Krzyszof Pionek Daniel Papla Kaedra Inwesycji Finansowych i Ubezpieczeń Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu Wykorzysanie wielorównaniowych modeli AR-GARCH w pomiarze ryzyka meodą VaR Wsęp Wśród różnych meod wyznaczania warości zagrożonej dla porfeli insrumenów (akcji, indeksów, walu, owarów) bardzo popularnym podejściem pozosaje meoda wariancji-kowariancji zakładająca, iż sopy zwrou z poszczególnych insrumenów pochodzą z pewnego rozkładu wielowymiarowego (zazwyczaj normalnego) oraz możliwe jes oszacowanie wekora warości oczekiwanych oraz właśnie macierzy wariancji-kowariancji dla zmiennych opisujących sopy zwrou z poszczególnych insrumenów. U podsaw rozważań w ramach ej meody znajduje się każdorazowo dyskusja o posaci rozkładu wielowymiarowego sóp zwrou oraz o modelach opisujących zmiany cen insrumenów finansowych (por. Jorion (00); Bes (000); Lopez, Waler (000); Rokia (004)). W arykule zaprezenowano przykład zasosowania wielowymiarowych modeli AR- GARCH do pomiaru ryzyka dwuelemenowych porfeli insrumenów (akcji, indeksów, walu) w ramach właśnie meody wariancji-kowariancji. o nowoczesne podejście, wykorzysujące zw. warości warunkowe, porównane zosanie z klasyczną (zw. bezwarunkową) meodą, w kórej zakłada się iż paramery rozkładu wielowymiarowego są sałe w czasie. Pierwsza część arykułu (bardzo skróowo) wprowadza niezbędne pojęcia związane z warością zagrożoną oraz jej pomiarem meodą macierzy wariancji-kowariancji. Drugi podrozdział prezenuje dwa rozparywane modele sóp zwrou oraz echniki wyznaczania wekora warunkowych warości oczekiwanych oraz warunkowej macierzy wariancjikowariancji w ramach podejścia klasycznego i wykorzysującego wielowymiarowy model AR-GARCH. Nasępnie przedsawiono wykorzysywane w części empirycznej meody esowania jakości modeli VaR. Pracę kończy przykład empiryczny, w kórym dokonano weryfikacji przydaności prezenowanych meod do wyznaczania ryzyka porfeli dwuelemenowych ze szczególnym uwzględnieniem insrumenów z rynku polskiego. Odmienne meody sosuje się dla insrumenów dłużnych oraz dla insrumenów pochodnych, szczególnie opcji.
. Waroś ć zagrożona dla porfela papierów Warość zagrożona (warość narażona na ryzyko, Value a Risk, VaR) w chwili jes o aka sraa warości rynkowej porfela, że prawdopodobieńswo osiągnięcia jej lub przekroczenia w rozparywanym okresie (,+) równe jes zadanemu poziomowi olerancji. Powyższą definicję można zapisać w posaci (por. Jorion (00); Bes (000); Rokia (004)): ( ) P W W + VaR q, () gdzie: W - obecna warość porfela insrumenów, W + - warość porfela na końcu analizowanego okresu, q - ak zwany poziom olerancji VaR. Nie zmniejszając ogólności rozważań (nie zakładając warości porfela W ), powyższą zależność można zapisać wykorzysując pojęcie sopy zwrou ( r p, + ): ( p, + rp, + ( )) P r F q q, () co oznacza, że prawdopodobieńswo, że sopa zwrou z porfela w danym horyzoncie czasu nie przekroczy warości równej odpowiedniemu kwanylowi rozkładu sóp zwrou F ( q) rp, +, wynosi q. Meody wyznaczania warości VaR sprowadzają się więc właściwie do wyznaczenia warości ego nieznanego kwanyla 3 rozkładu sóp zwrou w chwili +. Podsawowe meody esymacji VaR zaprezenowane zosały w pracach m.in. Joriona (por. Jorion (00)) i Rokiy (por. Rokia (004)). W dalszej części pracy analizie podlegać będzie jedynie zw. podejście wariancji kowariancji (variance covariance approach), z ypowym, założeniem 4, że rozkład sóp zwrou insrumenów jes wielowymiarowym rozkładem normalnym, a co z ego wynika, rozkład sóp zwrou z porfela - rozkładem normalnym. Odpowiedni kwanyl rozkładu sóp zwrou z porfela dwuelemenowego 5 F rp, + wyznacza się w ym przypadku z zależności: ( ) σ F + F q, gdzie: (3) rp, p, + sn p, + p, + warość oczekiwana rozkładu sóp zwrou z porfela, w okresie, dla kórego szacowana jes miara VaR, Indeks p oznacza warości dla porfela insrumenów. 3 W dalszej części pracy rozróżnione zosaną podejścia wykorzysujące kwanyle bezwarunkowego oraz warunkowego rozkładu sóp zwrou. 4 W bardziej zaawansowanych podejściach sosuje się rozkłady o grubszych ogonach, np. -Sudena lub α- sabilne. Sandardem w zagadnieniach wielowymiarowych jes jednak nadal wielowymiarowy rozkład normalny. 5 Dla uproszczenia zapisu dalsze rozważania konsekwennie przedsawione są w wersji dla porfela dwuelemenowego, kóry będzie obiekem analiz w przykładzie empirycznym. Rozszerzenia na przypadek wielowymiarowy jes rywialne.
σ p,+ odchylenie sandardowe rozkładu sóp zwrou z porfela, F sn ( q) kwanyl sandaryzowanego rozkładu normalnego dla prawdopodobieńswa q, ( F ( q),65 dla q0,05 6 oraz F ( q) sn sn,33 dla q0,0). Odpowiednie charakerysyki rozkładu sóp zwrou porfela wyznacza się z nasępujących znanych wzorów:, w p + +, σ p, + w H + w, (4) w w, w + w, (5) w gdzie: w o wekor udziałów poszczególnych insrumenów w porfelu, + wekor warości oczekiwanych, a H + - macierz wariancji-kowariancji. W zaprezenowanym wzorami ()-(5) podejściu mieści się zarówno (por. Rokia (004)) zw. podejście klasyczne wykorzysujące jedynie koncepcję zmiennej losowej, jak i znacznie nowocześniejsze podejście opare na eorii procesów sochasycznych; w przypadku analizy porfeli insrumenów finansowych wielowymiarowych procesów sochasycznych. W podejściu klasycznym zakłada się, iż kolejne sopy zwrou dla nasępujących po sobie okresów pomiaru VaR pochodzą z wielowymiarowego rozkładu normalnego o sałych w czasie paramerach równych odpowiednim oszacowaniom zw. warościom bezwarunkowym. W drugim podejściu, nowocześniejszym, obserwowane w kolejnych okresach sopy zwrou pochodzą również z wielowymiarowych rozkładów normalnych, lecz kolejne wekory warości średnich i macierze kowariancji dla każdej z chwil opisywane są pewnymi szczególnymi zależnościami dynamicznymi. Koncepcja a wykorzysuje zw. rozkłady warunkowe względem dosępnej informacji (por. Bollerslev (994); Jorion (00); Pionek (00); Rokia (004)). Wykorzysanie procesów sochasycznych umożliwia opis wielu efeków obserwowanych w finansowych szeregach czasowych, wśród kórych wymienia się najczęściej: auokorelację sóp zwrou, grube ogony rozkładów bezwarunkowych, gromadzenie zmienności, zmienną w czasie korelację szeregów (por. Pionek (00); say (00)). Lepsze dopasowanie szeregów do danych empirycznych powinno skukować lepszymi meodami pomiaru warości zagrożonej (por. Pionek (00)). 6 Warości 0,05 i 0,0 o ypowe analizowane poziomy olerancji warości zagrożonej. 3
W dalszej części zaprezenowane zosaną meody opisu odpowiednich warości warunkowych. Waro zaznaczyć, iż podejście klasyczne ze sałymi paramerami rozkładów warunkowych zawiera się w podejściu wykorzysującym procesy sochasyczne.. Wielorównaniowy model AR-GARCH Zasygnalizowanym punkem wyjścia do dalszych rozważań są pojęcia warunkowych warości oczekiwanych ( + ), warunkowej macierzy wariancji-kowariancji ( H + ) wyznaczanych na podsawie informacji dosępnej w chwili oraz pojęcie posaci warunkowego rozkładu sandaryzowanych resz modelu. Wszyskie 3 zagadnienia należy rozparywać łącznie, gdyż wzajemnie wpływają na siebie i wspólnie deerminują własności osaecznego modelu. Więcej informacji na en ema znaleź ć można w pracach np. Bollersleva (994), Pionka (00) i say a (00). uaj przedsawione zosaną jedynie podsawowe i niezbędne informacje. W rozparywanym w pracy dwuwymiarowym modelu, sopy zwrou w kolejnym okresie + zadane są nasępującym równaniem: r + ε, gdzie: (6) + + + r, + r + r,, +, + +,, + ε, + ε + ε. (7), + Przyjęo więc, że sopy zwrou r, + i r, + dla każdej warości pochodzą z dwuwymiarowego warunkowego rozkładu normalnego 7, co oznacza się jako: ( ) r I N, H, (8) + + + gdzie I o informacja dosępna w chwili. Wekor + oznacza wekor warunkowych warości oczekiwanych na podsawie informacji w chwili dla szeregu pierwszego oraz drugiego. Przyjmuje się, że (por. say (00)): [ r ] f ( r, r ) i, + i I, k, l E, i,, k0,,,, l0,,,, (9) gdzie f ( ) o liniowa funkcja przeszłych warości sóp zwrou. 7 Możliwe są oczywiście rozwiązania z warunkowymi rozkładami o grubszych ogonach, np. z wielowymiarowym rozkładem -Sudena lub α-sabilnym. (por. Jorion (00); Rokia (004); Papla i Pionek (004)). 4
Gdy, + i/lub, + zależą jednocześnie od przeszłych warości zarówno r, jak i r, o mamy do czynienia z klasą modeli VAR (vecor auoregressive models). Najczęściej zakłada się jednak, iż (por. Jorion (00), say (00); Pionek (00)): ( i k ) i, + f r,, k0,,,, (0) czyli, że warunkowe warości oczekiwane dla jednego insrumenu nie zależą od przeszłych realizacji sóp zwrou dla drugiego insrumenu. W większości przypadków wysarczające bywa uwzględnienie jedynie osaniej sopy zwrou (k), co wprowadza analizowany w dalszej części pracy dwuwymiarowy model auoregresyjny AR() zadany wzorem: + ϕ r + 0, + 0 ϕr. (), Drugim zagadnieniem jes opis zmian warości warunkowej macierzy wariancjikowariancji oznaczanej przez H +. W dalszej części pracy elemeny warunkowej macierzy wariancji-kowariancji oznaczane będą w sposób nasępujący: h, + h, + H + h h, gdzie h, + h, + (), +, + Poniżej w sposób skróowy zaprezenowany zosanie model zmian warości warunkowej macierzy wariancji-kowariancji. Model en posłuży do prognozowania przyszłych warunkowych warości wariancji-kowariancji na kolejny okres ( H + ) w ramach koncepcji pomiaru VaR wykorzysującej procesy sochasyczne i porównany zosanie z koncepcją klasyczną. W rozparywanym modelu zakłada się, że warunkowa macierz wariancji-kowariancji opisywana jes wielorównaniowym modelem GARCH, kóry jes nauralnym rozszerzeniem modeli jednorównaniowych wprowadzonych przez Engle a w 98 i Bollersleva w 986 roku (por. Bollerslev (994), Pionek (00)). Ogólna posać wielowymiarowego modelu GARCH (Mulivariae GARCH MGARCH) zaproponowana zosała przez Bollersleva w roku 988 (por. np. Bollerslev (994); Gourieroux (997)) i w lieraurze nosi nazwę VECH-GARCH. Macierz H + opisywana jes nasępującym równaniem: ( H ) ( W) A ( ε ε ) B ( H ) vech + vech + vech + vech, (3) w kórym operaor vech ( ) (vecor-half operaor) zdefiniowany jes w nasępujący sposób: a b c vech b d e a b c d e f c e f [ ]. (4) 5
Powyższy model jes wielowymiarowym odpowiednikiem jednowymiarowego modelu GARCH(,). Możliwa jes oczywiście analiza modeli VECH wyższych rzędów, ale w prakyce nie jes spoykana (por. Bollerslev (994); Gourieroux (997); Ding, Engel (00)). Dla przypadku dwuwymiarowego macierz W jes symeryczną macierzą o wymiarach, naomias macierze à i B są symerycznymi macierzami o wymiarach 3 3. Podsawowymi problemami, kóre wysępują w przypadku prakycznego sosowania modelu VECH-GARCH jes duża liczba paramerów, kóre należy wyesymować, konieczność zapewnienia dodaniej określoność macierzy H + w każdym punkcie czasu oraz konieczność zapewnienia skończoności warości bezwarunkowej macierzy wariancji-kowariancji. W przypadku pełnego dwuwymiarowego modelu VECH niezbędna jes esymacja paramerów (ylko w zakresie modelu warunkowej macierzy wariancji-kowariancji) co już samo w sobie w prakyce uniemożliwia sosowanie ego rozwiązania (por. Bollerslev (994); Gourieroux (997); Ding, Engel (00)). Zaproponowano więc szereg modeli zawierających się w ogólnym modelu VECH, kóre ograniczają liczbę esymowanych paramerów lub zapewniają dodanią określoność macierzy. Odbywa się o jednak zawsze koszem ogólności modelu. Do najczęściej wykorzysywanych rozwiązań zalicza się modele diagonalne DVECH oraz modele klasy BEKK (pełne i diagonalne) (por. Bollerslev (994); Gourieroux (997)). W niniejszej pracy wykorzysano model diagonalny DVECH zaproponowany w 988 roku przez Bollersleva, Engle a i Wooldridge a (por. Bollerslev (994)). Macierze à i B są w ym rozwiązaniu macierzami diagonalnymi, a wykorzysany w dalszej części pracy model ma posać: h, + ω a 0 0 ε, b 0 0 h,, h ω + 0 a 0,, + 0 b 0 + ε ε h,. (5) h, + ω 0 0 a 33 ε, 0 0 b 33 h, Jak ławo zauważyć, w modelu ym, niezbędna jes już ylko esymacja 9 paramerów. Elemeny h, + macierzy + odpowiednich iloczynów błędów z chwili ( ε i, ε j, ) H zależą jedynie od swoich przeszłych warości (, ) h oraz, co powoduje, że brak jes zw. efeku przenikania (por. Bollerslev (994); Gourieroux (997); Ding, Engel (00); Pionek (005)). Elemeny h oraz h opisane są w ym przypadku wpros klasycznym, jednowymiarowym modelem GARCH(,), a elemen h - jego odpowiednikiem (Pionek (00)): 6
h ω + a ε + b h, +,, h ω + a ε ε + b h, +,,, h ω + a ε + b h, +,,. (6) Skukuje o uławieniami w zakresie esymacji oraz prognozowania warości macierzy. Nierudno akże pokazać, że model diagonalny można przedsawić w nasępującej posaci, kóra uławia dalsze analizy (Ding, Engle (00), Pionek (005)): ( ) H W + A ε ε + B H +, (7) gdzie X Y oznacza iloczyn Hadamarda 8 oraz ω ω W, ω ω a a A a a i B b b. (8) b b Posać a uławia zapis oraz analizę warunków dodaniej określoności macierzy ( H + ), co jes znacznym problemem dla modeli VECH. Korzysając z faku, że suma macierzy dodanio określonej oraz macierzy (pół)dodanio określonej jes macierzą dodanio określoną uzyskuje się warunki wysarczające, by zapewnić dodanią określoność macierzy H + w każdym momencie czasu (por. Ding, Engle (00)): macierze W, A, B muszą być dodanio określone 9 co uzyskuje się poprzez spełnienie nasępujących nierówności: x > 0, x > 0, x x x 0 >, (9) gdzie x o odpowiednie elemeny ω, a i b macierzy W, A i B. macierz H musi być dodanio określona, co najprościej zapewnić przyrównując ją do bezwarunkowej macierzy wariancji-kowariancji z próby. Oprócz dodaniej określoności macierz wariancji-kowariancji niezbędne jes zapewnienie również skończoności elemenów bezwarunkowej macierzy wariancji-kowariancji 0 H. W przypadku dwuwymiarowego diagonalnego modelu DVECH dodakowe warunki mają wyjąkowo prosą posać analogiczną jak dla modeli jednowymiarowych, a mianowicie (por. Pionek (00)): a + b < ; i, j, (0) a a, b b ; i, j,, i j. ji ji 8 Iloczyn Hadamarda jes zw. iloczynem ablicowym. Jeśli macierze Z, X i Y mają e same wymiary i Z X Y o elemeny macierzy Z wyznacza się jako iloczyny odpowiadających elemenów macierzy X i Y, j. z x y. 9 Formalnie, przynajmniej jedna macierz spośród W, A, B musi być dodanio okręcona, pozosałe dwie mogą być połówkowo dodanio określone. Najczęściej warunek dodaniej określoności narzuca się jednak na wszyskie macierze. 0 Bezwarunkowa macierz wariancji-kowariancji dana jes w ogólności wzorem: H E[ H ]. 7
Paramery modelu esymuje się zazwyczaj meoda największej wiarygodności maksymalizując funkcję (por. Bollerslev (994); Gourieroux (997)): LLF H H. () ln + ε ' ε Posać diagonalna umożliwia esymację osobno każdego z równań (6). Paramery modeli wariancji h i h esymuje się jako jednorównaniowe modele, a paramery modelu kowariancji h na podsawie maksymalizacji funkcji wiarygodności (wzór ()) przy założeniu, że paramery modeli wariancji zosały wyesymowane wcześniej. Pozwala o skrócić szereg niezbędny do esymacji. W meodzie oparej na modelu DVECH oszacowania kolejnej warunkowej macierzy wariancji-kowariancji uzyskuje się na podsawie ożsamych w ym przypadku wzorów (5)- (7) wykorzysując informację dosępną w chwili. W meodzie klasycznej, prognozy elemenów macierzy kowariancji dla chwili + równe są elemenom oszacowanej bezwarunkowej macierzy wariancji-kowariancji: H E + H ε ε, czyli () m ii, ii, k m ε + k 0 h, i,, (3) m, h,, k, k m ε ε + + k 0 h. (4) Waro zwrócić uwagę, iż problemem pozosaje wybór wielkości zw. okna, czyli parameru m. Dopuszcza się u pewną niekonsekwencję, uzasadniając wybór wielkości m zmiennymi w czasie paramerami procesu. Podejście, w kórym sałą macierz wariancji-kowariancji na kolejnych m dni prognozuje się na podsawie hisorycznej macierzy wariancji-kowariancji z porównywalnej ilości dni z przeszłości nazywa się najczęściej prognozą naiwną. Zakładając jednak, zgodnie z wcześniejszym ogólnym założeniem, że macierz H jes sała w czasie dla całego szeregu dwuwymiarowych danych, macierz bezwarunkowa powinna być wyznaczana na podsawie całego zbioru dosępnych danych z przeszłości (rozszerzające się okno), a przynajmniej na podsawie odpowiednio dużego zbioru obserwacji (por. przykład empiryczny). Znając oszacowanie warunkowego kwanyla sopy zwrou z porfela w okresie (,+) (na podsawie założenie o posaci warunkowego rozkładu oraz warości wekora + i macierzy H + ) możliwe saje się porównanie go z fakycznie obserwowaną sopą zwrou w ym okresie (por. wzory ()-(4)) celem idenyfikacji zw. przekroczeń w okresie weryfikacji modelu VaR. Znając liczbę oraz momeny czasu, w kórych w próbie esowej wysąpiły 8
przekroczenia możliwa saje się ocena modelu VaR, a ym samym ocena przydaności odpowiednich modeli sóp zwrou w zagadnieniu pomiaru ryzyka rynkowego ą meodą. 3. esowanie modeli VaR Weryfikacji jakości modelu VaR dokonuje się poprzez zw. esowanie wseczne (bacesing). W prakyce wykorzysuje się w ym celu esy liczby przekroczeń oraz niezależności przekroczeń (por. Jorion (00); Hass (00); Pionek (00); Rokia (004)). Podsawę do saysycznej oceny modeli VaR sanowi zw. szereg przekroczeń I : ; I 0; p, rp, p, > rp, ( ) ( ) r F q r F q. (5) Szereg przekroczeń I przyjmuje więc warości, jeśli w chwili sopa zwrou z porfela była mniejsza lub równa odpowiedniemu kwanylowi (por. wzór ()), czyli nasąpiło zw. przekroczenie oraz przyjmuje warość 0, jeśli przekroczenie nie nasąpiło. Najczęściej wykorzysywanym esem jes es liczby przekroczeń (failure es). Dla danej wielkości próby eoreycznej liczba przekroczeń ma rozkład dwumianowy. Odpowiednią saysykę esową zaproponował w 995 roku Kupiec (por. Jorion (00); Hass (00); Pionek (00); Rokia (004)). Ma ona posać: LR ln ( q) ( qˆ ) uc 0 0 q qˆ, gdzie: (6) qˆ + 0 (7) oraz: i liczba okresów, w kórych I i, q przyjęy poziom olerancji VaR. Saysyka LR uc ma rozkład χ z jednym sopniem swobody. Warość kryyczna (CV) esu Kupca dla najczęściej rozparywanego poziomu isoności 0,05 wynosi 3,845. Hipoezę zerową o poprawności modelu VaR odrzuca się, jeśli LR uc > CV. es liczby przekroczeń nie jes jedynym esem, kóremu należy poddać weryfikowany model. Do esu liczby przekroczeń należy dołączyć es, czy przekroczenia są niezależne w czasie. Największą popularność zdobył w ym zakresie es Chrisoffersena LR + + ( q ) q ( ) ( ) ind 00 0 0 q0 q0 q q LR ind : 00 0 0 ln, gdzie: (7) q + i0 i + q + + + ; 0 00 0 0 gdzie - liczba okresów, w kórych I, j, jeśli I i. 9
Saysyka Ponieważ saysyki LR ind ma również rozkład χ z sopniem swobody. LRuc oraz LR ind są niezależne, zaproponowano es mieszany LR mix uwzględniający zarówno liczbę przekroczeń oraz czas pomiędzy przekroczeniami (por. Jorion (00); Hass (00); Pionek (00); Rokia (004)): LR LR + LR ~ χ. mix uc ind Zaprezenowane esy saną się podsawą oceny modeli VaR w części empirycznej. 4. Przykład empiryczny Ze względu na subiekywny wybór szereg czasowych oraz ich ograniczoną liczbę, przykład en nie preenduje do jednoznacznej odpowiedzi, kóra z wybranych meod jes najlepsza w ogólności. Możliwe jes jednak wysnucie pewnych osrożnych wniosków na podsawie wyników zaobserwowanych dla wybranych szeregów. Wszyskie prezenowane pracy wyniki badań empirycznych uzyskano na podsawie auorskich procedur napisanych w środowisku MALAB 6.0. W badaniach empirycznych wykorzysano 8 par szeregów dziennych sóp zwrou w większości pochodzących z polskiego rynku. Są o nasępujące pary akcji: BRE-Visula, Compuerland-Jurzenka, Kredybank-Salexpor; pary kursów walu: USD/PLN-GPB/PLN, EURO/PLN-USD/PLN; oraz indeksów: SP500-NIKKEI, DAX-FSE00, WIG-DJIA. Podsawowym kryerium wyboru była jak największa długość badanych szeregów. Esymacji paramerów poszczególnych modeli dokonywano z 750 osanich dni, by zapewnić prawidłowe oszacowania modeli, szczególnie w przypadku modelu AR()-DVECH-GARCH oraz spełnione było założenie dla klasycznego modelu o sałości paramerów (por. pk. i ). Każdorazowo, analizowane porfele posiadały równe udziały. Na podsawie prezenowanych meod wyznaczono warość miary VaR, zidenyfikowano przypadki przekroczeń, oraz wyznaczono warości esu liczby przekroczeń, ich niezależności oraz esu łącznego. abela przedsawia wyniki badań empirycznych w posaci warości odpowiednich saysyk esowych, dla poszczególnych par i meod oraz dla poziomów olerancji warości zagrożonej równych 0,05 i 0,0. W pierwszej kolumnie ab. przesawiono dodakowo informację o długości szeregu przekroczeń dla każdego z przypadków. Analizowane szeregi są różnej długości, lecz wszyskie kończą się 7.03.005 roku. 0
abela. Warości saysyk esowych meoda alfa0,05 alfa0,0 LR uc LR ind LR mix LR uc LR ind LR mix BRE 4,38 6,5 30,53 5,06 6,4,48 VISULA 4,38 9, 3,49 6,93 9,87 6,79 3,78 7,76 9,54 9,05 5,4 4,8 (06 obs.) 4 3,5 0,70 4, 5,06,84 7,90 COMP 47,04,00 48,03 4,96 0,08 5,04 JURZENKA 44,90,07 45,98,78 0,5,93 3,87 0,63 3,49 3,68 0,0 3,79 (60 obs.) 4,67 3,36 6,03 0,7 0,5 0,5 KREDYBANK SALEXPOR 3,38 8,3,7 8,0 9,74 7,83,63 6,84 8,47,69 4,73 6,4 3,00,39 34,39 54,9 33,68 87,87 (855 obs.) 4,36,3,49,69 3,75 6,44 USD,64,3,87 6,73 9,43 6,6 GBP,39 5,9 6,58 7,68 3,5,9 3,90,86 3,76 0,09 0,40 0,49 (345 obs.) 4 0,6,38,55 3,49 0,5 4,00 EURO 0,46,30,77,57 0,06,64 USD 0,46 0,9 0,65,57 0,06,64 3 0,85 0,4,0 0,3 0,4 0,56 (834 obs.) 4 0,35 0,40 0,75 0,3 0, 0,35 SP500,38 4,0 6,58 5,76 8,4 4,8 NIKKEI,87 3,85 5,7 5,76 8,4 4,8 3,04 3,3 4,8 0,80 0,83,6 (3500 obs.) 4 0,03 0,44 0,46,49,03 3,5 DAX 3,6 9,73,89 36,6 3,76 40,38 FSE00 4,34 5,55 9,89 34,60 4,0 38,60 3,00 0,04,04 0,4 0,9 0,5 (80 obs.) 4 0, 0,70 0,8,44 0,70 3,4 WIG 3, 37,6 40,7,58 0,78,35 DJIA 5,53 4,99 30,5,85 3,9 6,04 3,03,0 3,05 5,09,33 36,4 (75 obs.) 4 0,03 6,54 6,57,07,7,4 Źródło: obliczenia własne. W powyższej abeli meody -4 oznaczają poszczególne modele leżące u podsaw miary VaR. Meoda o klasyczna echnika opara na modelu wariancji-kowariancji ze sałymi paramerami, meoda opara jes na modelu, w kórym dopuszcza się wysępowanie auoregresji w sopach zwrou, w meodzie 3 VaR wyznacza się na podsawie modelu DVECH bez ewenualnej auokorelacji, zaś w meodzie 4 na podsawie modelu AR-DVECH. Pogrubiono warości saysyk empirycznych, kóre pozwalają przyjąć hipoezę zerową o poprawności modelu VaR na poziomie isoności 0,05. Na szarym le przedsawiono najmniejsze warości dla poszczególnych esów uzyskane jedną z 4 meod sugerujące, że dana meoda jes najlepsza. Analizując wyniki zaware w ab. można zauważyć, że zasosowanie modelu DVECH w większości przypadków pozwala osiągnąć lepsze rezulay, niż wykorzysanie klasycznego modelu sałej warunkowej macierzy wariancji-kowariancji. Lepszy rezula oznacza w ym przypadku, że dla danej meody orzymano niższą warość saysyki esu liczby przekroczeń,
ich niezależności oraz esu łącznego. Meody opare na modelu DVECH (modele 3 i 4) są lepsze dla większości par szeregów, zarówno dla poziomu olerancji VaR równego 0,05, jak i 0,0. Okazuje się również, że większe znaczenie dla poprawy jakości modeli ma wprowadzenie zmiennej w czasie warunkowej macierzy kowariancji (modele DVECH) niż zmiennych w czasie warunkowych warości oczekiwanych (modele AR). Wprowadzenie auoregresji może jednak poprawić akże wyniki, jak o widać np. na przykładzie par Compuerland-Jurzenka czy eż Kredybank-Salexpor. Omawiając wyniki bardziej szczegółowo można zauważyć, że zasosowanie meod oparych na modelu DVECH daje najlepsze rezulay dla wszyskich rzech badanych par indeksów giełdowych, jak również dla pary akcji BRE-Visula. Należy przy ym zauważyć, że są o również jedne z najdłuższych analizowanych szeregów czasowych, jednakże liczba przebadanych par jes zby mała aby powierdzić isnienie jakiejś ścisłej zależności. Wyniki dla pozosałych czerech par Compuerland-Jurzenka, Kredybank-Salexpor, USD/PLN- GPB/PLN i EURO/PLN-USD/PLN są już mniej jednoznaczne, nadal jednak wskazują na przewagę meod wykorzysujących model DVECH w wyznaczaniu VaR. Podsumowanie Choć wyniki prezenowanych badań są bardzo zachęcające, należy jednak być osrożnym w formułowaniu zby daleko idących wniosków. Po pierwsze, przebadana próbka jes niezby wielka, 8 par, co nie uprawnia raczej do wydawania kaegorycznych sądów. Po drugie, wszyskie analizowane modele wykazują jednak wrażliwość na wielkość próby wykorzysywanej w ich esymacji, co może wpływać na ich ocenę. Problemem może być również o, że meody opare na zmiennej w czasie warunkowej macierzy kowariancjiwariancji są o wiele bardziej skomplikowane, co urudnia ich esymację i sprawia, że na razie są mało popularne. Dokładniejsze zbadanie problemu wielkości próby wykorzysywanej do esymacji paramerów oraz rozszerzenie badań o kolejne pary szeregów czasowych sanowić będzie cel dalszych badań auorów. Należy jednak zaznaczyć, iż wykorzysanie modeli warunkowej macierzy wariancjikowariancji jes sosunkowo prose dla porfeli dwuelemenowych. W przypadku porfeli wieloelemenowych modele sają się zby skomplikowane w prakycznych zasosowaniach ze względu na konieczność zapewnienia dodaniej określoności macierzy oraz na dużą liczbę paramerów. Wraz z rozwojem oprogramowania dosępnego w prakyce oraz ze
UUU zwiększaniem się długości (lub częsoliwości) szeregów danych, modele e powinny zyskiwać na znaczeniu. Pomimo zasygnalizowanych wąpliwości, auorzy, o ile o możliwe, zalecają sosowanie meod wyznaczania VaR wykorzysujących modele AR-DVECH w zasosowaniach prakycznych, ponieważ meody e pozwalają poprawić jakość esymacji VaR, co z kolei pozwala na skueczniejsze zarządzanie ryzykiem. Lieraura. Bes P. (000). Warość narażona na ryzyko. Oficyna Ekonomiczna, Kraków.. Bollerslev., Engle. R., Nelson D. (994) ARCH Models. W: Handbook of Economerics. Volume IV. Amserdam. Holland. 959-3038. 3. Ding Z., Engle R. (00). Large Scale Condiional Covariance Marix Modeling, Esimaion and esing. Academia Economic Papers. 4. Gourieroux C. (997). ARCH Models and Financial Applicaions. Springer-Verlag. New York. 5. Hass M. (00). New Mehods in Backesing. Financial Engineering Research Cener. Bonn. 6. Jorion P. (00). Value a Risk nd ediion. McGraw-Hill 7. Lopez J., Waler C. (000). Evaluaing covariance marix forecass in a value-a-risk framework. Federal Reserve Bank of San Francisco. Working Papers in Applied Economic heory. 000-. 8. Papla D., Pionek K., (004) Zasosowanie rozkładów α-sabilnych i funkcji powiązań (copula) w obliczaniu warości zagrożonej (VaR), praca złożona do Zeszyu Jubileuszowego Insyuu zarządzania Finansami Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu, Wrocław, 9. Pionek K. (00). Modelowanie i prognozowanie zmienności insrumenów finansowych. Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu (praca dokorska) 0. Pionek K. (005). Prognozowanie macierzy kowariancji i korelacji finansowych szeregów czasowych, praca złożona w ramach konferencji Modelowanie preferencji a ryzyko, Akademia Ekonomiczna w Kaowicach, Usroń. Rokia P. (004). Koncepcja warości zagrożonej (VaR) w analizie ryzyka inwesycji banków na rynku polskim. Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu (praca dokorska). say R. (00). Analysis of Financial ime Series. Wiley and Sons. 3