2.Wytrzymałość materiałów



Podobne dokumenty
Równania różniczkowe cząstkowe - metoda Fouriera. Przykładowe rozwiązania i wskazówki

Wytrzymałość materiałów II

f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)

Wytrzymałość Materiałów I

TEORIA PŁYT I POWŁOK (KIRCHHOFFA-LOVE)

Część 2 7. METODA MIESZANA 1 7. METODA MIESZANA

Wykład Indukcja elektromagnetyczna, energia pola magnetycznego

2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE

2. Tensometria mechaniczna

Rozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte

Przykłady (twierdzenie A. Castigliano)

P=2kN. ød=4cm. E= MPa, ν=0.3. l=1m

Zadanie 5. Kratownica statycznie wyznaczalna.

Zadania teorii plastyczności

Wprowadzenie: Do czego służą wektory?

Redukcja układów sił działających na bryły sztywne

Metoda sił jest sposobem rozwiązywania układów statycznie niewyznaczalnych, czyli układów o nadliczbowych więzach (zewnętrznych i wewnętrznych).

POMIAR MODUŁU SPRĘŻYSTOŚCI STALI PRZEZ POMIAR WYDŁUŻENIA DRUTU

WYKRESY SIŁ WEWNĘTRZNYCH RYSOWANIE Z PAMIĘCI

A. Zaborski, Rozciąganie proste. Rozciąganie

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera

Rozwiązywanie zadań z dynamicznego ruchu płaskiego część I 9

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ

Tydzień 1. Linie ugięcia belek cz.1. Zadanie 1. Wyznaczyć linię ugięcia metodą bezpośrednią wykorzystując równanie: EJy = -M g.

Przykład 7.3. Belka jednoprzęsłowa z dwoma wspornikami

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY

Wyrównanie sieci niwelacyjnej

Analiza obciążeń kratownicy obustronnie podpartej za pomocą oprogramowania ADINA-AUI 8.9 (900 węzłów)

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

Wykład 2. Funkcja logarytmiczna. Definicja logarytmu: Własności logarytmu: Logarytm naturalny: Funkcje trygonometryczne

Zastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)

σ - ułamka granicy plastyczności R e lub granicy proporcjonalności R c.

Algebra Boola i podstawy systemów liczbowych. Ćwiczenia z Teorii Układów Logicznych, dr inż. Ernest Jamro. 1. System dwójkowy reprezentacja binarna

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna

W. Guzicki Zadanie 19 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

Algebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA

( ) Lista 2 / Granica i ciągłość funkcji ( z przykładowymi rozwiązaniami)

Integralność konstrukcji

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6

4. RACHUNEK WEKTOROWY

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

Prosta metoda sprawdzania fundamentów ze względu na przebicie

WYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie II poziom rozszerzony

Sił Si y y w ewnętrzne (1)(1 Mamy my bry r łę y łę mate t r e iralną obc ob iążon ż ą u kła k de d m e si m ł si ł

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań

mgh. Praca ta jest zmagazynowana w postaci energii potencjalnej,

O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI

Całki niewłaściwe. Rozdział Wprowadzenie Całki niewłaściwe I rodzaju

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA

3. Rozkład macierzy według wartości szczególnych

Maciej Grzesiak. Iloczyn skalarny. 1. Iloczyn skalarny wektorów na płaszczyźnie i w przestrzeni. a b = a b cos ϕ. j) (b x. i + b y

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

ROZPORZĄDZENIE MINISTRA INFRASTRUKTURY 1) z dnia 16 grudnia 2004 r.

Temat: WYBRANE ZAGADNIENIA WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

Materiały pomocnicze do ćwiczeń z przedmiotu: Ogrzewnictwo, wentylacja i klimatyzacja II. Klimatyzacja

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

Zadania do rozdziału 7.

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych

Wykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS /02

DZIAŁ 2. Figury geometryczne

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6,

Skrypt edukacyjny do zajęć wyrównawczych z matematyki dla klas II Bożena Kuczera

5. Mechanika bryły sztywnej

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM

Kombinowanie o nieskończoności. 4. Jak zmierzyć?

1. LINIE WPŁYWOWE W UKŁADACH STATYCZNIE WYZNACZALNYCH

BADANIE ZALEŻNOŚCI PRZENIKALNOŚCI MAGNETYCZNEJ

PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH. (powtórzenie) y=f(x)=ax+b,

PODSTAWY ALGEBRY MACIERZY. Operacje na macierzach

INSTRUKCJA. - Jak rozwiązywać zadania wysoko punktowane?

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Układy równań liniowych Macierze rzadkie

WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Część I

Wymagania edukacyjne z matematyki FUNKCJE dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą

Zapis wskaźnikowy i umowa sumacyjna

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/ Sumy algebraiczne

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania

Matematyka stosowana i metody numeryczne

Translacja jako operacja symetrii. Wybór komórki elementarnej wg A. Bravais, połowa XIX wieku wybieramy komórkę. Symetria sieci translacyjnej

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

WYMAGANIA DLA UCZNIÓW KLAS DRUGICH LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO

KOMPENDIUM MATURZYSTY Matematyka poziom podstawowy

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy liczbę det A określoną następująco:

Jest błędem odwołanie się do zmiennej, której nie przypisano wcześniej żadnej wartości.

Transkrypt:

.Wytrzymłość mteriłów. Ścisknie i rozciąnie prętów.. Obiczyć o ie wydłuży się pod włsnym ciężrem pręt o dłuości, jeżei wykonny jest z uminium o ęstości,6 /cm i modue Youn E 64 P. y d.. D prętów pokznych n rysunkch obiczyć wydłużenie cłkowite. D przypdku C) wyznczyć również przemieszczeni punktów i. oduł Youn d wszystkich prętów przyjąć równy E. Dne:, E, d,, ) ) φd φ,5d φd φ,5d / C) φ φ φ /

.. Obustronnie utwierdzony pręt o przekroju kołowym (przedstwiony n rysunku) oziębiono o t C. Obiczyć rekcje ścin orz nprężeni w prętch, jeżei iniowy współczynnik rozszerzności wynosi α, moduł Youn jest równy E. Pręt dodtkowo obciążono siłą 7P zznczoną n rysunku. (Termiczne wydłużenie iniowe opisuje zeżność α t)? 7P? φd φd..4 Obustronnie utwierdzony pręt o przekroju kołowym (przedstwiony n rysunku) obciążono siłą Q nstępnie orzno. Obiczyć o ie orzno ten pręt, rekcję tkże nprężeni w prętch, jeżei rekcj jednej ze ścin po orzniu wynosi Q; iniowy współczynnik Q? Q φ,5 φ rozszerzności jest równy α, oduł Youn d pręt przyjąć równy E...5 Pręt o przekroju kołowym obciążony jest siłmi P i P jk przedstwiono n rysunku. Wyznczyć rekcję ścin. zerokość szczeiny wynosi δ moduł Youn d mteriłu z któreo wykonny jest pręt E. L L L φd P P φd δ..6 ir mostu w cłości m być znurzony w wodzie. Jk musi się zmienić przekrój poprzeczny teo firu wykonneo z betonu o ęstości, by nprężeni w dowonym przekroju były równe wytrzymłości betonu n ścisknie k c. Przyjąć że órn powierzchni firu obciążon jest równomiernie nciskiem powierzchniowym k c jej poe wynosi.

. Zinnie beek.. D beek przedstwionych n rysunkch sporządzić wykresy siły tnącej (T) orz momentu nąceo ( ) ) b) c),5,5.. W ceu zbdni wpływu nprężeń n włsności mnetyczne cił stosuje się próbki w ksztłcie psków mteriłu o przekroju prostokątnym w ukłdzie jk n rysunku. Jką wrtość muszą mieć siły by zbdć próbkę w zkresie do rnicy pstyczności (P), jeżei próbki mją dłuość L 9 cm, szerokość b cm i rubość h, mm. W jkim obszrze możn przeprowdzć bdni. / / /

.. Jk dłui pręt o msie cłkowitej m (o przekroju kołowym) możn wykonć z mteriłu o ęstości, by pręt ten po ułożeniu o poziomo i podprciu jeo końców nie ueł zniszczeniu pod włsnym ciężrem. Nprężenie mksymne n zinnie mteriłu pręt wynosi k. Wskźnik wytrzymłości przekroju porzeczneo beki n zinnie d beki o przekroju kołowym wynosi W π /4..4 Zprojektuj bekę o przekroju prostokątnym, przy złożeniu stłej jej rubości h const, jko bekę o równomiernej wytrzymłości n rozciąnie. Obiczeni wykonj d obciążeni przedstwioneo n rysunku. h / /..5 Po bece o dłuości podprtej n obu końcch może przemieszczć się człowiek o ciężrze G. Wyznczyć wymną rubość beki o przekroju kwdrtowym by człowiek nie spowodowł zniszczeni beki, jeżei nprężenie dopuszczne n zinnie wynosi k..6 Wyznczyć mksymną wrtość nprężeń rozciąjących w bece suwnicy przedstwionej n rysunku, jeżei wskźnik wytrzymłości przekroju porzeczneo beki n zinnie wynosi W. Q Q d

ozwiązni:... ozptrzmy wydłużenie eementu pręt o dłuości d znjdująceo się w odełości od doneo końc pręt. Eement ten jest rozciąny siłą równą co do wrtości ciężrowi pręt znjdująceo się poniżej teo eementu. m Z prw Hooke otrzymujemy: d E d d d d, d E E E by wyznczyć cłkowite wydłużenie pręt musimy zsumowć (scłkowć) wydłużeni wszystkich eementów d. d d E E d E Odpowiedź: cłkowite wydłużenie pręt wyniesie: E... ) ekcję ściny wyznczmy z zeżności:,mm Korzystjąc z prw Hooke otrzymujemy: σ εe E E Wydłużenie cłkowite jest sumą wydłużeń obu prętów: +, dzie πd, E E 5 (pręt jest ściskny) 9πd E 9 π d 6 ) ekcję ściny wyznczmy z zeżności: + ( ) + + + +, E E E

dzie π, d 9πd E C) 7 9π E 8 9π E 9 9π E 9 π d 6... Cłkowite wydłużenie pręt skłd się z wydłużeni (skróceni) termiczneo i wydłużeni mechniczneo. Z uwi n to, że pręt jest utwierdzony jest ono zerowe. t + m Wydłużenie termiczne obiczmy z zeżności: t α t - minus ozncz oziębinie, czynnik wynik z fktu że rozptrujemy wydłużenie obu frmentów pręt jednocześnie. Wydłużenie mechniczne jest sumą wydłużeń obu frmentów: m + E + ( 7P ) 4 ( 7P ) ( 7P 5 ) E Eπd + Eπd Eπd Z wrunków zdni: α t + α teπd 5 7P 5 ( 7P 5 ) ( 7P α teπd ) Eπd Druą rekcję obiczmy z wrunku równowi sił: 7P 5 ( 8P + α teπd ) 7P Nstępnie obiczmy nprężeni w prętch:

σ 4 ( 7P α teπd ) 8 8P α te - minus przed ozncz ścisknie. 5πd 5 5πd ( 8P + α teπd ) 8P + te σ α 5πd 5πd 5..4. 4Q t 9αEπ Q Q σ 9π σ 4Q π..5. Wskzówk: cłkowite wydłużenie pręt wyniesie δ Jeżei przyjmiemy że obie rekcje skierowne są w ewo otrzymmy: 7 πd Eδ P + 6L πd Eδ P 6L..6. ozptrzmy eement firu o wysokości d. N órną powierzchnię teo eementu dził, zodnie z wrunkmi zdni sił: y k c, Wypdkow sił dziłjąc n eement d musi być równ zeru. r r ( + d) + + w + Qd ( + d) + Q, r d r w, d dzie w ozncz siłę wyporu dziłjącą n ten eement ntomist Q d jeo ciężr. + ( ) d ( ) d + ( ) ( d ( + d) w w ) iłę dziłjącą n don powierzchnię eementu możemy zpisć w postci: ( + d) ( + d) ( + d ) d + Przyrównując stronmi otrzymmy:

d d d d w w, Po scłkowniu otrzymmy: C w + n tłą C wyznczmy z wrunku że d poe (), stąd C n( ), czyi: w w ep, n Odpowiedź: Poe przekroju firu powinno rosnąć zodnie z równniem: w ep... ) Zdnie rozpoczynmy od wyznczeni rekcji podporowych. Z wrunku równowi momentów sił wzędem punktu otrzymujemy: 6 4 6 + + Z równowi sił: y + Nstępnie bekę dzieimy n trzy obszry i wyznczmy w nich T i. << T. <<

4 T + + 4 + +. <<6 T + + 4 ( ) + 4 N podstwie obiczeń sporządzmy odpowiednie wykresy: / 6 T 4/ / 6 -/ ) ekcje podporowe obiczmy noicznie jk w przypdku ) i otrzymujemy: Podobnie jk poprzednio wyznczmy T i w trzech obszrch:. << T. <<

T ( ) + +. <<6 T nie ue zminie n skutek dziłni pry sił o momencie więc : T + + + + + Odpowiednie wykresy: T,5 6 -,5,5,5 -,5 6 C) ekcje podporowe wyznczmy z równowi momentów i sił, przy czym ciąły jednorodny rozkłd siły o ęstości trktujemy jk siłę przyłożoną w jeo centrum + + + y + + D obszrów otrzymujemy:. << T. << T ( ) + +

Do wyznczeni momentu nąceo korzystmy z fktu że wkłd pochodzący od ciąłeo rozkłdu siły (n dłuości -) jest równowżny wkłdowi od siły (równej () (-)) umiejscowionej w środku teo rozkłdu (rmię dziłni tej siły to r (-)/). + ( ) r + ( ) ( ). <<4 T + + ( ) ()( r() ) + ( ) + 4 + Wykresy sił i momentów przedstwi rysunek: T 4 -,5 4... by rozwiązć przedstwione zdnienie neży zbdć rozkłd nprężeń n powierzchni beki, czyi również rozkłd momentu nąceo. W tym ceu wyznczmy njpierw rekcje podporowe i. Z uwi n symetrię zdnieni mmy:

Nstępnie dzieimy bekę n trzy obszry o dłuości / kżdy i wyznczmy w nich moment nący: ) w obszrze I <</ b) w obszrze II /<</ + ( ) c) w obszrze III /<< + + + Wykres momentu nąceo wyąd więc nstępująco: / / / Jk widć moment jest mksymny ( zrzem m stłą wrtość ) w obszrze od / do /, więc w tym obszrze neży prowdzić bdni. by zneźć wrtość nprężeń n powierzchni próbki korzystmy z zeżności: σ, W dzie W wskźnik wytrzymłości przekroju poprzeczneo beki n zinnie, d beki prostokątnej: bh W 6 Po podstwieniu otrzymmy: 6 σbh σ bh Jeżei z σ przyjmiemy rnicę pstyczności i podstwimy otrzymmy 8 8 N / m m 9 m N 9 m

σbh Odpowiedź: Neży przyłożyć siłę N... ekcje podporowe d pręt obciążoneo jednorodnie (ciężrem włsnym) będą sobie równe i równe połowie ciężru pręt: Q oment nący d tk obciążonej beki: Q ( ) by zneźć mksymną wrtość momentu iczymy pochodną wzędem. d d m 8 ( ) m D mksymneo momentu nąceo korzystmy z zeżności: m π kc, dzie W W 4 4π k C, 8π e m π m π k C m π 5 Odpowiedź: mksymn dłuość pręt wynosi: k C m π 5..4. ek jest symetryczn, więc możemy rozptrywć zdnienie w przedzie <<, w tym przedzie tym moment nący opisny jest zeżnością:, d przekroju prostokątneo wskźnik wytrzymłości wynosi: b W 6 h Jeżei przyjmiemy d nprężeni jeo wrtość dopuszczną otrzymmy:

b σ dop W W σ stąd: b h σ dop dop h 6 Czyi otrzymujemy iniowo zmienijącą się szerokość przekroju z mksimum w środku beki równym: b m, h σ dop ek tk widzin z óry: b() b m b() tosownie tkiej beki byłoby jednk kłopotiwe, dteo w prktyce stosuje się beki o innym ksztłcie. jeżei podzieimy (myśowo) nszą bekę n pski tk jk pokzują inie przerywne i odpowiednio złożymy, to otrzymmy bekę będącą w istocie piórem resoru:..5. Wyznczmy rekcję podporową w podporze, w tym ceu skorzystmy z wrunku G

zerowni się momentów wzędem podpory : + G( ) ( ) G oment nący n ewo od człowiek: ( ξ ) Gξ ξ ( ), dzie ξ jest odełością od ewej podpory. oment ten osią wrtość ekstremną w punkcie dziłni siły G (jest to zrzem wrtość mksymn d cłej beki z uwi n brk innych sił poz rekcjmi podporowymi) G G Zbdjmy w jkim położeniu () człowiek wywoł njwiększy moment nący, w tym ceu poiczmy pochodną: d d G G Czyi mksymny moment nący d: m 4 P Z wrunku wytrzymłości n zinnie: k m, dzie W W h 6 P k h osttecznie: P h. k P Odpowiedź: bek musi mieć rubość co njmniej równą: h k

..6. Z wrunków równowi momentów otrzymujemy rekcje podporowe: Q ( d ) Q ( + d ) omenty nące w miejscch przyłożeni sił (tyko tm moą one osiąć mksimum): Q ( d ), d siły n ewej osi wózk Q ( + d) Qd ( + d )( d ) Qd, d siły n prwej osi wózk W ceu znezieni mksymnych wrtości momentów nących iczymy ich pochodne wzędem i przyrównujemy je do zer. d d d 4 d m d Q d 4 d Q m d Jk widć ob momenty mją tką smą wrtość mksimum, więc do poiczeni mksymneo nprężeni możemy wziąć którykowiek z nich. σ m m Q d W W ksymn wrtość nprężeń rozciąjących wyniesie: σ m Q d W