Leszek Słomiński Rachuek prawdopodobieństwa II. Zadaia Materiały dydaktycze dla studetów matematyki przygotowae w ramach projektu IKS - Iwestycja w Kieruki Strategicze a Wydziale Matematyki i Iformatyki UMK" Wydział Matematyki i Iformatyki Uiwersytet Mikołaja Koperika Toruń 20 Projekt współfiasoway ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego
Spis treści Wstęp 5. Zmiee losowe i wektory losowe 7.. Przykładowe zadaia z rozwiązaiami..................... 7.2. Zadaia dodatkowe............................... 2 2. Warukowa wartość oczekiwaa i rozkłady warukowe 5 2.. Przykładowe zadaia z rozwiązaiami..................... 5 2.2. Zadaia dodatkowe............................... 9 3. Ciągi iezależych zmieych losowych 2 3.. Przykładowe zadaia z rozwiązaiami..................... 2 3.2. Zadaia dodatkowe............................... 25 4. Zbieżość według rozkładu zmieych losowych 27 4.. Przykładowe zadaia z rozwiązaiami..................... 27 4.2. Zadaia dodatkowe............................... 3 Bibliografia 35 3
Wstęp Materiały Rachuek prawdopodobieństwa II. Zadaia zawierają komplete rozwiązaia zadań ze skryptu Rachuek prawdopodobieństwa II. Poadto zaleźć w ich moża szereg dodatkowych zadań przezaczoych do samodzielego rozwiązaia. Podobie jak w skrypcie stosujemy astępujace stadardowe ozaczeia: N ozacza zbiór liczb aturalych, R zbiór liczb rzeczywistych, R d d-kroty produkt liczb rzeczywistych, a A T ozacza macierz traspoowaą do macierzy A. 5
Rozdział. Zmiee losowe i wektory losowe.. Przykładowe zadaia z rozwiązaiami Zad... Niech X będzie zmieą losową o rozkładzie absolutie ciągłym z gęstością p(x). Jaki rozkład ma zmiea losowa Y = cx + d dla c, d R, c 0. Rozwiązaie. Wystarczy zastosować twierdzeie.5 dla fukcji f(x) = cx + d. W tym przypadku f (y) = (y d)/c i stąd gęstość rozkładu Y jest postaci g(y) = p(f (y)) (f ) (y) = p( y d ) c c, y R. Zad..2. Pokazać, że jeżeli X jest zmieą losową o rozkładzie ormalym N (0, ), to Y = X 2 ma rozkład o gęstości g(y) = 2πy exp( y 2 ) (0, )(y), y R +. Rozwiązaie, W tym przypadku ie możemy skorzystać z twierdzeia.5. Zauważmy, że dla y 0 mamy F Y (y) =. Z kolei dla y > 0 F Y (y) = P (X 2 y) = P ( y X y) = Φ( y) Φ( y) = 2Φ( y), gdzie Φ(y) = y 2π e 2 x2 dx jest dystrybuatą stadardowego rozkładu ormalego. W kosekwecji g(y) = F Y (y) = Φ ( y) = exp( y ), y > 0. y 2πy 2 Zad..3. Podaj przykład zmieych losowych ieskorelowamych, ale zależych. Rozwiązaie. Weźmy Ω = {ω, ω 2, ω 3, ω 4 } z prawdopodobieństwem klasyczym P ({ω i }) = /4. Niech ω = ω, X = ω = ω 2, 0 w przeciwym razie, 7
8 Rozdział. Zmiee losowe i wektory losowe oraz ω = ω 3, Y = ω = ω 4, 0 w przeciwym razie. Poieważ 0 = EXY = EX = EY, więc X, Y są ieskorelowae. Z drugiej stroy P (X = 0, Y = 0) = 0 4 = 2 = P (X = 0)P (Y = 0), 2 co pociąga, iż X, Y ie są iezależe. Zad..4. Niech X,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie dwupuktowym takim, że dla ustaloego p (0, ) P (X i = ) = p, P (X i = 0) = p, i =,...,. Zmiea losowa S = i= X i ma rozkład Beroullego z parametrami oraz p tz. ( ) P (S = k) = p k ( p) k, k = 0,,...,. k Rozwiązaie. Zauważmy, że korzystając z iezależości ciągu X,..., X dla każdego k = 0,,..., P (S = k) = P ( {X i =,..., X ik =, X j = 0,..., X j k = 0}) = = = i <...<i k i <...<i k i <...<i k i <...<i k P (X i =,..., X ik =, X j = 0,..., X j k = 0) P (X i = )...P (X ik = )P (X j = 0)...P (X j k = 0) p k ( p) k gdzie {j,..., j k } = {,..., } \ {i,..., i k }. Ostatecza kokluzja wyika z faktu, że liczba składików w ostatiej sumie jest rówa liczbie podzbiorów k elemetowych zbioru elemetowego, a więc ( k). Zad..5. Rozkład łączy zmieych losowych X, Y day jest wzorem c P ((X, Y ) = (m, )) =, m, N {0} 3 m+ 2 dla pewego c > 0. (a) Wyzacz c. Zajdź rozkłady brzegowe X i Y. Czy są to zmiee losowe iezależe? Czy są oe ieskorelowae? (b)wyzacz P (X = Y ), wartość oczekiwaą i macierz kowariacji wektora (X, Y ) T. (c) Wyzacz rozkład zmieej Z = X + Y. Rozwiązaie. Ad. (a) Zauważmy, że c = c 3 m+ 2 m=0 =0 m=0 3 m+ = c 2 2 = c, =0 2
Rozdział. Zmiee losowe i wektory losowe 9 co implikuje, iż c =. Poadto dla każdego m N {0} oraz dla każdego N {0} P (X = m) = P (Y = ) = =0 m=0 3 m+ 2 = 2 3 ( 3 )m 3 m+ 2 = 2 ( 2 ), a więc X, Y mają przesuięte rozkłady geometrycze odpowiedio z parametrami. Poadto są oe iezależe, gdyż dla wszystkich m, N {0} 2 3 i 2 P (X = m, Y = ) = 3 m+ 2 = 3 = P (X = m)p (Y = ) m+ 2 i jako iezależe są też oczywiście ieskorelowae. Ad. (b) Korzystając z wiadomości dotyczących przesuiętego rozkładu geometryczego z części teoretyczej E(X, Y ) T = (EX, EY ) T = ( 2, )T oraz korzystając z ieskorelowaia X, Y Cov((X, Y ) T ) 2 = Cov((X, Y ) T ) 2 = 0. Wykorzystując poowie część teoretyczą Cov((X, Y ) T ) = D 2 (X) = 3 4 i Cov((X, Y ) T ) 22 = D 2 (Y ) = 2. Poadto P (X = Y ) = m=0 3 m+ 2 m = 2 5. Ad. (c) Zmiea losowa Z przyjmuje wartości w zbiorze N {0}. Dla każdego k N {0} P (Z = k) = P (X + Y = k) = P ( = k {X = i, Y = k i}) i=0 k P (X = i, Y = k i) = i=0 = ( 2 3 )k+ 2 k. k P (X = i)p (Y = k i) Zad..6. Przedmiot moża zaliczyć do pierwszego gatuku z prawdopodobieństwem p, do drugiego gatuku z prawdopodobieństwem p 2 lub uzać za wadliwy z prawdopodobieństwem p 3 = p p 2. Przetestowao przedmiotów. Wyzaczyć rozkład i=0
0 Rozdział. Zmiee losowe i wektory losowe prawdopodobieństwa różych liczb przedmiotów pierwszego i drugiego gatuku, ich wartości oczekiwae i kowariację. Rozwiązaie. Niech zmiea losowa X opisuje ilość przedmiotów pierwszego gatuku, a Y ilość przedmiotów drugiego gatuku. Z treści zadaia wyika, że ( )( ) k P ((X, Y ) = (k, l)) = p k k l p l 2p k 3, dla wszystkich k = 0,,..., oraz l = 0,,..., k, gdzie p 3 = p p 2. Moża zauważyć, że dla wszystkich k = 0,..., k ( P (X = k) = k l=0 )( k l ) p k p l 2p k 3 = ( ) p k k ( p ) k, a więc X ma rozkład Beroullego z parametrami i p. Stąd EX = p. Podobie pokazujemy, że dla wszystkich l =,..., ( ) P (Y = l) = p k l 2( p 2 ) l, co pociąga, iż Y ma rozkład Beroullego z parametrami i p 2 i implikuje, że EY = p 2. Aby wyzaczeć kowariację cov(x, Y ) musimy jeszcze wyliczyć EXY. W tym celu zauważmy, że W kosekwecji EXY = k ( )( ) k kl p k k l p l 2p3 k = p p 2 ( ). k=0 l=0 cov(x, Y ) = EXY EXEY = p p 2 ( ) p p 2 = p p 2. X, Y są przykładem ujemie skorelowaych zależych zmieych losowych. Zad..7. Daa jest fukcja p(x, y) = { cxy x 2, 2 y 4 0 w przeciwym razie. Wyzacz stała c tak, aby fukcja ta była gęstością rozkładu. Wyzacz w tym przypadku gęstości rozkładów brzegowych. Rozwiązaie. Poieważ cxy [,2] (x) [2,4] (y)dxdy = a więc c =. Wtedy 9 p (x) = R R R 2 ( 4 2 cxydy)dx = 9c, 9 xy [,2](x) [2,4] (y)dy = 2 3 x [,2](x)
Rozdział. Zmiee losowe i wektory losowe oraz p 2 (y) = R 9 xy [,2](x) [2,4] (y)dx = 6 y [2,4](y) są gęstościami rozkładów brzegowych. Poieważ p(x, y) = p (x)p 2 (y) dla wszystkich x, y R, więc rozważay rozkład jest produktem rozkładów brzegowych. Zad..8. Wektor (X, Y ) T ma rozkład o gęstości p(x, y) = 5 2 (0,2x](y) (0, ) (x)e x 2y. Zajdź gęstości brzegowe zmieych X i Y oraz sprawdź, czy zmiee te są iezależe. Rozwiązaie. Wystarczy zauważyć, że 5 p X (x) = 2 (0,2x](y) (0, ) (x)e x 2y dy = 5 4 (e x e 5x ) (0, ) (x) oraz, że R p Y (y) = R 5 2 (0,2x](y) (0, ) (x)e x 2y dx = 5 3 2 e 2 y (0, ) (y). Poieważ p X (x)p Y (y) p(x, y), więc X, Y ie są iezależymi zmieymi losowymi. Zad..9. Zmiee losowe X i X 2 są iezależe i mają rozkłady absolutie ciągłe o gestościach odpowiedio rówych p (x ), p 2 (x 2 ). Wyzacz gęstość zmieej losowej Z = ax + bx 2. Rozwiązaie. Wykorzystamy twierdzeie.7 z części teoretyczej. Niech X = (X, X 2 ) T. Poieważ X, X 2 są iezależe X ma rozkład absolutie ciągły o gęstości p(x, x 2 ) = p (x )p 2 (x 2 ). Defiiujemy odwzorowaie T : R 2 R 2, gdzie ȳ = T ( x) jest postaci y = ax + bx 2, y 2 = x. Oczywiście T jest dyfeomorfizmem zbiorów otwartych. T = H jest postaci x = H (y, y 2 ) = y 2, x 2 = H 2 (y, y 2 ) = y ay 2. b Stąd wyzaczik macierzy Jacobiego jest postaci det DH =. W kosekwecji b gęstość rozkładu łączego zmieych losowych Y = ax +bx 2, Y 2 = X jest postaci g(y, y 2 ) = p(y 2, y ay 2 b ) b = p (y 2 )p 2 ( y ay 2 ) b b, a gęstość rozkładu zmieej losowej Z = Y = ax + bx 2 jest rówa p Z (y ) = p (y 2 )p 2 ( y ay 2 ) b b dy 2. R Zad..0. Niech X i X 2 będą iezależymi zmieymi losowymi o jedakowym rozkładzie jedostajym a odciku (0, ). Zajdź gęstość zmieej losowej Z = X X 2. Rozwiązaie. Wykorzystamy poowie twierdzeie.7 z części teoretyczej. Niech X = (X, X 2 ) T. Poieważ X, X 2 są iezależe X ma rozkład absolutie ciągły o gęstości p(x, x 2 ) = p (x )p 2 (x 2 ) = (0,) (x ) (0,) (x 2 ). Defiiujemy odwzorowaie T : R 2 R 2, gdzie ȳ = T ( x) jest postaci y = x x 2, y 2 = x 2. W tym przypadku
2 Rozdział. Zmiee losowe i wektory losowe T = H jest postaci x = H (y, y 2 ) = y y 2, x 2 = H 2 (y, y 2 ) = y 2. Stąd wyzaczik macierzy Jacobiego jest rówy det DH = y 2. Gęstość rozkładu łączego zmieych losowych Y = X X 2, Y 2 = X 2 jest więc daa wzorem g(y, y 2 ) = (0,) (y y 2 ) (0,) (y 2 ) y 2 = (0,) (y ) (0,/y )(y 2 )y 2, a gęstość rozkładu zmieej losowej Z = Y = X X 2 p Z (y ) = R (0,) (y ) (0,/y )(y 2 )y 2 dy 2 = W kosekwecji p Z (y ) = 2y 2 (0,) (y )..2. Zadaia dodatkowe Zad... Rozkład wektora (X, Y ) T przedstawia tabelka Y \X 0 0, 5 0, 25 0, 375 0 jest dla y (0, ) rówa y 0 y 2 dy 2 = 2y 2. (a) Zajdź rozkłady brzegowe X i Y. Czy zmiea X i Y są iezależe? Czy są ieskorelowae? (b) Wyzacz P (X = Y ), wartość oczekiwaą i macierz kowariacji wektora (X, Y ) T. (c) Podaj dystrybuatę wektora (X, Y ) T i rozkład zmieej losowej Z = X + Y. Zad..2. Rozkład wektora (X, Y ) przedstawia tabelka Y \X 2 3 4 2 0, 25 0, 25 0 0 4 0, 25 0 0, 25 0, 25 6 0 0 0, 25 05 (a) Zajdź rozkłady brzegowe X i Y. Czy zmiee losowe X i Y są iezależe? Czy są ieskorelowae? (b) Wyzacz P (X = Y ), wartość oczekiwaą i macierz kowariacji wektora (X, Y ). (c) Wyzacz rozkład zmieej losowej Z = X + Y. Zad..3. Pokazać, że jeżeli X, Y mają rozkłady Beroullego z odpowiedio z parametrami, p (0, ) i 2, p (0, ) i są iezależe, to X + Y też ma rozkład Beroullego z parametrami + 2, p. Zad..4. X, Y są iezależymi zmieymi losowymi, przy czym X ma rozkład Poissoa z parametrem λ, a Y rozkład geometryczy z parametrem p, tz. P (Y = k) = ( p) k p dla k =, 2,.... Obliczyć E[X 2 ( ) Y ]. Zad..5. Rzucamy sześciokrotie rzetelą kostką do gry. Jaka jest wartość oczekiwaa ilości rzutów, w których liczba wyrzucoych oczek jest rówa umerowi rzutu?
Rozdział. Zmiee losowe i wektory losowe 3 Zad..6. Niech X,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o rozkładzie wykładiczym z parametrem λ =. Zaleźć gęstość rozkładu zmieych Y = max i X i, Y 2 = mi i X i. Zad..7. Daa jest fukcja p(x, y) = { 8 (x2 y 2 )e x y x 0 w przeciwym razie Zbadać, czy tak określoa fukcja jest gęstością pewego wektora losowego (X, Y ) T. Wyzacz gęstości brzegowe. Zad..8. Fukcja F (x, y) jest określoa wzorem: F (x, y) = { x + y 0 0 w przeciwym razie Zbadać, czy tak określoa fukcja może być traktowaa jako dystrybuata pewego wektora losowego (X, Y ) T. Zad..9. Fukcja p(x, y) = { e y 0 x <, x y < 0 w przeciwym razie jest gęstością rozkładu wektora losowego (X, Y ). Wyzacz jego dystrybuatę oraz gęstości rozkładów brzegowych. Zad..20. Fukcja p(x, y) = { 2 xy 0 < x y 0 w przeciwym razie jest gęstością rozkładu wektora losowego (X, Y ) T. Wyzacz jego dystrybuatę oraz gęstości rozkładów brzegowych. Zad..2. Fukcja p(x, y) = { 0, 5 si(x + y) 0 x /2π, 0 y /2π 0 w przeciwym razie określa rozkład wektora losowego (X, Y ) T. Wyzacz jego dystrybuatę, wartość oczekiwaą oraz macierz kowariacji. Zad..22. Podaj przykład dwóch wektorów losowych o różych rozkładach łączych, które maja te same rozkłady brzegowe. Zad..23. Zmiee losowe X i Y są iezależe i mają rozkład ormaly N (0, ). Czy zmiee losowe 2X + Y i X + 2Y są iezależe?
4 Rozdział. Zmiee losowe i wektory losowe Zad..24. Zmiee losowe X i Y są iezależymi zmieymi losowymi o rozkładzie jedostajym a odciku (0, ). Oblicz wartość oczekiwaą zmieej losowej Z = exp X Y. Zad..25. Zmiee losowe X i Y są iezależymi zmieymi losowymi o rozkładzie jedostajym a odciku (0, 2). Oblicz P (X Y 2 ). Zad..26. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeia, że pierwiastki rówaia x 2 + 2P x + Q = 0 są rzeczywiste, przy założeiu, że P i Q są iezależymi zmieymi losowymi o rozkładach jedostajych, odpowiedio, a odcikach ( a, a) i ( b, b). Zad..27. Rozkład wektora (X, Y ) T przedstawia tabelka Y \X 0 0, 5 0, 25 0, 375 0 Wyzacz rozkład wektora losowego (X Y, X + 2Y ) T. Zad..28. Niech X i Y będą iezależymi zmieymi losowymi o rozkładach, odpowiedio, geometryczym z parametrem /2 i jedostajym a odciku [0, 2). Zajdź rozkład zmieej Z = [X + Y ]. Zad..29. Niech X, X 2 będą iezależymi zmieymi losowymi o jedakowym rozkładzie wykładiczym z parametrem λ. Wyzacz gęstość rozkładu wektora losowego Ȳ = T ( X) = (X X 2, X 2 ) T.
5 Rozdział 2. Warukowa wartość oczekiwaa i rozkłady warukowe 2.. Przykładowe zadaia z rozwiązaiami Zad. 2.. Niech X = A będzie zmieą losową a (Ω, F, P ), iech też B F. Ozaczmy G = σ(b). Wyzacz E(X G). Rozwiązaie. σ-algebra G jest geerowaa przez rozbicie B, B c. W kosekwecji E(X G) = E( A B) B + E( A B c ) B c = P (A B) B + P (A B c ) c B. Zad. 2.2. Niech rozkład wektora (X, Y ) będzie day tabelką: Jaka jest E(X Y )?. X\Y 0 2 - /4 /4 0 0 /4 /4 Rozwiązaie. Poieważ Y przyjmuje tylko dwie wartości możemy skorzystać z defiicji warukowej wartości oczekiwaej gdy σ-algebra geerowaa jest przez rozbicie. W aszym przypadku składa się oo z dwóch zbiorów {Y = } i {Y = }. Dlatego E(X Y ) = E(X Y = ) {Y = } + E(X Y = ) {Y =} = X dp {Y = } + P (Y = ) P (Y = ) {Y = } {Y =} X dp {Y =} = 2(0 4 + 4 + 2 0) {Y = } + 2(0 4 + 0 + 2 4 ) {Y =} = 2 {Y = } + {Y =}. Zad. 2.3. Niech {X } będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o tym samym rozkładzie, a N iech będzie zmieą losową o wartościach w N {0} iezależą od {X }. Niech też S N = X + X 2 +... + X N.
6 Rozdział 2. Warukowa wartość oczekiwaa i rozkłady warukowe Pokazać, że jeżeli EX 2 < + oraz EN 2 < +, to D 2 (S N N) = ND 2 (X ). Rozwiązaie. W przykładzie 2. pokazaliśmy, że E(S N N) = NE(X ). Korzystając bezpośredio z defiicji warukowej wartości oczekiwaej w przypadku σ-algebry geerowaej przez rozbicie i wykorzystując fakt, iż wariacja sumy iezależych zmieych losowych rówa się sumie ich wariacji D 2 (S N N) = E((S N E(S N N)) 2 N) = = = E((S N E(X )N) 2 N = i) {N=i} i=0 E((S i E(X )i) 2 N = i) {N=i} = i=0 D 2 (S i ) {N=i} = i=0 = D 2 (X )N. id 2 (X ) {N=i} i=0 E(S i E(X )i) 2 {N=i} Zad. 2.4. Niech zmiea losowa Y ma rozkład Poissoa z parametrem λ > 0, a P X Y =, N {0} mają rozkłady Beroullego dla prób ze stałym prawdopodobieństwem sukcesu p (0, ). Wyliczyć rozkład zmieej losowej X oraz E(X Y ). Rozwiązaie. Zauważmy, że dla każdego k N {0} P (X = k) = = i=0 P (X = k Y = )P (Y = ) =k =k = (λp)k e λ k! = (λp)k k! ( )p k k λ ( p) k! e λ =k [λ( p)] k ( k)! e λ e λ( p) = (λp)k e λp. k! Stąd X ma rozkład Poissoa z parametrem pλ. Poadto E(X Y ) = E(X Y = ) {Y =} = =0 p {Y =} = Y, gdzie skorzystaliśmy z faktu, że wartość oczekiwaa zmieej losowej o rozkładzie Beroullego z parametrami i p (0, ) wyosi p (patrz Przykład.2). Zad. 2.5. Niech X,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie dwupuktowym takim, że dla ustaloego p (0, ) =0 P (X i = ) = p, P (X i = 0) = p, i =,...,.
Rozdział 2. Warukowa wartość oczekiwaa i rozkłady warukowe 7 Niech też S = i= X ik. Pokazać, że E(X S = k) = k, k = 0,,...,. Rozwiązaie. Z poprzedich rozważań wiemy, że S ma rozkład Beroullego z parametrami, p. Dlatego E(X S = k) = P (X = S = k) + 0 P (X = 0 S = k) = P (X =, S = k) P (S = k) = P (X = )P (X 2 +... + X = k ) P (S = k) = p( ) k p k ( p) (k ) ( ) pk ( p) k k = k, gdzie wykorzystaliśmy fakt, że X 2 +... + X ma rozkład Beroullego z parametrami i p. Zad. 2.6. Wektor (X, Y ) T ma rozkład absolutie ciągły z gęstością p(x, y) = (x 2 + 2y 2 ) (0,) (x) (0,) (y). Wyzacz gęstość warukową f X Y (x y) oraz E(X Y ). Rozwiązaie. Zauważmy ajpierw, że Y ma rozkład absolutie ciągły o gęstości p Y (y) = (x 2 + 2y 2 ) (0,) (x) (0,) (y)dx Stąd dla y (0, ) = R 0 (x 2 + 2y 2 ) (0,) (y)dx = ( 3 + 2y2 ) (0,) (y). p X Y (x y) = p(x, y) P Y (y) = (x2 + 2y 2 ) (0,) (x) +. 3 2y2 W kosekwecji dla y (0, ) E(X Y = y) = R xp X Y (x y)dx = 0 x x2 + 2y 2 dx = + 2y2 3 + 4 2y2 +, 3 2y2 co pociąga, iż E(X Y ) = + 2Y 2 4 + 2Y. 3 2
8 Rozdział 2. Warukowa wartość oczekiwaa i rozkłady warukowe Zad. 2.7. Niech gęstości rozkładu zmieej losowej X i rozkładu warukowego będą postaci p X (x) = (0,) (x), p Y X (y x) = x (0,x)(y) dla x (0, ). Wyliczyć: (a) E(Y X), (b) E(X Y ). Rozwiązaie. Ad. (a) Poieważ dla x (0, ) więc E(Y X) = X 2. E(Y X = x) = R yp Y X (y x)dy = x 0 y x dy = x 2, Ad.(b) Zauważmy, że w tym przypadku gęstość rozkładu łączego jest postaci p(x, y) = p Y X (y x)p X (x) = x (0,x)(y) (0,) (x). Stąd dla y (0, ) p Y (y) = R p(x, y)dx = y dx = l y x oraz p X Y (x y) = p(x, y) p Y (y) = x (0,x)(y) (0,) (x) l y = x (y,)(x) (0,) (y). l y W kosekwecji dla y (0, ) E(X Y = y) = co pociąga, iż E(X Y ) = Y l Y. R xp X Y (x y)dx = y x x l y dx = y l y, Zad. 2.8. Niech X, Y będą iezależymi całkowalymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Uzasadić, że E(X X + Y ) = E(Y X + Y ) = X + Y 2 Rozwiązaie. Niech z R. Korzystając z symetrii Poadto E(X X + Y = z) = E(Y X + Y = z). E(X X + Y = z) + E(Y X + Y = z) = E(X + Y X + Y = z) = z, co pociąga, iż E(X X + Y = z) = E(Y X + Y = z) = z 2. Teza wyika z dowolości z R..
Rozdział 2. Warukowa wartość oczekiwaa i rozkłady warukowe 9 2.2. Zadaia dodatkowe Zad. 2.9. Rozkład wektora (X, Y ) T przedstawia tabelka Y \X 3 0 0, 2 0, 3 2 0, 4 Wyzacz rozkład zmieej X pod warukiem Y oraz E(X Y ). Zad. 2.0. Wektor (X, Y ) T ma rozkład o gęstości p(x, y) = (x + y) (0,) (x) (0,) (y). Zajdź: (a) gęstości zmieych X i Y i sprawdź, czy są iezależe, (b) rozkłady warukowe P X Y =/2, P Y X=/4 oraz gęstości warukowe p X Y (x y), p Y X (y x), (c) warukowe wartości oczekiwae E(X Y ), E(X 2 Y ). Zad. 2.. Rzucamy trzy razy symetrycza moetą, iech X ozacza liczbę reszek. Zajdź warukową wartość oczekiwaą zmieej X pod warukiem, że wyrzucoo co ajwyżej orła. Zad. 2.2. Rzucamy dwiema kostkami do gry. Niech U ozacza miimum, a V maximum otrzymaych liczb. Wyzacz P (U 3 V = 4) oraz E(U V ). Zad. 2.3. Rzucamy 0 razy symetryczą moetą. Niech X ozacza liczbę orłów, a Y liczbę orłów w pierwszych 4 rzutach. Wyzacz E(X Y ). Zad. 2.4. Niech X < Y będą iezależymi zmieymi losowymi, f, g : R R fukcjami borelowskimi takimi, że f(x), g(y ) są całkowale. Uzasadić, że E(f(X)g(Y ) X) = f(x)eg(y ). Zad. 2.5. Gęstość rozkładu wektora (X, Y ) T daa jest wzorem p(x, y) = 4 (0,2)(x) (0,2) (x y). Wyzacz p y x (y x), P ( Y < X = ) i E(Y X). Zad. 2.6. Rozkład wektora losowego (X, Y ) T ma gęstość Wyzacz p X Y (x y) i p Y X (y x). p(x, y) = 4xye (x2 +y 2) (0, ) (x) (0, ) (y). Zad. 2.7. Wektor (X, X 2 ) T ma rozkład o gęstości { 24( x2 )x p(x, x 2 ) = gdy 0 < x x 2 <, 0 w przeciwym wypadku, Zajdź: (a) prawdopodobieństwo warukowe P (X 3 X 2 = 2 3 ), oraz gęstość warukową p X X 2 (x x 2 ), (b) warukowe wartości oczekiwae E(X X 2 ), E(X X 2 X 2 ).
20 Rozdział 2. Warukowa wartość oczekiwaa i rozkłady warukowe Zad. 2.8. Wektor (X, X 2 ) T ma rozkład absolutie ciągły o gęstości p(x, x 2 ) = 6x x 2 (2 x x 2 ) (0,) (x ) (0,) (x 2 ). Zajdź: (a) gęstość warukową p X X 2 (x x 2 ), (b) warukową wartość oczekiwaą E(X 2 X 2 X 2 ). Zad. 2.9. Wektor (X, X 2 ) T ma rozkład o gęstości { c(x2 x p(x, x 2 ) = )x gdy 0 < x x 2 <, 0 w przeciwym wypadku, Zajdź: (a) wartość c, gęstość warukową p X X 2 (x x 2 ), (b) warukowe wartości oczekiwae E(X 2 X 2 ), E(X 2 X 2 X 2 ). Zad. 2.20. Wektor (X, X 2 ) T ma rozkład o gęstości p(x, x 2 ) = { 3 x 2 x2 2 gdy x x 2 2, 0 w przeciwym wypadku, Zajdź: (a) gęstość warukową p X X 2 (x x 2 ) oraz prawdopodobieństwo warukowe P (X 9 X 2 = 2), (b) warukową wartość oczekiwaą E( X si X 2 X 2 ). Zad. 2.2. Niech zmiee losowe U i V mają gęstość łączą p(u, v) = e v, 0 < u < v <. Wyzacz p U V (u v), p V U (v u) oraz E(U V ). Zad. 2.22. Niech X, Y będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie jedostajym a (0, ). Zaleźć rozkład warukowy U = mi(x, Y ) względem V = max(x, Y ).
2 Rozdział 3. Ciągi iezależych zmieych losowych 3.. Przykładowe zadaia z rozwiązaiami Zad. 3.. Niech X będzie zmieą losową o rozkładzie P (X = 0) = e, P (X = ) = 3e, P (X = 2) = 2e, 2. Zbadaj zbieżość ciągu {X } wg prawdopodobieństwa i P -prawie wszędzie. Rozwiązaie. Przewidujemy, że możliwą graicą jest zmiea losowa X =. Poieważ { 0 jeżeli ɛ P ( X > ɛ) = 3e jeżeli 0 < ɛ <, więc P ( X > ɛ) 0 i bezpośredio z defiicji X P. W celu uzasadieia zbieżości P -p.w. zauważmy ajpierw, że dla każdego ɛ > 0 { 0 jeżeli ɛ P ( X > ɛ) = 3 =2 e jeżeli 0 < ɛ <, =2 jest szeregiem zbieżym, co pociąga w szególości, iż lim k =k W kosekwecji dla każdego ɛ > 0 P (sup k P ( X > ɛ) = 0. X > ɛ) = P ( { X > ɛ}) =k P ( X > ɛ) 0, co jest jedym z rówoważych waruków zbieżości X P -p.w. Zad. 3.2. Niech X, X 2,... będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o tym samym rozkładzie jedostajym a (0, ). Uzasadić, że ciąg =k Y = mi(x, X 2,..., X ), N
22 Rozdział 3. Ciągi iezależych zmieych losowych jest zbieży według prawdopodobieństwa do 0. Rozwiązaie. Niech ɛ > 0. Wykorzystując iezależość ciągu zmieych losowych mamy P (Y > ɛ) = P (X > ɛ,..., X > ɛ) = P (X > ɛ)... P (X > ɛ) = [max(0, ɛ)] 0. Zad. 3.3. Udowodij ierówość Czebyszewa mówiącą, że dla dowolej zmieej losowej Y o skończoej wariacji i dowolego ɛ > 0 zachodzi oszacowaie Rozwiązaie. Wystarczy zauważyć, że P ( Y EY ɛ) D 2 (Y )ɛ 2. ɛ 2 P ( Y EY ɛ) E { Y EY ɛ} (Y EY ) 2 E(Y E Y ) 2 = D 2 (Y ). Zad. 3.4. Udowodij lemat Borela-Catellego, który mówi, że dla dowolego ciągu zdarzeń A, A 2,... a (Ω, F, P ) = P (A ) < + P (lim sup A ) = 0. Rozwiązaie. Poieważ A = lim sup A = = k= A k, więc dla każdego N P (A) P ( A k ) P (A k ). k= Poieważ k= P (A k) 0 przy jako reszta zbieżego szeregu liczbowego, więc P (A) = 0. Zad. 3.5. Niech {X }, {Y } będą ciągami iezależych zmieych losowych takich, że dla każdego N zmiea losowa X ma rozkład jedostajy a przedziale (0, ), a Y ma rozkład wykładiczy z parametrem. Zbadaj zbieżość prawie wszędzie szeregów (a) X =, = Y (b) X Y = przy dodatkowym założeiu wzajemej iezależości ciągów {X } i {Y }. Rozwiązaie. Ad. (a) Szereg X = o dwóch szeregach i faktu, że oraz = = E X = = D 2 ( X ) = 2 2 = k= jest zbieży P -p.w.. Wyika to z twierdzeia 2 = 2 = = 2 2 2 < + = 4 < +. Z kolei drugi szereg = Y jest rozbieży. Wyika to z twierdzeia Kołmogorowa o trzech szeregach. Istotie, dla każdego c > 0 P ( Y > c) = P (Y > c) = e c = +. = = =
Rozdział 3. Ciągi iezależych zmieych losowych 23 Ad. (b) Z twierdzeia Kołmogorowa o dwóch szeregach wyika, że rozważay szereg jest zbieży P -p.w. W tym celu wystarczy zauważyć, że oraz = = E X Y = = EX EY = = = D 2 ( X Y ) E( X Y )2 = = = 2 = 2 = EX 2 EY 2 2 ( 2 2 + 2 4 ) 2 = 2 2 3 = = 2 < + 4 < +. Zad. 3.6. Niech Y, Y 2,... będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o tym samym rozkładzie dwupuktowym P (Y = ) = P (Y = ) = 2, N. Szereg = a Y jest zbieży P -p.w. wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbieży szereg liczbowy = a2. Rozwiązaie. Załóżmy ajpierw zbieżość szeregu liczbowego. Poieważ EY = 0, D 2 (Y )=, więc Ea Y = 0 = oraz D 2 (a Y ) = a 2 < + = = i zbieżość szeregu zmieych losowych wyika z twierdzeia o dwóch szeregach. Z kolei, jeżeli jest zbieży szereg zmieych losowych, to wykorzystując twierdzeie Kołmogorowa o trzech szeregach istieje c > 0 takie, że P ( a Y > c) < +. = Poieważ Y = ozacza to zbieżość szeregu o składikach 0 lub P ( a > c), = która może mieć miejsce tylko w przypadku, gdy istieje N takie, że dla wszystkich N a c. Korzystając poowie z twierdzeia Kołmogorowa a 2 = =N D 2 (a Y ) < +, =N co oczywiście zapewia zbieżośc całego szeregu.
24 Rozdział 3. Ciągi iezależych zmieych losowych Zad. 3.7. Niech X, X 2,... będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o tym samym rozkładzie zadaym przez gęstość p(x) = 3 4x 2 (/2,3/2)(x). Wyzacz graicę prawie wszędzie ciągu zmieych losowych Rozwiązaie. Oczywiście Y = (X X 2... X ) /, N. l Y = l X +... + l X, N. Zauważmy, że E l X < + gdyż l X jest zmieą losową ograiczoą. Poadto wykorzystując całkowaie przez części E l X = 3/2 /2 l x 3 4x dx = 3 l x 3/2 2 4 x 3/2 /2 + 3 /2 4x dx 2 = 3 2 + 3 2 l 2 + = l 2 3. Z mocego prawa wielkich liczb Kołmogorowa wyika, że Stąd wioskujemy, że Zad. 3.8. Pokazać, że lim 0 0 l Y l 2 3 P -p.w. Y e l 2 3 P -p.w. x 3 + x 3 2 +... + x 3... dx dx 2...dx = 0 x + x 2 +...x 2. Rozwiązaie. Niech X, X 2,... będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o tym samym rozkładzie jedostajym a (0, ). Z mocego prawa wielkich liczb Kołmogorowa Y = X3 + X 3 2 +... + X 3 X + X 2 +...X = X 3 +X3 2 +...+X3 X +X 2 +...X EX3 EX = 4 2 = 2 P -p.w., gdyż EX = oraz 2 EX3 = 0 x3 dx =. Z drugiej stroy z twierdzeia o zmiaie 4 miary dla wektorów losowych dla każdego N 0 0... 0 x 3 + x 3 2 +... + x 3 x + x 2 +...x dx dx 2...dx = E X3 + X 3 2 +... + X 3 X + X 2 +...X = EY. Aby zakończyć dowód wystarczy pokazać, że EY. W tym celu zastosujemy 2 twierdzeie Lebesgue a o zbieżości zmajoryzowaej. Istotie, poieważ Y 2 P -p.w. oraz dla każdego N więc EY 2. 0 < Y = X3 + X 3 2 +... + X 3 X + X 2 +...X <,
Rozdział 3. Ciągi iezależych zmieych losowych 25 3.2. Zadaia dodatkowe Zad. 3.9. Niech X będzie zmieą losową o rozkładzie wykładiczym z parametrem λ = / oraz Y = e [ 2,+ )(X ), N. Zbadaj zbieżość ciągu {Y } według prawdopodobieństwa i prawie wszędzie. Zad. 3.0. Niech {X } będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o jedakowym rozkładzie jedostajym a odciku (, ). Udowodij, że szereg si(2πx ) jest prawie wszędzie zbieży. = Zad. 3.. Zbadaj zbieżość prawie wszędzie szeregu iezależych zmieych losowych = X w przypadku, gdy (a) P (X = /) = /, P (X = / 2 ) = / (b) P (X = ) = /, P (X = / 2 ) = /. Zad. 3.2. Niech {X } będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o rozkładach absolutie ciągłych z gęstościami rówymi odpowiedio p (x) = 2 2 x (0, )(x), N. Zbadaj zbieżość szeregu = X. Zad. 3.3. Niech X, X 2,... będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o rozkładzie jedostajym a odciku (0, π). Zbadaj zbieżość P -p.w. ciągu Y = k= X k k= si X k. Zad. 3.4. Niech X, X 2,... będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o rozkładzie N (, 4). Zajdź graicę prawie wszędzie ciągu Y = X +... + X X 2 +... + X 2 Zad. 3.5. Niech X, X 2,..., X,.. będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o rozkładach wykładiczych z parametrami odpowiedio, 2,...,,... Zbadaj zbieżość prawie wszędzie szeregu (a) = X (b) = Zad. 3.6. Niech X, X 2, X 3,... będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o rozkładzie jedostajym a przedziale ( π, π ). Zbadać zbieżość prawie wszędzie ciągów 2 2 k= Y = (X k + ) 2 k= cos X, Z = k k= (X U k + ) 2 = Z, V = Z.. X. Zad. 3.7. Niech {X } 2 będzie ciągiem iezależych zmieych losowych rozkładzie P (X = 4 ) = P (X = 4 = 2 ), P (X = 0) = 2 2. Udowodij, że szereg = X jest prawie wszędzie zbieży pomimo, że szereg wariacji X jest rozbieży.
26 Rozdział 3. Ciągi iezależych zmieych losowych Zad. 3.8. Niech X, X 2,... będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o tym samym rozkładzie wykładiczym z parametrem. Zbadaj zbieżość prawie wszędzie szeregu (a) = (b) = X 2 X. Zad. 3.9. Niech {X } będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o rozkładach N (0, ). Oblicz graicę prawie wszędzie i według prawdopodobieństwa lim X 2 +... + X 2. Zad. 3.20. {X } jest ciągiem zmieych losowych takim, że X ma rozkład Poissoa z parametrem, N. Pokazać, że X P. Zad. 3.2. Niech {X } będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o rozkładach wykładiczych z parametrem λ =. Zbadać zbieżość ciągu Y = k= e X k k= X. k Zad. 3.22. Niech {X } będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o rozkładach jedostajych a przedziale (, ). Zbadać zbieżość ciągu Y = k= (X 2k X 2k ) 2 k= (X. k) Zad. 3.23. Niech X, X 2, X 3,... będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o rozkładach U( π, π ). Zbadać zbieżość prawie wszędzie ciągu 2 2 Y = k= (X k + ) 2 k= cos X. k Zad. 3.24. Niech {X } będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o rozkładzie jedostajym a ( 4, 4). Zbadaj zbieżość prawie wszędzie ciągów zmieych losowych i zajdź ich graice: {Y = X2 +X2 2 +...+X2 }, {Z = X2 +X2 2 +...+X2 }. X 4+X4 2 +...+X4 Zad. 3.25. Niech {X } będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o rozkładach jedostajych a przedziale (0, ). Zbadać zbieżość ciągu Y = (X X 2... X ) /.
Rozdział 4. Zbieżość według rozkładu zmieych losowych 4.. Przykładowe zadaia z rozwiązaiami Zad. 4.. Pokazać, że jeżeli X D X, Y P 0, to (a) Y X P 0, (b) Y + X D X. Rozwiązaie. Ad. (a) Niech ɛ > 0. Musimy pokazać, że P ( Y X > ɛ) 0. W tym celu zauważmy ajpierw, że ciąg rozkładów zmieych losowych X jest słabo zbieży, a więc jest jędry tz. dla każdego δ > 0 istieje K > 0 takie, że sup P ( X > K) δ. Dlatego P ( Y X > ɛ) = P ( Y X > ɛ, X K)P ( Y X > ɛ, X > K) P ( Y > ɛ K ) + P ( X > K) P ( Y > ɛ K ) + δ i w kosekwecji dla każdego δ > 0 Stąd lim P ( Y X > ɛ) = 0. lim sup P ( Y X > ɛ) δ. Ad. (b) Wykorzystamy charakteryzację zbieżości według rozkładu za pomocą fukcji charakterystyczych. Poieważ ϕ X (t) = Ee itx ϕ X (t), t R oraz z twierdzeia Lebesgue a o zbieżości zmajoryzowaej ϕ Y+X (t) ϕ X (t) = Ee it(y+x) Ee itx = Ee itx (e ity ) E e itx (e ity ) E e ity 0, więc rówieź ϕ Y+X (t) ϕ X (t), t R. 27
28 Rozdział 4. Zbieżość według rozkładu zmieych losowych Zad. 4.2. Niech {a }, {b } będą ciągami liczbowymi takimi, że a a, b b. Jeżeli X D X, to a X + b D ax + b. Rozwiązaie. Wiemy z części teoretyczej, że jeżeli X D X, to dla dowolej fukcji ciągłej g : R R rówież g(x ) D g(x). Biorąc g(x) = ax+b otrzymujemy stąd, że ax + b D ax + b. Zauważmy, że a X + b = Y + ax + b, gdzie Y = (a a)x +b b, N. Korzystając z części (a) poprzediego zadaia otrzymujemy, że Y P 0. Stosując potem część (b) wioskujemy, że a X + b D ax + b Zad. 4.3. Zbadać zbieżość według rozkładu ciągu X, X 2,, gdzie P (X = ) = P (X = ) = 2, N. Rozwiązaie. Poieważ dla każdego K > 0 istieje takie N, że dla wszystkich N P (X ( K, K]) = 0, więc ciąg rozkładów zmieych losowych X, X 2,... ie może być jędry. Ciąg X, X 2,... ie może więc być zbieży według rozkładu. Zad. 4.4. Niech X, X 2,... będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o tym samym rozkładzie jedostajym a (0, ). Uzasadić, że ciąg Y = mi(x, X 2,..., X ), N jest zbieży według rozkładu do rozkładu wykładiczego z parametrem λ =. Rozwiązaie. Zmiee losowe Y przyjmują wartości dodatie, więc moża ograiczyć badaie ich dystrybuat dla dodatich argumetów. Niech a > 0. Niech też a. Zauważmy, że dzięki iezależości P (Y > a) = P (X > a,..., X > a ) = P (X > a )... P (X > a ) = ( a ) e a, co pociąga, iż F Y (a) F µ (a), a R gdzie µ jest rozkładem wykładiczym z parametrem λ =. Zad. 4.5. Niech X, X 2,... będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o tym samym rozkładzie jedostajym a (0, ). Uzasadić, że ciąg Y = max(x, X 2,..., X ), N jest zbieży według prawdopodobieństwa do 0. Rozwiązaie. Niech a > 0. Wtedy P (Y a) = P (X a,..., X a) = P (X a)... P (X a) = [max(a, )],
Rozdział 4. Zbieżość według rozkładu zmieych losowych 29 co pociąga, iż F Y (a) { 0 jeżeli a < w przeciwym razie. Stąd Y D, a poieważ zbieżość według rozkładu do stałej jest rówoważa zbieżości według prawdopodobieństwa, więc rówież Y D. Zad. 4.6. Niech X, X 2,... będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o tym samym rozkładzie zadaym przez gęstość p(x) = 3 4x 2 (/2,3/2)(x). Wyzacz graicę według rozkładu dla ciągu Z = k= X2 k 3 4, N. Rozwiązaie. Zauważmy, że oraz EX 2 = 3/2 /2 x 2 3 4x 2 dx = 3 4 D 2 (X 2 ) = EX 4 (EX 2 ) 2 = 3/2 /2 x 4 3 4x 2 dx 9 6 = 26 32 9 6 = 4. Korzystając z cetralego twierdzeia graiczego Levy ego k= X2 k 3 4 D N (0, ). 4 W kosekwecji Z = 4 k= X2 k 3 4 4 D N (0, 4 ). Zad. 4.7. Załóżmy, że prawdopodobieństwo urodzeia się chłopca jest stałe i wyosi 0,52. Jak oszacować prawdopodobieństwo, że wśród 0 4 oworodków będzie o poad 200 chłopców więcej iż dziewczyek? Rozwiązaie. Niech = 0 4, p = 0, 52 oraz iech dla k =, 2,..., {, gdy k - ty oworodek jest chłopcem X k = 0, gdy k - ty oworodek jest dziewczyką. Zakładamy, że są to iezależe zmiee losowe o tym samym rozkładzie dwupuktowym. S = X + + X jest liczbą urodzoych chłopców wśród oworodków,
30 Rozdział 4. Zbieżość według rozkładu zmieych losowych a S liczbą urodzoych dziewczyek. Oczywiście S > S + 200 dokładie wtedy, gdy S > 500 oraz P (S > 500) = P (S 500) ( = P P ( S p p( p) S p p( p) 0, 4 ) 500 5200 04 0, 52 0, 488 ). Na mocy twierdzeia de Moivre a Laplace a ostatie wyrażeie moża oszacować przez Φ( 0, 4), gdzie Φ(x) = x 2π e y2 2 dy, x R jest dystrybuatą stadardowego rozkładu ormalego N (0, ). Stąd otrzymujemy P (S > 500) Φ( 0, 4) = Φ(0, 4) 0, 6554, gdzie wartość Φ(0, 4) 0, 6554 odczytujemy z tablic. Zad. 4.8. Wektor X = [(X, X 2 ]) T ma rozkład ormaly ze średią ā = (0, ) T i macierzą kowariacji A = 2. Wyzacz rozkład wektora Ȳ = (Y, Y 2 ) T, gdzie Y = 2 2X + X 2, Y 2 = X 2X 2 oraz rozkłady jego składowych Y, Y 2. [ ] 2 Rozwiązaie. Niech C będzie macierzą postaci C =. Wtedy 2 Ȳ = C X i jego fukcja charakterystycza jest dla wszystkich t R 2 rówa ϕ Ȳ ( t) = Ee i< t,ȳ > = Ee i< t,c X> = Ee i<ct t, X> = exp (i < C T t, ā > 2 < A CT t, C T t >) = exp (i < t, Cā > 2 < C A CT t, t >), gdzie oraz C A C T = Cā = [ 2 2 ] [ 2 2 ] [ /2 /2 [ 0 ] ] = [ 2 [ 2 2 ] ] [ = 7 3/2 3/2 3 ]. Stąd w szczególości dla t R ϕ Y (t) = ϕ Ȳ (t, 0) = exp (it 7 2 t2 ) oraz ϕ Y2 (t) = ϕ Ȳ (0, t) = exp ( i2t 7 2 t2 ), co pociąga, iż Y ma rozkład N (, 7), a Y 2 N ( 2, 3).
Rozdział 4. Zbieżość według rozkładu zmieych losowych 3 Zad. 4.9. Niech A = [ c c będzie macierzą kowariacji wektora ormalego (X, X 2 ) T o wartościach oczekiwaych EX = EX 2 = 0. (a) Podaj fukcję charakterystyczą tego wektora. (b) Jakie wartości może przyjmować parametr c. (c) Dla jakich c wektor ma rozkład absolutie ciągły. (d) Dla jakich c składowe X, X 2 są iezależymi zmieymi losowymi. Rozwiązaie. Ad. (a) Fukcja charakterystycza jest postaci ϕ X( t) = exp ( 2 t2 2 t2 2 ct t 2 ), t = (t, t 2 ) T. Ad. (b), (c), (d). Aby macierz była ieujemie określoa musi być c 2. Jeżeli c 2 <, to rozkład jest absolutie ciągły, a gdy c = 0, to składowe X, X 2 są iezależe. ] 4.2. Zadaia dodatkowe Zad. 4.0. X, X 2, jest ciągiem iezależych zmieych losowych o rozkładach wykładiczych z parametrem λ =. Zaleźć słabą graicę ciągu Y = max{ e X,, e X }, N. Zad. 4.. X, X 2, jest ciągiem iezależych zmieych losowych o rozkładach P (X = ) = 3 4, P (X = ) = 4, N. Zaleźć graicę według rozkładu ciągu zmieych losowych Y = k= (X2 k ) 6, N. Zad. 4.2. X, X 2, jest ciągiem iezależych zmieych losowych o rozkładach P (X = ) = 3, P (X = 2) = 2 3, N. Zaleźć graicę według rozkładu ciągu zmieych losowych Y = k= (X2 2k X2 2k ) 3, N. Zad. 4.3. Wyzacz fukcję charakterystyczą zmieej losowej 2X + Y, jeśli X, Y są iezależymi zmieymi losowymi o rozkładach geometryczych z parametrami /2, /4.
32 Rozdział 4. Zbieżość według rozkładu zmieych losowych Zad. 4.4. X, X 2, jest ciągiem zmieych losowych o rozkładach N (0, /), N. Zbadać ich zbieżość według rozkładu. Zad. 4.5. {X } jest ciągiem iezależych zmieych losowych takich, że X ma rozkład ormaly N (0, 2), N. Pokazać, że ciąg zmieych losowych {Y }, gdzie Y = X + + X jest słabo zbieży oraz wskazać jego słabą graicę., N Zad. 4.6. Zmiea losowa X ma rozkład jedostajy a przedziale ( 4, 4 + ), a zmiea losowa Y ma rozkład day wzorami P (Y = 0) = 2, P (Y = ) = 2, N, przy czym dla każdego zmiee X i Y są iezależe. Wyzaczyć fukcję charakterystyczą X + Y oraz zaleźć słabą graicę ciągu {X + Y }. Zad. 4.7. Zajdź graice według rozkładu ciągów zmieych losowych { (a) Y = X } + X 2 +... + X, (b) {Z = a + b Y } wiedząc, że a = 2 + si(/), b = 2 cos(/), a {X } jest ciągiem iezależych zmieych losowych o rozkładzie jedostajym a ( 3, 3). Zad. 4.8. Niech X, X 2,... będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o gęstości p(x) = cos(x) 2 [ π 2, π ](x), x R. (a) Zajdź graicę wg rozkładu ciągu 2 Z = X +... + X. (b) Wyzacz fukcję charakterystyczą zmieej losowej Y = si(x ). Podaj rozkład zmieej losowej Y. Zad. 4.9. Niech {X } będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o rozkładzie jedostajym a ( 4, 4). Zbadaj zbieżość według rozkładu ciągów zmieych losowych i zajdź ich graice: {V = X +X 2 +...+X }, {W = (X +X 2 +...+X ) }. X 2 +X2 2 +...+X2 Zad. 4.20. Niech X, X 2, X 3,... będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o rozkładach ormalych ormalych takich, że X ma rozkład N (0, σ 2 ), N, gdzie σ 2 = σ 2 <. = Czy ciąg Y = k= X k jest zbieży według rozkładu? Zajdź rozkład jego graicy. Czy Y jest zbieży według prawdopodobieństwa i prawie wszędzie?
Rozdział 4. Zbieżość według rozkładu zmieych losowych 33 Zad. 4.2. Przypuśćmy, że prawdopodobieństwo wyprodukowaia wadliwej szklaki przez automat wyosi 0,003. Korzystając z przybliżeia Poissoa oszacować prawdopodobieństwo, że wśród 600 wyprodukowaych szklaek będzie ie więcej iż dwie wadliwe. Zad. 4.22. Przypuśćmy, że mamy 0 4 paczek z ziarem. W tych paczkach jest 5000 ziare zaczoych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w pewej ustaloej paczce zajduje się choćby jedo ziaro zaczoe? Zad. 4.23. Prawdopodobieństwo wykoaia wadliwego wyrobu jest rówe p = 0, 005. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 0 000 losowo wybraych wyrobów zajduje się: (a) dokładie 50 wadliwych, (b) ie więcej iż 70 wadliwych? Zad. 4.24. Wydział Matematyki pragąłby przyjąć ie więcej iż 20 kadydatów. Zdających jest 250, a szasa zaliczeia testu wyosi 0,4. Jakie jest prawdopodobieństwo, że Wydział będzie miał kłopot z admiarem kadydatów? Zad. 4.25. Niech Ȳ = (Y, Y 2 ) T będzie wektorem losowym, którego składowe są iezależymi zmieymi losowymi o rozkładzie ormalym N (0, ), a A iech będzie macierzą postaci [ ] 0 A =. 2 Jaki jest rozkład wektora X = AȲ + (, 2)T? Podaj jego gęstość i fukcję charakterystyczą. Zad. 4.26. Zmiee losowe X, X 2 są iezależe i mają rozkłady ormale N (m, σ 2 ), N (m 2, σ 2 2). Wyzacz fukcje charakterystycze zmieych losowych Z = b X + b 2 X 2, Z 2 = b X b 2 X 2 oraz wektora Z = (Z, Z 2 ) T. Zidetyfikuj ich rozkłady. Zad. 4.27. Fukcja charakterystycza wektora losowego X = (X, X 2 ) T jest postaci ϕ (X,X 2 )(y, y 2 ) = exp(iy y 2 y 2 2 + y y 2 ), y, y 2 R. Wyzacz (a) EX 2, cov(x, X 2 ), D 2 (X 2 ), (b) rozkład wektora Z = (3, 3) T + 4 X. Zad. 4.28. Zmiee losowe X, X 2 są iezależe i mają rozkłady ormale N (0, ). Wyzacz fukcje charakterystycze zmieych losowych Z = X + X 2, Z 2 = X X 2 oraz wektora Z = (Z, Z 2 ) T. Zidetyfikuj ich rozkłady. Czy są oe absolutie ciągłe?
35 Bibliografia [] A.A. Borowkow, Rachuek prawdopodobieństwa, PWN 975. [2] P. Billigsley, Miara i prawdopodobieństwo, PWN 986. [3] W. Feller, Wstęp do rachuku prawdopodobieństwa, t. I, PWN, Warszawa 977. [4] M. Fisz, Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka matematycza, PWN, Warszawa 969. [5] J. Jakubowski, R. Sztecel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, SCRIPT, Warszawa 2000. [6] J. Jakubowski, R. Sztecel, Rachuek prawdopodobieństwa dla (prawie) każdego, SCRIPT, Warszawa 20002. [7] A. Kłopotowski, Teoria prawdopodobieństwa, TNOiK, Toruń 996. [8] W. Niemiro, Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka matematycza, Biblioteka Szkoły Nauk Ścisłych 999.