Matematyka A, klasówka, 24 maja zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le. rozwia

Podobne dokumenty
Matematyka A, egzamin, 17 czerwca 2005 rozwia zania

Funkcja może mieć lokalne ekstrema jedynie w punktach, w których jej gradient, czyli wektor f = grad f = [ f

Matematyka A kolokwium, 27 maja 2015, godz. 18:15 20:10

FUNKCJE LICZBOWE. x 1

Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych

P (x, y) + Q(x, y)y = 0. g lym w obszrze G R n+1. Funkcje. zania uk ladu (1) o wykresie przebiegaja

g liczb rzeczywistych (a n ) spe lnia warunek

DZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE. Eliminacje rejonowe. Czas trwania zawodów: 150 minut

2a )2 a b2. = 2 4a ====== x + b. nawias

Pisemny egzamin dyplomowy. na Uniwersytecie Wroc lawskim. na kierunku matematyka. zadania testowe. 22czerwca2009r. 60 HS-8-8

Matematyka A kolokwium 26 kwietnia 2017 r., godz. 18:05 20:00. i = = i. +i sin ) = 1024(cos 5π+i sin 5π) =

Matematyka A, kolokwium, 15 maja 2013 rozwia. ciem rozwia

Matematyka A kolokwium: godz. 18:05 20:00, 24 maja 2017 r. rozwiązania. ) zachodzi równość: x (t) ( 1 + x(t) 2)

Niezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny

Wyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne

Wersja testu A 15 lutego 2011 r. jest, że a) x R y R y 2 > Czy prawda. b) y R x R y 2 > 1 c) x R y R y 2 > 1 d) x R y R y 2 > 1.

Zadania egzaminacyjne

c ze wzoru dwumianowego Newtona obliczyć sumy: a) 3 2 obliczyć wartości wyrazów będa cych liczbami ca lkowitymi,

Zajmijmy się najpierw pierwszym równaniem. Zapiszmy je w postaci trygonometrycznej, podstawiając z = r(cos ϕ + i sin ϕ).

Wektory i wartości własne

PODSTAWOWE W LASNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH

Algebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1

Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika

Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas

Równania różniczkowe liniowe drugiego rze

2. Równania nieliniowe i ich uk lady

Wektory i wartości własne

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =

Tekst poprawiony 27 XII, godz. 17:56. Być może dojda

Zadania z GAL-u. 1 Rozwia. Listopad x + 3y = 1 3x + y = x + y = 1 x + 2y 3z = 3 2x + 4y + z = 1 1.2

c a = a x + gdzie = b 2 4ac. Ta postać wielomianu drugiego stopnia zwana jest kanoniczna, a wyrażenie = b 2 4ac wyróżnikiem tego wielomianu.

VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa

Grupy i cia la, liczby zespolone

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM ROZSZERZONY. S x 3x y. 1.5 Podanie odpowiedzi: Poszukiwane liczby to : 2, 6, 5.

Sterowalność liniowych uk ladów sterowania

1. Liczby zespolone i

Wielomiany podstawowe wiadomości

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera

Algebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011

2. Kombinacja liniowa rozwiązań zeruje się w pewnym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się w każdym punkcie.

Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych

1 Wartości własne oraz wektory własne macierzy

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

Wyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie

- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych

Układy równań i nierówności liniowych

Wersja testu D 14 września 2011 r. 1. Czy prawda jest, że a) x Z y Z y 2 = 2 ; b) x Z y Z x 2 = 1 ; c) x Z y Z x 2 = 2 ; d) x Z y Z y 2 = 1?

Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera

Dziedziny Euklidesowe

Zasada indukcji matematycznej

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3

Układy równań i równania wyższych rzędów

13. Cia la. Rozszerzenia cia l.

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0

Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne

Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl. krzywej zamknietej

Pierścienie grupowe wyk lad 3. lewych podmodu lów prostych. Ogólniej, aby roz lożyć dany pierścień na sume. prosta

Funkcje analityczne. Wykład 3. Funkcje holomorficzne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) z = x + iy A

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna

Rozdział 2. Liczby zespolone

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane

ANALIZA II 15 marca 2014 Semestr letni. Ćwiczenie 1. Czy dan a funkcjȩ da siȩ dookreślić w punkcie (0, 0) tak, żeby otrzymana funkcja by la ci ag la?

Funkcje wielu zmiennych

Wykład z równań różnicowych

Równania różniczkowe. Notatki z wykładu.

3. Wykład Układy równań liniowych.

- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe

Własności wyznacznika

WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd

Równania różniczkowe liniowe II rzędu

Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność wektorów, bazy przestrzeni wektorowych

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.

Przykładowe zadania z teorii liczb

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1

cie uk ladu równań liniowych i podaliśmy sposoby rozwia

Liczby zespolone. Liczbami zespolonymi nazywamy liczby postaci a + bi, gdzie i oznacza jednostke urojona

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego

Warunki dzia lań na wektorach - aksjomaty przestrzeni liniowej a) b) daja podobnie do wektorów: strza lki, si la, pre

Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas

Procesy Stochastyczne - Zestaw 1

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

Liczby zespolone Definicja liczb zespolonych Liczbami zespolonymi nazywamy liczby postaci a + bi, gdzie i oznacza jednostke urojona, przyjmujemy,

Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka

Wyk lad 2 Podgrupa grupy

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski

Algebra i jej zastosowania ćwiczenia

Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

1 Zbiory i działania na zbiorach.

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

Transkrypt:

Matematyka A, klasówka, 4 maja 5 Na prośbe jednej ze studentek podaje zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le dów Podać definicje wektora w lasnego i wartości w lasnej Znaleźć wartości i wektory w lasne niekoniecznie rzeczywiste macierzy A, jeśli A =, A =, A =, A = Wartościa macierzy A nazywamy liczbe λ rzeczywista lub nie, dla której istnieje wektor v taki, że Av = λv, wektor v nazywamy wektorem w lasnym macierzy A Z wyk ladu wiadomo, że wartościami w lasnymi sa pierwiastki równania charakterystycznego: = λ 6 λ = λ8 λ + 6 = λ 5λ + 6 Rozwia zawszy to równanie kwadratowe stwierdzamy, że λ = 5 i 5 4 6 = 5 i 9, λ = 5 + i 9 Jeśli v = x y jest wektorem w lasnym odpowiadaja cym 5 i 9, to x = y 5 i 9 x y, zatem spe lniona jest równość x + 6y = 5 i 9x, czyli równość y = i 9 x równość x + 8y = 5 i 9y jest równoważna poprzedniej, do ten uk lad równań ma niezerowe zanie, gdyż 5 i 9 jest wartościa! Jednym z odpowiadaja cych wartości w lasnej λ = 5 i 9 wektorów jest v = i 9 Macierz jest rzeczywista, wie c sprze gaja c wartość i wektor w lasny otrzymujemy druga pare λ = 5 + i 9, v = +i 9 Wartości w lasnych wie cej nie ma, a pozosta le wektory w lasne odpowiadaja ce λ otrzymujemy mnoża c wektor v przez dowolna liczbe zespolona Analogicznie w przypadku λ W przypadku macierzy możemy posta pić tak, jak w przypadku macierzy, ale nie warto Mamy bowiem v = λ v = λ v = =λ λ v = λ v = λ v, zatem λ jest wartościa, a jednym z wektorów w lasnych jej odpowia- daja cych jest v Druga wartościa jest λ Odpowiada jej wektor v Wie cej wartości w lasnych macierz nie ma, bo równanie kwadratowe może mieć co najwyżej dwa pierwiastki Jedynym pierwiastkiem równania = λ 6 λ = λ9 λ + 6 = λ 6λ + = λ jest liczba Wspó lrze dne wektorów w lasnych spe lniaja uk lad równań: x + 6y = λx = x, 6x + 9y = λy = y, czyli równanie x = y Jedyna wartościa jest wie c liczba Odpowiada jej wektor w lasny lub jakikolwiek wektor otrzymany przez pomnożenie wektora

przez liczbe Jeśli Av = λv i macierz A ma macierz odwrotna, to v = A Av = A λv = λa v, zatem λ v = A v, a to oznacza, że jeśli v jest wektorem w lasnym macierzy A odpowiadaja cym wartości λ, to jest też wektorem w lasnym macierzy A odpowiadaja cym wartości w lasnej λ Macierz ma wie c jedna wartość,, odpowiadaja jej wektory w lasne postaci x x, x λ = λ Uwaga: wartościami w lasnymi macierzy A n dla n = ±, ±, ±, sa liczby postaci λ n, gdzie λ oznacza wartość macierzy A, czego dowód nie różni od podanego w szczególnych przypadkach w zaniu tego zadania Niech A = Sprawdzić, że wektor w lasnej on odpowiada? w =,, jest wektorem w lasnym macierzy A Jakiej wartości Znaleźć pozosta le wartości i wektory w lasne macierzy A Wykazać, że dla każdego wektora x zachodzi równość A x = x Niech v be dzie wektorem prostopad lym do wektora w Wykazać, że również wektor A v jest prostopad ly do wektora w Znaleźć kosinus ka ta mie dzy wektorami v i A v Sprawdzić, że wektory w, x x w w i w x sa prostopad le oraz że dla każdego wektora x zachodzi równość A x = 6[ x w w + x x w w + w x W końcówce można ewentualnie skorzystać z tego, że A x + x = A x + A x oraz [ x + x w w + x + x [ x + x w w + w x + x = { } { } x w w + x x w w + w x + x w w + x x w w + w x Mamy = + + + =, wie c wektor jest + wektorem w lasnym odpowiadaja cym wartości w lasnej Dla znalezienia pozosta lych wartości w lasnych rozk ladamy na czynniki wielomian charakterystyczny wiedza c już, że jednym z jego pierwiastków jest liczba *Przypominamy, że mnożenie macierzy przez liczbe polega na pomnożeniu każdego jej wyrazu przez te liczbe ; pomnożenie jednego wiersza przez np powoduje pomnożenie wyznacznika przez, jednoczesne pomnożenie dwóch wierszy powoduje pomnożenie wyznacznika przez 9 itd: λ 7 λ λ = λ + λ λ + = λ + λ λ + Wynika sta d, że pozosta lymi wartościami w lasnymi sa liczby + i oraz i Znajdujemy odpowiadaja ce im wektory w lasne zuja c odpowiednie uk lady równań; * 8

x + y z = + i x x + y + z = + i y x y + z = + i z oraz x + y z = i x x + y + z = i y x y + z = i z Rozwia żemy pierwszy uk lad Mnożymy drugie równanie przez i dodajemy do trzeciego: y+z = +i y+ +i z tzn i z = i y, wie c y = +i z Mnożymy pierwsze równanie przez i dodajemy do drugiego: x + y = + i x + + i y Z tej równości wynika, że x = + i y Przyjmuja c z = otrzymujemy wektor w lasny +i +i, który odpowiada wartości λ = + i Ponieważ macierz jest rzeczywista, wie c druga pare otrzymujemy tak, jak w poprzednim zadaniu czyli sprze gaja c: wektor i i Niech v = xy z odpowiada wartości w lasnej λ = i Mamy v = x + y + z oraz A v = x+y z x+y+z, zatem A v = x y+z = 9[ x + y z + x + y + z + x y + z = 9[ 4x + 4y + z + 8xy xz 4yz + +x + 4y + 4z 4xy 4xz + 8yz + 4x + y + 4z 4xy + 8xz 4yz = x + y + z = v xy W dalszym cia gu v = Prostopad lość v do w oznacza, że = v w = x + y + z Z kolei z A v w = x+y z + x+y +z + x y + z = x+y +z =, wie c naste pne stwierdzenia zosta lo uzasadnione Mamy w x x w w = w x x w w w = w x x w = Z definicji iloczynu wektorowego wynika, że wektory w i x sa prostopad le do w x, a sta d wynika prostopad lość wektorów w x i x x w w wektor prostopad ly do wszystkich sk ladników sumy jest prostopad ly do sumy Mamy A w = w oraz 6[ w w w + w w w w + w w = 6 w w w = w w, a to oznacza, że równość, która mieli Państwo uzasadnić nie jest prawdziwa Można ja bez trudu poprawić: A x = 6[ x w w + x x w w + w x = 6[ x w w + x + w x Ta poprawiona równość ma miejsce dla x = w, to już sprawdziliśmy Wystarczy teraz udowodnić ja dla jeszcze dwóch wektorów wzajemnie prostopad lych i prostopad lych do w, bo każdy wektor w przestrzeni można zapisać w postaci sumy trzech wzajemnie prostopad lych wektorów o danych kierunkach Przypadkowo wybrane wektory to v = i v = Sa one prostopad le do w, również wzajemnie prostopad le Mamy A v = = oraz A v = = Mamy dalej w v = i w v = Z tych równości 6 wynika już teza Zauważmy jeszcze, że jeśli wektor x jest prostopad ly do w, to A x x = x x, a ponieważ A x = x, wie c kosinus ka ta mie dzy wektorami x i A x równy jest Zakończyliśmy omawianie zadania Po zakończeniu wypada stwierdzić, że punkt A x jest obrazem punktu x w obrocie o ka t π

czyli o 6 wokó l prostej przechodza cej przez punkty,, i,, Niech w = + i Znaleźć w, Argw, w 4 oraz w 6 Rozwia zać w C równanie z + z + z 5 = Mamy w = w w = + i i = i = Wobec tego + i = + i = = cos π 4 + i sin π 4 Sta d w4 = 4 [ cos 4π 4 + i sin 4π 4 = 4 Analogicznie w6 = = 6 [ cos 6π 4 i sin 6π 4 = 8 i = 8i Oczywiście można też skorzystać z tego, że w 6 = w 4 w = 4 i = 4 i = 8i Zajmiemy sie równaniem = z + z + z 5 = z z + z + 5 = z [ z + + 4, zatem pierwiastkami sa liczby, + i, i 4 Rozwia zać równanie x t + xt = e t + e t + 5 cos t Znaleźć wszystkie zania tego równania spe lniaja ce warunek x = Rozwia zanie ogólne równania jednorodnego x t + xt = to ce t Znajdziemy kolejno zania szczególne równań x t + xt = e t, x t + xt = e t x t+xt = 5e it Ponieważ nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego λ+ =, wie c istnieje liczba C taka, że funkcja Ce t spe lnia równanie Ce t + Ce t = e t, czyli Ce t = e t Sta d C = Liczba jest pierwiastkiem równania charakterystycznego, wie c znajdziemy zanie równania x t + xt = e t oraz w postaci Cte t Podstawiaja c do równania otrzymujemy po redukcji Ce t = e t, zatem C =, co oznacza, że funkcja te t szczególnym tego równania jest zaniem Ponieważ liczba i nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego, wie c uda sie znaleźć liczbe C, dla której funkcja Ce it jest zaniem równania x t + xt = 5e it Po podstawieniu otrzymujemy C + ie it = 5e it, zatem C = 5 +i = i Oznacza to, że funkcja ie it jest zaniem szczególnym równania x + x = 5e it, zatem Re ie it = =Re icos t+i sin t = cos t+sin t jest zaniem szczególnym równania x +x = =5 cos t Rozwia zaniem ogólnym jest wie c funkcja ce t + e t + te t + cos t + sin t Ponieważ = x = c + +, wie c c = 5 Rozwia zać równanie x t + x t + 5xt = e t[ cost 8t sint + 5t + + 8e t Równaniem charakterystycznym jest = λ + λ + 5 = λ + + 4, zatem pierwiastkami charakterystycznymi sa liczby + i oraz i Znajdziemy kolejno rozwia zania szczególne równań x t + x t + 5xt = 8e t, x t + x t + 5xt = 5t + i x t + x t + 5xt = =e t[ cost 8t sint Rozwia zaniem pierwszego z nich be dzie funkcja postaci Ce t Po podstawieniu otrzymujemy 8Ce t = 8e t, wie c C =, zatem funkcja e t jest zaniem szczególnym tego równania Rozwia zaniem drugiego równania jest funkcja postaci at + b, gdzie a, b sa liczbami Podsta-

wiaja c otrzymujemy a + 5at + 5b = 5t + Sta d a = i b = Funkcja t jest zaniem szczególnym tego równania Zamiast równania x t + x t + 5xt = e t[ cost 8t sint rozważymy równanie x t + x t + 5xt = 8te +it Ponieważ liczba + i jest pierwiastkiem jednokrotnym równania charakterystycznego, wie c zanie znajdziemy w postaci at +bte +it Mamy x t + x t + 5xt = [D i[d + ix = D + + id + ix dla każdej funkcji dwukrotnie różniczkowalnej x Mamy [D + + id + i [ at + bte +it = = [D + + i [ at + be +it = [ 4iat + b + a e +it Musi wie c być spe lniona równość [ 4iat + b + a e +it = 8te +it, co oznacza, że a = i, b = Funkcja it + t e +it = e t it + t cost + i sint = = e t[{ t cost + t sint } + i { t sint t cost } jest zaniem równania x t + x t + 5xt = 8te +it = 8te t cost + i8te t sint Jej cze ść rzeczywista jest zaniem równania a urojona równania x t + x t + 5xt = 8te t cost x t + x t + 5xt = 8te t sint Z przeprowadzonych obliczeń możemy też wywnioskować, że [D + + id + i [ bte +it = 4ibe +it = 4be t[ sint + i cost Wobec tego zaniem szczególnym naszego równania jest funkcja e t[ t cost t sint + t e t sint = e t t cost Oczywiście można by lo to zauważyć wcześniej, bez cze ści obliczeń, można też by lo przewidywać zanie w postaci rzeczywistej i sprawdzać kolejno co otrzymamy wstawiaja c po lewej stronie równania kolejno e t t cost, e t t sint, co zakończy loby sie po pierwszej serii rachunków Wiemy, jeśli wierza Państwo w prawdziwość twierdzeń podawanych na wyk ladzie, jak wygla daja zania, zatem znalaz lszy je powo lujemy sie na twierdzenie o jednoznaczności zań i kończymy dzia lalność Na koniec wypada stwierdzić, że zaniem ogólnym równania jest funkcja xt = e t + t + e t cost + c e t cost + c e t sint 9