Gry Nieskończone. Krzysztof P lotka. Praca Magisterska. Instytut Matematyki Uniwersytet Gdański

Gry Nieskończone Krzysztof P lotka Praca Magisterska Instytut Matematyki Uniwersytet Gdański Gdańk 1997

Spis treści Wstȩp........................................................... ii Terminologia i oznaczenia........................................ iii 1. Gra Banacha-Mazura.........................................1 2. Gra szeregowa ( a n, A)..................................... 13 3. Aksjomat determinacji AD.................................. 24 3.1. Sformu lowanie......................................... 24 3.2. Pewne równoważne formy oraz konsekwencje AD....... 25 3.3. Dowód mierzalności wszystkich zbiorów na prostej..... 36 Literatura...................................................... 44 i

Wstȩp Praca ta dotyczy gier nieskończonych z doskona l a informacj a, tzn. gier, w których gracze wykonuj ac ruch znaj a wszystkie wcześniejsze. W pierwszym paragrafie omawiamy grȩ Banacha-Mazura, podajemy definicjȩ strategii, strategii wygrywaj acej oraz zbioru zdeterminowanego. Nastȩpnie podajemy charakteryzacjȩ zbiorów zdeterminowanych. W tym paragrafie zostaje podane i udowodnione twierdzenie Zindulki o rozbiciu dowolnej przestrzeni metrycznej bez punktów izolowanych na sumȩ dwóch zbiorów: miary zero i I-kategorii. W paragrafie drugim zajmujemy siȩ innym przyk ladem gry nieskończonej. Gra ta zosta la sformu lowana przez autora pracy. Podane s a pewne w lasności tej gry, miȩdzy innymi jej zwi azek ze zmodyfikowan a wersj a gry Banacha-Mazura. Dalsza czȩść pracy jest poświȩcona aksjomatowi determinacji, do którego określenia wykorzystuje siȩ teoriȩ gier nieskończonych. Podajemy sformu lowanie tego aksjomatu, pewne równoważne formy oraz konsekwencje. Krótko zostaje również zreferowany problem niesprzeczności oraz niezależności tego aksjomatu od pozosta lych aksjomatów teoriomnogościowych. Praca kończy siȩ dowodem jednej z bardzo interesuj acych konsekwencji aksjomatu determinacji, a mianowicie mierzalności wszystkich zbiorów na prostej wzglȩdem miary Lebesgue a. ii

Terminologia i oznaczenia. Przez przedzia l na prostej rozumiemy przedzia l postaci [a, b], gdzie < a < b < +. Zbiór liczb rzeczywistych oznaczamy przez R. Przestrzeń nieskończonych ci agów liczb naturalnych ω ω z metryk a ρ(s, t) = (min{n : s n t n } + 1) 1, (s t) nazywamy przestrzeni a Baire a. Przestrzeń Cantora 2 ω jest podprzestrzeni a ω ω. ω <ω oraz 2 <ω oznaczaj a zbiór skończonych ci agów (w tym również ci ag pusty) elementów zbiorów odpowiednio ω i {0, 1}. Niech s = s 0, s 1,..., s n, p = p 0, p 1,..., p m ω <ω. Przez s p oznaczamy ci ag s 0,..., s n, p 0,..., p m. Przez A 0, A, A oznaczamy odpowiednio wnȩtrze, dope lnienie oraz moc zbioru A. 2 ℵ 0 = 2ω. [X] ω = {A X : A = ℵ 0 }. Przez m oznaczamy jednowymiarow a miarȩ Lebesgue a. WAC oznacza nastȩpuj ac a s labsz a wersjȩ aksjomatu wyboru AC: Dla każdej rodziny zbiorów niepustych F takiej, że F ℵ 0 oraz F 2 ℵ 0 istnieje funkcja wyboru. iii

1. Gra Banacha-Mazura. Gra Banacha-Mazura jest jednym z wielu przyk ladów matematycznych gier nieskończonych. Zosta la wymyślona przez S.Mazura, ale podstawowe twierdzenie dotycz ace tej gry udowodni l Banach (st ad nazwa). Zasady tej gry opisujemy poniżej. Rozważmy przedzia l I 0 na prostej oraz pewien wyróżniony jego podzbiór A. W grze uczestniczy dwóch graczy: gracz (I) i gracz (II). Grȩ rozpoczyna gracz (I), który wybiera przedzia l I 1 zawarty w I 0. Ruch gracza (II) polega na wyborze przedzia lu I 2 I 1. Nastȩpnie gracz (I) wybiera I 3 I 2, itd. W ten sposób gracze określaj a nieskończony ci ag zstȩpuj acych przedzia lów I n n ω (ci ag ten nazywamy wynikiem gry), przy czym przedzia ly o indeksach nieparzystych zosta ly wybrane przez gracza (I), pozosta le zaś przez gracza (II). Gra jest wygrana przez gracza (I), jeśli n=0 I n A. W przeciwnym przypadku wygrywa gracz (II). Grȩ z tak określonymi regu lami oraz wyróżnionymi przedzia lem I 0 i zbiorem A oznaczymy przez I 0, A. Jak w przypadku np. gier karcianych, tak również w przypadku matematycznych gier nieskończonych powstaje pytanie, jak gracze powinni grać, aby być pewni swojej wygranej, i czy w ogóle istnieje taka zwyciȩska metoda gry dla któregoś z nich. Metodȩ, na podstawie której dany gracz bȩdzie dokonywa l wyborów nazwiemy strategi a danego gracza. Mówi ac śćiśle: strategi a gracza (I) nazywamy funkcjȩ f określon a na zbiorze {(I 0, I 1,..., I 2n ) : I 0 I 1... 1

I 2n, n ω} o wartościach w zbiorze {I : I I 0 } spe lniaj ac a warunek: (1) f(i 0,..., I 2n ) I 2n (n ω). Podobnie określamy strategiȩ dla gracza (II). Jest to funkcja g : {(I 0, I 1,..., I 2n+1 ) : I 0 I 1... I 2n+1, n ω} {I : I I 0 } o w lasności (2) f(i 0,..., I 2n+1 ) I 2n+1 (n ω). Strategiȩ f nazwiemy zwyciȩsk a dla gracza (I), jeśli gracz ten graj ac zgodnie z t a strategi a (tzn. wybieraj ac w swoim n-tym ruchu przedzia l f(i 0, I 1,..., I (2n 1) ), gdzie I 1,..., I (2n 1) wcześniej wybrane przedzia ly) wygrywa bez wzglȩdu na to jak gra l (II). Podobnie określamy zwyciȩsk a strategiȩ dla gracza (II). Teraz wcześniejsze pytanie możemy sformu lować nastȩpuj aco: czy w grze I 0, A istnieje zwyciȩska strategia dla któregoś z graczy? Oczywiście odpowied a na to pytanie bȩdzie zależa la od w lasności zbioru A. Zbiór A I 0 nazywamy zdeterminowanym dla gracza (I) w grze I 0, A, jeśli istnieje zwyciȩska strategia dla (I). Mówimy wtedy również, że gra I 0, A jest zdeterminowana dla (I). Analogicznie określamy zbiór zdeterminowany dla gracza (II). Poniżej podamy twierdzenie charakteryzuj ace zbiory zdeterminowane dla (II) w grze Banacha-Mazura (patrz [13], Tw 6.1). Twierdzenie 1. Gracz (II) posiada zwyciȩsk a strategiȩ w grze I 0, A wtedy i tylko wtedy, gdy A jest zbiorem I-kategorii. 2

Dowód. ( ) Za lóżmy, że A jest zbiorem I-kategorii. Czyli A = n=0 I n, gdzie A n jest zbiorem nigdziegȩstym dla n = 0, 1,.... Zdefiniujemy teraz zwyciȩsk a strategiȩ dla (II). Niech I 0, I 1,..., I 2n+1 bȩdzie ci agiem przedzia lów takim, że I i+1 I i. Ponieważ zbiór A n jest nigdziegȩsty, wiȩc istnieje przedzia l I 2n+2 I 2n+1 roz l aczny z A n. K ladziemy g(i 0, I 1,..., I 2n+1 ) := I 2n+2. Określiliśmy wiȩc strategiȩ dla gracza (II). Uzasadnimy teraz, że jest to strategia zwyciȩska. Niech I n n ω bȩdzie wynikiem gry I 0, A. Jeśli (II) gra l zgodnie z g, to I 2n+2 A n = (n ω). St ad i z tego, że I n n ω jest ci agiem zstȩpuj acym otrzymujemy A ponieważ A = A n, wiȩc k I k A n = (n ω). In A =. To znaczy, że g jest zwyciȩsk a strategi a dla (II). ( ) Niech bȩdzie dana zwyciȩska strategia g dla gracza (II). skonstru lujemy najpierw ci ag przedzia lów J i I0 0 (i ω) o w lasnościach: def (i) K i =g(i 0, J i ) s a wzajemnie roz l aczne dla i ω, (ii) zbiór K 0 i jest gȩsty w I 0. Konstrukcja. 3

Niech S = S 0, S 1,..., S n,... bȩdzie różnowartościowym ci agiem wszystkich przedzia lów o końcach wymiernych zawartych w I 0 0. J 0 def =S 0 Za lóżmy, że zosta ly zdefiniowane przedzia ly J 0, J 1,..., J n. Niech l n def = min{i : S i I 0 \ (K 0 K 1... K n )}. Wówczas J n+1 def =S ln. J n+1 jest pierwszym z elementów S roz l acznym z każdym z przedzia lów K i dla i = 0, 1,..., n. W ten sposób skonstru lowaliśmy ci ag J i i ω. Pokażemy, że spe lnia on w lasności (i) oraz (ii). ad(i). Niech i, j ω oraz i < j. Ponieważ K j I 0 \ (K 0... K i... K j 1 ), wiȩc K j K i =. ad(ii). Przypuśćmy niewprost, że zbiór Ki 0 znaczy, że istnieje przedzia l L I 0 taki, że nie jest gȩsty w I 0. To K 0 i L =. Niech l L def = min{i : S i L}. S ll jest pierwszym z przedzia lów w ci agu S, który zawiera siȩ w L. Ponieważ S ll I 0 \ (K 0 K 1... K ll 1), wiȩc S ll J i (i = 0,..., l L 1). A st ad i z definicji J i i ω wnioskujemy, że J ll = S ll. 4

Dalej mamy ( K 0 i L) K 0 l L L = K 0 l L (sprzeczność). Dla każdego z przedzia lów K i z osobna możemy teraz określić def ci ag przedzia lów J ij j ω taki, że K ij =g(i 0, J i, K i, J ij ) s a wzajemnie roz l aczne dla j ω oraz zbiór j K 0 ij jest gȩsty w K 0 i. Ponieważ i K 0 i jest gȩsty w I 0, wiȩc i,j K 0 ij jest gȩsty w I 0. Postȩpuj ac tak dalej zdefiniujemy indukcyjnie dwie rodziny J i0...i n n,ik ω oraz K i0...i n n,ik ω o w lasnościach: (3) K i0...i n = g(i 0, J i0, K i0,..., J i0...i n ), (4) J i0...i n+1 K 0 i 0...i n, (5) n ( K i0...i n jest rodzin a roz l aczn a i i 0...i n K 0 i 0...i n jest gȩsty w I 0 ). Pokażemy teraz, że dla dowolnego ci agu liczb naturalnych i n zachodzi n K i0...i n A =. Ustalmy i n ω ω. Przyjmijmy I 2n+1 := J i0...i n, I 2n+2 := K i0...i n n ω. Ponieważ zstȩpuj acy ci ag I n jest wynikiem gry I 0, A, w której (II) gra l zgodnie z g, wiȩc n K i0...i n A =. 5

Niech teraz G n def = i 0...i n K 0 i 0...i n dla n ω. Oznaczmy przez E zbiór n G n. Pokażemy, że E A =. Niech x E, czyli n x G n. Z w lasności (3), (4) i (5) mamy, że ni k x K 0 n 0...n k. Na podstawie wcześniejszego rozumowania wiemy, że k K n0...n k A =. A ponieważ x k K 0 n 0...n k, wiȩc x I 0 \ A. Wobec dowolności x mamy E I 0 \ A. Dalej otrzymujemy A = I 0 \ (I 0 \ A) I 0 \ E = n (I 0 \ G n ). Z tego, że G n jest zbiorem otwartym i gȩstym (w lasność (5)) otrzymujemy, że I 0 \ G n jest domkniȩtym zbiorem brzegowym, a wiȩc zbiorem nigdziegȩstym. A wobec tego A jest zbiorem I-kategorii. Twierdzenie 1 mówi, że zbiory zdeterminowane dla (II) s a zbiorami ma lymi w sensie kategorii. Ale czy zbiory te s a ma le również w sensie miary? Twierdzenie 2 (Zindulka). Każd a przestrzeń metryczn a X bez punktów izolowanych, dla której jest określona skończona miara borelowska µ, można rozbić na sumȩ dwóch zbiorów: µ-miary zero. I-kategorii i Nam wystarcza twierdzenie w przypadku gdy X jest przedzia lem, a to jest oczywiste. Wystarczy wzi ać dowolny zbiór typu G δ miary 0 zawieraj acy zbiór liczb wymiernych oraz jego uzupe lnienie. Twierdzenie 2 wynika z dwóch lematów, które sformu lujemy i udowodnimy poniżej (patrz [16]). 6

Lemat 1. Jeśli przestrzeń metryczna X zawiera podzbiór I-kategorii gȩsty i µ jest borelowsk a miar a skończon a, to X można rozbić na sumȩ dwóch zbiorów: I-kategorii i µ-miary zero. Dowód. Niech A bȩdzie zbiorem I-kategorii gȩstym w X. Możemy przyj ać, że A = A n, gdzie A n domkniȩty i nigdziegȩsty, czyli A jest typu F σ. Uzasadnimy teraz, że istnieje zbiór G G δ taki, że A G oraz µ(a) = µ(g). Ponieważ A n jest typu G δ, wiȩc dla każdego i ω istnieje zbiór otwarty G n,i A n o w lasności µ(g n,i ) µ(a n ) + 1 Jeśli teraz zdefiniujemy G i := n G n,i oraz G := i 2 n+1 i. G i, to otrzymamy µ(g) µ( G i ) = µ( n A n ) + µ( n G n,i \ n A n ) µ( n A n ) + µ( (G n,i \ A n )) µ(a) + 1 n i dla każdego i. def To znaczy, że µ(g) = µ(a). Zdefiniujmy zbiory X 1 =A G oraz def X 2 =G \ A. Tworz a one szukane rozbicie. Rzeczywiście. X 2 jest µ-miary zero, a X 1 jest I-kategorii, gdyż G jest I-kategorii jako uzupe lnienie zbioru gȩstego typu G δ. Lemat 2. Każda przestrzeń metryczna X bez punktów izolowanych zawiera podzbiór I-kategorii gȩsty. Dowód. Z w lasności przestrzeni metrycznej wiadomo, że X posiada bazȩ σ-dyskretn a (patrz [2], roz.4 4 Tw.2), tzn. tak a bazȩ B = B n, że n x X U otocz x {B B n : B U } 1. 7

Niech x B B dla każdego B B. Określamy A n def ={x B : B B n } (n ω) oraz A def = A n. Z w lasności B n wynika, że A n nie ma punktów skupienia. St ad X \ A n jest gȩsty w X (X nie ma punktów izolowanych). Wobec tego A n jest nigdziegȩsty, wiȩc A jest I-kategorii. Z definicji A wynika, że jest on gȩsty. Twierdzenie 2 daje odpowied a na wcześniej postawione pytanie. Istnieje A 0 I 0 I-kategorii i taki, że m(a 0 ) = m(i 0 ). A to znaczy, że (II) ma zwyciȩsk a strategiȩ w grze I 0, A 0. Jest to ciekawe z tego powodu, że zadaniem gracza (II) jest omin ać dany zbiór, a okazuje siȩ to możliwe w tym przypadku, mimo dużej miary A 0. Przed podaniem twierdzenia charakteryzuj acego zbiory zdeterminowane dla (I) zdefiniujemy pojȩcie zbioru I-kategorii w punkcie. Definicja. Zbiór E R nazywamy I-kategorii w punkcie x R, jeśli istnieje otoczenie U x punktu x takie, że zbiór U x E jest I-kategorii w R. Zbiór punktów x R, w których E jest I-kategorii oznaczymy przez E I. Dobrze znane s a nastȩpuj ace fakty (patrz [6], roz.12 8). Fakt 1. Zbiór E I jest zbiorem otwartym. Dowód. Jeśli x E I oraz U x takie otoczenie x, że U x E jest I-kategorii, to U x E I. 8

Fakt 2. Zbiór E E I nie jest zbiorem I-kategorii w żadnym punkcie, tzn. (E E I ) I =. Dowód. Przypuśćmy, że (E E I ) I. Istnieje wiȩc x R oraz otoczenie U x punktu x takie, że U x (E E I ) jest I-kategorii. Każdy podziór R otwarty i niepusty jest II-kategorii, wiȩc U x E I = (E I jest otwarty-fakt 1). Dalej, ponieważ U x E jest I-kategorii, wiȩc x E I, co jest sprzeczne z tym, że U x E I =. Fakt 3. Zbiór E E I jest zbiorem I-kategorii. Dowód. Rozpatrzmy nastȩpuj ac a rodzinȩ W = {I : I -przedzia l o końcach wymiernych i I E jest I-kategorii}. Z określenia widać, że jest to rodzina przeliczalna. Zachodzi E E I = E W = I W E I. St ad wynika, że E E I jest I-kategorii. Twierdzenie 3 1. Gracz (I) posiada zwyciȩsk a strategiȩ w grze I 0, A wtedy i tylko wtedy, gdy I 0 \ A jest zbiorem I-kategorii w pewnym punkcie I 0. 1 patrz [13], Tw. 6.2 9

Dowód. Niech f bȩdzie zwyciȩsk a strategi a gracza (I). Możemy przyj ać, że f(i 0,..., I 2n+2 ) 1 2 I 2n+2 dla dowolnego ci agu I 0... I 2n+2. Wówczas funkcja g(i 1,..., I 2n+2 ) def =f(i 0, I 1,..., I 2n+2 ) jest strategi a gracza (II) w grze I 1, I 1 \ A, gdzie I 1 = f(i 0 ). Jeśli ci ag I 1, I 2,..., I n,... jest zgodny z g, to 1 I n A = 0 I n A, ale ponieważ 0 I n jest jednoelementowy ( (I n ) 0), wiȩc 1 I n A. A to znaczy, że g jest zwyciȩsk a strategi a (II). Czyli I 1 \A jest I-kategorii (Tw. 1). Z drugiej strony, jeśli I 0 \ A jest zbiorem I-kategorii w pewnym punkcie I 0, to istnieje przedzia l I I 0 taki, że zbiór I (I 0 \A) = I A jest I-kategorii. Rozważmy grȩ I, I A. Oczywiście gra I, I A jest zdeterminowana dla (II). Jeśli teraz w grze I 0, A gracz (I) w pierwszym ruchu wybierze przedzia l I, a nastȩpnie bȩdzie gra l zgodnie ze zwyciȩsk a strategi a (II) w grze I, I A, to zapewni sobie wygran a. Twierdzenia Tw.1 oraz Tw.3 w pe lni określaj a zbiory, dla których jeden z graczy posiada zwyciȩsk a strategiȩ. Zbiory o tej w lasności nazywamy zdeterminowanymi w grze Banacha-Mazura. siȩ pytanie, czy istniej a zbiory niezdeterminowane. Pojawia Okazuje siȩ, że (w ZFC) można skonstru lować zbiór niezdeterminowany. Niech B bȩdzie zbiorem Bernsteina. Wiadomo, że każdy ze zbiorów B i B ma przekrój niepusty z dowolnym nieprzeliczalnym zbiorem domkniȩtym na prostej. A to znaczy, że dla dowolnego przedzia lu I, ani I B, ani I B nie zawiera nieprzeliczalnego zbioru typu G δ (każdy taki zbiór zawiera zbiór domkniȩty nieprzeliczalny). Z tego zaś wynika, że 10

żaden ze zbiorów I B, ani I B nie jest I-kategorii. Czyli widać (Tw.1, Tw.3), że gra I 0, I 0 B nie jest zdeterminowana dla żadnego z graczy. Twierdzenie 4 2. Jeśli każdy podzbiór I 0 jest zdeterminowany w grze Banacha- Mazura, to każdy podzbiór I 0 posiada w lasność Baire a. Dowód. Niech A I 0 bȩdzie dowolnym zbiorem. Wiadomo, że A (A ) I nie jest zbiorem I-kategorii w żadnym punkcie (Fakt 2). St ad zbiór A def =I 0 \(A (A ) I ) nie jest zdeterminowany dla (I). St ad i z za lożenia twierdzenia A jest I-kategorii. Dalej mamy A = I 0 \ (A (A ) I ) = I 0 A ((A ) I ) = A ((A ) I ), A = A (A ) I A ((A ) I ). Wobec tego, aby pokazać, że A ma w lasność Baire a, wystarczy stwierdzić, że A ((A ) I ) ma w lasność Baire a. Dalej otrzymujemy A (A ) I = (A ) I \ (A (A ) I ). Czyli przedstawiliśmy A (A ) I jako różnicȩ zbioru otwartego i I- kategorii (A (A ) I jest I-kategorii-Fakt 3), a to znaczy, że A (A ) I ma w lasność Baire a. Oczywiście twierdzenie to nie wnosi nic ciekawego, jeśli przyj ać pe ln a wersjȩ AC, gdyż wówczas jego poprzednik jest fa lszywy. Powstaje także problem niesprzeczności przypuszczenia o zdeterminowaniu wszystkich zbiorów z aksjomatami ZF. Jest to zagadnienie z lożone, 2 patrz [9], str.208 11

a pewne rezultaty z nim zwi azane omówiny w dalszej czȩści pracy ( 3 str. 26). Na zakończenie tego rozdzia lu uogólninimy grȩ Banacha-Mazura. Niech G bȩdzie rodzin a podzbiorów I 0 tak a, że każdy element G zawiera niepusty, otwarty podprzedzia l I 0 i na odwrót, tzn. każdy niepusty, otwarty podprzedzia l I 0 zawiera element rodziny G. Ustalmy zbiór A I 0. Gra I 0, A, G jest określona nastȩpuj aco: gracze (I) i (II) wybieraj ac na przemian elementy G, określaj a nieskończony zstȩpuj acy ci ag G 0, G 1,.... Gracz (I) wygrywa, gdy A G n. W przeciwnym przypadku wygrywa (II). Strategiȩ oraz zdeterminowanie zbioru określa siȩ analogicznie jak w grze I 0, A. Okazuje siȩ, że twierdzenia Tw.1 i Tw.3 przenosz a siȩ na przypadek uogólnionej gry Banacha-Mazura. Twierdzenia te podajemy bez dowodu (można je znaleźć w [12]). Twierdzenie 5. Gra I 0, A, G jest zdeterminowana dla (II) wtedy i tylko wtedy, gdy A jest I-kategorii. Twierdzenie 6. Gra I 0, A, G jest zdeterminowana dla (I) wtedy i tylko wtedy, gdy A jest I-kategorii w pewnym punkcie I 0. 12

2. Gra szeregowa ( a n, A). Interesuj ace wydaje siȩ rozważenie nastȩpuj acej gry nieskończonej. Niech a n bȩdzie zbieżnym szeregiem o wyrazach dodatnich oraz A R pewnym zbiorem. Gra polega na wybieraniu na przemian przez dwóch graczy nieujemnych liczb rzeczywistych, przy czym liczba wybrana w n-tym ruchu nie może być wiȩksza od a n. Podobnie jak w 1 graczy oznaczymy przez (I) i (II) ( grȩ rozpoczyna (I) ). Gracze w wyniku rozegrania gry określaj a szereg b n taki, że 0 b n a n (n ω). Ponieważ 0 b n 0 a n, wiȩc szereg b n jest zbieżny. Grȩ wygrywa (I), gdy 0 b n A, w przeciwnym przypadku wygrywa gracz (II). Tak określon a grȩ oznaczymy przez ( a n, A). Ponieważ suma szeregu b n należy do przedzia lu I Σan := [0, 0 a n ], wiȩc bȩdziemy rozważać tylko zbiory A I Σan. Powróćmy do gry Banacha-Mazura. Zmodyfikujmy zasady gry I Σan, A przez narzucenie warunku na d lugość przedzia lów wybieranych przez graczy. Niech I n = k=n a k (n = 1, 2,...). Tak zmodyfikowan a grȩ oznaczać bȩdziemy przez I Σan, A, a n. Fakt 1. Gra ( a n, A) jest zdeterminowana dla (I) ( (II) ) wtedy i tylko wtedy, gdy gra I Σan, A, a n jest zdeterminowana dla (I) ( (II) ). Zanim udowodnimy ten fakt podamy określenie strategii w grze ( a n, A). S a to odpowiednio funkcje f : { } [0, a 0 ]... [0, a 2n+1 ] R, g : n ω n ω [0, a 0 ]... [0, a 2n ] R 13

spe lniaj ace warunki: f( ) [0, a 0 ], f(x 0,..., x 2n+1 ) [0, a 2n+2 ] (n ω), g(x 0,..., x 2n ) [0, a 2n+1 ] (n ω). Dowód. Niech b n i I n bȩd a wynikami gier odpowiednio ( a n, A) oraz I Σan, A, a n takimi, że (1) n 0 b k = c n+1 (n ω), gdzie c n+1 oznacza lewy koniec przedzia lu I n+1. Wobec tego, że lim c n I n oraz I n jest jednoelementowy ( I n 0) otrzymujemy (2) 0 b n A I n A =. Równość (1) wyznacza wzajemnie jednoznaczn a odpowiedniość miȩdzy zwyciȩskimi strategiami danego gracza w jednej grze a zwyciȩskimi strategiami tego samego gracza w drugiej grze. Rzeczywiście, jeśli bn jest zgodny ze zwyciȩsk a strategi a gracza (I), to 0 b n A. Z warunku (2) mamy, że I n A. Gdy zaś I n jest zgodny ze zwyciȩsk a strategi a (I) w grze I Σan, A, a n, to I n A, wiȩc wobec (2) 0 b n A. Analogicznie w przypadku gracza (II). Czyli pokazaliśmy, że dla strategii zwyciȩskiej danego gracza w jednej grze istnieje strategia zwyciȩska dla tego samego gracza w drugiej grze, co dowodzi Faktu 1. W grze Banacha-Mazura zbiory zdeterminowane dla (II) s a I- kategorii. Ale okazuje siȩ, że w grze I Σan, A, a n nawet takie zbiory 14

s a zbyt duże, aby (II) móg l je omin ać. Bez narzucenia odpowiedniego warunku na szereg a n nawet dla zbioru przeliczalnego może nie istnieć strategia zwyciȩska dla gracza (II). Definicja. Mówimy, że szereg a n spe lnia w lasność (*), jeśli istnieje rosn acy ci ag liczb naturalnych n i taki, że dla każdego i (a 2ni +1+a 2ni +3...+a 2ni +(2k+1)+...) > (a 2ni +2+a 2ni +4...+a 2ni +2k+...). Twierdzenie 1. Jeśli szereg a n spe lnia w lasność (*) i A jest zbiorem przeliczalnym, to gra ( a n, A) jest wygrana dla (II). Dowód. Niech A = α i i niech n i bȩdzie danym ci agiem z definicji w lasności (*). Możemy przyj ać, że n i spe lnia warunek (a 2ni +1 + a 2ni +3... + a 2ni+1 1) > 1 2 (a 2n i +1 + a 2ni +2... + a 2ni +k +...) (wystarzy wybrać te elementy ci agu n i, które spe lniaj a t a w lasność, a nastȩpnie przenumerować). Określimy teraz strategiȩ g dla gracza (II). g(x 0,..., x 2k ) := 0 dla k = 0,..., n 0 1, g(x 0,..., x 2k ) := a 2k+1, gdy α i < 2n i 0 x n + 1 2ni 2 +1 a n 0, w przeciwnym przypadku dla k = n i,..., n i+1 1 (i = 0, 1...). Niech teraz b n bȩdzie wynikiem gry zgodnym z g, a α i dowolnym ustalonym elementem A. Mog a zajść dwa przypadki. (1 0 ) α i < 2n i 0 b n + 1 2 2ni +1 a n 15

Wtedy b k = a k dla k = 2n i + 1, 2n i + 3,..., 2n i+1 1. St ad 0 b n 2n i b n + a 2ni +1 +... + a 2ni+1 1 > 2n i b n + 1 2 0 0 2n i +1 a n > α i. (2 0 ) α i 2n i 0 b n + 1 2 2ni +1 a n Wtedy b k = 0 dla k = 2n i + 1, 2n i + 3,..., 2n i+1 1. St ad 2n i 0 0 b n 2n i b n + a 2ni +2 +... + a 2ni+1 2 + 0 b n a 2ni +1... a 2ni+1 1 + 2n i +1 2n i+1 b n a n < 2n i b n + 1 2 0 2n i +1 a n α i. Czyli 0 b n α i, co wobec dowolności α i znaczy, że 0 b n A. Jeśli w definicji w lasności (*) zast apić ostr a nierówność przez s lab a, to powyższe twierdzenie nie bȩdzie prawdziwe. który to uzasadnia. Przyk lad. Rozważmy nastȩpuj acy szereg 1 + ( 1 2 + 1 2 ) + (1 4 + 1 4 ) + (1 8 + 1 8 ) +.... Podamy przyk lad, (tzn. pierwszym wyrazem jest 1, a nastȩpnie parami wystȩpuj a wyrazy szeregu 1 2 n ) Niech A={2}. Z tak zdefiniowanymi szeregiem oraz zbiorem A, rozpatrzmy grȩ ( a n, A). Jeśli gracz (I) w pierwszym ruchu wybierze 1, natomiast w kroku 2n tak a liczbȩ b 2n, aby jej suma z wcześniej wybran a przez (II) wynosi la 1 2 n, wówczas w wyniku gry otrzymamy 16

szereg b n o sumie równej b 0 + (b 1 + b 2 ) } {{ } 1 2 +... + (b 2n 1 + b 2n ) +... = } {{ } 1 2 n 0 1 2 n = 2. Czyli grȩ wygrywa (I) (nawet zbiór jednoelementowy okazuje siȩ za duży dla gracza (II) ). Ponieważ w naszym przyk ladzie szereg a n spe lnia w lasność i (a 2i+1 +a 2i+3...+a 2i+(2k+1) +...) = (a 2i+2 +a 2i+4...+a 2i+2k +...), wiȩc zast apienie znaku > przez w def. w lasnści (*) spowoduje, że Tw.1 nie bȩdzie prawdziwe. Wniosek. Jeśli istnieje rosn acy ci ag liczb naturalnych n i taki, że i (a 2ni +a 2ni +2...+a 2ni +2k+...) > (a 2ni +1+a 2ni +3...+a 2ni +2k+1+...) ( t a w lasność szeregu oznaczymy przez (**) ) oraz zbiór I Σan \ A jest przeliczalny, to gra ( a n, A) jest wygrana dla (I). Dowód. Wystarczy rozpatrzyć grȩ ( a n, A ), gdzie a def n =a n+1 (n ω), A def =I Σan \ A. Szereg a n spe lnia w lasność (*) i zbiór A jest przeliczalny, wiȩc z Tw.1 gra ( a n, A ) jest wygrana dla (II). Jeśli teraz w naszej wyjściowej grze (I) wybierze w pierwszym ruchu b 0 = 0, natomiast dalej bȩdzie gra l zgodnie ze zwyciȩsk a strategi a (II) w grze ( a n, A ), to suma otrzymanego szeregu b n bȩdzie elementem zbioru I Σan \ A =A. 17

Na podstawie powyższego wniosku oraz Tw.1 można stwierdzić, że jeśli szereg a n spe lnia w lasności (*) i (**), to rodzina zbiorów zdeterminowanych w grze szeregowej zawiera σ-cia lo generowane przez zbiory przeliczalne. A to znaczy, że rodzina ta ma moc co najmniej ℵ 2 0Ẇ dalszej czȩści tego paragrafu ograniczymy siȩ do przypadku, gdy szereg a n jest szeregiem potȩgowym. Zauważmy, że szereg potȩgowy α n (α (0, 1)) spe lnia obie wcześniej określone w lasności ( (*) i (**) ), gdyż i ω (α i + α i+2 + α i+4 +...) > (α i+1 + α i+3 + α i+5 +...). Dla tego typu gier podamy przyk lad zbioru zdeterminowanego dla gracza (I). Definicja. Liczbȩ x R nazywamy źle aproksymowaln a (ang. badly approximable), jeśli istnieje sta la c > 0 taka, że x p q > c q 2, dla dowolnych liczb ca lkowitych p, q (q 0). Zauważmy, że w powyższej definicji wystarczy rozpatrywać liczby wzglȩdnie pierwsze. Jesli p q = p 1 q 1, przy czym NW D(p, q) = 1 i x p q > c q, to 2 x p 1 = x p q 1 q > c q c 2 q1 2, gdyż q q 1. Wiadomo, że liczba niewymierna jest źle aproksymowalna wtedy i tylko wtedy, gdy mianowniki jej u lamka lańcuchowego s a ograniczone (patrz odnośnik w [14], str. 178). Czyli przyk ladem liczby źle aproksymowalnej jest liczba 2, gdyż 2 = [1; 2, 2, 2,...]. 18

Zbiór liczb źle aproksymowalnych oznaczymy przez Θ. Interesuj aca jest nastȩpuj aca w lasność zbioru Θ. Fakt 2. Θ jest zbiorem I-kategorii. Dowód. Pokażemy, że Θ = Θ n, gdzie Θ n nigdziegȩsty. Zdefiniujmy Θ n = {x : p q q 0 x p q > 1 n + 1 q 2 }. Równość Θ = Θ n oczywiście zachodzi. Teraz uzasadnimy, że zbiór Θ n jest nigdziegȩsty (n = 0, 1,...). Niech I dowolny przedzia l. Istnieje p q I0. Wówczas przedzia l I [ p q 1 n+1 q 2, p q + 1 n+1 q 2 ] jest roz l aczny z Θ n, co dowodzi nigdziegȩstości Θ n. Twierdzenie 2. Θ jest zbiorem miary Lebesgue a zero. Twierdzenie to podajemy bez dowodu (patrz odnośnik w [15] str. 178). Niech α (0, 1) bȩdzie dowolne ustalone. zbiór I Σα n Θ. Twierdzenie 3 3. Gra ( α n, Θ α ) jest wygrana dla (I). Przez Θ α oznaczymy Przed przyst apieniem do dowodu wprowadzimy pewne oznaczenia i podamy pomocniczy lemat. γ := (1 α) 2 ; a n, b n, s n przedzia lu I n ; oznaczaj a odpowiednio lewy i prawy koniec oraz środek ρ i := α i ρ, gdzie ρ = 0 α n ; L(I n ) oznacza przedzia l o d lugości α I n i lewym końcu takim jak I n, czyli L(I n ) = [a n, a n + αρ n ]; 3 dowód tego twierdzenia jest wzorowany na dowodzie Tw.3 w [14] 19

analogicznie P (I n ) := [b n αρ n, b n ]. Niech n 0 i t 0 takie liczby naturalne, że n 0 jest parzysta i ρ n0 α2 γ 4, α 2 γ 2 (α2 ) t 0 < γ 2. (istnienie tych liczb wynika z tego,że 0 < α < 1 oraz ρ n 0). Niech R := α t 0 oraz δ := 1 4 ρ n 0 γ. Przy takich określeniach możemy już podać Lemat. Jeśli I α 2nt 0 ρ n 0, to istnieje co najwyżej jeden u lamek nieskracalny p q taki, że R n q < R n+1 oraz x I x p q δ q 2. Dowód Lematu. Przypuśćmy, że istniej a dwie różne liczby wymierne p q i p 1 q 1 takie, że R n q, q 1 < R n+1 oraz x,x1 I x p q δ q x 2 1 p 1 δ q 1 q1 2. Wówczas mamy p q p 1 q 1 x p q + x x 1 + x 1 p 1 q 1 δ(q 2 + q 2 1 ) + I 2δR 2n + α 2nt 0 ρ n0 = 2δR 2n + R 2n ρ n0 2ρ n0 R 2n 1 2 α2 γr 2n = 1 2 α2 γ(α 2 ) t 0 R 2n 2 R 2n 2. Z drugiej strony p q p 1 1 > R 2(n+1). q 1 qq 1 Otrzymaliśmy sprzeczność, co dowodzi Lematu. Dowód Twierdzenia 3. 20

Wobec Faktu 1 wystarczy udowodnić, że gra I Σα n, Θ α, α n jest wygrana dla gracza (I). Przedzia ly I 1, I 3,..., I n0 1 gracz (I) może wybierać w dowolny sposób. Podamy teraz jak (I) powinien wybierać przedzia ly I n0 +2nt 0 +1, I n0 +2nt 0 +3,..., I n0 +2(n+1)t 0 1 dla n ω. Niech n ω dowolne ustalone. Z lematu wiemy, że istnieje co najwyżej jeden u lamek nieskracalny p q taki, że R n q < R n+1, x In0 +2nt 0 x p q δ q 2. Czyli elementy x I n0 +2nt 0, które maj a powyższ a w lasność musz a należeć do pewnego przedzia lu C n o d lugości C n 2δ q 2 2δR 2n = 2δα 2nt 0 2 ρ n 0 γ 4 α2nt 0 = γρ n 0 +2nt 0 2 Mog a zajść dwa przypadki: albo środek C n leży po prawej albo po lewej stronie środka przedzia lu I n0 +2nt 0. możliwość. Wówczas W tym przypadku x C n x s n0 +2nt 0 γρ n 0 +2nt 0. 4 Rozpatrzmy pierwsz a I n0 +2nt 0 +2k+1 def =L(I n0 +2nt 0 +2k) dla k = 0, 1,..., t 0 1. Wobec takiego określenia mamy s n0 +2nt 0 +1 = s n0 +2nt 0 1 2 ρ n 0 +2nt 0 (1 α),. s n0 +2nt 0 +2 s n0 +2nt 0 +1 + 1 2 ρ n 0 +2nt 0 (1 α)α 21

s n0 +2nt 0 1 2 ρ n 0 +2nt 0 ((1 α) (1 α)α) = s n0 +2nt 0 1 2 ρ n 0 +2nt 0 γ. St ad mamy, że s n0 +2nt 0 +2 s n0 +2nt 0. Analogicznie otrzymujemy s n0 +2nt 0 +2i s n0 +2nt 0 +2(i 1), i = 2,..., t 0. St ad s n0 +2nt 0 +2t 0 s n0 +2nt 0 +2 s n0 +2nt 0 1 2 ρ n 0 +2nt 0 γ. Zatem b n0 +2nt 0 +2t 0 s n0 +2nt 0 1 2 ρ n 0 +2nt 0 γ + 1 2 ρ n 0 +2nt 0 α 2t 0 < < s n0 +2nt 0 1 2 ρ n 0 +2nt 0 γ + 1 4 ρ n 0 +2nt 0 γ = s n0 +2nt 0 1 4 γρ n 0 +2nt 0. St ad wynika, że C n jest roz l aczny z I n0 +2(n+1)t 0. Jeśli zachodzi drugi przypadek (tzn. środek C n leży po lewej stronie środka I n0 +2nt 0 ), to określamy I n0 +2nt 0 +2k+1 def =P (I n0 +2nt 0 +2k) dla k = 0, 1,..., t 0 1. Podobnie jak w pierwszym przypadku możemy uzasadnić, że C n jest roz l aczne z I n0 +2(n+1)t 0. Niech teraz ci ag I n bȩdzie wynikiem gry, w której (I) gra l zgodnie z wyżej opisan a strategi a oraz p q (q > 0) bȩdzie dowoln a liczb a wymiern a. Wówczas istnieje n takie, że R n q < R n+1. Ze sposobu określenia strategii wynika, że x p q > δ q 2 dla wszystkich x I n0 +2(n+1)t 0. To dowodzi, że gra I Σα n, Θ α, α n jest wygrana przez (I). Powyższe twierdzenie jest interesuj ace, gdyż wskazuje, jak narzucenie warunku na d lugość przedzia lów w grze Banacha-Mazura zmienia 22

w lasności tej gry. Wiemy, że jeśli A jest I-kategorii, to gra I, A jest wygrana dla (II). Okazuje siȩ, że w grze I Σan, A, α n gracz (I) może posiadać zwyciȩsk a strategiȩ nawet w przypadku, gdy A jest I-kategorii. 23

3. Aksjomat determinacji. 3.1 Sformu lowanie. Aksjomat determinacji AD zosta l sformu lowany przez H.Steinhusa oraz J.Mycielskiego w roku 1962 (patrz [10]). W celu sformu lowania tego aksjomatu rozważymy nastȩpuj ac a grȩ nieskończon a. Niech X bȩdzie danym zbiorem. Ustalmy podzbiór Y X ω (czyli Y jest pewnym zbiorem nieskończonych ci agów elementów zbioru X). Regu ly gry G X (Y ) s a nastȩpuj ace: gracze (I) i (II) na przemian wybieraj a elementy zbioru X (rozpoczyna gracz (I)). Czyli w wyniku rozegrania gry gracze określaj a ci ag x 0, x 1,... X ω. Gra jest wygrana przez (I), gdy ci ag ten jest elementem zbioru Y, w przeciwnym przypadku wygrywa (II). Oczywiście w tym przypadku strategiami bȩd a funkcje o wartościach w zbiorze X i określone na zbiorach: X 2n n X 2n+1 n w przypadku gracza (I), w przypadku gracza (II). Podamy teraz pewne fakty dotycz ace gry G 2 (Y ) (2 = {0, 1}). Problem charakteryzacji zbiorów zdeterminowanych w tej grze zaangażowa l wielu matematyków. Mycielski i Ziȩba udowodnili, że dla każego podzbioru Y otwartego lub domkniȩtego w przestrzeni Cantora 2 ω gra G 2 (Y ) jest zdeterminowana. Dalej dowodzono zdeterminowanie tej gry dla wiȩkszych rodzin zbiorów (F σ, G δ, F σδ, G δσ ). Bardzo trudny okaza l siȩ problem zdeterminowania zbiorów borelowskich. Po parudziesiȩciu latach od postawienia tego problemu Martin udowodni l (w ZFC), że dla każdego zbioru borelowskiego Y 2 ω gra G 2 (Y ) jest zdeterminowana. Dowód tego twierdzenia jest trudny, ale jego idea 24

polega na określeniu równoważnej gry na zbiorze otwartym. 4 AKSJOMAT DETERMINACJI AD. Dla każdego podzbioru Y 2 ω gra G 2 (Y ) jest zdeterminowana (tzn. jeden z graczy posiada strategiȩ wygrywaj ac a). Zauważmy, że istnienie strategii wygrywaj acej dla (I) w grze G 2 (Y ) możemy wyrazić nastȩpuj aco: x0 x1 x2 x3... x n Y. Podobnie możemy wyrazić istnienie zwyciȩskiej strategii dla (II) x0 x1 x2 x3... x n Y. Wobec tego pewnym argumentem za przyjȩciem aksjomatu deteminacji może być prawo logiczne x y P x y P. Oczywiście może to mieć wp lyw tylko na prywatny stosunek matematyka do tego aksjomatu, natomiast problem miejsca AD wśród pozosta lych aksjomatów teorii mnogości (niesprzeczność,niezależność -zagadnienie to omówimy dalej) wymaga już dog lȩbnych badań. 3.2 Pewne równoważne formy oraz konsekwencje AD. Zmodyfikujmy grȩ G X (Y ) nastȩpuj aco: w grze G X(Y ) gracz (I) może wybierać dowolny skończony ci ag elementów zbioru X (również pusty), w grze G X (Y ) obaj gracze wybieraj a dowolny skończony niepusty ci ag elementów zbioru X. Oznaczmy przez A X (Y ) zdanie: gra G X (Y ) jest zdeterminowana. A X (Y ). Analogicznie rozumiemy A X(Y ) oraz Natomiast napisy A X, A X, A X oznaczaj a: dla każdego 4 informacje na temat prac zawieraj acych dowody można znaleźć w [15], str. 237 25

podzbioru Y X ω, odpowiednio A X (Y ), A X(Y ), A X (Y ) (przy takich oznaczeniach mamy: AD oznacza A 2 ). Okazuje siȩ, że gra G X (Y ) jest ściśle zwi azana z gr a Banacha- Mazura na przedziale jednostkowym. Określamy funkcjȩ φ : 2 ω [0, 1] wzorem Wówczas mamy φ( x 0, x 1,... ) def = i=0 x i 2 i+1. Twierdzenie 1. Dla każdego Y 2 ω zachodzi: gra G 2 (Y ) jest wygrana dla (I) ( (II) ) wtedy i tylko wtedy, gdy gra [0, 1], φ(y ) jest wygrana dla (I) ( (II) ). Dowód. Udowodnimy twierdzenie w przypadku gracza (I) (w przypadku gracza (II) dowód jest analogiczny). Na wstȩpie zauważmy, że możemy rozważać uogólnion a grȩ Banacha-Mazura, w której gracze wybieraj a przedzia ly z rodziny G = {I(s) [0, 1] : s 2 <ω \ { }}, gdzie I(s) (s = x 0, x 1,..., x n ) oznacza przedzia l o lewym końcu 0.x 0 x 1... x n w rozwiniȩciu dwójkowym i o d lugości 2 n. Wynika to z twierdzeń Tw.5 i Tw.6 z paragrafu 1. ( ) Za lóżmy, że gra G 2 (Y ) jest wygrana dla (I), tzn. (I) ma zwyciȩsk a strategiȩ. Rozpatrzmy teraz grȩ [0, 1], φ(y ), G. Niech gracz (I) rozpoczyna od wyboru przedzia lu I(s 0 ), gdzie s 0 jest skończonym ci agem 0 i 1 wybranym w pocz atkowym ruchu gracza (I) w grze 26

G 2 (Y ). Jeśli teraz gracze określili już przedzia ly I(s 0 ), I(s 0 s 1 ),..., I(s 0... s 2k+1 ) to gracz (I) w swoim kolejnym ruchu wybiera przedzia l I(s 0... s 2k+1 s 2k+2 ), gdzie s 2k+2 jest wyborem zgodnym ze zwyciȩsk a strategi a gracza (I) w grze G 2 (Y ) nastȩpuj acym po ruchach s 0, s 1,..., s 2k+1. W ten sposób określiliśmy strategiȩ gracza (I) w grze [0, 1], φ(y ), G. Uzasadnimy, że zapewnia ona wygran a gracza (I). Niech x 0, x 1,... =s 0... s 2k+1 s 2k+2... (s 0,..., s 2k+1, s 2k+2,... jest wynikiem gry zgodnym z wyżej określon a strategi a). Wiadomo, że x 0, x 1,... Y. Ponieważ l I(s 0... s l ) ={ l=0 x l 2 l+1 }, wiȩc l I(s 0... s l ) φ(y ), co kończy dowód implikacji ( ). ( ) Określimy zwyciȩsk a strategiȩ dla gracza (I) w grze G 2 (Y ) (przy za lożeniu, że taka istnieje w grze [0, 1], φ(y ), G ). Możemy przyj ać, że zbiór Y nie zawiera ci agów, które s a od pewnego miejsca sta le. Takich ci agów jest przeliczalna ilość, a zbiór przeliczalny nie wp lywa na zdeterminowanie zbioru w grze [0, 1], φ(y ), G (tzn. zbiór zdeterminowany dla (I) ( (II) ) powiȩkszony lub pomniejszony o przeliczaln a ilość elementów pozostaje zdeterminowany dla (I) ( (II) ) ) (Tw.5, Tw.6). Na pocz atku gracz (I) wybiera s 0 2 <ω \ { } taki, że przedzia l I(s 0 ) jest przedzia lem wybranym w pierwszym ruchu gracza (I) w grze [0, 1], φ(y ), G zgodnym z wygrywaj ac a strategi a. Za lóżmy, że gracze określili s 0, s 1,..., s 2k+1. Wtedy gracz (I) wybiera taki ci ag s 2k+2, że przedzia l I(s 0... s 2k+2 ) jest przyporz adkowany ci agowi przedzia lów I(s 0 ), I(s 0 s 1 ),..., I(s 0... s 2k+1 ) przez wygrywaj ac a strategiȩ w grze [0, 1], φ(y ), G. Jeśli teraz s 0, s 1,... jest wynikiem gry G X (Y ) 27

zgodnym z wyżej opisan a strategi a, to mamy x l φ(y ). 2l+1 A to znaczy, że gdyż φ 1 (φ(y )) = Y. l=0 x 0, x 1,... = s 0 s 1... Y, Z powyższego twierdzenia wynika nastȩpuj acy Wniosek. Zdanie A X jest równoważne zdaniu, że dla każdego zbioru A [0, 1] gra [0, 1], A jest zdeterminowana. Dowód. Implikacja w praw a stronȩ wynika latwo z w lasności φ(φ 1 (A)) = A. (każdy zbiór A [0, 1] jest obrazem zbioru φ 1 (A) przy odwzorowaniu φ) Implikacja w przeciwn a stronȩ jest oczywista. W 1 (str. 9) pokazaliśmy, że przy za lożeniu AC istnieje zbiór niezdeterminowany w grze Banacha-Mazura. Wobec tego powyższy wniosek implikuje, że przy za lożeniu AC istnieje taki zbiór Y, że gra G 2 (Y ) jest niezdeterminowana. Zachodz a (w ZF) nastȩpuj ace zależności: (1) A n A ω = A ω = A ω A n, A ω = A n. (widać st ad, że aksjomat detrminacji AD jest równoważny każdemu ze zdań A n dla n ω) Implikacje A ω = A n, A ω = A n oraz A ω = A n wynikaj a z nastȩpuj acego ogólnego twierdzenia prawdziwego w ZF (które podajemy bez dowodu): 28

Twierdzenie 2 5. Jeśli X 1 2, X 2 jest dobrze uporz adkowany oraz istnieje funkcja z X 2 na X 1, to A X2 = A X1, A X 2 = A X 1 i A X 2 = A X 1. Udowodnimy teraz niektóre z pozosta lych implikacji. Dowód A n = A ω. Zauważmy, że wobec Twierdzenia 2 wystarczy pokazać, że A 2 = A ω. Niech Y 1 ω ω. skonstru ljuemy zbiór Y 2 2 ω taki, że A 2 (Y 2 ) = A ω (Y 1 ). Niech Ω 2 ω bȩdzie zbiorem ci agów, w których 0 wystȩpuje nieskończenie wiele razy na parzystych oraz nieparzystych miejscach. Zdefiniujmy f i, g : Ω ω dla i ω nastȩpuj aco: g(s) def = min{n : s 2n = 0}, f 0 (s) def =g(s), f i (s) def =g(s 2f i 1(s)+1 ) dla i 1, przy czym dla s = s 0, s 1,... przez s n oznaczamy ci ag s n, s n+1,... (f 0 (s) określa ilość kolejnych 1 na pocz atkowych parzystych miejscach, f 1 (s) ilość kolejnych 1 wystȩpuj acych na nieparzystych miejscach po pierwszym 0 na miejscu parzystym, f 2 (s) ilość kolejnych 1 na parzystych miejscach po pierwszym 0 na nieparzystym miejscu, które wyst api lo po pierwszym 0 na miejscu parzystym, itd.) Niech teraz f : Ω ω ω i f = f 0, f 1,.... Zbiór Y 2 określamy jako sumȩ zbiorów 5 patrz [1], 1 str. 22 29

f 1 (Y 1 ) oraz {s 2 ω : n s 2n = 0 n s 2k+1 = 0}. Z za lożenia mamy, że gra G 2 (Y 2 ) jest zdeterminowana. Niech zwyciȩsk a strategiȩ posiada (I). Określimy zwyciȩsk a strategiȩ dla (I) w grze G ω (Y 1 ). Niech liczby n 1, n 3,... ω bȩd a wyborami (II), których dokona w grze G ω (Y 1 ) (oczywiście nieznanymi przez (I) ). Niech dalej s 2 ω bȩdzie takim wynikiem gry G 2 (Y 2 ) zgodnym ze zwyciȩsk a strategi a (I), że (II) wybiera l 0 do momentu wybrania pierwszego 0 przez (I), nastȩpnie w kolejnych n 1 + 1 ruchach wybiera l n 1 razy 1 i potem jeden raz 0, dalej wybiera l znowu 0 do momentu, w którym (I) ponownie wybra l 0, itd. (nie może siȩ zdarzyć, że od pewnego miejsca (I) bȩdzie wybiera l tylko 1 - wynika to z określenia Y 2 ). Jeśli teraz w grze G ω (Y 1 ) gracz (I) bȩdzie kolejno wybiera l f 0 (s), f 2 (s),..., to f 0 (s), n 1, f 2 (s), n 2... Y 1, gdyż f 0 (s), n 1, f 2 (s), n 2... = f(s). To kończy dowód w przypadku istnienia strategii zwyciȩskiej dla (I) w grze G 2 (Y 2 ). W drugim przypadku ( (II) ma strategiȩ wygrywaj ac a) dowód przbiega podobnie. Dowód A ω = A ω. Niech P 1 ω ω. Podobnie jak wyżej, skonstru lujemy P 2 ω ω taki, że A ω (P 2 ) = A ω(p 1 ). Ustawmy wszystkie skończone ci agi liczb naturalnych (w tym również ci ag pusty) w ci ag a 0, a 1, a 2,.... Definiujemy h : ω ω ω ω, h( n 0, n 1, n 2,... ) def =a n0 n 1 a n2 n 3.... 30

Niech P 2 def =h 1 (P 1 ). Rozważmy przypadek, gdy gra G ω (P 2 ) jest zdeterminowana dla (II). Niech f bȩdzie zwyciȩsk a strategi a. Określimy zwyciȩsk a strategiȩ (II) f 1 w grze G ω(p 1 ). f 1 ( a n0, n 1, a n2,..., a n2k ) def =f( n 0, n 1, n 2,..., n 2k ) dla k ω. Jeśli teraz ci ag a n0, n 1, a n2,... jest zgodny z f 1, to ci ag n 0, n 1, n 2,... jest zgodny z f. Czyli n 0, n 1, n 2,... P 2, a to znaczy, że a n0, n 1, a n2,... P 1. W przypadku, gdy (I) ma wygrywaj ac a strategiȩ w grze G ω (P 2 ) dowód jest analogiczny. Dowody pozosta lych implikacji (A ω = A ω, A n = A ω ) s a bardzo podobne i nie bȩdziemy ich zamieszczać (można je znaleźć w [9], str. 215) Teraz możemy powrócić do problemu niesprzeczności i niezależności AD od pozosta lych aksjomatów teorii mnogości. Ponieważ, jak zauważyliśmy wcześniej, przy za lożeniu AC można skonstru lować zbiór Y taki, że gra G 2 (Y ) jest niezdeterminowana, wiȩc AD i AC s a sprzeczne na gruncie ZF. Dalej, ponieważ AC jest niesprzeczny z ZF, wiȩc AD jest też niesprzeczny z ZF. Problem niesprzeczności AD z ZF jest znacznie trudniejszy. Do tej pory nie zosta l on ca lkowicie rozwi azany. Uzyskano wyniki, które wi aż a problem niesprzeczności AD z problemem niesprzeczności innych aksjomatów dotycz acych g lównie istnienia dużych liczb kardynalnych. Jednym z rezultatów zwi azanych z problemem niesprzeczności AD jest wynik Solovaya, który udowodni l, że niesprzeczność teorii ZF + AD implikuje niesprzeczność teorii ZF + AC + istniej a nieprzeliczalne liczby kardynalne mierzalne. 31

Mimo, że AD i AC s a sprzeczne na gruncie ZF, to okazuje siȩ, że s labsza forma AC (WAC) wynika z AD, natomiast AC w pe lnej formie jest równoważny pewnej zmodyfikowanej wersji aksjomatu determinacji. Niech Y X 2. Oznaczmy przez G 1 X(Y ) grȩ, w której gracze wykonuj a po jednym ruchu. Jeśli określony przez graczy ci ag należy do Y, to wygrywa (I), w przeciwnym przypadku wygrywa (II). Napis A 1 X oznacza, że dla każdego Y X 2 gra G 1 X(Y ) jest zdeterminowana. Twierdzenie 3 6. AC jest równoważne zdaniu X A 1 X. Dowód. ( ) Niech X bȩdzie dowolnym niepustym zbiorem a Y dowolnym podzbiorem zawartym w X 2. Pokażemy, że gra G 1 X(Y ) jest zdeterminowana. Z praw de Morgana wiadomo, że zachodzi jeden z przypadków: x0 X x1 X (x 0, x 1 ) Y lub x0 X x1 X (x 0, x 1 ) Y. Jeśli zachodzi pierwszy z nich, to funkcja wyboru rodziny {F x0 } x0 X (gdzie F x0 = {x 1 : (x 0, x 1 ) Y }) wyznacza zwyciȩsk a strategiȩ gracza (II). Jeśli natomiast zachodzi druga z możliwości, to dziȩki AC gracz (I) może wybrać takie x 0 X, że x1 X (x 0, x 1 ) Y. ( ) Niech F bȩdzie dowoln a, niepust a rodzin a zbiorów, która nie zawiera zbioru pustego. Rozważmy zbiór X def =F ( F { }). Przez Y oznaczamy zbiór 6 patrz [9], str. 216 { (S 0, t 0 ), (S 1, t 1 ) : t 1 S 0 } X 2. 32

Na mocy za lożenia gra G 1 X(Y ) jest zdeterminowana. Oczywiście zwyciȩsk a strategiȩ posiada gracz (II) (w przeciwnym przypadku istnia l by taki zbiór S 0 F, że S 0 F = ). Niech g bȩdzie strategi a wygrywaj ac a gracza (II). Wówczas funkcj a wyboru dla rodziny F jest funkcja f określona nastȩpuj aco: f(s) def =t 1, gdzie (S 1, t 1 ) = g(s, ). Twierdzenie 4 7. AD implikuje WAC. Dowód. Niech X = X 0, X 1,... bȩdzie ci agiem niepustych zbiorów takim, że X 2 ℵ 0. Możemy przyj ać, że X ω ω. Definiujemy Y def ={ n 0, n 1... ω ω : n 1, n 3... X n0 }. Gra G ω (Y ) jest zdeterminowana. Oczywiście gracz (I) nie może posiadać zwyciȩskiej strategii, gdyż zbiory X 0, X 1,... s a niepuste. A wiȩc gra G ω (Y ) jest wygrana dla (II). Zwyciȩska strategia g tego gracza określa funkcjȩ wyboru dla rodziny X. Rzeczywiście. Definiujemy f : X X nastȩpuj aco: gdzie ci ag x i i ω taki, że f(x n ) def = x i i ω, x 0 = g(n), x i+1 = g(n, x 0, 0, x 1, 0,..., x i, 0) (i ω). 7 patrz [9], str. 217 33

Z określenia x i i ω widać, że f(x n ) X n. Z ostatniego twierdzenia wynika, że w teorii ZF+AD można udowodnić dużo twierdzeń, które wymagaj a użycia s labszej wersji pewnika wyboru. Mianowicie WAC wystarcza do udowodnienia σ-addytywności miary Lebesgue a oraz rodziny zbiorów I-kategorii, równoważności dwóch definicji ci ag lości funkcji: Cauchego i Heinego, a także regularności liczby ω 1. Udowodnimy, że WAC implikuje regularność ω 1 (patrz [1], 1 str.19). Dla dowodu tego faktu skonsru lujemy rozbicie zbioru P(ω) na ω 1 roz l acznych zbiorów (tzw. rozbicie Lebesgue a). Niech funkcja h : ω ω ω bȩdzie określona wzorem h(m, n) def =2 n (2m + 1) 1. Jest to funkcja różnowartościowa i na. Definiujemy L 0 def ={A P(ω) : A = ω, h 1 (A) nie jest dobrym porz adkiem}, L n def ={A P(ω) : A = n} (0 < n < ω), L ξ def ={A P(ω) : ω, h 1 (A) jest dobrym porz adkiem typu ξ} dla (ω ξ ω 1 ). Uzasadnimy, że każdy z wyżej zdefiniowanych zbiorów jest niepusty. Jest to oczywiste dla zbiorów L n (n < ω). Niech ω ξ ω 1. Ponieważ ξ jest liczb a porz adkow a przeliczaln a wiȩc istnieje funkcja równoliczności z ξ na ω. Funkcja ta wyznacza na ω relacjȩ dobrego porz adku R tak a, że ω, R jest typu porz adkowego ξ. Wówczas h(r) L ξ. Oczywiste jest, że zbiory L ξ (ξ < ω 1 ) s a parami roz l aczne i dowolny podzbiór ω należy do któregoś z nich. Funkcjȩ f z P(ω) 34

na ω 1 określamy nastȩpuj aco: f(a) def =ξ, gdy A L ξ. Warto w tym miejscu zaznaczyć, że w teorii ZF+AD nie można skonstru lować funkcji różnowartościowej z ω 1 w P(ω), tzn. liczby kardynalne ℵ 1 i 2 ℵ 0 s a nieporównywalne. Niech teraz ξ n n ω bȩdzie dowolnym ci agiem liczb porz adkowych takich, że ω ξ n < ω 1 (n ω). Z WAC wynika istnienie ci agu A n n ω, gdzie A n L ξn. Z określenia tego ci agu widać f(a n ) = ξ n. Zdefiniujemy teraz relacjȩ dobrego porz adku R na ω ω. (n 1, m 1 )R(n 2, m 2 ) (n 1 < n 2 (n 1 = n 2 m 1 R n1 m 2 )), gdzie R n1 = h 1 (A n1 ). ω ω, R jest przeliczalnym porz adkiem, jego typ oznaczmy przez β. Widać, że β jest ograniczeniem górnym ci agu ξ n n ω. Na zakończenie tego paragrafu przedstawimy niektóre konsekwencje AD. Otóż w teorii ZF+AD można udowodnić nastȩpuj ace fakty: (a) Każdy zbiór liczb rzeczywistych jest mierzalny w sensie Lebesgue a. (b) Każdy zbiór liczb rzeczywistych ma w lasność Baire a. (c) Liczba porz adkowa ω 1 jest mierzalna (tzn. istnieje nietrywialna miara określona na P(ω 1 ), przyjmuj aca wartości 0 i 1 oraz znikaj aca na punktach). (d) Liczba ω 1 spe lnia nastȩpuj ac a relacjȩ podzia low a ω 1 (ω 1 ) ω (tzn. dla każdego rozbicia F : [ω 1 ] ω 2 istnieje podzbiór C ω 1 równoliczny z ω 1 jednorodny wzglȩdem F, tzn. jednoelementowy). (e) Nie istnieje liczba kardynalna γ taka, że ℵ 0 obraz F ([C] ω ) jest < γ < 2 ℵ 0, tzn. każdy podzbiór zbioru liczb rzeczywistych jest przeliczalny albo jest równoliczny z ca lym zbiorem R. 35

Fakt (b) wynika z Twierdzenia 4 w 1 oraz z wniosku w tym paragrafie. Dowód konsekwencji (a) przedstawimy w dalszej czȩści, natomiast pozosta le pozostawimy bez dowodu ( (c) i (d) patrz [4], Tw.2.5 i Tw.2.6; (e) patrz [9], str.209). 3.3 Dowód mierzalności wszystkich zbiorów na prostej. Udowodnimy twierdzenie o mierzalności w sensie Lebesgue a wszystkich zbiorów na prostej, przy za lożeniu AD. Ale przed przyst apieniem do dowodu podamy potrzebne pojȩcia oraz twierdzenia. Definicja. Podzbiór R nazywamy zbiorem analitycznym, jeśli jest on ci ag lym obrazem przestrzeni Baire a ω ω. Twierdzenie 1 8. Każdy podzbiór borelowski przestrzeni Baire a ω ω jest ci ag lym obrazem tej przestrzeni. Z powyższego twierdzenia wynika Wniosek 1. Jeśli B jest podzbiorem borelowskim przestrzeni Baire a ω ω oraz funkcja f : ω ω R jest ci ag la, to zbiór f(b) R jest zbiorem analitycznym. Twierdzenie 2 ( Luzin,Sierpiński) 9. Każdy zbiór analityczny jest mierzalny w sensie Lebesgue a. Ustawmy na wstȩpie wszystkie skończone sumy przedzia lów o końcach wymiernych zawartych w przedziale [0,1] w ci ag S n n ω. W dalszej czȩści tego paragrafu bȩdziemy siȩ odwo lywać do tego uporz adkowania. 8 patrz [3], czȩść IV roz.2 3 9 patrz [3], czȩść IV roz.3 2 36

Lemat. Dla dowolnego zbioru liniowego M miary Lebesgue a zero i dowolnego szeregu zbieżnego liczb dodatnich ε i istnieje pokrycie S ni i ω zbioru M o w lasności Dowód. i m(s ni ) ε i. Wystarczy udowodnić tezȩ dla szeregów o wyrazach wymiernych. Niech ε := i ε i. Istnieje ci ag przedzia lów I i i ω pokrywaj acy M taki, że i I i ε. Możemy przyj ać, że przedzia ly I i maj a końce wymierne (wystarczy wybrać ci ag przedzia lów dla ε 2 i nastȩpnie odpowiednio powiȩkszyć przedzia ly o końcach niewymiernych) oraz suma ich d lugości wynosi dok ladnie ε. Skonstru lujemy teraz ż adane pokrycie. Niech k 0 taka liczba naturalna, że k 0 1 i=0 I i ε 0 i k 0 i=0 I i > ε 0 ( 1 i=0 I i = 0). Wówczas przedzia l I k0 dzielimy na dwa podprzedzia ly I 0,k0, I 1,k0 w taki sposób, że k 0 1 i=0 I i + I 0,k0 = ε 0 (I 0,k0, I 1,k0 maj a końce wymierne, gdyż ε 0 jest liczb a wymiern a). Przyjmujemy n 0 takie, że S n0 = ( k 0 1 i=0 I i ) I 0,k0. Przedzia ly I 1,k0, I k0 +1, I k0 +2,... oznaczamy odpowiednio I (0) 0, I (0) 1, I (0) 2,.... Przypuśćmy, że skonstru lowaliśmy w ten sposób S n0, S n1,..., S nl. Niech k l+1 ω takie, że k l+1 1 i=0 I (l) i ε l+1 i k l+1 i=0 I (l) i > ε l+1. Przedzia l I kl+1 dzielimy na dwa podprzedzia ly I (l) 0,k l+1, I (l) 1,k l+1 tak, by k l+1 1 i=0 I (l) i + I (l) 0,k l+1 = ε l+1. Niech n l+1 takie, że k l+1 1 S nl+1 = ( I (l) i ) I (l) 0,k l+1. i=0 37

Przedzia ly I (l) 1,k l+1, I (l) k l+1 +1, I (l) k l+1 +2,... oznaczamy odpowiednio I (l+1) 0, I (l+1) 1, I (l+1) 2,.... Na mocy zasady indukcji określiliśmy ci ag S ni i ω. Ze sposobu konstrukcji widać, że spe lnia on w lasności Sni = I i, i m(s ni ) k i 1 czyli jest szukanym pokryciem. i=0 I (i 1) i + I (i 1) 0,k i = ε i, Twierdzenie 3 (Mycielski, Świerczkowski) 10. Za lóżmy, że zachodzi AD. Wówczas każdy podzbiór zbioru liczb rzeczywistych jest mierzalny w sensie Lebesgue a. Dowód. Oczywiście wystarczy udowododnić, że każdy podzbiór odcinka [0,1] jest mierzalny. Niech E [0, 1] bȩdzie dowolnym zbiorem. Pokażemy, że m (E) = m (E). Z w lasności miary wewnȩtrznej wiemy, że istnieje E 1 E typu F σ o mierze równej m (E). Wiȩc zbiór E \ E 1 ma miarȩ wewnȩtrzn a równ a zero. Czyli wystarczy pokazać, że m (E \ E 1 ) = 0. Oznaczmy E \ E 1 przez E. Niech ε > 0 dowolne ustalone. skonstru lujemy pokrycie zbioru E zbiorami z ci agu S n n ω, których suma miar jest mniejsza od ε. Zdefiniujemy teraz ci ag liczbowy a n oraz zbiór A ω ω. a i def = ε 10 2i+1 (i ω); n 0, n 1, n 2,... A wtedy i tylko wtedy, 10 podajemy dowód wed lug L.Harringtona, patrz [4] roz.ii 38

gdy zachodzi przynajmniej jeden z poniższych warunków: (1) m(s n2i+1 ) a i dla pewnego i, (2) liczba r = 0, n 0 n 2 n 4 n 6... (w rozwiniȩciu dziesiȩtnym) należy do E, natomiast nie należy do żadnego ze zbiorów S n1, S n3, S n5,.... Ponieważ zak ladamy AD, wiȩc gra G ω (A) jest zdeterminowana (patrz warunek (1) w 3.2). Pokażemy, że ta gra jest zdeterminowana dla (II). Przypuśćmy, że tak nie jest. Niech f bȩdzie zwyciȩsk a strategi a gracza (I). Określimy odworowanie f z przestrzeni ω ω w odcinek [0,1]. Niech n 1, n 3, n 5,... ω ω. Określamy n 0 = f( ), n 2 = f(n 0, n 1 ),..., n 2k = f(n 0, n 1,..., n 2k 1 ). Wówczas f( n 1, n 3, n 5,... ) def =0, n 0 n 2 n 4.... Funkcja f jest oczywiście ci ag la. Określimy teraz zbiór P ω ω. P def ={ n 1, n 3, n 5,... : m(s n2i+1 ) < a i (i ω)}. Zbiór P jest domkniȩty. Rzeczywiście, jeśli n k 1, n k 3, n k 5,... n 1, n 3, n 5,... (gdzie n k 1, n k 3, n k 5,... P ), to i ki n 1 = n k i 1, n 3 = n k i 3,..., n 2i+1 = n k i 2i+1. A st ad wynika, że i m(s n2i+1 ) < a i. Oznaczmy przez P obraz P przy odwzorowaniu f. Ponieważ funkcja f jest ci ag la, wiȩc P jest zbiorem analitycznym (Wniosek 1), a zatem mierzalnym (Tw.2). 39

Pokażemy, że P E. Jeśli x P, to x = f( n 1, n 3, n 5,... ). Ponieważ f jest zwyciȩsk a strategi a dla (I), wiȩc n 0, n 1, n 2,... A. Ale ci ag n 0, n 1, n 2,... nie spe lnia w lasności (1) (bo jest elementem P ), wiȩc musi spe lniać (2). A z tego wynika, że x E. Ponieważ m (E ) = 0, wiȩc m(p ) = 0. Niech S n1, S n3, S n5,... bȩdzie pokryciem zbioru P, które nie spe lnia w lasności (1), tzn. n 1, n 3, n 5,... P (takie istnieje z Lematu). Oczywiście x = f( n 1, n 3, n 5,... ) P. A st ad wynika, że x S n2k+1 dla pewnego k. Wobec tego ci ag f( ), n 1, f(f( ), n 1 ), n 3, f(f( ), n 1, f(f( ), n 1 ), n 5 ), n 5,... nie spe lnia żadnego z warunków (1) i (2), czyli nie należy do A. Otrzymaliśmy sprzeczność z tym, że f jest zwyciȩsk a strategi a gracza (I). Zatem G ω (A) jest wygrana dla (II). Niech g bȩdzie wygrywaj ac a strategi a dla (II). Zdefiniujmy nastȩpuj ace zbiory N = {0, 1,..., 9}, N 1 = {g(n 0 ) : n 0 N}, N 3 = {g(n 0, n 1, n 2 ) : n 0, n 2 N, n 1 = g(n 0 )},. N 2k+1 = {g(n 0,..., n 2k ) : n 2i N, n 2i+1 = g(n 0,..., n 2i ), i k 1}, (N 2k+1 - zbiór wszystkich możliwych wyborów gracza (II) w k-tym ruchu zgodnych z g, przy za lożeniu, że wcześniejsze jego wybory by ly zgodne z g, a (I) wybiera l dowolne liczby ze zbioru {0, 1,..., 9}). Każdy ze zbiorów N 2k+1 ma niewiȩcej niż 10 k elementów oraz m(s i ) < a k dla i N 2k+1. Oznaczmy zbiór i N 2i+1 przez V, zaś l V S l przez W. Zbiór W zawiera E. Rzeczywiście. Niech x E 40