R Z N C. p11. a!b! = b (a b)!b! d n dx n [xn sin x] = x n(n k) (sin x) (n) = n(n 1) (n k + 1) sin(x + kπ. n(n 1) (n k + 1) sin(x + lπ 2 )

Podobne dokumenty
7.1. Lecture 8 & 9. f(x)dx =lim f(x)dx (7.1) I = f(x)dx (7.3) f(z), z (0 argz π), zf(z) 0. f(z)dz = I R := f(z)dz = f(re iθ )ire iθ dθ (7.

v = v i e i v 1 ] T v =

4.1. Lecture 4 & 5. Riemann. f(t)dt. a = t 0 <t 1 < <t n 1 <b= t n (4.1) , n [t i 1,t i ] t i t i 1 (i =1,...,n) f(ξ i )(t i t i 1 ) (4.

Funkcje Analityczne, ćwiczenia i prace domowe


Elektrodynamika Część 10 Promieniowanie Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM

v = v i e i v 1 ] T v = = v 1 v n v n ] a r +q = a a r 3q =

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej

Fizyka Laserów wykład 5. Czesław Radzewicz

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej

Światło widzialne a widmo elektromagnetyczne

Elektrodynamika Część 8 Fale elektromagnetyczne Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM

v = v i e i v 1 ] T v = = v 1 v n v n [ ] U [x y z] T (X,Y,Z)

6. Punkty osobliwe, residua i obliczanie całek

1 Warunki Cauchy'ego-Riemanna itd. 2 Caªki bez u»ycia residuów

1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)

dkowanych par liczb rzeczywistych postaci z = (a, b). W zbiorze tym wprowadzamy dzia lania +, w naste dziemy z liczba

Elektrodynamika. Część 8. Fale elektromagnetyczne. Ryszard Tanaś. Zakład Optyki Nieliniowej, UAM

(4) (b) m. (c) (d) sin α cos α = sin 2 k = sin k sin k. cos 2 m = cos m cos m. (g) (e)(f) sin 2 x + cos 2 x = 1. (h) (f) (i)

Zadania o liczbach zespolonych

Podstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej. wykład 6, Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek

c n (z z 0 ) n (2) Powiemy, że szereg Laurenta (2) jest zbieżny, jeśli każdy z szeregów zdefiniowanych w (1) jest f(z). Sume

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

Lista 1. (e) z działaniem dodawania ciągów i mnożeniem ciągu przez liczbę. (f) z działaniem dodawania ciągów i mnożeniem ciągu przez liczbę

Interesujące fazy ewolucji masywnej gwiazdy:

Matematyczne Metody Fizyki I

Matematyczne Metody Fizyki I Dr hab. inż. Mariusz Przybycień

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

Kinematyka: opis ruchu

Przekształcenie Fouriera obrazów FFT

( Shibata and Uchida 1986)

Podstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej. wykład 26, Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek

Podstawy Akustyki. Drgania normalne a fale stojące Składanie fal harmonicznych: Fale akustyczne w powietrzu Efekt Dopplera.

Funkcje analityczne. Wykład 13. Zastosowanie rachunku residuów do rozwiązywania problemów analizy rzeczywistej. Paweł Mleczko

Zad Sprawdzić, czy dana funkcja jest funkcją własną danego operatora. Jeśli tak, znaleźć wartość własną funkcji.







FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006

Analiza matematyczna dla informatyków 4 Zajęcia 5

Wykłady z Funkcji Analitycznych (Wykład jednosemestralny)

Podstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej. wykład 11, Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek

Wykład 2: Szeregi Fouriera

Liczby zespolone Pochodna Caªka nieoznaczona i oznaczona Podstawowe wielko±ci zyczne. Repetytorium z matematyki

Projekt silnika bezszczotkowego prądu przemiennego. 1. Wstęp. 1.1 Dane wejściowe. 1.2 Obliczenia pomocnicze


G:\AA_Wyklad 2000\FIN\DOC\FRAUN1.doc. "Drgania i fale" ii rok FizykaBC. Dyfrakcja: Skalarna teoria dyfrakcji: ia λ

Zera funkcji ζ(s) Riemanna. 1 1 p s ) 1. Dla rozszerzenia funkcji ζ(s) na pó lp laszczyznȩ Re s > 0 postȩpujemy nastȩpuj aco. x s+1. dx = s.

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

Podstawy Fizyki III Optyka z elementami fizyki współczesnej. wykład 11, Mateusz Winkowski, Łukasz Zinkiewicz

4. P : P SO P Spin, π : P M: 6. F = P Spin Spin(n) S, F ± = P Spin Spin(n) S ± 7. ω: Levi-Civita, R:, K:

q (s, z) = ( ) (λ T) ρc = q

Wielomiany Legendre a, itp.







Skale czasu. 1.1 Dokładność czasu T IE - Time Interval Error

VIII. VIII.1. ORBITALNY MOMENT MAGNETYCZNY ELEKTRONU, L= r p (VIII.1.1) p=m v (VIII.1.2) L= L =mvr (VIII.1.1a) r v. r=v (VIII.1.3)

Promieniowanie dipolowe

Transformaty. Kodowanie transformujace

1 Rozwiązywanie równań wokół punktów nieosobliwych w postaci szeregów potęgowych

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

mechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej

10. arccos 3 + 4x, 11. tg sin cos x, 12. arcctg x ctg 2x, arcsin(2x 1) arcsin 2x 1, 21. sin2 x 2 1,

Zadania z funkcji zespolonych. III semestr

Podstawy Fizyki III Optyka z elementami fizyki współczesnej. wykład 12, Mateusz Winkowski, Łukasz Zinkiewicz


1 Transformata L a a r.r. o pochodnych cząstkowych; problem znajdywania transformaty odwrotnej

Bładzenie przypadkowe i lokalizacja

Fizyka 11. Janusz Andrzejewski

Co to są równania ruchu? Jak je całkować?

Inżynieria Systemów Dynamicznych (3)

Nadpłynność i nadprzewodnictwo

MECHANIKA II. Drgania wymuszone

PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω)











Kinematyka: opis ruchu


Wiadomości wstępne. Krótka historia Przekrój czynny Układ jednostek naturalnych Eksperymenty formacji i produkcji

Układy z regulatorami P, PI oraz PID

Siła elektromotoryczna

Technika regulacji automatycznej

Transkrypt:

5 Z N p ) a a + b)! b ) a!b! a a! b a b)!b! p n n k nn k) n ) n k) d n d n [n sin ] n nn k) sin ) n) k n nn ) n k + ) sin + lπ ) k d n d n [n sin ] n k ) n n ) n k) sin ) k) k n k ) n nn ) n k + ) sin + kπ k )k d d e ) d d e ) e + ) e ) +e ) 4e +e ) e ) e ) e + 4 e d d e ) 6e + 4 3 e p p7 s ζs) s > ζs) p3 sin cos ) + cos sin d cos cos d cos sin

sin cos ) + cos p8 sin d cos + 49 p9 3) 3) p9 Γ/) Γ/) 4) 5) p9 5) 4) e d e d cos d cos + sin e t dt t ) e t dt t ) p3 f) f) p35 f, f f, f y p37 3 3 p37 z r sin ϕ z r cos ϕ p38 8 f, y) a) ) + y b) n! n f, y) a) n! + y b) ) y n p39 f y, y) 4y + 4y f y, y) 4y + 4y 3 p4, ẋ) t) t ), t ) ẋ d/dt

, ẋ) t) ẋ d dt t ), t ) ẋ d/dt p4 [ ] t t) t ), t ) ẋ t t t, t δ p44 *9 ν p53 a a > p53 r a p66 *3 A ai) O A ai) p79 a 4 Dλ + 4) + c a 4 Dλ + 4) + a p86 F, y) F y, y) p94 p95 π p 7 π cosπ )d si)d [cosπ) si)]d [ si) + cosπ) cosπ )d si)d [cosπ) si)]d [ si) ] ] [ ] π cosπ) π cosπ)d 4 π ds fr) r V ϵ r 3 ds fr) V ϵ r 3

ds fr) r V ϵ r 3 ds fr) V ϵ r p 9.3 9.) ) h h 3 f f h h h 3 u h u + ) h3 h f u h u + ) h h f [ ) u 3 h 3 u 3 h h 3 f f h h h 3 u h u + ) h3 h f u h u + )] h h f u 3 h 3 u 3 p3 ω dω D D ω dω p4 D D E + B t E + B t p4 B E c t ϵ c j B E c t p sin arcsin sin arcsin p37 3 ) lim + lim + p37 ϵ c j zfz) fz) fζ) fζ)ζ z) n fζ) fζ)ζ z) n+ p38 n! e ζ z e dζ πi ζ z) n+ ) n n! e ζ z e dζ πi ζ z) n+ p38 H n z)t n n n! ez dζ e ζ πi ζ z ez πi n ) n t ez ζ z πi e ζ dζ ζ z t e ez z+t) e t zt e ζ dζ ζ z t H n z)t n n n! ez dζ e ζ πi ζ z ez πi n ) n t ez ζ z πi e ζ dζ ζ z + t e ez z t) e t +zt e ζ dζ ζ z + t p38 3 ) 4

zfz) π z + i) + a tan π + i) π + + i) + a + tan π tanh π tan π + tanh π fz) π + i) + a tan π + i) π + i) + a + tan π tanh π tan π + tanh π p4 9 p4 es a) lim z a es a) lim z a J ia p4 7 J ia z + a z + a + lim a )z + ) z a z + a z + a + lim a )z + ) z a z + a + a ) dz z + a) ia πies a) ia z + a + a ) dz z + a) ia πies a) ia z + z ) z + z z z ez z ) z + z ) z + z z z ez z ) p44 : z e iθ, θ π), : z e iθ, θ π ) a)m a a π a)m a a a)m a a a)m a a π a)m πi a a π a)m a a)m πi a a π a)m a : z, ), : z e iθ, θ π), : z e iθ, θ π ), : z, ) p44 I I +++ +++ d + e i d + d + d + e i d + e i d + d + d + 5

p44 p44 + it it p5 3. π π epe iθ ) e iθ ie iθ dθ i epie iθ ) e iθ ie iθ dθ i π π epe iθ )dθ i epie iθ )dθ i f) f) n c n e πni f) f) n c n e πni π π dθ iπ dθ iπ 3. f) f p5 p5 3. f) f ) + f + ) n c n e πni f) p5 3. c n / / / f)e c n f)e / p53 πm i πn i d d f) n c n e πni c n e i d / n ) i [e i ] n ) n ) e i sin i n ) 6

f) f) n n c n e i n c n e i + c + c n e i + c + c n e i + n + n n c n e i n ) sin e i+/) e i+/) i sin + ) ) sin c n e i d / n ) i [e i ] n ) n ) e i sin n ) f) f) n n c n e i n c n e i + c + c n e i + c + c n e i + n + n n c n e i n ) sin e i /) e i /) cos ) ) sin p53 f) < ) f) < ) p53 3.4) f) c n e niπ + f) n n p53 c n cos) ) n c n )n i p54 c n e niπ + n cos sin ) n sin n 7

p56 ) u, θ) cos + u, θ) cos θ p58 p58 f n f m f n f m δ nm p59 F G F n f n G m f m n m n F n G n δ nm F n G n m F G F n f n G m f m n m n m F n G m f n f m δnm n F n G n p59 3.5)... lim +, u n,n... lim +, u n,n { u π { u π } ft)e n uπi dt )e n ui } ft)e n uit dt )e n ui p65 F k) πies πie k F k) πies πe k { πie k k < ) πie k k > ) { πe k k < ) πe k k > ) p75 5. or p76 5. [f n) t)] s n [ft)] s n f) s n f sf n ) ) f n ) [f n) t)] s n [ft)] s n f) s n f sf n ) ) f n ) ) 8

p86 s Xs) + k Xt) [f] s Xs) + k Xs) [f] p 7. G, ).G, a) G,, Ga, p5 G r r ) 4π r r G r, r ) 4π r r p, y, z), y, z), y, z), y, z) p4 > π G, π + + z + µ dz π + z + µ dz πi e µ iµ π e µ µ.3) G, π µ e µ ) π G, π + + z + µ dz π + z + µ dz πi e µ ) e µ iµ µ.3) G, µ e µ ) p4 < π π p9 G 4, ) i eii k G 4, ) i eik k eµ πi) iµ eµ πi) iµ π eµ µ eµ µ 9