1 Granice funkcji. Definicja 1 (Granica w sensie Cauchy ego). Mówimy, że liczba g jest granicą funkcji f(x) w punkcie x = a, co zapisujemy.

Transkrypt

1 Granice funkcji Definicja (Granica w sensie Cauchy ego). Mówimy, że liczba g jest granicą funkcji f() w punkcie = a, co zapisujemy f() = g (.) a jeżeli dla każdego ε > 0 można wskazać taką liczbę (istnieje taka liczba) δ > 0, żeby było spełnione f() g < ε dla a δ < < a (.) Formlanie ) ε>0 δ>0 ( a < δ f() g < ε (.) Twierdzenia pomocnicze w liczeniu granic. Twierdzenie. Jeżeli to f() = a, 0 0 g() = b (.4) ( ) f() ± g() = a ± b (.5) 0 ( ) f() g() = a b (.6) 0 ( ) a f() g() = dla b 0 (.7) 0 b Twierdzenie (O kanapce). Jeżeli w otoczeniu 0 mamy f() g() h() oraz f() = 0 0 h() = A (.8) to g() = A (.9) 0 Zadanie. Oblicz granicę w punkcie sin a = (.0) = ln a (.) ( + ) = e (.) + + = = 7 9 (.)

2 Zadanie. Oblicz granicę = (.4) ( + 7 ) = (.5) W obu przypadkach dziey licznik i mianownik przez największą potęgę, jaka występuje (nie może być ona w liczniku lub w mianowniku). Pierwszy przykład więc sprowadza się do }{{} 4 9 }{{} 7 + }{{} = 5 = 5 (.6) wyrażenia zaznaczone dążą do zera, gdy +, więc całość zmierza do 5. W drugim przypadku, najwyższą potęgą jest 5. Po podzieleniu otrzymujemy }{{} }{{} 4 5 }{{} W mianowniku każdy z wyrazów dąży do zera, więc całość zbiega do zera. 5 = 0 (.7)

3 Zadanie. Policz granicę funkcji Rozwiązania: sin + e + cos = (.8) tan = (.9) + = (.0) 0 tan = (.) ( ) = (.) sin arctan = (.) = (.4) sin sin = (.5) ( ) ( + k ) n ( π = (.6) = (.7) ) n = (.8) Pierwsze zadanie liczymy podług twierdzenia 5. Obliczamy poszczególne granice. W liczniku mamy sin + (.9) ponieważ 0, sin 0. W mianowniku mamy e oraz cos, więc ostatecznie otrzymujemy sin + e + cos = (.0) Drugie zadanie. Sprowadzamy funkcję do postaci, z której możemy skorzystać z naszych twierdzeń, czyli chcemy mieć coś w stylu: sin (.) dlatego tan przedstawiamy tan = sin cos (.)

4 Ponieważ w mianowniku występuje, a chcemy mieć, więc rozszerzamy licznik i mianownik przez. Wtedy tan = sin (.) cos } {{ } } {{ } W następnym zadaniu jeżeli popatrzymy na licznik i mianownik to jednocześnie zbiegają do zera! Jak sobie poradzić z takimi wyrażeniami? Musimy trochę przekształcić. Podzielmy mianownik przez ( ) co otrzymamy? + : = + (.4) Można podzielić normalnie ten wielomian, bądź skorzystać ze schematu Hornera, dla którego tabela przedstawia się następująco: jak widać wynik jest identyczny. Teraz przedstawiając wielomian z mianownika w postaci iloczynu wielomianów + = ( + )( ) (.5) wstawiając do naszego wyrażenia pod granicą otrzymujemy Zadanie czwarte staramy przedstawić się jako sin /, więc 0 tan / ( + ) ( / ) (.6) = 0 cos sin = 0 cos sin 0 (.7) W tym zadaniu nie wiemy czy ta granica jest nieskończona czy skończona. Na pierwszy rzut oka trudno nam oszacować czy któreś z wyrażeń pod pierwiastkiem szybciej czy wolniej dąży do nieskończoności. Najpierw przemnóżmy licznik i mianownik przez +. Otrzymamy wtedy ( ) = + (.8) + + wyciągnijmy z mianownika stąd będziemy mieli + }{{} 4 + (.9)

5 Co należy zrobić w tym zadaniu? Nie uda nam się doprowadzić do postaci, którą znamy z twierdzenia. Niemniej jednak należy skorzystać, że funkcja sinus jest ograniczona, czyli praktycznie rozważamy funkcję postaci: 0 dla (.40) W tym zadaniu należy podstawić za arctan = α. Trzeba pamiętać, że w momencie gdy wykonujemy jakieś podstawienie, należy pamiętać o zmianie granicy. W tym przypadku, gdy 0 arctan 0 α 0, więc się nic nie zmienia. Z własności funkcji cyklometrycznych wynika, że = tan α. Stąd mamy arctan = α tan α = cos α α sin α (.4) Kolejne zadanie wymaga skorzystania ze wzorów trygonometrycznych. Ponieważ sin = sin cos, a sin = sin( + ) = sin cos + cos sin = sin cos + cos sin sin = sin ( cos sin ), więc { }} { sin sin = sin/ cos sin/ ( } cos {{ } sin } {{ } ) (.4) Następne trzy zadania są związane z granicą liczby e. Wyrażenie w nawiasie staramy się doprowadzić do postaci, jaka jest w twierdzeniu. Stąd ( ) = [ ( ) ] e (.4) Następne to ( + k) n = [ ( + k) k ] nk e nk (.44) W ostatnim przykładzie mamy sytuację trochę odmienne, ponieważ granica rozważana jest w nieskończoności. Jednak widać, że wyrażenie pod granicą zbiega do tych samych wartości co w przypadku twierdzenia. Czyli również będzie to jakieś e. W analogiczny sposób przekształcamy i mamy ( π ( )n = ( π ) nπ ) π e nπ (.45) 5