Test F- Snedecora. będzie zmienną losową chi-kwadrat o k 1 stopniach swobody a χ

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Test F- Snedecora. będzie zmienną losową chi-kwadrat o k 1 stopniach swobody a χ"

Leszek Król
7 lat temu
Przeglądów:

1 Test F- nedecora W praktyce często mamy do czynienia z kilkoma niezaleŝnymi testami, słuŝącymi do weryfikacji tej samej hipotezy, prowadzącymi do odrzucenia lub przyjęcia hipotezy zerowej na róŝnych poziomach istotności. Na przykład, aby odpowiedzieć na pytanie, czy związki zawodowe mają wpływ na wysokość wynagrodzenia moŝna przeprowadzić badania w róŝnych gałęziach gospodarki, w jednych przypadkach stwierdzając istnienie takiego wpływu a w innych nie stwierdzając. W dalszym rozumowaniu polega to na połączeniu wyników uzyskanych z kaŝdego z przeprowadzonych testów. Jak podaje literatura istnieje kilka propozycji testów, jednak stwierdzono, Ŝe lepszy od pozostałych jest zaproponowany przez R. A. Fishera (93). tatystyka F jest rozkładem ilorazu dwóch niezaleŝnych zmiennych losowych chi-kwadrat, z których kaŝda podzielona jest przez właściwą dla niej liczbę stopni swobody. Niech χ będzie zmienną losową chi-kwadrat o k stopniach swobody a χ inną zmienną losową chi-kwadrat, niezaleŝną od poprzedniej, o k stopniach swobody. Wtedy iloraz we wzorze przedstawionym poniŝej ma rozkład F o k i k stopniach swobody. Zmienna losowa F o k i k stopniach swobody: χ / k F( k, k ) = χ / k Rozkład F charakteryzują dwie liczby stopni swobody: k, zwaną liczbą stopni swobody w liczniku, i k zwaną liczbą stopni swobody w mianowniku. Zawsze wymieniana jest najpierw pierwsza a później druga z tych liczb. Pierwsza związana jest ze zmienną chikwadrat występującą w liczniku, a druga ze zmienną chi-kwadrat występującą w mianowniku powyŝszego wzoru.

Na przykład, aby odpowiedzieć na pytanie, czy związki zawodowe mają wpływ na wysokość wynagrodzenia moŝna przeprowadzić badania w róŝnych gałęziach gospodarki, w jednych przypadkach stwierdzając

2 Przy duŝej ilości moŝliwych kombinacji stopni swobody zmiennej losowej F, tablice podające jej wartość przy zadanym prawdopodobieństwie są jeszcze bardziej zwięzłe niŝ tablice zmiennej chi-kwadrat. Na poniŝszym rysunku pokazano rozkłady F o róŝnej liczbie stopni swobody (w liczniku i mianowniku). Rozkłady F są niesymetryczne (własność, którą dziedziczą po swoich macierzystych rozkładach chi-kwadrat), a ich kształt przypomina kształt rozkładów chi-kwadrat. Aby móc skorzystać z testu F muszą być spełnione następujące warunki:. Zmienna zaleŝna powinna mieć w populacji rozkład normalny, chociaŝ test F jest dosyć odporny na niespełnienie załoŝenia o normalności rozkładu.. Próby pochodzą z populacji o równych wariancjach. zakładamy jednorodność wariancji = σ =... σ, niespełnienie tego załoŝenia moŝe prowadzić do zawyŝenia wartości σ = statystyki F i do zbyt częstych odrzuceń hipotezy zerowej. 3. Pomiary w obrębie grupy powinny być statystycznie niezaleŝne. Model testu dla dwóch wariancji: Badamy dwie populacje o rozkładzie normalnym N( µ ) i N µ, δ ). śaden z, δ ( tych parametrów nie jest znany. NaleŜy sprawdzić hipotezę H δ = wobec hipotezy : δ alternatywnej się wariancji H δ >. : δ Do weryfikacji hipotezy H, Ŝe wariancje w obu populacjach są identyczne, uŝywa oraz odpowiednio, n oraz n. obliczanych z dwóch niezaleŝnych prób prostych o liczebności, JeŜeli prawdziwa jest hipoteza zerowa, tzn. δ = δ, to zmienna F = ma rozkład F-nedecora z k = n oraz k = n stopniami swobody, przy czym i są

Rozkłady F są niesymetryczne (własność, którą dziedziczą po swoich macierzystych rozkładach chi-kwadrat), a ich kształt przypomina kształt rozkładów chi-kwadrat.

3 estymatorami wariancji z niezaleŝnych prób prostych pobranych ze zbiorowości o rozkładzie normalnym. Relacja wyznaczająca prawostronny obszar krytyczny jest postaci P ( F Fα ) α, gdzie wartość krytyczną F α odczytujemy z tablic rozkładu F-nedecora, dla k = n i k = n stopni swobody. JeŜeli powyŝsza relacja jest spełniona, naleŝy hipotezę H odrzucić. W przeciwnym przypadku nie ma podstaw do odrzucenia H o identyczności wariancji w obu populacjach. Gdy sprawdzeniu podlega hipoteza H : δ = δ wobec H o : δ δ, wówczas statystykę F oblicza się, umieszczając w liczniku większą z wariancji z obu prób, nawet jeśli pochodzi ona z populacji oznaczonej numerem. Zastosowanie: Test F-nedecora wykorzystuje się w analizie wariancji. Najczęściej przyjmuje się poziom istotności α=,5 lub α=,.

JeŜeli powyŝsza relacja jest spełniona, naleŝy hipotezę H odrzucić. W przeciwnym przypadku nie ma podstaw do odrzucenia H o identyczności wariancji w obu populacjach.

4 Tablica rozkładu F dla poziomu istotności α=,5, ,45 99,5 5,7 4,58 3,6 33,99 36,77 38,88 4,54 4,88 8,5 9, 9,6 9,5 9,3 9,33 9,35 9,37 9,38 9,4 3,3 9,55 9,8 9, 9, 8,94 8,89 8,85 8,8 8,79 4 7,7 6,94 6,59 6,39 6,6 6,6 6,9 6,4 6, 5,96 5 6,6 5,79 5,4 5,9 5,5 4,95 4,88 4,8 4,77 4,74 6 5,99 5,4 4,76 4,53 4,39 4,8 4, 4,5 4, 4,6 7 5,59 4,74 4,35 4, 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 8 5,3 4,46 4,7 3,84 3,69 3,58 3,5 3,44 3,39 3,35 9 5, 4,6 3,86 3,63 3,48 3,37 3,9 3,3 3,8 3,4 4,96 4, 3,7 3,48 3,33 3, 3,4 3,7 3,,98 4,84 3,98 3,59 3,36 3, 3,9 3,,95,9,85 4,75 3,89 3,49 3,6 3, 3,,9,85,8,75 3 4,67 3,8 3,4 3,8 3,3,9,83,77,7,67 4 4,6 3,74 3,34 3,,96,85,76,7,65,6 5 4,54 3,68 3,9 3,6,9,79,7,64,59,54 6 4,49 3,63 3,4 3,,85,74,66,59,54,49 7 4,45 3,59 3,,96,8,7,6,55,49,45 8 4,4 3,55 3,6,93,77,66,58,5,46,4 9 4,38 3,5 3,3,9,74,63,54,48,4,38 4,35 3,49 3,,87,7,6,5,45,39,35 4,3 3,47 3,7,84,68,57,49,4,37,3 4,3 3,44 3,5,8,66,55,46,4,34,3 3 4,8 3,4 3,3,8,64,53,44,37,3,7 4 4,6 3,4 3,,78,6,5,4,36,3,5 5 4,4 3,39,99,76,6,49,4,34,8,4 6 4,3 3,37,98,74,59,47,39,3,7, 7 4, 3,35,96,73,57,46,37,3,5, 8 4, 3,34,95,7,56,45,36,9,4,9 9 4,8 3,33,93,7,55,43,35,8,,8 3 4,7 3,3,9,69,53,4,33,7,,6

4,7 3,84 3,69 3,58 3,5 3,44 3,39 3,35 9 5, 4,6 3,86 3,63 3,48 3,37 3,9 3,3 3,8 3,4 4,96 4, 3,7 3,48 3,33 3, 3,4 3,7 3,,98 4,84 3,98 3,59 3,36 3, 3,9 3,,95,9,85 4,75 3,89 3,49 3,6 3, 3,,9,85,8,75 3

5 Literatura:. tatystyka - wprowadzenie do analizy danych sondaŝowych i eksperymentalnych / G. Wieczorkowska, P. Kochański, M. Eljaszuk / Wydawnictwo Naukowe cholar, Warszawa 3 / str. 9-93, tatystyka w zarządzaniu / Amir D. Aczel / Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 5 / str Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach cz. II / W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski / Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 999 / str Test dla proporcji-> Test Fishera-nedecora / www ->

Aczel / Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 5 / str. 375-378 3. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach cz. II / W. Krysicki, J.

Podobne dokumenty

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA. Dariusz Gozdowski. Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA ( 4 (wykład Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Regresja prosta liniowa Regresja prosta jest