Zadania teorii plastyczności

Transkrypt

1 Zdni teorii pstyczności (w nwisie szcowny, choć bsoutnie nie zobowiązujący, czs prezentcji) (w nwisie nr zdni wg J. Skrzypek, Teori pstyczności i pełzni, Krków 975) (tyd ozncz istotną modyfikcję treści zdni). ( )(.5) Wykzć, że wrunek nieściśiwości zpisny przy pomocy odksztłceń nominnych przyjmuje postć: ( + ε )( + ε )( + ε ).. ( )(.6-.7) Wyrzić z pomocą skłdowych tensor nprężeni drugi i trzeci niezmiennik dewitor nprężeń.. (5 )(.9) osługując się ogónym wzorem prw trnsformcji tensorowej wyprowdzić zeżności pomiędzy skłdowymi tensor nprężeń we współrzędnych krtezjńskich skłdowymi tensor nprężeń we współrzędnych biegunowych. 4. ( )(~.) okzć, że intensywność tensor nprężeni jest wiekością niezmienniczą i równą intensywności dewitor nprężeni. 5. (5 )(.) osługując się definicją rzeczywistego nprężeni:, A przekrój w konfigurcji ktunej A i ogrytmiczną mirą odksztłceni: ε d n wyprowdzić zeżności: ( + ε ) exp ε 6. (5 )(.) ręt rozciągnięto w pierwszej fzie tk, że jego długość wzrosł o 5% w drugiej fzie o dsze %. Wykzć n tym przykłdzie, że ogrytmiczn mir odksztłceń Hencky ego jest ddytywn w odniesieniu do stnu chwiowego, mir Cuchy ego nie. TG 7. (5 )(.8) Wykzć, że grnic pstyczności przy czystym ścinniu wynosi: τ według kryterium TG według kryterium HH: τ HH, gdzie jest grnicą pstyczności przy jednoosiowym rozciągniu. 8. (5 )(.9) orównć wrunki pstyczności TG i HH d przypdku jednego nprężeni normnego i jednego stycznego. Wrunki odwzorowć grficznie w ukłdzie (, τ ). Okreśić procentową różnicę w przypdku czystego rozciągni i czystego ścinni. 9. (5 )(.) Wykzć, że funkcj ϕ w równnich odksztłceniowej teorii pstyczności Nádi-:Hencky ego-iiuszyn: m Kε m, s e ϕ zwnsowni odksztłceń pstycznych, wynosi według wrunku pstyczności HH: ε e ϕ e e J e. τ Wskzówk: pomnożyć kżdy z tensorów w równniu prw zminy postci skrnie przez siebie nstępnie skorzystć z wrunku HH w zpisie tensorowym: 9

2 s s orz definicji intensywności odksztłceń ε e ee wzgędnie drugiego niezmiennik odksztłceń e e. J e. (5 )(.) Wyprowdzić wzór n funkcję λ w równnich pstycznego płynięci rndt-reuss e& s W& e& s& λs, λ, G τ τ o gdzie W & ozncz prędkość zmin (moc) energii odksztłceni postciowego: W & e& s. Wskzówk: omnożyć równnie -R przez s, nstępnie skorzystć z wrunku p- styczności s, uwzgędnijąc wynikjący zeń związek: s &. s. (5 )(.) Wyprowdzić ogóne równni fizyczne: ( ) e F e& j s& + λ, & ε m & m G K d mteriłu idenie sprężysto-pstycznego. Rozpisć te równni w ukłdzie współrzędnych krtezjńskich.. (5 )(.5) osługując się stowrzyszonym prwem płynięci d mteriłu idenie pstycznego F ( ) & ε j λ wykzć, że równni rndt-reuss są stowrzyszone z wrunkiem pstyczności HH. F ( ) Wskzówk: skorzystć z zeżności s, przyjmując z F funkcję s s.. (5 )(.6) łsk trcz wykonn z mteriłu idenie sprężysto-pstycznego, nieściśiwego i podegjącego wrunkowi pstyczności HH, zostł rozciągnięt w kierunku tk, że odksztłcenie wyniosło ε. Okreśić w płszczyźnie odksztłceń ( ε ),ε krzywą procesów neutrnych wychodzących z tego punktu. 4. ( )(.7) ręt wykonny z nieściśiwego mteriłu idenie sprężysto-pstycznego rozciągnięto w tki sposób, że odksztłcenie osiowe wyniosło ~ ε B. W drugiej fzie pręt odciążono, nstępnie ściśnięto osiowo, wywołując odksztłcenie ~ ε D, po czym ponownie cłkowicie odciążono. Zkłdjąc, że grnic pstyczności przy ściskniu jest tk sm jk przy rozciągniu, obiczyć odksztłcenie w momencie pojwieni się pierwszych upstycznień przeciwzwrotnych ( ε C ) orz odksztłceni resztkowe n końcu procesu ( ε ). rzedstwić grficznie proces n płszczyźnie (, ε ). 5. ( )(.8) ręt wykonny z nieściśiwego mteriłu o odcinkowo iniowym wzmocnieniu pstycznym poddno procesowi odksztłceni, nogicznemu jk w zdniu 4. rzyjmując równnie ośrodk w postci ε, ε ε ε, signε + ( ε ε ), ε ε, orz zkłdjąc ideny efekt Buschinger, obiczyć odksztłcenie i nprężenie w mo- ε,, orz od- mencie pojwieni się pierwszych upstycznień przeciwzwrotnych ( ) C C s 9

3 . rzedstwić grficznie proces n płszczyź- ksztłcenie resztkowe n końcu procesu ( ε ) nie (, ε ). 6. ( )(~.9) róbkę wykonną z mteriłu podegjącego wzmocnieniu pstycznemu według równni ε, ε ε ε,,5 [ ] 4ε signε, ε ε ; rozciągnięto tk, że odksztłcenie wyniosło ~ ε. 8, nstępnie odciążono, po czym obciążono w przeciwnym kierunku. Obiczyć przy jkich nprężenich ściskjących pojwią się upstycznieni przeciwzwrotne w przypdku: ) idenego efektu Buschinger ~ ~ C, b) brku efektu Buschinger ~ ~ ~ ~ c) niezeżności grnicy pstyczności przy ściskniu od wzmocnieni pstycznego przy rozciągniu ~. 7. (5 )(5.6) Okreśić współczynnik ksztłtu ψ beki zginnej o przekroju trójkąt równormiennego. 8. (5 )(5.6) Okreśić współczynnik ksztłtu ψ beki zginnej o przekroju ceowym (prostokąt opisny 8 6, grubość ścinki ). 9. (5 )(5.6) Okreśić współczynnik ksztłtu ψ beki zginnej o przekroju teowym ( prostokąty 5 ).. ( )(5.8) Bek jednoprzęsłow swobodnie podprt n obu końcch o przekroju poprzecznym prostokątnym b h i długości przęsł, wykonn z mteriłu idenie pstycznego, jest obciążon w środku przęsł siłą skupioną. Wyznczyć rozkłd stref sprężystych i pstycznych w stnie sprężysto-pstycznym orz okreśić nośność sprężystą i pstyczną.. ( )(5.) Wyprowdzić wzór n strzłkę ugięci beki jednoprzęsłowej swobodnie podprtej n końcch i obciążonej w środku siłą skupioną < <. Okreśić stosunek ugięci w chwii wyczerpni nośności grnicznej do mksymnego ugięci sprężystego.. ( )(5.5) ręt pryzmtyczny o przekroju prostokątnym b h, wykonny z mteriłu idenie sztywno-pstycznego z iniowym wzmocnieniem w tn β w, poddno pstycznemu zginniu. Wyprowdzić wzór n moment zginjący w funkcji promieni krzywizny ρ.. ( )(5.6) ręt z mteriłu idenie sprężysto-pstycznego, o przekroju prostokątnym b h, zostł poddny zginniu momentem ~ tk, że krzywizn wyniosł ~ κ. W drugiej fzie pręt zostł odciążony: ) cłkowicie, b) częściowo do połowy pierwotnej wrtości momentu ~. Obiczyć krzywiznę resztkową po cłkowitym i częściowym odciążeniu. Wyznczyć odpowiednie rozkłdy nprężeń. 4. ( )(5.7) Okreśić krzywiznę ~ κ, którą neży ndć bece zginnej o przekroju prostokątnym b h, by po cłkowitym odciążeniu nprężeni resztkowe w skrjnych włóknch beki wyniosły. Ie powinn wynosić wstępn krzywizn, by w wyniku cłkowitego odciążeni nprężeni resztkowe zostły zredukowne do zer? Ie wynoszą odpowiednie współrzędne grniczne? 94

4 5. ( )(6.) orównć nośność pstyczną z nośnością sprężystą beki o przekroju prostokątnym b h. q 6. ( )(6.4) Okreśić nośność pstyczną beki: / / 7. ( )(6.4) Okreśić nośność pstyczną beki: q 8. ( ) Okreśić nośność pstyczną beki posługując się twierdzenimi ekstremnymi teorii pstyczności: q / / 9. (5 )(6.7) Dobrć położenie środkowej podpory, odpowidjące njwiększej nośności pstycznej beki. Okreśić odpowidjącą mu nośność grniczną. q y -y. ( )(6.9) Bek po obu stronch przegubu posid inną sztywność. Okreśić stosunek momentów pstycznych, przy którym obydw możiwe schemty zniszczeni są jednkowo możiwe. 4. ( )(6.) Ukłd przedstwiony n rysunku doprowdzono do stnu grnicznego, nstępnie odciążono. Zneźć wykres momentów resztkowych orz rozkłd nprężeń resztkowych w przekroju i 5. rzyjąć momenty upstycznijące przekroje 5kNm, knm orz wskźniki zginni W 485 cm, W 7 cm, 4. 95

5 ( )(6.) Bekę jk n rysunku doprowdzono do stnu grnicznego (nośność pstyczn), nstępnie cłkowicie odciążono, po czym powtórnie obciążono siłą przeciwnie skierowną, ż do momentu powstni pierwszego przegubu pstycznego. Wyznczyć rozkłd momentów w bece po odciążeniu orz w stnie końcowym. rzyjąć Nm.. ( ) Stosując twierdzeni ekstremne o oszcowniu górnym i donym okreśić nośność grniczną ukłdu, przyjmując, A A.7A.A4 5 cm, α 5. α α α 4 4. ( )(7.) orównć nośność sprężystą z nośnością pstyczną ukłdu. Okreśić współczynnik zpsu cłego ukłdu i poszczegónych prętów, jeśi kn, 4, A cm. 5. ( )(7.6) Stosując podejście kinemtyczne wyznczyć nośność grniczną rmy o stłym przekroju prętów. Sprwdzić, czy otrzymne tą drogą rozwiąznie jest sttycznie dopuszczne. 96

6 6. (5 )(7.) D rmy, w której grniczny moment pstyczny ryg jest różny od momentu pstycznego słupów, zbdć wszystkie możiwe schemty zniszczeni orz wyprowdzić wzory n siły niszczące. Okreśić, który z bdnych schemtów odpowid rzeczywistemu mechnizmowi zniszczeni, w zeżności od stosunku momentów grnicznych w przekrojch rmy. 7. (5 )(7.5) Dwupiętrow, jednoprzęsłow rm obciążon jest jk n rysunku. Zkłdjąc, że moment pstyczny wszystkich eementów jest tki sm, okreśić wrtość tego momentu (5 )(7.6) Rmę dwupiętrową wykonną z prętów o różnych momentch pstycznych obciążono jk n rysunku. osługując się metodą superpozycji mechnizmów podstwowych, dobrć włściwy schemt zniszczeni. Wykzć, że rozwiąznie jest ścisłe. 97

7 9. (5 )(9.) D ukłdu przedstwionego n rysunku wyznczyć obszr nośności sprężystej i grnicznej. Zbdć przesunięcie obszru nośności sprężystej odpowidjące wstępnemu obciążeniu siłą A. ręty pionowe są identyczne, (, A ) (5 )(.) Stosując metodę uzupełnijących odksztłceń wyznczyć rekcje w punktch ε + k. Obicze- zczepieni prętów ukłdu. terił prętów Rmberg-Osgood: ni wykonć d n, k orz. A. n 4. (5 )(.) Stosując metodę uzupełnijących obciążeń wyznczyć rekcje w punktch zczepieni prętów ukłdu. terił prętów Rmberg-Osgood: ε + k. Obiczeni wykonć d n, k orz. A. n 98

8 4. (5 )(.4) Tuej () i pręt (), połączone nieodksztłcną trczą, rozciągnięto siłą wywołującą odksztłcenie ~ ε, nstępnie cłkowicie odciążono. rzyjmując, że tuej i pręt są wykonne z dwóch różnych mteriłów idenie sprężysto-pstycznych, o modułch sprężystości, grnicch pstyczności orz przekrojch A A, obiczyć odksztłcenie resztkowe w tuei i pręcie orz wyznczyć nośność sprężystą i nośność pstyczną ukłdu. 4. (5 )(.) Stosując nogię wzgórz piskowego Nádi okreśić nośność grniczną pręt skręcnego, wykonnego z mteriłu idenie pstycznego o ksztłcie przekroju w postci ośmiokąt foremnego. 44. (5 ) (.) Stosując nogię wzgórz piskowego Nádi okreśić nośność grniczną pręt skręcnego, wykonnego z mteriłu idenie pstycznego o ksztłcie przekroju w postci pierścieni o średnicch R i r. 45. (5 )(.) Stosując nogię wzgórz piskowego Nádi okreśić nośność grniczną pręt skręcnego, wykonnego z mteriłu idenie pstycznego o ksztłcie przekroju w postci kwdrtu o boku b z wyciętym centrycznie kwdrtem o boku. 46. (5 )(.) Stosując nogię wzgórz piskowego Nádi okreśić nośność grniczną pręt skręcnego, wykonnego z mteriłu idenie pstycznego o ksztłcie przekroju jk n rysunku. 47. ( )(.) Stosując nogię wzgórz piskowego Nádi okreśić nośność grniczną pręt skręcnego, wykonnego z mteriłu idenie pstycznego o ksztłcie przekroju dwuspójnego jk n rysunku. Wykreśić inie nieciągłości nprężeń w przekrojch orz przedstwić grficznie wzgórze pisku d przekroju (5 )(.9) Tueję o średnicch 6 i 4 z prętem wewnątrz o średnicy, połączone sztywną trczą, obciążono momentem, wywołując jednkowe kąty skręceni tuei i pręt, przy czym promień okreśjący położenie frontu pstycznego wyniósł, n- 99

9 stępnie cłkowicie odciążono. Obiczyć moment i cłkowity kąt skręceni ukłdu pod obciążeniem ~ ϕ i po odciążeniu ϕ. Nrysowć odpowiednie rozkłdy nprężeń. 49. (5 )(8.) Okreśić nośność grniczną płyty w ksztłcie trójkąt równobocznego, obciążonej siłą skupioną w środku ciężkości. Rozwżyć dw kinemtycznie możiwe schemty zniszczeni, przedstwione n rysunku. Wykzć, że w drugim schemcie njniższą siłę otrzymuje się przy kącie ϕ 45. ϕ ϕ 5. (5 )(8.) Nieskończenie długie, swobodne podprte psmo płytowe jest obciążone siłą skupioną w środku swej szerokości. orównć dw kinemtycznie dopuszczne schemty zniszczeni i wskzć, który z nich jest njbrdziej prwdopodobny. ϕ 5. (5 )(8.4) rostokątn płyt o wymirch b, swobodnie podprt wzdłuż wszystkich boków, jest obciążon w środku ciężkości siłą. Zneźć prwidłowe schemty zniszczeni orz wyprowdzić wzory n siły niszczące w zeżności od stosunku boków. 5. ( )(8.5) łyt prostokątn o wymirch b, swobodnie podprt n obwodzie jest obciążon dwiem jednkowymi siłmi, rozmieszczonymi symetrycznie n krótszej osi symetrii, w odegłości c od dłuższych boków. Wyprowdzić wzory n siły odpowidjące kinemtycznie dopuszcznym schemtom zniszczeni, przedstwionym n rysunku (zznczone kąty to 45 ). rzenizowć rozwiąznie w zeżności od stosunku boków β b, b < orz prmetru η c b.

10 5. (5 )(8.9) Wyznczyć siłę grniczną d płyty w ksztłcie wieokąt o n bokch, podprtej punktowo w nrożch i obciążonej siłą skupioną w środku. Rozwżyć przejście grniczne do przypdku płyty kołowej podprtej przegubowo n obwodzie. 54. ( )(8.) łyt prostokątn o wymirch, podprt przegubowo n obwodzie, poddn jest dziłniu równomiernie rozłożonego obciążeni ciągłego (powierzchniowego). Wyznczyć nośność grniczną znjdując postć zniszczonej płyty. 55. ( )(8.5) Okreśić nośność grniczną płyty kołowo symetrycznej, utwierdzonej n obwodzie i obciążonej siłą skupioną w środku. 56. ( )(8.5) Okreśić nośność grniczną płyty kołowo symetrycznej, utwierdzonej n obwodzie i obciążonej równomiernym obciążeniem ciągłym n cłej powierzchni.