Temat: WYBRANE ZAGADNIENIA WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

Transkrypt

1 Temat: YBRNE ZGDNIENI YTRZYŁOŚCI TERIŁÓ prowadzenie ytrzymałość materiałów (stereomechanika techniczna) jest nauką o metodach obliczeń i projektowania konstrukcji odkształcalnych. Do problemów wytrzymałości należy ustalanie zależności między siłami działającymi na ciało odkształcalne (przyczynami) a odkształceniami teo ciała (skutkami). Efektem obliczeń jest taki dobór materiałów i wymiarów poszczeólnych elementów konstrukcji, aby były zdolne do przeniesienia działających na nie obciążeń zewnętrznych z dostatecznym zapasem bezpieczeństwa. Związek przyczynowo-skutkowy między siłami zewnętrznymi, wewnętrznymi i odkształceniami rzyczyna Siły zewnętrzne działające na ciało odkształcalne Skutek pierwotny owstanie sił wewnętrznych w elemencie (naprężeń) Skutek wtórny owstanie odkształceń (zmian eometrycznych elementu) YZNCZNIE SIŁ ENĘTRZNYCH (NRĘŻEŃ) yznaczanie sił wewnętrznych można przeprowadzić po przecięciu ciała i odrzuceniu jedneo z elementów. Zachodzi wówczas równowaa układów sił zewnętrznych i sił wewnętrznych działających na analizowane elementy. 1,,,..., n - obciążenie zewnętrzne C bieun ukcji sił wewnętrznych B dowolny punkt całkowita powierzchnia przekroju - moment łówny sił wewnętrznych F - wektor łówny sił wewnętrznych Rys. 1 Twierdzenie: Siły zewnętrzne są w równowadze z siłami wewnętrznymi działającymi na element I - element powierzchni, zawierający punkt B F elementarna siła działająca na powierzchnię F n składowa normalna elementarnej siły wewnętrznej F τ składowa styczna elementarnej siły wewnętrznej Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski str. 1

2 Definicje naprężeń w punkcie Naprężenie normalne: F n n lim 0 dfn d Naprężenie styczne: Fτ dfτ τ τ lim d 0 Jeżeli rozkład elementarnych sił wewnętrznych jest równomierny, naprężenia liczymy ze wzorów: F n n τ τ F τ N Jednostką naprężenia w układzie SI jest pascal (a): 1 a 1 m Stosuje się również jednostki: 1a 6 10 N / 6 m 10 a 1KG / cm 1KG / mm 9, , a a Zależność pomiędzy naprężeniami i odkształceniami dla jednoosioweo rozciąania RO HOOKE. ateriały pod wpływem obciążeń wydłużają się lub skracają proporcjonalnie do działającej siły o ile wartość siły nie przekroczy pewnej ranicy (ranicy proporcjonalności). l rawo Hooke a wyraża się wzorem: l o E dzie: l - wydłużenie pręta [m], - wartość działającej siły [N], l o - początkowa dłuość pręta [m] (przed wydłużeniem), - pole przekroju poprzeczneo [m ], E - moduł sprężystości wzdłużnej materiału (moduł Youna), wielkość stała dla daneo materiału [a]. l l l 0 Jeżeli zapiszemy: ε - wydłużenie jednostkowe, l 0 l 0 oraz - naprężenia normalne wtedy: ε ożna też zapisać: E ε E Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski str.

3 Dobrą ilustracją prawa Hooke a jest wykres rozciąania próbki stalowej w zakresie ranicy proporcjonalności R H R H ranica proporcjonalności (ranica stosowania prawa Hooke a), R e ranica plastyczności, R m wytrzymałość na rozciąanie Rys. Naprężenia określone symbolami R e i R m są naprężeniami niebezpiecznymi dla materiału ponieważ powodują trwałe, bezpowrotne odkształcenia próbki lub jej zerwanie. Dlateo też po przyjęciu współczynnika bezpieczeństwa stanowią podstawę określenia tzw. naprężeń dopuszczalnych Oólny warunek wytrzymałościowy dop dzie: - naprężenie zastępcze w danym punkcie wyznaczone na podstawie odpowiedniej hipotezy wytężenia, dop - naprężenie dopuszczalne dla daneo materiału i daneo stanu naprężenia. Naprężenie dopuszczalne dop x nieb dzie: nieb - naprężenie niebezpieczne dla daneo materiału, x współczynnik bezpieczeństwa, x>1 spółczynnik bezpieczeństwa określony ze wzlędu na R e oznacza sie symbolem x e, jeżeli natomiast określony jest ze wzlędu na R m oznacza się symbolem x m. TYOE RZYDKI YTRZYŁOŚCIOE DL OBCIĄŻEŃ STTYCZNYCH I. ytrzymałość prosta. Obciążenia statyczne rozciąanie i ściskanie ścinanie docisk powierzchniowy skręcanie zinanie, wyboczenie II. ytrzymałość złożona. Obciążenia statyczne. zinanie i ściskanie (rozciąanie), zinanie i ścinanie, zinanie i skręcanie. Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski str.

4 ROZCIĄGNIE Rys. ŚCISKNIE Rys. 4 arunek wytrzymałościowy r dop k r r - naprężenia rozciąające - osiowa siła rozciąająca - przekrój poprzeczny dop k r - naprężenia dopuszczalne na rozciąanie arunek wytrzymałościowy c dop kc c - naprężenia ściskające - osiowa siła ściskająca - przekrój poprzeczny dop k c - naprężenia dopuszczalne na ściskanie ŚCINNIE arunek wytrzymałościowy τ τ kt τ τ - naprężenia ścinające - siła poprzeczna tnąca - przekrój poprzeczny k t - naprężenia dopuszczalne na ścinanie Rys. 5 DOCISK OIERZCHNIOY Rys. 6 SKRĘCNIE arunek wytrzymałościowy d kd d - naprężenia między dociskanymi elementami (ciśnienie) - siła docisku - umowna powierzchnia docisku k d - naprężenia dopuszczalne na docisk powierzchniowy Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski str. 4

5 arunek wytrzymałościowy τ max s k s o τ max - max naprężenie styczne skręcaneo elementu s - moment skręcający o - wskaźnik wytrzymałości na skręcanie k s - naprężenia dopuszczalne na skręcanie Rys. 7 skaźnik wytrzymałości na skręcanie dla przekroju kołoweo: ZGINNIE o π d 16 0, d arunek wytrzymałościowy max k max - max naprężenie nące (normalne) zinaneo elementu - moment zinający - wskaźnik wytrzymałości na zinanie k - naprężenia dopuszczalne na zinanie Rys. 8 skaźniki wytrzymałości na zinanie wynoszą odpowiednio: d dla przekroju kołoweo: 0 1, π d dla przekroju prostokątneo: b h 6 Tabela 1. Orientacyjne wartości naprężeń dopuszczalnych w pa ateriał Rozciąanie Zinanie Skręcanie k r k k s Stal węlowa St Stal niskostopowa 18G Stop aluminium Uwaa: naprężenia k r obliczone zostały dla współ. bezpiecz. x e o wartościach i,. Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski str. 5

6 YTRZYŁOŚĆ ZŁOŻON. OBCIĄŻENI STTYCZNE. ZGINNIE I ROZCIĄGNIE, (ŚCISKNIE) Naprężenia zastępcze: ± r ( c ± ) + dzie: z - wskaźnik wytrzymałości na zinanie k r ( k c ) Rys. 9 ZGINNIE I SKRĘCNIE przekroju poprzecznym występuje równocześnie: moment zinający: moment skręcający: s onieważ mamy do czynienia ze złożonym stanem naprężeń, ocenę stopnia wytężenia materiału należy oprzeć na odpowiedniej hipotezie wytrzymałościowej. Dla materiałów plastycznych np. stale walcowane, kute stopy miedzi i aluminium naprężenia zukowane można obliczyć w wzorów: 1) hipoteza τ max + 4 τ k r ) hipoteza Hubera + τ k r Rys. 10 Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski str. 6

7 przypadku zinania ze skręcaniem wzory na naprężenia zukowane można wyrazić jako funkcję momentów nąceo i skręcająceo s. rzy zastosowaniu hipotezy Hubera: s + k r z o Dla przekroju kołoweo zachodzi : o z (patrz strona 5), otrzymamy: z s + z z s + 4 z po wprowadzeniu pojęcia tzw. momentu zastępczeo: + 0, 75 z s + zukowane: π k r, ponieważ z d, z wymaaną śnicę wału pełneo obliczymy ze wzoru: d π k k r s 0, 75, naprężenia r rzykład 1 Obliczyć śnicę pręta rozciąaneo sił osiową 0 kn. ręt wykonany jest ze stali St 5. Rozwiązanie arunek wytrzymałościowy: r dop k r, przekrój pręta wynosi: Z warunku wytrzymałościoweo otrzymamy: 4 π d k r oraz d 4 π k r π d 4 artość k r dla stali St 5 obliczamy na podstawie R m lub Re zakładając współczynnik bezpieczeństwa lub przyjmujemy otowe wartości na podstawie tablic z oradnika echanika. R m,re - również znajdujemy w tablicach własności mechanicznych materiałów w oradniku echanika. rzyjmując do obliczeń dolną wartość k r 10 a ( Tabl. 1 str. 5), obliczymy wymaaną śnice rozciąaneo pręta. d π ,0199 0,014m 14mm Do wykonania konstrukcji można przyjąć pręt o śnicy 14 mm lub większej z tablic wyrobów hutniczych. Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski str. 7

8 rzykład Sprawdzić naprężenia ścinające w połączeniu sworzniowym wykonanym ze stali St, jeżeli siła obciążająca złącze wynosi N, śnica sworznia wynosi 0 mm, natomiast naprężenia dopuszczalne na ścinanie k t 54 a. Rys. 11 Naprężenia ścinające występują w dwóch przekrojach połączenia B-B oraz C-C. Jeżeli założyć symetrię obciążenia to płaskownik órny i dolny przenoszą połowę siły przyłożonej do złącza. Zatem siła tnąca występująca w jednym przekroju wyniesie: T Zakładając równomierny rozkład naprężeń w każdym przekroju kołowym sworznia otrzymamy naprężenia ścinające: T 4 τ, π d po podstawieniu wartości liczbowych jest: τ ,a 16 a < k t 54 a π 0,0 Obliczenia wykazały, że złącze spełnia warunek wytrzymałości na ścinanie z dużym zapasem bezpieczeństwa. celu uzyskania pewności bezpiecznej pracy połączenia należałoby ponadto sprawdzić sworzeń na zinanie, naciski powierzchniowe oraz sprawdzić naprężenia rozrywające w niebezpiecznych przekrojach płaskowników. Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski str. 8

9 rzykład rzeprowadzić analizę wytrzymałościową belki prostej dwupodporowej o jednorodnym przekroju dwuteownika 140E (wymiary na rys.1), wykonanej ze stali 18G, obciążonej siłą skupioną i obciążeniem ciąłym q jak na rys. 1. Dane: l6 m, a m, b4 m, 10 kn, q kn/m, z 77, cm, k 174 a ramach analizy wytrzymałościowej belki należy: 1. obliczyć reakcje w podporach i B,. przebie momentu nąceo ( x ),. określić przebie siły tnącej T ( x ), 4. wskazać wartość maksymalną momentu nąceo, 5. sprawdzić naprężenia nące. Rys. 1 d 1). Reakcje w podporach R belki. R R R R B B b + a b ( b a) b a q ( l b) ( b a) q( l b) b q + ( l b)( l + b) b b ( l b) q l + b 0 0 0, R 0 wyznaczamy na podstawie warunków równowai o podstawieniu wartości liczbowych otrzymamy: R R 4 kn 10 kn d ). rzebie momentu nąceo określimy przesuwając się wraz z myślowym przekrojem poprzecznym od leweo do praweo końca belki lub odwrotnie. oment nący w dowolnym przekroju poprzecznym belki jest równy sumie alebraicznej momentów wszystkich sił działających na część belki odciętą tym przekrojem wzlędem jeo środka ciężkości. B Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski str. 9

10 d ). rzebie sił tnących określimy przesuwając się wraz z myślowym przekrojem poprzecznym od leweo do praweo końca belki lub odwrotnie. Siła tnąca T w dowolnym przekroju belki jest równa sumie współrzędnych wszystkich sił działających na część belki odciętą tym przekrojem na kierunku prostopadłym do osi belki. iędzy momentem nącym, siłą tnącą i obciążeniem ciąłym zachodzą związki : d dt d T, q, q dx dx dx Związki te można wykorzystać przy sprawdzeniu poprawności zapisu i wykresów momentów nących i sił tnących. Tablica Uwaa: celu analityczneo zapisu momentów nących i sił tnących i następnie ich prezentacji raficznej, przyjęte zostały reuły określania znaków momentów nących, sił tnących. Reuły te przedstawia Tablica. Równania momentów nących i sił tnących analizowanej belki zostały przedstawione w Tablicy, natomiast wykresy momentów nących i sił tnących przedstawia rys. 1. d 4). aksymalna wartość momentu zinająceo wynosi ( na podstawie wykresu rys. 1) d 5). Sprawdzenie naprężeń nących w belce: max 8 kn m 8000 N m z 77, cm, k 174 a max ,5 6 max 10 a 10,5 a 6 z 77, 10 rzekrój belki spełnia warunek wytrzymałości na zinanie. < k Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski str. 10

11 Tablica rzedział x oment nący Siła tnąca T 0 x < a R x T R a x < b R x ( x a) T R b x < l q ( ) ( ) ( x b) T R + RB q R x x a + RB x b ( x b) Rys. 1 Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski str. 11

12 ZDNI DO ROZIĄZNI N ĆICZENICH Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski str. 1