalonej srukurze - ypu PID Złożone sysemy serowania zwykle składają się z układów regulacji serowanych przy pomocy lokalnych regulaorów SISO ypu PID. Regulaory e srojone są z wykorzysaniem klasycznych reguł (np. Quarer Decay Raio), kóre nie uwzględniają charakerysyki zakłócenia. Decyzja o przesrojeniu lub wymianie akiego regulaora zwykle bazuje na wiedzy eksperckiej i doświadczeniu kadry inżynierskiej. Dlaego bardzo ważnym wyzwaniem jes sworzenie narzędzi procesowych, kóre uniezależnią procedurę diagnosyczną od czynnika ludzkiego oraz dadzą odpowiedź na pyanie czy w ogóle oraz o ile można poprawić jakość łumienia zakłóceń w układach z regulaorami PID. Wreszcie w jakim sopniu srojenie akich regulaorów uwzględniające paramery zakłócenia może spowodować poprawę jakości układu. Na Rys. 3. przedsawiono zależności w przesrzeni dwuwymiarowej kryeriów odchylenie sandardowe sygnału wyjściowego i serującego dla przykładowych sysemów z regulaorem opymalnym LQG, PID oraz P. Opymalne warości ych wielkości uzyskano minimalizując wskaźnik jakości (.) zmieniając warość współczynnika wagowego λ. Rezulay dla sraegii minimalno-wariancyjnej (MV-LQG, PID-MV, P-MV) zosały naniesione w posaci poziomych linii, naomias dla regulaorów PID oraz P z nasawami dobranymi przy pomocy meody QDR w posaci punków. Krzywe dolnej granicy jakości wyznaczone dla sysemu z regulaorem opymalnym LQG dzielą powierzchnię na dwa obszary: osiągalny (powyżej) i nieosiągalny (poniżej). Na podsawie położenia punków w sosunku do ej krzywej można więc dokonać oceny jakości serowania sysemów z algorymami ypu PID..8.7.6 h=, LQG PID P PID QDR P QDR.8.7.6 h=,8 QDR LQG PID P PID QDR P QDR.5 QDR.5 σ y.4 σ y.4.3.3.... 3 4 5 6 7 σ u.5.5.5 3 σ u Rys. 3.. Zależności w przesrzeni dwuwymiarowej kryeriów odchylenie sandardowe sygnału wyjściowego i serujacego. Wyniki przeprowadzonych badań symulacyjnych dowodzą, że benchmark bazujący na czysej sraegii minimalno-wariancyjnej (MV) jes częso bezużyeczny z powodu wysępowania dużych, nierealisycznych ampliud sygnału serującego. W ej syuacji sraegia serowania LQG umożliwiająca ocenę jakości przy założeniu akich samych koszów serowania porównywanych sysemów wydaje być się narzędziem bardziej użyecznym. Srojenie regulaorów klasycznych uwzględniające charakerysykę zakłócenia poprawia jakość serowania w sensie zbliżania się do dolnej granicy jakości. Dalsza poprawa jakości jes warunkowana wzrosem ampliud sygnału serującego, co nie jes możliwe w przypadku regulaorów klasycznych i wymaga zasosowania bardziej złożonego algorymu (LQG).

4 Silna zależność jakości serowania od częsoliwości próbkowania sugeruje, że do projekowania cyfrowych regulaorów zapewniających wysoką jakość niezbędna jes idenyfikacja sysemów ciągłych. 4. Ocena jakości na podsawie modelu z aproksymacją opóźnieniem Większość prezenowanych do ej pory prac [Desborough, Harris 99; Grimble ; Grimble 4; Ko, Edgar 3] rozważa jako dolną granicę jakości rezulay serowania minimalno-wariancyjnego oraz zakłada, że opóźnienie sysemu jes znane. Popularna miara jakości ma posać [Harris 989; Huang, Shah 999] : σ mv η( b ) = gdzie η (4.) σ y Niezmienna część wariancji sygnału wyjściowego jes równa hipoeycznej minimalnej warości wariancji wyjścia i jes dana zależnością: σ mv ( ψ + ψ + ψ + + ψ l ) σ a = K (4.) Gdzie ψ, ψ, ψ l- są odpowiednio współczynnikami odpowiedzi impulsowej, σ a jes wariancją zakłócenia przypadkowego a l jes dyskrenym opóźnieniem. sep response rsponse.5 Nyquis G p (s) K p (s) H p (s).8. y().6. Im.4.5 -.5. G P (s) K P (s) H P (s) 4 6 8 - -.5.5 Rys. 4.. Charakerysyki skokowe oraz krzywe Nyquisa na płaszczyźnie zespolonej dla obieku bez opóźnienia G p (s) oraz modeli pierwszego i drugiego rzędu z opóźnieniem odpowiednio H p (s), K p (s). Ponieważ rzeczywise opóźnienie jes zjawiskiem sosunkowo rzadko wysępującym w obiekach przemysłowych, założenie o znajomości jego warości a priori wydaje się być zby opymisyczne. W prakyce przemysłowej jako opóźnienie w obiekcie rozumie się część opóźniającą modelu dynamiki obieku oparego na aproksymacji za pomocą opóźnienia i inercji, (Rys. 4.). Model en jes powszechnie sosowany do doboru nasaw regulaorów z punku widzenia poprawnej dynamiki układu zamknięego po skokowej zmianie warości zadanej. Ineresująca wobec ego była odpowiedź na pyanie czy aki model jes również odpowiedni dla oceny jakości łumienia zakłóceń. Re

5 4.. Maemayczny model procesu z opóźnieniem W kolejnych rozważaniach przyjęo, że sysem jes zamodelowany za pomocą nasępującego układu równań sochasycznych: dx( ) = Ax( ) + bu( τ ) + c & ξ ( ) (4.3) d y ( ) = d' x( ) (4.4) gdzie x() jes p wymiarowym wekorem sanu, A jes macierzą sanu o wymiarach p p, b jes p wymiarowym wekorem serowania, c jes p wymiarowym wekorem zakłócenia oraz d jes p wymiarowym wekorem wyjścia. Warunek począkowy x jes wekorem losowym o rozkładzie normalnym x ~ N( µ,q). Opóźnienie zosało zdefiniowane nasępujący sposób [Lennarson 989; Błachua, Bialic 5]: gdzie l =,,, i <θ h. τ = lh h + θ (4.5) 4.. Niejednoznaczność oceny jakości w oparciu o model z aproksymacją opóźnieniem Zaprezenowane dalej wyniki badań ilusrują wpływ zasosowanego modelu, a w szczególności wyboru warości opóźnienia na oszacowanie dolnej granicy jakości w układach regulacji PID. Przykładowa ransmiancja operaorowa G p (s) jes aproksymowana modelami z opóźnieniem opisanymi funkcjami przejścia: K p p sτ H () s = e Ts + s = e ( T s + )( T s + ) sτ () K p (s) H p (s) T / T.8895.465 T.8897 --- τ.647.795 l 3 8 (4.6) (4.7) Tabela 4.. Paramery modelu pierwszego i drugiego rzędu z opóźnieniem, l oznacza dyskrene opóźnienie modelu. Paramery modeli orzymane w wyniku idenyfikacji wykorzysującej odpowiedź skokową oryginalnego nie opóźnionego obieku oraz meodę opymalnego modułu zosały 6 G p () s =, α =.5 s + αs + ( )( )

6 zebrane w Tabeli 4. Charakerysyki skokowe oraz krzywe Nyquisa na płaszczyźnie zespolonej analizowanych modeli prezenuje rysunek Rys. 4.. Na Rys. 4. oraz Rys. 4.3 przedsawiono krzywe opymalnych rozwiązań w przesrzeni dwuwymiarowej kryeriów STD sygnałów wyjściowego oraz serującego dla modeli z opóźnieniem i bez. Rozparzone zosały układy regulacji z algorymami LQG, PID oraz P. Opymalne warości w.w. wielkości uzyskano zmieniając warość współczynnika wagowego λ. Rezulay dla λ= (minimalna wariancja dla danego ypu regulaora, MV-LQG, PID-MV, P-MV) zosały naniesione w posaci poziomych linii, naomias dla regulaorów PID oraz P z nasawami dobranymi za pomocą meody QDR w posaci punków..7.6.5 LQG h=, G(s) K(s) H(s) G(s) λ=..7.6.5 PID h=, G(s) G(s)[QDR] K(s) K(s)[QDR] H(s) H(s)[QDR].4.4 σ y σ y.3.3.... 3 4 σ u 3 4 σ u Rys. 4.. Zależności w przesrzeni dwuwymiarowej kryeriów odchylenie sandardowe sygnału wyjściowego i serującego dla układów regulacji LQG oraz PID..7.6.5 P h=, G(s) G(s)[QDR] K(s) K(s)[QDR] H(s) H(s)[QDR].4 σ y.3...5.5 σ u Rys. 4.3. Zależności w przesrzeni dwuwymiarowej kryeriów odchylenie sandardowe sygnału wyjściowego i serującego dla układu regulacji z regulaorem proporcjonalnym. Zaprezenowane rezulay badań dowodzą, że sosowanie zasępczego modelu ypu inercja pierwszego rzędu z opóźnieniem, częso wykorzysywanego do srojenia regulaorów ypu PID, skukuje niedoszacowaniem osiągalnej jakości sysemu. Należy zaem zwrócić uwagę na wyniki zebrane w Tabeli 4. gdzie osania kolumna przedsawia esymowane warości dolnej granicy jakości w przypadku serowania oparego na algorymie minimalnowariancyjnym Åsröma dla oryginalnego obieku bez opóźnienia oraz dla modeli pierwszego i drugiego rzędu z aproksymacją opóźnieniem. Warości e definiują obszary niejednoznaczności dolnej granicy jakości (Rys. 4. i Rys. 4.3).

7 Rys. 4.4 reprezenuje esymay dolnej granicy jakości dla różnych modeli obieku zakładając arbiralnie warości opóźnienia dyskrenego. Są one bliskie dolnej granicy jakości zdefiniowanej przez oryginalny model procesu bez opóźnienia (linia c) jeżeli zosały wyznaczone w oparciu o dane pochodzące z sysemu wyposażonego w algorym zapewniający wysoką jakość serowania. Jeżeli, naomias dane pochodzą z sysemów o niższej jakości serownia, esymay są bliższe dolnej granicy jakości zdeerminowanej przez modele z aproksymacją opóźnieniem (linie a i b). W szczególności, osiągalna jakość opymalnie srojonych regulaorów PID może być wyższa od jakości, kórą oferuje algorym MV Åsröma zaprojekowany na bazie modelu z opóźnieniem (4.6) [Błachua, Bialic 5]. λ= h=. η σ y η σ y LQG [G P (s)].84.75.689 PID [G P (s)].365.47.689 PD [G P (s)].668.333.689 P [G P (s)].7.6.689 PIDQDR [G P (s)].48.345.689 PQDR [G P (s)].3.4545.689 LQG [K P (s)].75.4.964 PID [K P (s)].446.56.964 PD [K P (s)].463.943.964 P [K P (s)].3.758.964 PIDQDR [K P (s)].48.979.964 PQDR [K P (s)].48.439.964 LQG [H P (s)].9998.6.6 PID [H P (s)].449.34.6 PD [H P (s)].3465.344.6 P [H P (s)].938.3738.6 PIDQDR [H P (s)].3485.343.6 PQDR [H P (s)].9.4649.6 c b a Tabela 4.. Warości miary jakości η oraz esymay odchylenia sandardowego sygnału wyjściowego dla sysemu serowanego minimalno-wariancyjnym algorymem Åsröma. G P (s).35.3 LQG PID PD P PID QDR P QDR sqr(η)*σ y.5..5 a..5 b c 3 5 8 5 5 3 l (subsiue delay) Rys. 4.4. Esymowana jakość serowania w funkcji zasępczego dyskrenego opóźnienia l.

8 Pokazano, że zakładając przecięne wymagania jakościowe w sensie łumienia zakłóceń, znajomość rzeczywisego opóźnienia nie ma znaczenia dla serowania sysemem. Wyznaczenie esyma dolnej granicy jakości może być przeprowadzone w oparciu o zasępcze opóźnienie będące aproksymacją części dynamiki i paramerem modeli ypu lagdelay 7. Esymaa aka znajdzie się wówczas w obszarze niejednoznaczności j. pomiędzy dwoma warościami: mniejszą kiedy o dane będą pochodziły z oryginalnego sysemu bez opóźnienia (l=) oraz większą dosępną dla jego modelu ypu lag-delay. Niejednoznaczność esymowanej osiągalnej jakości implikuje konieczność przeprowadzania wysokiej jakości idenyfikacji sysemów ciągłych w celu zaprojekowania regulaorów zapewniających odpowiednio wysoką jakość łumienia zakłóceń. 5. Ocena jakości analiza korelacyjna i widmowa Większość rozwiązań doyczących benchmarkingu układów regulacji jako miarę jakości wykorzysuje wariancję wyjścia sysemu. Nasuwa się jednak pyanie: czy zasosowanie jedynie analizy wariancyjnej jes wysarczające z echnologicznego punku widzenia? Wydaje się, że analiza przedsawiająca pełniejszą charakerysykę błędu regulacji oraz sygnału serującego może mieć isone znaczenie ze względu na pojawiające się wysokoczęsoliwościowe składowe ych sygnałów dla sysemów zapewniających wysoką jakość serowania..5 LQG oupu λ= y k *σ LQG disurbance.5.4 oupu LQG disurbance y().5 -.5 - -.5 R yy.5 Φ y (ω ).3.. - 4 6 8 [s] -.5 3 4 5 [s] 3 4 5 6 ω Rys. 5.. Realizacja wyjścia, ACF oraz PSD sysemu z regulaorem LQG dla λ=. y().5.5 -.5 - -.5 - PID QDR oupu 4 6 8 [s] y k *σ R yy.5 -.5 3 4 5 [s] PID QDR disurbance Rys. 5.. Realizacja wyjścia, ACF oraz PSD sysemu z regulaorem PID QDR. Φ y (ω ).8.6.4..8.6.4. PID QDR disurbance 3 4 5 6 ω 7 ang. lag-delay- inercja pierwszego rzędu z opóźnieniem