KONCEPCJA WARTOŚCI ZAGROŻONEJ VaR (VALUE AT RISK)

KONCEPCJA WARTOŚCI ZAGROŻONEJ VaR (VALUE AT RISK) Kaarzyna Kuziak Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu, Kaedra Inwesycji Finansowych i Ubezpieczeń Wprowadzenie W 1994 roku insyucja finansowa JP Morgan opublikowała meodologię zarządzania ryzykiem RiskMerics, służącą m.in. do obliczaniu Value a Risk (VaR). Obecnie VaR jes najpopularniejszym rozwiązaniem, jeśli chodzi o pomiar ryzyka rynkowego, ale jes również sosowana do innych rodzajów ryzyka, j. kredyowego i operacyjnego. Jes o w pewnym sensie uniwersalna miara ryzyka, ponieważ daje możliwość wyrażenia ryzyka różnych pozycji przyjmowanych na rynku finansowym w sposób jednoliy. Kluczowym problemem, z punku widzenia prakyki, jes wybór meody szacowania VaR. W pracy przedsawione zosaną: meody szacowania VaR, zaley i wady VaR. Miara VaR jes najpopularniejszą miarą ryzyka w grupie miar zagrożenia, ma duże walory inerpreacyjne i jes zalecana przez insyucje nadzoru do pomiaru ryzyka insyucji finansowych. Wykorzysywana jes akże do pomiaru innych niż ryzyko rynkowe rodzajów ryzyka finansowego. Jes podsawą dla innych miar ryzyka, służących analizowaniu ryzyka przedsiębiorswa. Są o miary zagrożenia, akie jak np.: EaR (Earnings a Risk), EPSaR (Earnings Per Share a Risk), CFaR (Cash Flow a Risk), CCFaR (Credi Cash Flow a Risk) czy LaR (Liquidiy a Risk). Definicja warości zagrożonej VaR Value a Risk jes o sraa warości rynkowej (insrumenu finansowego, porfela, insyucji) aka, że prawdopodobieńswo osiągnięcia jej lub przekroczenia w zadanym przedziale czasowym jes równe zadanemu poziomowi olerancji. Jeśli np. zadany przedział czasowy wynosi dzień i zadany poziom olerancji wynosi 0,05, zaś VaR porfela wynosi 0,7 mln PLN, oznacza o, że prawdopodobieńswo sray (spadku warości porfela) w ciągu dnia równej lub większej niż 0,7 mln PLN jes równe 0,05 (czyli jes niewielkie) [5]. Z definicji ej wynika, że VaR zależy od dwóch paramerów, kóre powinny zosać określone przez decydena (zarząd). Są o: horyzon czasowy (np. banki sosują 1 dzień, fundusze inwesycyjne i niekóre przedsiębiorswa 1 miesiąc); 29

poziom olerancji (np. JP Morgan sosuje 0,05, Komie Bazylejski do Spraw Nadzoru Bankowego zaleca 0,01). Zamias poziomu olerancji (jes bliski 0) rozważa się również poziom ufności, kóry sanowi różnicę między 1 (100%) a poziomem olerancji. Należy pamięać o nasępujących zasadach: 1. Im niższy poziom olerancji, ym większa warość VaR. 2. Im dłuższy horyzon czasowy, ym większa warość VaR. Zauważmy, że VaR jes funkcją odpowiedniego kwanyla rozkładu warości porfela. Im niższy poziom olerancji, ym wyższa jes warość VaR, a im dłuższy jes rozparywany przedział czasowy, ym wyższa jes warość VaR. Formalnie VaR można określić nasępująco: P ( W W0 VaR) = α (1) gdzie: W 0 obecna warość porfela; W warość porfela na końcu okresu, jes o zmienna losowa; α poziom olerancji (prawdopodobieńswo bliskie 0, z reguły 0,01 lub 0,05). Oznaczmy kwanyl rozkładu warości odpowiadający zadanemu prawdopodobieńswu przez W α. Wedy mamy: P ( W Wα ) = α, (2) czyli orzymujemy: W α = W 0 VaR. (3) Częso analiza ryzyka prowadzona jes nie dla warości, lecz dla sóp zwrou. Oznaczmy kwanyl rozkładu sóp zwrou odpowiadający zadanemu prawdopodobieńswu przez R. Wówczas orzymujemy: P ( R Rα ) = α. (4) Sopa zwrou (przy kapializacji okresowej) jes określona jako: R W W 0 = α α (5) W0 Po przekszałceniu (5) i podsawieniu do (3), po przekszałceniach orzymujemy: VaR = R. (6) αw 0 Ponieważ kwanyl rozkładu sopy zwrou odpowiadający małemu prawdopodobieńswu jes z reguły ujemny, zaem VaR we wzorze (6) przyjmuje z reguły warość dodanią. α 30

Z powyższego wzoru wynika, że podsawowym paramerem niezbędnym do określenia VaR jes kwanyl rozkładu sóp zwrou. Meody szacowania VaR Szacowanie VaR jes isonym problemem prakycznym, kóry nie doczekał się uniwersalnego rozwiązania. Częso sosuje się nasępujące meody: podejście wariancji kowariancji, symulacja hisoryczna, symulacja Mone Carlo, podejście wyznaczania kwanyla dowolnego rozkładu, podejście opare na eorii warości eksremalnych, podejście opare na wykorzysaniu warości pochodzących z ogona rozkładu. Podejście wariancji kowariancji W podejściu wariancji kowariancji zakłada się, że rozkład sóp zwrou jes wielowymiarowym rozkładem normalnym. W akiej syuacji kwanyl jes funkcją średniej i odchylenia sandardowego rozkładu sóp zwrou: R = µ kσ, (7) α gdzie: µ średnia rozkładu sopy zwrou; σ odchylenie sandardowe rozkładu sopy zwrou; k sała, zależna od prawdopodobieńswa, np. gdy 1 α=0,95, k=1,65; gdy 1 α=0,99, k=2,33. Z (6) i (7) wynika, że: VaR = ( kσ µ ) W. (8) Value a Risk można wyznaczać również dla porfela insrumenów finansowych. Załóżmy, że wielowymiarowy rozkład sóp zwrou składników porfela jes wielowymiarowym rozkładem normalnym o wekorze średnich i macierzy kowariancji danych jako: gdzie m jes liczbą składników porfela. µ 1 σ 11 σ 12.. σ 1m µ 2 = σ 21 σ 22.. σ 2m µ =, Σ,.......... µ m σ m1 σ m2.. σ mm 0 31

Naomias zależności łączące średnią i odchylenie sandardowe rozkładu sopy zwrou porfela ze średnimi i odchyleniami sandardowymi rozkładów sóp zwrou składowych insrumenów finansowych można zapisać nasępująco: oraz: = m w i i= 1 µ µ (9) = m m i= 1 j= 1 i σ w i w j σ ij, (10) gdzie w i oznacza udział i-ego składnika w porfelu. Po podsawieniu (9) i (10) do (7) lub (8) orzymujemy warość VaR. W ym przypadku pojawia się problem oszacowania paramerów rozkładów sóp zwrou, z reguły na podsawie danych hisorycznych. Badania empiryczne przeprowadzone na wielu rynkach wskazują, że rozkłady sóp zwrou odbiegają od normalnego, a zaem podejście o należy sosować z pewną osrożnością [6]. Symulacja hisoryczna Symulacja hisoryczna polega na ym, że w odniesieniu do rozparywanego porfela insrumenów finansowych sosuje się sopy zwrou obliczone na podsawie danych hisorycznych, np. z osanich 200 lub 250 dni. Orzymuje się zaem yle obserwacji doyczących sopy zwrou porfela, ile danych wzięo pod uwagę, według wzoru: R = m i= 1 w R W en sposób wygenerowany zosaje rozkład saysyczny sóp zwrou. Wyznaczenie kwanyla ego rozkładu pozwala na określenie VaR bezpośrednio z definicji, sosując wzory (2) i (4). Główną zaleą symulacji hisorycznej jes fak, że jes o podejście nieparameryczne. Oznacza o, że nie ma u ograniczeń wynikających z konieczności przyjęcia założenia normalności oraz unika się szacowania paramerów (akich jak np. średnia czy odchylenie sandardowe) na podsawie danych hisorycznych [6]. Symulacja Mone Carlo W symulacji Mone Carlo przyjmuje się pewien hipoeyczny model, kóry najlepiej opisuje mechanizm kszałowania się cen (lub sóp zwrou) insrumenów finansowych. Zaleca się, aby en model był wcześniej zweryfikowany na wielu danych empirycznych. Nasępnie generuje się wiele (np. kilka ysięcy) obserwacji sóp zwrou insrumenów finansowych, orzymując w en sposób rozkład sóp zwrou porfela. Wyznaczenie kwanyla ego rozkładu pozwala na określenie VaR bezpośrednio z definicji, sosując wzory (2) i (4) [6]. i i 32

Precyzując powyższą ideę w wyznaczaniu VaR można wyróżnić nasępujące eapy: 1. Wybór procesu sochasycznego i paramerów. 2. Wygenerowanie ciągu liczb pseudolosowych ε 1, ε 2, K, ε n kóre służą do obliczenia cen S + 1, S+ 2, K, S+ n. 3. Obliczenie warości akywów F + n = FT w oparciu o ciąg cen w momencie T. 4. Powarzanie kroków 2 i 3 wiele razy (np. 10 ys. razy). W efekcie orzymamy rozkład 1 10000 warości FT, K, FT, z kórego będzie wyznaczony kwanyl Value a Risk na usalonym poziomie isoności, np. 0.05. Zasadniczym problemem jes w ym przypadku określenie modeli dla poszczególnych insrumenów finansowych. Przykład dla akcji W odniesieniu do akcji częso zakłada się, że proces ich cen jes geomerycznym ruchem Browna: gdzie: S cena akcji w momencie ; µ dryf w momencie ; ds = µ S d + σ S dw, σ zmienność w momencie ; dw ~ N(0, d ); lub w wersji dyskrenej: S = S ( µ + σε ), ε ~ N(0,1). 1 W akim wypadku eapy procedury są nasępujące: 1. zadawany jes punk sarowy S. 2. generowany jes ciąg ε i dla i =1,...,n. 3. S+ 1 = S + S ( µ + σε1 ). 4. S+ 2 = S+ 1 + S+ 1( µ + σε 2 ). 5. i ak dalej, aż do S + n = ST. Podejście wyznaczania kwanyla dowolnego rozkładu Jes o warian bardziej ogólnego podejścia w porównaniu do podejścia wariancji kowariancji, ponieważ VaR można określić na podsawie kwanyla dowolnego, zadanego rozkładu. W ej syuacji należy na podsawie danych hisorycznych oszacować paramery 33

rozkładu, a nasępnie wyznaczyć kwanyl (jeśli isnieje prosy sposób przedsawienia ego kwanyla jako funkcji paramerów rozkładu). Zasadniczym problemem jes w ym przypadku określenie posaci rozkładu. Wydaje się, że dość obiecującą klasą rozkładów są rozkłady sabilne (są o uogólnienia rozkładu normalnego). Mandelbro (por. [12]) zaproponował zasosowanie ych rozkładów do analizy sóp zwrou. Rodzina rozkładów sabilnych jes bardzo szeroka, dlaego rokuje duże nadzieje, jeśli chodzi o jej przydaność jako rozkładów sóp zwrou. Pojawiają się jednak problemy z wnioskowaniem saysycznym dla ych rozkładów [6]. Podejście opare na eorii warości eksremalnych Podejście o prowadzi w sposób pośredni do określenia VaR. Nie oblicza się uaj bezpośrednio kwanyla rozkładu sóp zwrou, naomias dąży się do określenia warości eksremalnej rozkładu, np. określenia maksymalnej sray. Podejście o wywodzi się z eorii warości eksremalnych (por. np. [2]). Jednym z ważniejszych elemenów ej eorii jes wierdzenie, kóre głosi, że maksimum zbioru zmiennych losowych (np. sóp zwrou) ma rozkład graniczny należący do klasy zw. uogólnionych rozkładów warości eksremalnych (Generalized Exreme Value Disribuions), kórych posać jes znana (por. np. Jajuga (2000)). Do ej klasy rozkładów zalicza się np. rozkłady Fréchea, Weibulla i Gumbela. Można wykazać, że kwanyl rozkładu maksymalnej sray określony jes wzorem: y = µ σ ξ [1 [ ln(1 α)] gdzie: y kwanyl, µ, σ, ξ paramery rozkładu. Isonym problemem jes w ym przypadku oszacowanie przedsawionych rzech paramerów rozkładu maksymalnej sray, co można uczynić na przykład za pomocą meody największej wiarygodności [6]. Podejście opare na wykorzysaniu warości pochodzących z ogona rozkładu Wszyskie przedsawione meody szacowania VaR wykorzysywały cały zbiór obserwacji. Jednak VaR doyczy w isocie syuacji eksremalnych. Zaem przy szacowaniu dobrze by było wykorzysywać przede wszyskim obserwacje pochodzące z ogona rozkładu. Zasosowanie klasycznych meod esymacji pogarsza niesey saysyczną jakość oszacowań (z uwagi na małą liczbę wykorzysywanych obserwacji). Pewnym kompromisem jes podejście zaproponowane przez McNeila (por. [13]). Wykorzysuje on znany w eorii warości eksremalnych fak, że obserwacje z ogona rozkładu mogą być dobrze przybliżone za pomocą zw. uogólnionych rozkładów Pareo (por. np. [2]). ξ ] 34

W rezulacie proponowany esymaor VaR łączy meodę największej wiarygodności dla uogólnionego rozkładu Pareo z klasyczną meodą określenia udziału obserwacji z ogona w ogólnej liczbie obserwacji [13]: β n ξ VaR = u + (( (1 α)) 1), ξ N u gdzie: u przyjęy próg dla wyboru obserwacji pochodzących z ogona rozkładu, N u liczba obserwacji pochodzących z ogona (powyżej progu), β, ξ paramery uogólnionego rozkładu Pareo (szacowane meodą największej wiarygodności). Tabela 1. Podsumowanie meod szacowania VaR Meoda Zaley Wady Podejście wariancji kowariancji Symulacja hisoryczna Symulacja Mone Carlo Wyznaczanie kwanyla dowolnego rozkładu Teoria warości eksremalnych Warości pochodzące z ogona rozkładu Źródło: opracowano na podsawie [6] Prosoa Meoda nieparameryczna Duża dokładność; sosuje się wówczas, gdy nie ma możliwości wykorzysania innych podejść Wykorzysanie innych rozkładów niż normalny Uwzględnienie nieypowych syuacji Wykorzysuje obserwacje pochodzące ylko z ogona rozkładu Przyjęcie założenia rozkładu normalnego; problem oszacowania średniej i wariancji na podsawie danych z przeszłości Problem z orzymaniem jednorodnych danych hisorycznych; wrażliwość orzymanych wyników na zbiory danych zasosowane w obliczeniach; konieczność usalenia długości okresu, z kórego mają pochodzić dane Duża zależność wyników od przyjęego modelu cen (sóp zwrou) Problem oszacowania paramerów rozkładu na podsawie danych z przeszłości; rudności ze saysycznym wnioskowaniem dla rozkładów sabilnych Problem oszacowania paramerów rozkładu maksymalnej sray Sosowanie klasycznych meod esymacji pogarsza jakość oszacowań; problem usalenia warości progu zw. u Tabela 1 zawiera syneyczne zesawienie wad i zale omówionych meod. Nie są o jedyne meody szacowania warości zagrożonej. Na przykład Maksymiuk (por. [11]) przedsawił meodę symulacji oparą na pewnej, niezby dużej liczbie scenariuszy. Hull (por. [4]) przedsawia inne meody, przydane zwłaszcza dla porfeli insrumenów, w szczególności uwzględniającą skośność rozkładu meodę oparą na rozwinięciu Cornisha-Fishera. Szersza dyskusja na ema różnych meod szacowania VaR przedsawiona jes w pracach Joriona 35

(por. [10]) i Dowda (por. [1]). Również w ych pracach omawiane jes isone zagadnienie przedziałów ufności dla VaR, bowiem VaR szacuje się na podsawie obserwacji z przeszłości [6]. Zaley i wady VaR Koncepcja pomiaru ryzyka, jaką jes warość zagrożona, jes arakcyjna dla insyucji, ale nie oznacza o, że konsrukcja i wykorzysywanie modeli szacowania warości zagrożonej nie nasręczają w prakyce żadnych rudności. Przyjrzymy się eraz zaleom i wadom koncepcji VaR. Zaley VaR Zaley warości zagrożonej można ująć nasępująco: uniwersalność a sama koncepcja pomiaru ryzyka rynkowego jes wykorzysywana właściwie dla wszyskich rodzajów pozycji przyjmowanych przez jednoskę, jak również a sama koncepcja pomiaru ryzyka może być sosowana do pomiaru innych rodzajów ryzyka, np. ryzyka kredyowego czy operacyjnego (oczywiście echniki szacowania warości zagrożonej są różne w każdym przypadku, ale ryzyko zosaje wyrażone w sposób jednoliy), uławia o porównania i worzenie zagregowanych miar ryzyka; określa prawdopodobieńswo wysąpienia usalonej zmiany warości czynnika ryzyka (inne miary ryzyka, np. zmienności czy wrażliwości, ego nie określają); wyraża ryzyko w sposób ławy do zinerpreowania (jako maksymalną możliwą do poniesienia sraę mierzoną w jednoskach pieniężnych); może być sosowana do określenia zabezpieczenia kapiałowego insyucji; uwzględnia efek dywersyfikacji porfela; popularność w 1994 r. insyucja finansowa JP Morgan ujawniła sosowany przez nią sysem zarządzania ryzykiem rynkowym Risk Merics, w 1997 r. sysem CrediMerics, a w 1999 r. CorporaeMerics, poza ym jes rekomendowana przez insyucje nadzorcze, akie jak: Grupa Trzydziesu (Group of Thiry, por. [3]), Komie Bazylejski do Spraw Nadzoru Bankowego, w Polsce zaleca ją Generalny Inspekora Nadzoru Bankowego. Wady VaR Do wad warości zagrożonej zaliczyć można nasępujące: określa sraę spowodowaną normalnym funkcjonowaniem rynku, przy określonych założeniach (czas, poziom olerancji), a zaem jeśli warunki rynkowe zmienią się gwałownie, VaR będzie bezużyeczna; nie określa, jak wysokie będą sray, jeśli warość VaR zosanie przekroczona; 36

nie jes koherenną miarą ryzyka w ogólnym przypadku, j. gdy sopa zwrou z porfela ma inny rozkład niż wielowymiarowy normalny czy inny wielowymiarowy rozkład elipyczny; rudności w dokładnym oszacowaniu, zwłaszcza dla złożonych porfeli; wyniki oszacowań wrażliwe są na meodę esymacji. Podsumowanie Szacowanie warości zagrożonej nie jes zagadnieniem prosym, szczególnie w przypadku wielowymiarowym. Wszyskie opisane wcześniej meody szacowania warości zagrożonej użykownik może oprogramować samodzielnie w języku STATISTICA Visual Basic (SVB). Naomias w przypadku niekórych z nich można posłużyć się sandardowymi modułami pakieu STATISTICA 6.1: podejście wariancji kowariancji (rozkład normalny) Dopasowanie rozkładów; podejście wyznaczania kwanyla dowolnego rozkładu Dopasowanie rozkładów (dla niekórych rozkładów); podejście opare na eorii warości eksremalnych dla rozkładu Weibulla Analiza procesu. Lieraura 1. Dowd K.: Beyond Value a Risk. The new science of risk managemen. Wiley, Chicheser, 1998. 2. Embrechs P., Klüppelberg C., Mikosch T.: Modelling exremal evens for insurance and finance. Springer, Berlin, 1997. 3. Group of Thiry: Derivaives: pracices and principles. Washingon, 1993. 4. Hull J.: Opions, fuures and oher derivaives. Prenice Hall, Upper Saddle River, 2000. 5. Jajuga K.: Miary ryzyka rynkowego część rzecia. Rynek Terminowy nr 8, 2000, s. 112-117. 6. Jajuga K.: Value a Risk. Rynek Terminowy nr 13, 2001, s. 18-20. 7. Jajuga K., Kuziak K., Papla D.: Ryzyko wybranych insrumenów polskiego rynku finansowego część I. Rynek Terminowy nr 10, 2000, s. 121-124. 8. Jajuga K., Kuziak K., Papla D.: Ryzyko rynkowe polskiego rynku akcji Value a Risk i inne meody pomiaru. US Maeriały Konferencje nr 53, Rynek Kapiałowy. Skueczne Inwesowanie. Cz. I, Szczecin 2000, s. 49-68. 9. Jajuga K., Kuziak K., Papla D., Rokia R.: Ryzyko wybranych insrumenów polskiego rynku finansowego część II. Rynek Terminowy nr 11, 2001, s. 133-140. 10. Jorion P.: Value a Risk. The New Benchmark for Conrolling Marke Risk. McGraw- Hill, New York 1995. 37

11. Maksymiuk R.: Zarządzanie ryzykiem: Value a Risk. Rynek Terminowy nr 2, 1998, s. 74-76. 12. Mandelbro B.: The variaion of cerain speculaive prices, Journal of Business, 26, 1963, s. 394-419. 13. McNeil A.: Exreme Value Theory for risk managers. Maszynopis, ETHZ, Zürich, 1999. 14. Sawczyk A.: Wprowadzenie do meodologii pomiaru ryzyka Value a Risk. Rynek Terminowy nr 6, 1999, s.132-137. 38