Ćwiczenie 1 Optczna iltracja sgnałów inormatcznch. 1. Wprowadzenie Przjmiem, Ŝe znam pole świetlne na płaszczźnie ( ) 0, 0, to znacz znam rozkład jego amplitud i az we wszstkich punktach, gdzie określon jest sgnał optczn. Ptam jakie będzie pole świetlne w płaszczźnie ( ), odległej od płaszczzn ( 0, 0 ) o z? Postępując za J.W. Raleighem, rozkładam wejściowe pole świetlne sgnału na nieskończon zbiór al płaskich biegnącch w róŝnch kierunkach (transormata Fouriera). Wiadomo bowiem, jak propaguje się w swobodnej przestrzeni idealna monochromatczna ala płaska. Dwuwmiarowa transormacja Fouriera poniŝszm wzorem gdzie ˆ (,0) + + ( ) U ˆ = (,,0) e sgnału optcznego wraŝona jest 2πi( ) A + ˆ dd / 1a / + + co jest równowaŝne związkowi 2πi( + ) (,0) Aˆ = (, ) e U ˆ d d / 1b / U - amplituda zespolona sgnału optcznego wejściowego o rozkładzie natęŝenia (,0) Uˆ (,0) 2 I =. (Zwkle obserwujem jednie rozkład natęŝenia I, bowiem detektor odbiorników sgnału są czułe na energię ; doświadczalne stwierdzenie wstępowania az w sgnale optcznm wmaga specjalnch zabiegów celem jej wizualizacji), Wielkości = 2π cos θ, = 2π cos ϕ zwiem λ λ częstotliwościam przestrzennmi, a wielkość A ˆ (, ) - widmem kątowm ourierowskim danego sgnału optcznego (θ,ϕ - kąt rozbiegania się elementarnch al płaskich). Zamiast posługiwania się sgnałem optcznm U ˆ (,0) podczas jego propagowania się w danm torze (układzie) optcznm moŝna równorzędnie uŝwać jego widma kątowego A ˆ (, ) Trzeba znać oczwiście prawa propagowania się sgnału lub jego widma kątowego. Z tego punktu widzenia układ optczn składa się z iltrów częstotliwości przestrzennch i z modulatorów widma kątowego sgnału optcznego, którmi są np.: warstwa przestrzeni swobodnej, soczewki serczne i inne, siatki drakcjne róŝnch tpów, najrozmaitsze przesłon umieszczone w róŝnch płaszczznach toru oraz urządzenia elektrooptczne, magnetooptczne i t.d..
W układzie optcznm moŝna zawsze wróŝnić wejście i wjście tzn. miejsca gdzie się wprowadza i wprowadza sgnał optczne. W przpadku płaskich sgnałów optcznch mówi się o płaszczźnie wejściowej i wjściowej. Działanie większości elementów i układów optcznch, traktowanch jako element liniowe i izoplanatczne, opisuje się, podobnie jak układ elektroniczne, za pomocą: a) odpowiedzi impulsowej h ˆ( ) stanowiącej amplitudowo - azow obraz w płaszczźnie wjściowej punktowego Ŝródła światła (unkcji delta Diraca ) umieszczonego w płaszczźnie wejściowej układu. b) unkcji przenoszenia H ˆ (, ) czli transormat Fouriera unkcji h ˆ( ). Obie te wielkości wiąŝe zaleŝność Hˆ (, ) FT{ hˆ( ) } =, / 2 / gdzie FT {...} - transormacja Fouriera. 2. Niektóre element optczne. 1. Warstwa przestrzeni swobodnej (próŝnia) o grubości d, ma unkcję przenoszenia określoną wzorem id 2 2 (, ) = ep 2 1 ( λ + λ ) Hˆ π. / 3 / λ Działa ona jak osobliw iltr częstotliwości przestrzennch, nie przepuszczając 2 2 1 częstości przestrzennch określonch warunkiem + >, czli usuwa tzw. λ ale niejednorodne, wstępujące w widmie kątowm sgnału optcznego. Gd grubość d warstw jest dostatecznie duŝa to unkcję przenoszenia moŝem przedstawić jako ˆ d 2 2 H ( ) ep i ( + ) 2k, / 4 / k = 2π, a odpowiedź impulsową odpowiednio jako λ ˆ ik 2 2 h ( ) = a ep ( + ) 2d / 5 / W praktce swobodna przestrzeń - podczas propagacji sgnału w swobodnej przestrzeni na odległość d - stanowi iltr dolnoprzepustow. 2 2. Soczewka idealna (bez aberracji) Soczewka idealna ma unkcję przenoszenia określoną w przestrzeni częstości przestrzennch wzorem / 6 / 2
ˆ 2 2 (, ) = a ep i ( + ) H, / 6 / 2k gdzie a - stała niezaleŝna od częstości przestrzennch, - ogniskowa soczewki. W przestrzeni połoŝeń () soczewkę o ogniskowej opisuje transmitancja wraŝona poniŝszm wzorem k 2 2 ( ) = ep i ( + ) T / 7 / 2 Niech U $ + ( ) - oznacza sgnał wejściow w płaszczźnie (), po lewej stronie płaszczzn soczewkowej (patrz rs. 1). Uˆ ( ) - sgnał optczn w płaszczźnie (), po przejściu przez soczewkę. d = Rs. 1 2 2 + Uˆ ( ) = Uˆ + ( ) T ( ) = Uˆ + ( ) ep ik / 8 / 2 Soczewkę traktujem jako nieskończenie cienką. Sgnał U $ ( ) jest sgnałem wejściowm dla iltru,, którm jest warstwa przestrzeni swobodnej o grubości d=, o unkcji przenoszenia ˆ d 2 2 (, ) = a ep i ( + ) H, / 9 / Proste obliczenia dowodzą, Ŝe sgnał optczn wjściow w płaszczźnie ( 3 2k, ) będzie równ: 2 2 ik Uˆ + wj ik U ( ) ( ) dd d + + (, ) ep +, ep / 10 / WraŜenie podcałkowe przedstawia widmo A ˆ( ', ') sgnału optcznego wraŝone w zmiennch ' =, ' =. Oznacza to, Ŝe soczewka idealna działa w λ λ swej płaszczźnie ogniskowej jak operator Fouriera, przekształcając sgnał optczn U w jego widmo kątowe A w przeskalowanch zmiennch ', '. Cznnikiem przeskalowania jest wielkość (ogniskowa soczewki). Im dłuŝsza ogniskowa soczewki tm większe widmo analizowanego sgnału.
Obserwowan w płaszczźnie rozkład transormat Fouriera obiektu jest unkcją zespoloną - posiada więc amplitudę oraz azę. Aˆ = A ', ' ep iϕ ', ' / 11 / ( ) [ ( )] Obserwowan przez detektor, rejestrując wielkości zaleŝne od energii, rozkład natęŝenia w unkcji ', ' zwan widmem Wienera jest: U ˆ = A( ', ') 2 i nie zawiera inormacji o azie. Dokładniejsza analiza zjawiska wkazuje, Ŝe natęŝeniow rozkład widma w płaszczŝnie ogniskowej soczewki nie ulegnie zmianie prz poprzecznm ( w kierunku lub ) lub podłuŝnm ( wzdłuŝ osi optcznej przed soczewką) przesunięciu obiektu wejściowego połoŝonego przed soczewką. W tm miejscu warto zauwaŝć, Ŝe powŝsza analiza dotcz soczewek idealnch. Soczewka taka jest pozbawiona aberracji, nieskończenie cienka i o nieskończenie wielkiej średnic. W praktce dwa pierwsze załoŝenia mogą bć dość dobrze spełnione kosztem trzeciego (soczewka o długiej ogniskowej i małej średnic jest "cienka" i posiada małe aberracje). Średnica wejściowa soczewki moŝe zostać jednak łatwo uwzględniona poprzez nałoŝenie dodatkowej apertur kołowej na analizowan obiekt. Ta operacja wpłnie nieco na natęŝeniow rozkład widma Fouriera. Na przkład transormata doskonałej (nieograniczonej) ali płaskiej dokonana poprzez idealną soczewkę będzie idealnm punktem ( unkcja delta Diraca ). Po uwzględnieniu skończonej średnic soczewki idealn punkt stanie się natęŝeniowm obrazem transormat Fouriera apertur soczewki (por. unkcje Bessela i transormata unkcji circus). Wraz ze zmniejszaniem apertur soczewki rośnie wielkość plamki stanowiącej jej ognisko. wj 2 3 UŜteczne układ optczne Z powŝszego widzim, Ŝe dla dwuwmiarowch sgnałów optcznch (i w przbliŝeniu dla trójwmiarowch) soczewki serczne dokonują analiz ourierowskiej sgnału optcznego w swej płaszczŝnie ogniskowej. Oczwiście soczewka clindrczna dokonuje takiej analiz tlko w jednm kierunku, działa jednowmiarowo. W tm miejscu warto zwrócić uwagę, Ŝe zastosowanie układu z soczewką do transormat Fouriera umoŝliwia ponowne odtworzenie obiektu wejściowego. We wspomnianm układzie moŝliwe jest umieszczenie w płaszczŝnie Fouriera iltrów częstości przestrzennch i zbadanie ich wpłwu na odtworzon z odiltrowanego widma obiekt. PoniŜej przedstawione są elementarne układ optczne słuŝące do otrzmwania widma obiektów. Układ z rs. 2 i 3 są układami nieobrazującmi, lecz jednie dokonującmi analiz widmowej Fouriera sgnału optcznego. Rs. 2 przedstawia układ tworząc w płaszczŝnie widmowej widmo natęŝeniowe obiektu. Dla dowolnej wielkości d 1, aza widma wstępująca w płaszczźnie Fouriera nie odpowiada unkcji azowej transormat. Natomiast dla odległości d 1 = aza odpowiada ściśle matematcznemu widmu Fouriera. W celu przeskalowania widma naleŝ w tm przpadku uŝć soczewki o innej ogniskowej. 4
przedmiot dwuwmiarow (przeÿrocze) d 1 p³aszczzna widmowa p³aska ala monochromatczna Fouriera soczewka (', ' ) Rs. 2 Rs. 3 przedstawia układ tworząc w płaszczŝnie widmowej widmo natęŝeniowe obiektu. Faza nie odpowiada - w tm przpadku - rozkładowi teoretcznemu widma Fouriera.. W celu przeskalowania widma naleŝ jednie przesunąć obiekt wzdłuŝ osi optcznej. p³aszczzna widmowa p³aska ala monochromatczna soczewka przedmiot dwuwmiarow (przeÿrocze) Rs. 3 Fouriera (', ' ) Rs. 4 przedstawia układ tworząc w płaszczŝnie ogniskowej widmo natęŝeniowe obiektu, a następnie odwzorowując obiekt. Soczewka o ogniskowej 1 tworz widmo Fouriera a soczewka o ogniskowej 2 odtwarza obiekt. W celu przeskalowania obiektu naleŝ uŝć soczewek o innej ogniskowej. 5
obiekt wejœcow dwuwmiarow (przeÿrocze) 1 2 2 1 obiekt wjœcow dwuwmiarow obra (przeÿrocze) p³aska ala monochromatczna soczewka (', ' ) soczewka ogniskowa ogniskowa p³aszczzna 2 1 widmowa Fouriera Rs. 4 W płaszczźnie widmowej moŝna umieszczać iltr częstości przestrzennch. 4. Filtracja częstości przestrzennch - przkład Przedmiot w postaci siatki z kwadratowmi oczkami oświetla się światłem spójnm. W płaszczźnie Fouriera wstawia się maskę iltrującą - szczelinę poziomą lub pionową, dzięki czemu otrzmuje się obraz składające się z pionowch lub poziomch pasków. 5. Modulacja "Teta" - przkład Jedną z metod iltracji częstości przestrzennch jest tzw. metoda modulacji "Teta" [4], dzięki której uzskuje się zamierzoną zmianę odcienia szarości ragmentów obrazu. Zasada modulacji "Teta" wjaśnim na prostm przkładzie (rs. 6). Weźm pod uwagę widoczek zawierając róŝne element, np. niebo, dom, trawnik (na otograii czarno-białej element te przedstawione są róŝnmi odcieniami szarości). Rs. 5 KaŜd element widoczku wkonuje się z kawałka siatki drakcjnej o prąŝkach zorientowanch pod róŝnmi kątami (stąd nazwa metod). Przez odpowiednie przesłanianie róŝnch ragmentów obrazu Fouriera tak wmodelowanego obiektu zmienia się odcień szarości elementów. Jeśli np. w końcowm obrazie dom ma bć czarn to trzeba przesłonić odpowiednie maksima widma częstości przestrzennch domu, jeśli zaś niebo ma bć jasne - trzeba przepuścić cał jego obraz Fouriera. 6
PoniewaŜ maksimum jasności obrazu Fouriera, odpowiadające częstościom przestrzennm bliskim 0, nie zaleŝ od kąta, trzeba je w tej metodzie iltrowania całkowicie zasłaniać. 6. Wkonanie ćwiczenia: Część I: a) przeprowadzenie analiz widmowej dwuwmiarowej róŝnch sgnałów optcznch - siatki drakcjnej 2 wmiarowej o stałej 200 µm; - otworów kołowch o róŝnch średnicach; - maski quasi-periodcznej. b) przeskalowanie widma Fouriera sgnału optcznego (układ w/g rs. 3) c) Obserwacja wpłwu przesunięcia poprzecznego w kierunku poprzecznm i podłuŝnm na natęŝeniow rozkład widma Fouriera (układ w/g rs. 2) UWAGA. Do iltracji naleŝ uŝć soczewek o ogniskowch 250, 500 lub 1000 mm. Część II: Filtracja częstotliwości przestrzennch róŝnch sgnałów optcznch i obserwacja jej wpłwu na odtworzon obraz (układ w/g rs. 4). W miarę moŝliwości - w punktach b) i c) zarejestrować obraz prz pomoc kamer CCD. a) Filtracja w celu otrzmania z siatki drakcjnej 2 wmiarowej siatkę 1 wmiarową poziomą oraz pionową. b) Filtracja dolnoprzepustowa, c) Filtracja górnoprzepustowa, Część III a) Na dwuwmiarowej siatce drakcjnej uzskać eekt odwrócenia kontrastu. Dobrać siatkę o optmalnm wpełnieniu. Dostępne są następujące wartości 0.50, 0.65, 0.75, 0.85. Wjaśnić otrzmane wniki. b) Na masce quasi periodcznej uzskac eekt odwrócenia kontrastu. Zarejestrować obraz prz pomoc kamer CCD. Część IV Na przgotowanej masce - modulacja "teta" - dokonać iltracji kątowch. Uzskać rozjaśnienie lub ściemnienie wbranch obszarów. Przkładow obrazek zarejestrować prz pomoc kamer CCD. Literatura: 1. Goodman, "Introduction to Fourier Optics", Mc Graw-Hill Co. 2. T. Cathe "Optczne przetwarzanie inormacji i holograia" PWN 1978 (tłumaczenie). 3. Gniadek "Optczne przetwarzanie Inormacji", PWN. 7
4. "Encklopedia izki współczesnej" PWN W-wa 1983 - stron 389-395 opracowane przez A. Kalestńskiego Pracownia Inormatki Optcznej IF PW Warszawa marzec 2009 8